2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第13讲 函数模型及其应用
A．a(1＋p)3 C．a＋a(1＋p)3
【解析】存入一年：本利合计为 a＋a· p＝a(1＋p)， 存入两年：本利合计为 a(1＋p)＋a(1＋p)· p＝a(1＋p)2， 存入三年： 本利合计为 a(1＋p)2＋a(1＋p)2· p＝a(1＋p)3.
5.某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元，并且每 年生产单位产品成本增加 10 万元，又知总收入 k 是单位产 1 2 品数 Q 的函数，k(Q)＝40Q－20Q ，则总利润 L(Q)的最大 值是 2500 万元，此时单位产品数 Q 为 300 .
【分析】 (1)已知部分变量关系模型，可根据已知数据求参 数．(2)进一步建立利润与销售价格之间的函数关系，根据函数 求最大利润及获得条件，注意利润＝销售收入－成本．
【解析】 (1)因为 x＝5 时，y＝11， a 所以2＋10＝11，所以 a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 2 y＝ ＋10(x－6)2， x－3 单位商品利润为(x－3)元/千克，所以商场每日销售该 商品所获得利润 2 f(x)＝(x－3)[ ＋10(x－6)2] x－3 ＝2＋10(x－3)(x－6)2(3<x<6)．
2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一 组数据： x 1.99 y 3 4 5.1 12 6.12 18.01
1.5 4.04 7.5
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的 规律，其中最接近的一个是( A．y＝2x－2 C．y＝log2x )
1 2 B．y＝2(x －1) 1x D．y＝(2)
【分析】 (1)已知车流量与平均速度之间的函数关系式， 只 需解决函数取最值的条件及所取最大值， 由数学问题的解 答，得实际结论；(2)由 y>10 解不等式，得实际结论．
920 【解析】(1)依题意得 y＝ 1600 (v>0)， v＋ v ＋3 1600 又 t＝v＋ v ≥2 1600 v· v ＝80，
10t 所以 y＝ 1 t－0.1 16
0≤t≤0.1 t>0.1 .
1 t－0.1 ②由 y＝(16) ≤0.25，得 2t－0.2≥1，则 t≥0.6， 所以至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室． －x2＋12x－25 y (2)平均利润x＝ x 25 ＝12－(x＋ x ) ≤12－10＝2， 25 当且仅当 x＝ x ，即 x＝5 时，等号成立，故选 C.
①一次函数模型：f x kx b(k、b为常数，k 0)； k ②反比例函数模型：f x b(k、b为常数，k 0)； x ③二次函数模型：f x ax 2 bx c (a、b、c为常数，a 0)，二次函数模型是高中阶段应用 最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的； ④指数型函数模型：f x ka x b (k、a、b为常数，k 0，a 0且a 1)；
1600 当且仅当 v＝ v ，即 v＝40 时，t 取最小值 80， 920 所以 y 有最大值，为 ymax＝ 83 ≈11.1(百辆∕小时)．
920v (2)若要求 y>10，即 2 >10， v ＋3v＋1600 又 v2＋3v＋1600>0 恒成立， 化简整理得 v2－89v＋1600<0， 即(v－64)(v－25)<0，所以 25<v<64. 答：(1)当汽车的平均速度为 40 千米∕小时时，车流量最 大，最大车流量约为 11.1 百辆∕小时． (2)当汽车平均速度在 25 千米∕小时至 64 千米∕小时之间 时，车流量超过 10 百辆/小时．
【点评】已知函数模型求参数时，关键是根据题设条件建 立方程求解；另外要注意实际问题中定义域对最值的影响．
素材1
(1)为了预防流感， 某学校对教室用药熏消毒法进行消毒． 已 知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时 间 t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为 y＝ 1 t －a (16) (a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列 问题：
了解指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等函数模型的意义，并能 建立简单的数学模型，利用这些知 识解决应用问题．
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述． 那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当 的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建 立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象 和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点， 并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识． 一般而言，有以下8种函数模型：
a＋b a＋b 故当 4 ≤b，即 b<a≤3b 时，x＝ 4 ， a＋b2 Smax＝ 8 . a＋b 当 4 >b，即 a>3b 时，函数在(0，b]上递增， 则 x＝b 时，Smax＝－2b2＋(a＋b)b＝ab－b2. a＋b 答：若 b<a≤3b，则 x＝ 4 时，四边形 EFGH 面积最大 a＋b2 为 8 ，若 a>3b，则 x＝b 时，四边形 EFGH 面积最大为 ab－b2.
【解析】将各组数据代入验证，选 B.
3.某电脑公司 6 年来每年电脑总产量 y(台)与生产时间 x(年) 的函数关系如图所示，则( )
A．前三年中产量增长的速度越来越快，后三年停产 B．前三年中产量增长的速度越来越快，后三年产量保持不变 C．前三年中产量增长的速度越来越慢，后三年停产 D．前三年中产量增长的速度越来越慢，后三年产量保持不变
⑤对数型函数模型：f x m log a x n (m、n、a为常数，m 0，a 0且a 1)； ⑥幂函数型模型：f x ax n b (a、b、n为常数，a 0，n 0)； ⑦“勾”函数模型：f x x (k为常数，k 0)， 这种函数模型应用十分广泛，因其图象是一个 “勾号”，故我们把它称之为“勾”函数模型； ⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或 多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
【解析】从图中看出，在区间[0,3]上，函数图象上升越 来越快， 表示前三年中产量增长的速度越来越快； 在区间[3,6] 上图象是与 x 轴平行的线段，表示后三年产量保持不变．故 选 B.
4.某人 2010 年 1 月 1 日到银行存入 a 元， 若年利率为 p， 按复利计算，则他到 2013 年 1 月 1 日本利合计为______ 元．( ) B．a＋p3 D．a(1＋p3)
从而 f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－6)(x－3)] ＝30(x－6)(x－4)． 所以当 x∈(3,4)时，f′(x)>0； 当 x∈(4,6)时，f′(x)<0， 所以 f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减， 所以当 x＝4 时，f(x)有最大值， 且[f(x)]max＝f(4)＝42. 答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品 所获得的利润最大．
1.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三 角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值为( A. 3 cm2 C．3 3 cm2 B．2 3 cm2 D．4 3 cm2 )
【解析】 设长为 12 cm 的细铁丝截成 x cm 和 (12－x) cm 的两截，两正三角形面积之和为 S， 其中 0<x<12，则 3 x2 3 12－x 2 S＝ 4 ·3) ＋ 4 · 3 ) ( ( 3 2 ＝ 8 (x －12x＋72) 3 ＝ 18 [(x－6)2＋36]． 所以，当 x＝6 时，S 取最小值，Smin＝2 3， 故面积之和的最小值为 2 3 cm2，选 B.
【分析】 (1)问题分两种情况， 一是待岗员工人数不超过原有 员工人数的 1%，一是超过原有员工人数的 1%，且不超过原 有员工人数的 5%；(2)企业所获利润为留岗人员所创总利润 减去待岗人员的生活补贴．
①从药物释放开始， 每立方米空气中 的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函 数关系式为 10t 0≤t≤0.1 y＝ 1 t－0.1 ； t>0.1 16 ②据测定， 当空气中每立方米的含药 量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进 教室， 那从药物释放开始， 至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室．
二
根据实际关系建立函数模型பைடு நூலகம்实际问题
【例 3】如图所示，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝a，BC＝ b(a>b)，在边 AB、AD、CD、CB 上分别截取 AE、AH、CG、 CF 都等于 x，当 x 为何值时，四边形 EFGH 的面积最大？求 这个最大面积．
【分析】要确定四边形 EFGH 的面积最 值，关键是建立该面积与 x 之间的函数关 系，四边形 EFGH 的面积为矩形 ABCD 面积减去 4 个三角形面积．
【点评】根据实际意义合理建立函数模型，特别注意实际 问题，自变量取值对函数最值的影响．
【例 4】 已知某企业原有员工 2000 人，每人每年可为企 业创利润 3.5 万元．为应对国际金融危机给企业带来的不 利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分 流出一部分员工待岗，为维护生产稳定，该企业决定待岗 人数不超过原有员工的 5%， 并且每年给每位待岗员工发放 生活补贴 0.5 万元．据评估，当待岗员工人数不超过原有 81 员工 1%时， 留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－100x) 万元；当待岗员工人数超过原有员工 1%时，留岗员工每人 每年可为企业多创利润 0.9595 万元． 为使企业年利润最大， 应安排多少员工待岗？
【点评】已知函数模型的实际问题，关键是根据函数特点与实 际要求，解决相关数学问题，确定实际结论．
【例 2】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日 的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系 a 式 y＝ ＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数．已知销售价格 x－3 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
2013届高考数学一轮总复习 第12讲 函数的图象与变换课件 文 新课标
①当 a<－3 时，由图可知，函数 y＝|x2－4x＋3|与函数 y ＝x＋a 的图象无交点，不合题意，舍去． ②当 a＝－3 时，由图可知，函数 y＝|x2－4x＋3|与函数 y ＝x＋a 的图象只有一个交点，不合题意，舍去．
2 对称变换：y f x 与y f x 的图象关于⑨ ___ 对称；y f x 与y f x 的图象关于⑩ ______ 对称； y f x 与y f x 的图象关于 ___ 对称；y f x 的图象可将函数y f x 的图象在 __________ ， 其余部分不变；y f | x |的图象可将函数y f x 的
.
易错点：(1)平移方向弄反，h(x)变 g(x)应向右平移 2 个 单位长度，向下平移 1 个单位长度；(2)函数的定义域范围 出错，应根据平移相应改变．
一
函数图象的变换
【例 1】作出下列函数的大致图象： (1)y＝|x－2|(x＋1)； 2 －x (2)y＝ ； x＋1 (3)y＝|lg|x||. (4)y＝x2－2|x|－1.
1 描点法作图的基本步骤是：③ ______ 、④ ______ 、
⑤ ______ .画函数图象时有时也可利用函数的性质如 ⑥ _________________ 以及图象上的特殊点、线 (如对称轴、渐近线等)．
2 图象的变换是指⑦ _________________________ .
上所有点的 _________________ 得到．
【要点指南】
1.下列函数图象中，正确的是(
)
.
【解析】 对 A、 B， 由 y＝x＋a 的图象， 知 a>1， 可知 A、 B 图象不正确； 对 C、D，由 y＝x＋a 的图象知 0<a<1，所以 y＝logax 应为减函数，D 错，故选 C.
2013届高考数学第一轮基础复习课件函数与方程、函数模型及其应用
两个零点，二次函数的图象(抛物线)与 x 轴相交．若该交
点分别为
A、B，则
A、B
之间的距离为|AB|＝
Δ |a|
二、用二分法求方程近似解 用二分法求方程 f(x)＝0 近似解的一般步骤： 第一步：确定一个区间[a，b]，使得 f(a)·f(b)<0，令 a0＝a，b0＝b. 第二步：取区间(a0，b0)的中点 x0＝12(a0＋b0)． 第三步：计算 f(x0)的值，得到下列相关结论．
第九节
函数与方程、 函数模型及其应用
重点难点 重点：1.函数的零点和方程解的联系 2．运用数形结合判定方程解的分布 3．掌握几种常见的函数模型： (1)一次函数 (2)二次函数 (3)分式函数 (4)指数 函数 (5)对数函数 (6)分段函数 (7)幂函数 (8)三角 函数．
难点：1.二次方程根的分布问题 2．二分法的应用 3．实际问题中，如何选择模拟函数，建立函数关系 式．
2．当 Δ＝b2－4ac＝0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0 有两个相等的实根，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 有一 个零点，二次函数的图象(抛物线)与 x 轴相切；
3．当 Δ＝b2－4ac>0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0 有两个不相等的实根，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 有
P(12)＝18040≈1.19，Q(13)＝2107≈1.18. 即 F(12)>F(13)． 所以用 13 名工人制作课桌，17 名工人制作椅子完成 任务最快.
二次函数模型
[例 4] 某市现有从事第二产业人员 100 万人，平均 每人每年创造产值 a 万元(a 为正常数)，现在决定从中分 流出 x 万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业 的人员平均每人每年创造产值可增加 2x%(0<x<100)，而 分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值 1.2a 万元．在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流 出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？
2013届高考数学(理)一轮复习课件第二章第九节函数模型及其应用(广东专用)
(2)f(x)＝38x＋005＋6x＝61x＋60100＋(6x＋10)－10， ∵0≤x≤10， ∴6x＋10＞0，
【解析】 当m∈[0.5,3.2]时，[m]所有可能值为0,1,2,3共四个， 故f(m)的值域为{1,1.5,2,2.5}．
【答案】 B
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企
业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x
＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大利润，该企业
(2011·四川高考改编)里氏震级M的计算公式为： M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅， A0是相应的标准地震的振幅． (1)假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时 标准地震的振幅为0.001，求此次地震的震级；
(2)2011年3月11日，日本东海岸发生9.0级特大地震；2008年5 月12日，中国汶川发生8.0级强震，那么9.0级地震的最大振幅 是8.0级地震最大振幅的多少倍？
，
因此(5－b)2＝0，∴b＝5，k＝1.
(2)由(1)知 p＝2(1－t)(x－5)2，且 q＝2－x，
由 p＝q，∴(1－t)(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5)2＝－x，
因此 t＝1＋x－x 52，0＜x≤4， 又 t′＝x－5x2－－25x4x－5＝－xx－＋553， 当 0＜x≤4 时，(x－5)3＜0，∴t′＞0. ∴t＝1＋x－x 52，在(0,4]上是增函数， ∴当 x＝4 时，t 有最大值为 5. 故关税税率的最大值为 50%.
2013届新课标高中总复习课件(第1轮)(人教A版文科数学)广东专版第13讲函数与方程
D．(21，34)
【解析】显然 f(x)为 R 上增函数，又 f(14)＝e14＋4×14－3 ＝4 e－2<0，f(12)＝e12＋4×12－3＝ e－1>0，
所以在(14，12)内有且仅有一个零点．
3.函数 f(x)＝3ax＋1－2a，在区间(－1,1)上存在一个零
点，则 a 的取值范围是(
2．“精确度”与“精确到”是两个不同的概念，精确 度最后的结果不能四舍五入，而精确到只需区间两个端点 的函数值满足条件，即取近似值之后相同，则此时四舍五 入的值即为零点的近似解．
素材3
若函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一个正数零点附近的函数值
用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984
不断的一条曲线，并且④ __________，那么，
函数y f x在区间(a，b)内有⑤ ______，即存在
c (a，b)，使得⑥ __________，这个c也就是
方程f x 0的根．
2．二分法
1对于在区间[a，b]上连续不断且f a f b 0 的函数y f x，通过不断地把函数f x的零点
f(1.375)＝－0.260 f(1.4375)＝0.162 f(1.40625)＝－0.054
那么方程 x3＋x2－2x－2＝0 的一个近似根(精确到
0.1)为(
)
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5
【解析】由于 f(1.4375)＝0.162>0，f(1.40625)＝－ 0.054<0，且|1.40625－1.4375|＝0.03125<0.1，所以由二分 法可知其根在区间(1.40625,1.4375)上，故选 C.
2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件第1讲集合的概念及运算
【解析】 由 x2－3x＋2＝0，得 x1＝1，x2＝2， 即 A＝{1,2}． 由 x2－(a＋3)x＋3a＝0，得(x－3)(x－a)＝0， 则 x1＝3，x2＝a，从而 3∈B，a∈B.
(1)若 A∪B＝{1,2,3}，则 B⊆{1,2,3}． 又 3∈B，则 a＝1 或 a＝2 或 a＝3. (2)A∩(∁UB)＝A，得 A⊆∁UB， 所以 A∩B＝∅， 则 3∉A 且 a∉A，故 a≠1 且 a≠2. 故 a 的取值范围为{a∈R|a≠1 且 a≠2}．
【解析】 (1)由 M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}， 可知 a1∈M，a2∈M，且 a3∉M. 又 M⊆{a1，a2，a3，a4}，从而 M＝{a1，a2} 或 M＝{a1，a2，a4}，共 2 个．
(2)由 x2＋x－6＝0 得 x＝2 或 x＝－3，所以 M＝{2，－3}． N∩M＝N⇔N⊆M. (ⅰ)当 a＝0 时，N＝∅，此时 N⊆M； (ⅱ)当 a≠0 时，N＝{1a}． 由 N⊆M 得1a＝2 或1a＝－3， 即 a＝12或 a＝－13. 故所求实数 a 的值为 0 或12或－13.
【点评】(1)读懂集合语言，化简集合，才能找到解 题的突破口．
(2)解决集合问题，常用韦恩图或数轴直观地表示． (3)理解补集的意义：∁UA 指在全集 U 中但不在集合 A 中的元素组成的集合．
素材1
设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－(a ＋3)x＋3a＝0}．
(1)若A∪B＝{1,2,3}，求实数a的值；
且S1 U S2＝I，则下面论断正确的是
A．ðI S1 I S2＝
B．S1 ðI S2
C．痧I S1 I I S2
2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第15讲 导数在函数中的应用
易错点：易错选 C，事实上，f(x)在区间(a，b)内单调递 增， f′(x)≥0， f(x)＝x3， 如 x∈(－2,3)， 此时 f′(x)＝3x2≥0(在 x＝0 时，f′(x)＝0.)
2.已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9 在 x＝－3 时取得极 值，则 a 等于( A．2 C．4 ) B．3 D．5
和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极 值 点 ．2 若 x 0 为 可 导 函 数 f 反之，不一定成立．
3． 函 数 的 最 值 与 其 导 数 的 关 系
1 函 数 的 最 值 ： 如 果 在 函 数 y＝ f x 的 定 义 域 I 内 存 在
x 0， 使 得 对 任 意 的 x I ， 都 有 ⑤ 为 函 数 的 最 大 值 ， 记 作 y m a x＝ f ⑥ ___________ ， 则 称 f 记 作 y m in ＝ f ，则称f
【解析】 因为 f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，
又 f(x)在 x＝－3 时取得极值，所以 f ′(－3)＝30－6a＝0， 解得 a＝5，此时 f′(x)＝(3x＋1)(x＋3)满足条件，故 a＝5.
3.函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上的最大值是 最小值是 －17 .
3
x 的 单 调 递 增 区 间 ；
2 对 于 定 义 在 区 间 ( a， b )内 连 续 不 间 断 的 函 数 y＝ f x ，
由 f x 0 ① 恒 成 立 ， 其 中 区 间 ( a， b ) 为 f f x 0 在 ( a， b )内
一
函数的单调性与导数
－
【例 1】已知 a∈R，函数 f(x)＝(－x2＋ax)· x(x∈R)． e (1)当 a＝－2 时，求函数 f(x)的单调递减区间； (2)若函数 f(x)在(－1,1)内单调递减，求 a 的取值范围； (3)函数 f(x)是否为 R 上的单调函数，若是，求出 a 的取值 范围；若不是，请说明理由．
2013届高考数学(理)一轮复习课件第二章第十二节导数的综合应用(广东专用)
(2011·浙江高考)设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a ＞0. (1)求f(x)的单调区间； (2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．(其中， e为自然对数的底数)．
3．解决优化问题的基本思想
函数的极大值一定比极小值大吗？ 【提示】 极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，
即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
1．(教材改编题)函数 f(x)＝ax3＋x 恰有三个单调区间，则
a 的取值范围是( )
A．(－∞，－13]
B．[－13，＋∞)
第十二节 导数的综合应用
1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为 _优__化_____问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义 域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．
2．利用导数研究函数的单调性和最(极)值等离不开方程与不 等式；反过来方程的根的个数，不等式的证明、不等式恒成立 求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利 用导数进行研究．
【答案】 9
4 ． 已 知 f(x) ＝ 1 ＋ x － sin x ， 试 比 较 f(2) ， f(3) ， f(π) 的 大 小 为 ________． 【解析】 f′(x)＝1－cos x，当x∈(0，π]时，f′(x)＞0. ∴f(x)在(0，π]上是增函数，∴f(π)＞f(3)＞f(2)． 【答案】 f(π)＞f(3)＞f(2)
3．(2012·青岛质检)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年 产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使 该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．
2015届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第13讲_函数模型及其应用
【解析】从图中看出，在区间[0,3]上，函数图象上升越 来越快， 表示前三年中产量增长的速度越来越快； 在区间[3,6] 上图象是与 x 轴平行的线段，表示后三年产量保持不变．故 选 B.
4.某人 2010 年 1 月 1 日到银行存入 a 元， 若年利率为 p， 按复利计算，则他到 2013 年 1 月 1 日本利合计为______ 元．( ) B．a＋p3 D．a(1＋p3)
【解析】 设四边形 EFGH 的面积为 S，由题意得 1 2 1 S△AEH＝S△CGF＝2x ，S△BEF＝S△DHG＝2(a－x)(b－x)， 其中 0<x≤b， 1 2 1 所以 S＝ab－2[2x ＋2(a－x)(b－x)] ＝－2x2＋(a＋b)x a＋b 2 a＋b2 ＝－2(x－ 4 ) ＋ 8 (0<x≤b)．
【解析】将各组数据代入验证，选 B.
3.某电脑公司 6 年来每年电脑总产量 y(台)与生产时间 x(年) 的函数关系如图所示，则( )
A．前三年中产量增长的速度越来越快，后三年停产 B．前三年中产量增长的速度越来越快，后三年产量保持不变 C．前三年中产量增长的速度越来越慢，后三年停产 D．前三年中产量增长的速度越来越慢，后三年产量保持不变
1600 当且仅当 v＝ v ，即 v＝40 时，t 取最小值 80， 920 所以 y 有最大值，为 ymax＝ 83 ≈11.1(百辆∕小时)．
920v (2)若要求 y>10，即 2 >10， v ＋3v＋1600 又 v2＋3v＋1600>0 恒成立， 化简整理得 v2－89v＋1600<0， 即(v－64)(v－25)<0，所以 25<v<64. 答：(1)当汽车的平均速度为 40 千米∕小时时，车流量最 大，最大车流量约为 11.1 百辆∕小时． (2)当汽车平均速度在 25 千米∕小时至 64 千米∕小时之间 时，车流量超过 10 百辆/小时．
2013届高考数学一轮复习教案2.10函数模型及其应用
§2.10函数模型及其应用1.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型(2)①指数函数y＝a x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0)在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于y ＝a x的增长速度快于y＝x n的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有__________.②对数函数y＝log a x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0)对数函数y＝log a x(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有____________.由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有__________________.2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：[难点正本疑点清源]解决函数应用问题重点解决以下问题(1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；(3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用；(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来.1.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________.2.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.3.某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是______________.4.某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A.5千米处B.4千米处C.3千米处D.2千米处5.某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是()A.x>22%B.x<22%C.x＝22%D.x的大小由第一年的产量确定题型一一次函数、二次函数模型例1某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元).(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产.①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？探究提高(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解.(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决.(3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域.用一根长为12 m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的高与宽应各为多少？题型二分段函数模型例2为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝⎩⎨⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？探究提高 本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x (吨). (1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 题型三 指数函数、幂函数模型例3 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题： (1)写出该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？ (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301 0，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9)探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式.解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是：θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，并且m >0).(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围.3.函数建模及函数应用问题试题：(12分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的 优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企 业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全 体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让 费(不计息).在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为 每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关 系如图所示；③每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？审题视角 (1)认真阅读题干内容，理清数量关系.(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的.(3)建立函数模型，确定解决模型的方法. 规范解答解 设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 (14≤P ≤20)，－32P ＋40 (20<P ≤26)，[2分]代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝⎛⎭⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600 (20<P ≤26)， [4分](1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元. 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元.[8分](2)设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫.[12分]解函数应用题的一般程序是：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.批阅笔记(1)本题经过了三次建模：①根据月销量图建立Q与P的函数关系；②建立利润余额函数；③建立脱贫不等式.(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛.(3)在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误.方法与技巧解答数学应用题关键有两点：一是认真审题，读懂题意，理解问题的实际背景，将实际问题转化为数学问题；二是灵活运用数学知识和方法解答问题，得到数学问题中的解，再把结论转译成实际问题的答案.失误与防范1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，正确理解题意，选择适当的函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.答案要点梳理1.(2)①a x >x n ②log a x <x n a x >x n >log a x 基础自测 1.78℃2.2 5003.y ＝a (1＋r )x ，x ∈N *4.A5.B 题型分类·深度剖析例1 解 (1)设甲、乙两种产品分别投资x 万元(x ≥0)，所获利润分别为f (x )、g (x )万元，由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ， ∴根据图象可解得f (x )＝0.25x (x ≥0)， g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6， ∴总利润y ＝8.25(万元)．②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元， 则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋344.∴当t ＝4时，y max ＝344＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2. ∴当A 、B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8.5万元．变式训练1 解 设框架的宽度为x m ，则其高度为 h ＝(6－2x ) m,0<x <3.设框架的面积为y m 2，则y ＝xh ＝ x (6－2x )＝－2x 2＋6x ＝－2(x －1.5)2＋4.5，当x ＝1.5时， y 取最大值4.5，此时h ＝3.故当框架的高度为3 m ，宽度 为1.5 m 时，框架的面积最大，从而窗户通过的阳光最充足． 例2 解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ， 则S ＝200x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为：y x ＝⎩⎨⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144).12x ＋80 000x－200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，yx 取得最小值240.②当x ∈[144,500]时， y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ×80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 变式训练2 解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，45时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫45<26.4； 当x ∈⎝⎛⎦⎤45，43时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫43<26.4； 当x ∈⎝⎛⎭⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5. 所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨， 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)． 例3 解 (1)1年后该城市人口总数为 y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2. 3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3. x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .(2)10年后，人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)设x 年后该城市人口将达到120万人， 即100×(1＋1.2%)x ＝120，x ＝log 1.012120100＝log 1.0121.20≈16(年)．(4)由100×(1＋x %)20≤120，得(1＋x %)20≤1.2， 两边取对数得20lg(1＋x %)≤lg 1.2≈0.079， 所以lg(1＋x %)≤0.07920＝0.003 95，所以1＋x %≤1.009，得x ≤0.9， 即年自然增长率应该控制在0.9%.变式训练3 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度， 即θ≥2恒成立，亦m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝x ，则0<x ≤1，∴m ≥2(x －x 2)， 由于x －x 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.高;考|试*题;库。
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：2.11函数的应用
某食品厂购买面粉，已知该厂每天需 用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面 粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元， 购面粉每次需支付运费900元.若提供面粉的 公司规定：当一次购买面粉不少于100吨时， 其价格可享受9折优惠(即原价的 90%)，问 该食品厂是否考虑接受此优惠条件？请说 明理由.
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P= t+20(0＜t＜25，t∈N*) -t+100(25≤t≤30，t∈N*). (2)描出实数对(t，Q)的对应点如图所示.
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从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20， 20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假 设它们共线于直线l：Q=kt+b. 由点(5，35)，(30，10)确定出l的解析式 为：Q=-t+40. 通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也 在直线l上. 所以日销售量Q与时间t的一个函数关系 式为：Q=-t+40(0＜t≤30，t∈N*).
可增加2x%(0＜x＜100)，而分流出的从事第三
产业的人员，平均每人每年可创造产值1.2a万
元.在保证第二产业的产值不减少的情况下，分
流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产 值增加最多？ 18
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设分流出x万人，为保证第二产 业的产值不减少，必须满足: (100-x)· (1+2x%)≥100a. a·
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1.电信资费调整后，市话费标准为：通话 时间不超过3 min收费0.2元，超过3 min以后， 每增加1 min收费0.1 元，不足1 min按1 min付费，则通话费 s(元)与通话时间t (min)的函数图象 可表示成图中的( )