沪教版(上海)数学七年级第二学期14.4 全等三角形的应用——“截长补短”法添加辅助线 教案
全等三角形-截长补短法
全等三角形-截长补短法全等三角形截长补短法在初中数学的几何学习中，全等三角形是一个重要的知识点，而解决全等三角形相关问题时，截长补短法是一种非常实用且巧妙的方法。
首先，咱们来聊聊什么是截长补短法。
简单来说，截长补短就是通过在图形中截取或者延长某条线段，使得图形中的线段关系发生变化，从而构造出全等三角形，帮助我们解决问题。
比如说，有一个三角形 ABC，其中∠B ＝ 2∠C，要证明 AB ＝ AC ＋ CD。
这时候，我们就可以考虑使用截长补短法。
如果使用截长的思路，就在 AB 上截取 AE ＝ AC，然后连接 DE。
这样一来，因为 AE ＝AC，再加上公共边 AD，以及已知的∠CAD ＝∠EAD，就可以证明△ACD 和△AED 全等。
然后通过一系列的角度推导，就能得出结论。
要是用补短的方法呢，就是延长 AC 至 E，使 CE ＝ CD，连接 DE。
通过角度关系证明∠E ＝∠CDE，进而得出∠B ＝∠BDE，再证明△ABD 和△AED 全等。
接下来，咱们通过几个具体的例子来更深入地理解截长补短法。
例 1：在△ABC 中，AB ＞ AC，AD 平分∠BAC，P 为 AD 上一点。
求证：AB AC ＞ PB PC。
我们来用截长的方法解决。
在 AB 上截取 AE ＝ AC，连接 PE。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD ＝∠CAD。
又因为 AE ＝ AC，AP 是公共边，所以△APE ≌△APC。
那么 PC ＝ PE。
在△PBE 中，根据三角形两边之差小于第三边，有 PB PE ＜ BE。
而 BE ＝ AB AE ＝ AB AC，所以 AB AC ＞ PB PC。
例 2：已知在正方形 ABCD 中，∠MAN ＝ 45°，∠MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC 于点 M、N。
求证：BM ＋ DN ＝MN。
这道题我们用补短的方法。
延长 CB 至 E，使 BE ＝ DN，连接 AE。
全等三角形--截长补短
板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．知识点睛中考要求第九讲 全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOEC B A4321FDOE CB A【解析】 BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ， 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=， ∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。
全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法上课讲义
全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法例1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC例2、如图，AD ∥BC ， AE, BE 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC例3、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
求证：BQ+AQ=AB+BPDOEA例4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： ︒=∠+∠180C A例5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB －AC ＞PB －PC例6、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．例7、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN有怎样的数量关系? 变式练习如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NEB M A DNCDEBMAFEDCBA例8、如图所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM ．求证：AE=BC+CE ．例9、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.例10、如图所示，ABC ∆是边长为2的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．ME D CBACEDBA变式练习如图所示，ABC ∆是边长为4的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．例11、五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA 平分∠CDE例12、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E是AB上一个动点，若∠B=600，AB=BC，且∠DEC=60O,判断AD+AE 与BC的关系并证明你的结论。
全等三角形之截长补短法
全等三角形模型之截长补短法若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑“截长补短法“”，构造全等三角形.（1）截长法：在较长线段中截取一段等于另两条较短线段中的一条，然后证明剩下部分等于另一条.即证明“短1＋短2＝长”，“截长法”是在“长”线段上截取一条和“短1”相等长度的线段，再证明剩下的部分和“短2”等长.（2）补短法：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段.即证明“短1＋短2＝长”，“补短法”是将“短1”线段延长，延长的长度等于“短2”的长度，再证明新线段与“长”线段长度相等.【典型例题】1．【模型分析】当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】2．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+CD．3．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD ＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题；（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．4．阅读：探究线段的和差倍分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．【小试牛刀】1．如图，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝CD+BC．（用两种方法）2．如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为．3．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．4．已知：如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，O是CD上一点，且AO平分∠BAD，BO 平分∠ABC．（1）求证：AO⊥BO；（2）若AO＝3，BO＝4，求四边形ABCD的面积．5．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。
截长补短法——《全等三角形的专题复习》教案 初中数学教师优质课比赛
⑴学生能否熟练运用截长法和补短法。
⑵学生的辅助线选择是否正确，思路是否清晰．
⑶学生的表达能力．
要求学生口述作图方法
通过练习，及时反馈学生学习的情况，便于教师把握授课效果，并能及时查漏补缺，进一步优化教学，
本次活动注重学生的亲身体验，从实践中获得结论，提高学生的参与意识和数学兴趣，培养学生自主探索、发现、概括规律的能力
情感态度
１、使学生经历探索线段的和问题的解决过程，感受数学活动充满探索以及数学方法确定性。
２、培养学生积极主动参与学习数学活动的意识，增强学好数学的信心。培养学生与他人合作交流的意识和能力。
重点
正确的辅助线作法。
难点
运用截长补短法解决线段和问题。
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动１ 竞赛活动，复习旧知
⑵学生是否能清晰、准确概括出所学知识。
学生回顾、总结本节课的学习内容，教师积极评价，去粗取精，巩固升华。
学生独立完成作业，进一步巩固所学知识。
板书设计
“截长补短法”分析线段和问题
补短法：合二为一.
截长法：一分为二.
教学设计说明
本节主要内容是截长补短法在解决线段和问题中的应用．要求学生掌握此类问题的解决方法，还要提高学生的动手操作能力，使学生重视作图的准确性和规范性。
活动4
小结
截长补短法思路分析
布置作业：
1、活动3中题运用补短法证明
2、拓展作业Biblioteka 在五边形ABCDE中，AB=AE, BC+DE =CD，∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,连接AD。
求证：AD平分∠CDE.
学生思考小结，教师最后补充完整．
截长补短法
全等三∴角∠形之C巧+短添∠法辅助D=线1—8—0截°长补
例题 如图，AC∥BD，EA、EB分别
平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，
补短法 Ｆ求证：AB＝AC＋BD。 Ｅ Ｄ 补短法：一般有两种方式—— 一种是 将某短线段延长，使延长的一部分等
Ｃ Ａ
于另一条已知的较短的长度，另一种
是线延将段长某。短AC线至段直F，接延使长C至F等=于BD较或长的使AF=
Ｂ
全等三角形之巧添辅助线——截长补 短法
例题 如图，AC∥BD，EA、EB分别
平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，
补短法 Ｆ求证：AB＝AC＋BD。
Ｅ
Ｄ
（1）延长AC至F，使CF＝BD，连
Ｃ Ａ
接EF 要证
再证△AEF≌△AE
√（2）△延C长EFA≌C至△FD，EB使，AF=AB，连接EF
Ｂ 可得到△AEF≌△AEB，再证△CEF≌
练习如：图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，
CA=CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N。 （1）求证：∠1=∠2 （2）求证：AE=CN+EN （请用多种方法证
B 明）F 补短法：过点Ｂ作BF⊥BC交CN的延长线于点
N E
1
C 2A
可证得△CBF≌△ACE，从而得到AE= 再证△BEN≌△BFN，可得EN=FN.
[串点成面·握全局]
一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1．原因 (1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促 进中国社会发展。 (2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压 中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。 (3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供 了物质条件。
沪教版(上海)数学七年级第二学期14.4 全等三角形的应用——“截长补短”法添加辅助线 教案
学生口述作图法情况一、作线段b+线段c出示方法一：补短法出示方法二：截长法情况二、作线段a-线段b 段之间的数量关系做铺垫。
二、教授新课【例1】已知，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1= ∠2，试说明：AB=AC+CD总结方法：截长法在一条线段上一截取一定长度的线段在图中标出已知信息添加辅助线：学生说画法，规范书写“在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE”学生说添辅助线的原因及目的学生说明BE=CD的原因参考PPT演示，集体说过程预设回答：从结论出发，对三条不在一直线上的线段进行转换。
借助已知条件构造全等三角形，将不在一直线上的线段和差问题转化为利用全等三角形、等腰三角形的性质说明线段长度相等的问题。
引导学生体会执果索因的思维方式以及化繁为简的数学思想。
引导学生利用旧知想到“截长”、“补短”两种方法，渗透1、延长AC至点E，使得CE=CD2、延长AC至点E，使得AE=AB参考PPT演示，集体说过程【例2】如图，AD//BC ，AE，BE平分∠DAB、∠CBA，CD过点E，试说明：AB=AD+BC练习：如图，AD//BC，BE垂直于AE，E 是CD的中点，求AB=AD+BC 小组讨论选择方法选取【补短法】延长AE、BC，交于点F选取【截长法】发现无法构造全等三角形，因此不能使用截长法全等三角形的应用——“截长补短”法方法一：截长方法二：补短延长AC至点E，使得AE=AB，连接DE1、如图，在△ABC中，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，BE+CD=BC，求∠BOC的度数2、如图，点M为正方形ABCD的边AB上的任意一点（点B除外）MN ⊥ DM且与∠ABC外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系？3、如图，点M为正三角形ABD的边AB上的任意一点（点B除外），作∠DMN= 60 °，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系？。
几何证明的好方法——截长补短
几何证明的好方法——截长补短几何证明是数学中一种非常重要的方法，常用于证明几何定理和推导几何性质。
在证明过程中，使用截长补短的方法可以帮助我们更加简化和明确证明的步骤。
截长补短是一种证明方法，即通过添加或截取一些辅助线或辅助点，从而改变原有图形的形状和性质，并且使得证明更加直观和明了。
下面以几何证明中常见的一些问题为例，介绍截长补短的应用方法。
一、证明两线段相等当我们需要证明两条线段相等时，可以考虑添加一条辅助线段，从而将问题转化为两个三角形的相等性质。
具体步骤如下：1.观察题目中给出的线段，设需要证明的线段为AB和CD。
2.根据题目的条件，找到一个与我们需要证明的线段相关的线段，设为EF。
3.添加辅助线段，连接AE和CF，构建出两个三角形，如△AEB和△CFD。
4.利用已知的几何定理或条件，证明两个三角形的相等性质，如SSS （边-边-边）相等性质或SAS（边-角-边）相等性质。
5.根据三角形的相等性质，得出AB=CD的结论。
通过添加辅助线段，将原来需要证明的问题转化为证明两个三角形的相等性质，更加直观和易于操作。
二、证明两角相等当我们需要证明两个角相等时，可以考虑添加一条辅助线段或辅助点，从而改变原有角的性质，并且使得证明更加明确和简洁。
具体步骤如下：1.观察题目中给出的角度，设需要证明的两个角为∠ABC和∠DEF。
2.根据题目的条件，找到一个与我们需要证明的两个角相关的角，设为∠GHI。
3.添加辅助线段或辅助点，改变原有角的性质。
如我们可以添加辅助线段IJ，使得∠GHI=∠ABC。
4.利用已知的几何定理或条件，证明新构建的几何形状的一些性质。
如垂直角、平行线、共线等。
5.根据已知的性质和构建的几何形状，得出∠ABC=∠DEF的结论。
通过添加辅助线段或辅助点，改变原有角的性质，并利用已知的几何定理和条件，可以更加明确和简洁地证明两个角的相等性质。
三、证明两图形全等当我们需要证明两个图形相等时，可以考虑添加一些辅助线段或辅助点，从而改变原有图形的形状和性质，并且将问题转化为相似三角形或平行四边形的性质。
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课题全等三角形的应用——“截长补短”法添加辅助
线
课型复习课时间班级
教学目标1、掌握运用截长补短的方法解决线段和差问题；
2、通过对线段和差问题的探究，体会添加辅助线构建全等三角形后将题目化难为易的作用；
3、通过观察、操作、归纳等方法，积累数学活动经验。
感受“由因导果”与“执果索因”思维方法的条理性，进一步提高数学思维能力。
教学重
点
运用截长补短法解决线段和差问题
教学难
点
运用截长补短法解决线段和差问题
教学方
法
讨论法、讲授法、演示法、练习法
教学过程
教师活动学生活动设计意图
一、新课导入【回顾】
线段和差问题：
线段a、b、c满
足怎样的数量关
系？
学生口述作图法
情况一、作线段b+线段c
通过复习线段和
差问题，为用“截长
补短”法添加辅助
线解决不在同一
直线上的三条线
出示方法一：补短法
出示方法二：截长法情况二、作线段a-线段b 段之间的数量关
系做铺垫。
二、教授新课【例1】
已知，在△ABC
中，∠C=2∠B，
∠1= ∠2，试说
明：AB=AC+CD
总结方法：截长
法
在一条线段上一
截取一定长度的
线段
在图中标出已知信息
添加辅助线：
学生说画法，规范书写“在AB
上取点E，使得AE=AC，连
接DE”
学生说添辅助线的原因及目
的
学生说明BE=CD的原因
参考PPT演示，集体说过程
预设回答：
从结论出发，对三
条不在一直线上
的线段进行转换。
借助已知条件构
造全等三角形，将
不在一直线上的
线段和差问题转
化为利用全等三
角形、等腰三角形
的性质说明线段
长度相等的问题。
引导学生体会执
果索因的思维方
式以及化繁为简
的数学思想。
引导学生利用旧
知想到“截长”、“补
引导学生利用补短法
学生说过程，教师板书说理框架1、延长AC至点E，使得
CE=CD
2、延长AC至点E，使得
AE=AB
参考PPT演示，集体说过程
短”两种方法，渗透
一题多解
【例2】
如图，AD//BC ，AE，BE平分∠DAB、∠CBA，CD过点E，试说明：AB=AD+BC 【小组讨论】
【截长法】
在AB上取点F，使得AF=AD 连接EF
【补短法】
延长AE、BC，交于点F
三
、课堂练
习练习：
如图，AD//BC，
BE垂直于AE，E
是CD的中点，
求AB=AD+BC
小组讨论选择方法
选取【补短法】
延长AE、BC，交于点F
选取【截长法】
发现无法构造全等三角形，
因此不能使用截长法
通过练习，加深理
解，进一步体会“截
长补短法”的目的
在于构造全等三
角形说明线段长
度相等。
四
、课堂小结【小结】什么情
况下使用“截长
补短法”添加辅
助线？
“截长补短法”
添加辅助线的目
的何在？
师生共同总结
线段计算和与差，巧用截长
补短法
构造全等三角形
将线段和差问题转换成
对线段长度相等的说明
通过总结归纳能
够利用“截长补短”
法进行求解的题
目类型、特点等，
在学生的认识中
形成一个知识体
系，帮助学生今后
遇到类似题目的
时候能够从结论
出发，利用“执果索
因”的思维方式找
到合适的求解方
教师总结
布置作业
法。
板书设计
全等三角形的应用
——“截长补短”法方法一：截长方法二：补短
延长AC至点E，使得AE=AB，
连接DE 步骤：
1、添加辅助线
2、说明全等三角形
3、找到对应边/角获得线段数量关系
（板书部分重要过程）
作业布置
1、如图，在△ABC中，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，BE+CD=BC，求∠BOC的度数
2、如图，点M为正方形ABCD的边AB上的任意一点（点B除外）MN ⊥ DM
且与∠ABC外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系？
3、如图，点M为正三角形ABD的边AB上的任意一点（点B除外），作∠DMN= 60 °，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系？。