参数估计公式
参数估计的基础(8)
可信区间和可信限
❖ 可信区间（confidence interval 简记为CI） 可信区间是以上下可信限为界的一个范围。例如 95%的可信区间为（171.97，173.49）cm。
❖ 可信限（ confidence limit 简记为CL） 可信限是指上限和下限两个点值。如171.97为下限
结果报告：可将点值估计和区间估计同时写出 如 172.72（171.97，173.49）cm
例
该市19岁健康男大学生的身高的95%置信区间 (171.3,173.1)cm
总体均数可信区间的估计
可信 区间
已知
未知 但n足够大
未知 且n小
95% Sx
X±1.96x
X±1.96Sx
99% Sx
X±2 0.05（ ） X±t 0.01（）
（二）、总体概率的置信区间
表3.1 100个样本均数
173.22 172.06 170.89 174.07 172.60 173.14 172.61 172.26 171.93 172.85
175.23 173.76 174.77 172.57 171.76 172.74 173.36 173.69 171.10 173.40
呈正态分布； ④样本均数变异范围较原变量变异范
围大大缩小，这100个样本均数的 均数为167.69cm、标准差为1.69cm。
在非正态分布总体中可进行类似抽样。
数理统计推理和中心极限定理表明:
从 N (, 2 )中随机抽取n例的样本，样本均数 X也服从
正态分布,且
x
~
N
(,
2 x
)
即使从非正态总体中抽取样本，当n足够大（n>30),
本例n=27，S=15
第七章 参数估计
第三节 总体均数估计
估计总体平均数的步骤： 估计总体平均数的步骤： X与S 1、 计算样本 2、 计算 σ X 3、 确定置信水平或显著性水平并查表 4、计算置信区间 5、解释总体平均数的置信区间
一、正态估计法 ， σ２已知 、
1、前题条件： 、前题条件：
总体正态, n不论大小 总体正态, n不论大小
点估计与区间估计的比较
定义: 定义
直接以样本统计量（数轴上的一个点） 点估计 :直接以样本统计量（数轴上的一个点） 作为总体参数的估计值
区间估计：按一定概率要求， 区间估计：按一定概率要求，根据样本统计量估 计总体参数可能落入的范围的一种统计方法。 计总体参数可能落入的范围的一种统计方法。也 就是说整体参数所落的有把握的范围 整体参数所落的有把握的范围。 就是说整体参数所落的有把握的范围。
D=0.95时 时
75.7 ≤ µ ≤ 81.3
5、解释：用样本1估计，总体的平均数落在 、解释：用样本1估计， 73.6-82.4之间的可能性为95%， 之间的可能性为95% 73.6-82.4之间的可能性为95%，超出这一范 围的可能性为5% 5%。 围的可能性为5%。 用样本2估计，总体的平均数落在76.7 80.3之 76.7用样本2估计，总体的平均数落在76.7-80.3之 间的可能性为95% 落在75.7 81.3的可能性为 95%， 75.7间的可能性为95%，落在75.7-81.3的可能性为 99%。 99%
X ± 2.58σ X
置信限：就是总体参数所落区间的上下界限。 置信限：就是总体参数所落区间的上下界限。即
X − 1.96σ X ≤ µ ≤ X + 1.96σ X
置信下限 置信上限
标准误
标准误（中心极限定理 ） 标准误（中心极限定理3）
参数估计公式
参数估计公式参数估计是统计学中非常重要的一个概念，它是指对于一个总体的一些参数进行估计，使得估计值接近于真实值。
参数估计一般分为点估计和区间估计两种，其中点估计是指用一个数值来估计总体参数，而区间估计是指用一个区间来估计总体参数。
本文将着重介绍点估计中的一些常用的精确估计方法。
首先，最简单也是最常用的点估计方法是样本均值估计总体均值。
假设我们有一个样本数据集，包含n个观测值，样本均值可以作为总体均值的一个良好估计。
它的计算公式如下：\[\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\]其中，\(\bar{x}\)表示样本均值，\(x_i\)表示第i个样本数据点的取值，n表示样本的个数。
样本均值可以作为总体均值的一个无偏估计，即样本均值的期望等于总体均值。
另外一个常用的点估计方法是样本方差估计总体方差。
样本中的每一个数据点和样本均值之间的差别可以用来估计总体的分散程度。
样本方差可以通过以下公式计算：\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)其中，\(s^2\)表示样本方差，\(\bar{x}\)表示样本均值，\(x_i\)表示第i个样本数据点的取值，n表示样本的个数。
样本方差是总体方差的一个无偏估计，即样本方差的期望等于总体方差。
除此之外，还有一些其他的点估计方法，例如极大似然估计和最小二乘估计等。
极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过最大化观测数据的似然函数来估计参数值。
最小二乘估计是一种常用的线性回归模型参数估计方法，它通过最小化观测数据与模型估计值之间的平方残差和来估计参数值。
在进行参数估计时，我们通常需要估计参数的精确度。
一个常用的方法是计算参数的标准误差。
对于样本均值的标准误差，可以用以下公式计算：\(SE(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}\)其中，\(SE(\bar{x})\)表示样本均值的标准误差，s表示样本方差，n表示样本的个数。
二元线性回归模型及参数估计
，
所谓偏回归系数，是指多元线性回归模型中解释变量前 的系数。其含义是：当其他解释变量保持不变时，某一解释 变量变化一个单位而使被解释变量Y平均改变的数值，即某一
解释变量对被解释变量Y的影响程度。
要估计二元线性回归模型 Yi 0 1X1i 2 X 2i i 中的 参数 0 、 1 、 2 ，常用的方法仍然是普通最小二乘法。
2
rYX
1
rYX
2
2
rX X 1
2
2 ( 1 rYX
2 )( 1 r X X ) 1 2
如果 rYX X ＞ rYX X ，则表示被解释变量 Y 与解释变量 X1 1 2 2 1 之间的线性关系更密切，被解释变量 Y 对于解释变量 X1 的 变化更敏感； 如果 rYX X ＜ rYX X ，则表示被解释变量 Y 与解释变量 X2 1 2 2 1 之间的线性关系更密切，被解释变量 Y 对于解释变量 X2 的 变化更敏感。
x
ˆ ˆ 2 2
x
2 2i 2 yi
由于
ˆ Y j X j
ˆ ˆ SY j S Xj j
的含义是：若解释变量 Xj 变化 1 个标准 所以，Beta 系数 ˆ j
ˆ 差（即 X j SXj ） ，则被解释变量 Y 变化 个标准差（即 j
二元线性回归模型的估计
最简单的多元线性回归模型是二元线性回归模型， 即具有一个被解释变量和两个解释变量的线性回归模 型：
Yi 0 1X1i 2X2i i ，
i=1，2，…，n 。
一、二元线性回归模型的参数估计
1．偏回归系数的估计
对于二元线性回归模型：
第五章 参数估计
1
X 2 t n1 n2 2
2
2 Sp
n1
n2
X
1
X 2 z
2
2 S12 S 2 n1 n2
2 Sp
2 2 n1 1S1 n2 1S 2
n1 n2 2
20
例题：
分别在城市1和城市2中随机抽取n1=400， n2=500的职工进行调查，经计算两城市职工的 平均月收入及标准差分别为X1=1650元，
22
思考题：
一个研究机构做了一项调查，以确定稳定的吸 烟者每周在香烟上的消费额。他们抽取49位固 定的吸烟者，发现均值为20元，标准差5元。
1.总体均值的点估计是多少？
2.总体均值μ的95%置信区间是什么？
23
思考题解答：
1.总体均值的点估计是20元。
2.总体均值μ的95%置信区间： 随机变量X表示每周香烟消费额，由题意可知，X=20， S=5，1-α=0.95，α=0.05；n=49 属于大样本，σ 未知以S估计。总体均值μ的95%置信区间为
P z Z z 1 2 2
P L U 1
X P z z 1 2 2 n
Step3：将上面等式进行等价变换即可。
P L U 1
第五章 参数估计
第五章 参数估计
利用样本数据对总体特征进行推断，通常在以下 两种情况下进行：
当总体分布类型已知(如：正态)，根据样本数据对 总体分布的未知参数进行估计或检验。参数估 计或参数检验。（如：μ或σ为何？） 当总体分布类型未知或知道很少，根据样本数据 对总体的未知分布的形状或特征进行推断。非参 数检验。（如：是否正态分布？是否随机？）
统计学公式
3
xi x 4 n(n 1) 3(n 1) 2 ( ) . s (n 1)(n 2)(n 3) (n 2)(n 3)
2
统计学公式
二、概率分布
一、度量事件发生的可能性：
1.事件 A 发生的概率： P ( A) 二、随机变量的概率分布：
统计学公式
一、用统计量描述数据
一、水平的度量：
x x2 x3 1.简单平均数: x 1 n
xn
X
i 1
n
i
n
.
k
M f M 2 f2 M k fk 2.加权平均数： x 1 1 f1 f 2 f k
M
i 1
i i
f
n
.（如果原始数据被分成 k 组，各
2
E2
.
四、假设检验
一、一个总体参数的检验
1.大样本的检验
(1)在大样本的情况下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，其抽样标准差为 /
2
n.
采用正态分布的检验统计量.设假设的总体均值为 0 ,当总体方差 已知时,总体均值检验 的统计量为： z
x 0
/ n
.
(2)当总体方差 未知时,可以采用样本方差 s 来代替,此时总体均值检验的统计量为：
组的组中值分别用 M1，M 2， ，M k 表示，各组的频数分别用 f1，f 2， ，f k 表示，则得到 样本平均数计算公式）
x n 1 2 3.中位数（ M e ） ： Me 1 x n x n 1 2 2 2
n
p ；
(1 )
参数估计中的常用公式解析与应用
参数估计中的常用公式解析与应用参数估计是统计学中一项重要的内容，用于估计总体的未知参数值。
在参数估计中，常用的公式一方面能够提供对参数的准确估计，另一方面也能帮助我们理解和解释数据的特征。
本文将对参数估计中常用的公式进行解析与应用。
一、样本均值与总体均值的关系在统计学中，样本均值是对总体均值的估计。
对于一个总体中的n个观测值，其样本均值可以通过以下公式进行估计：\[ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n} \]其中，\(\bar{X}\)表示样本均值，\(X_1, X_2, \ldots, X_n\)表示样本中的各个观测值。
通过样本均值的估计，我们可以对总体均值进行推断和分析。
二、样本方差与总体方差的关系除了均值，方差也是参数估计中常用的指标之一。
样本方差可以通过以下公式进行估计：\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{n-1} \]其中，\(S^2\)表示样本方差，\(X_i\)表示样本中的各个观测值，\(\bar{X}\)表示样本均值。
通过样本方差的估计，我们能够了解总体方差的分布情况，进而进行参数估计和假设检验。
三、置信区间的计算在参数估计中，我们常常关心的是对总体参数取值的不确定性。
通过构建置信区间，我们能够在一定的置信水平下，估计总体参数的取值范围。
置信区间可以通过以下公式计算：\[\text{置信区间} = [\hat{\theta} - z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \hat{\theta} + z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}] \]其中，\(\hat{\theta}\)表示点估计的参数值，\(z\)表示分布的标准正态分位数，\(\sigma\)表示总体的标准差，\(n\)表示样本的大小。
通过计算置信区间，我们能够得到总体参数的估计范围，并对其进行统计推断。
参数估计公式最大似然估计贝叶斯估计矩估计
参数估计公式最大似然估计贝叶斯估计矩估计参数估计是统计学中的一个重要问题，它的目标是通过已经观测到的样本数据来估计未知参数的值。
在参数估计中，最大似然估计、贝叶斯估计和矩估计是常用的方法。
下面将分别介绍这三种估计方法及其公式。
一、最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据的观测结果，通过寻找参数值使得观测样本出现的概率最大化来估计未知参数的值。
最大似然估计的公式如下所示：$$\hat{\theta}_{MLE} = \arg \max_{\theta} P(X|\theta)$$其中，$\hat{\theta}_{MLE}$表示最大似然估计得到的参数值，$P(X|\theta)$表示给定参数$\theta$下观测样本$X$出现的概率。
二、贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它基于贝叶斯定理，通过在先验分布和观测数据的基础上更新参数的后验分布来进行参数估计。
贝叶斯估计的公式如下所示：$$P(\theta|X) = \frac{P(X|\theta)P(\theta)}{P(X)}$$其中，$P(\theta|X)$表示给定观测样本$X$后，参数$\theta$的后验分布；$P(X|\theta)$表示给定参数$\theta$下观测样本$X$出现的概率；$P(\theta)$表示参数$\theta$的先验分布；$P(X)$表示观测样本$X$的边缘概率。
三、矩估计矩估计是一种基于样本矩的无偏估计方法，它通过样本矩与理论矩之间的差异来估计未知参数的值。
矩估计的公式如下所示：$$\hat{\theta}_{MME} = g(\overline{X}_n)$$其中，$\hat{\theta}_{MME}$表示矩估计得到的参数值，$g(\cdot)$表示由样本矩计算得到参数的函数，$\overline{X}_n$表示样本的均值。
在实际应用中，最大似然估计常用于样本量较大、参数唯一可估情况下的参数估计；贝叶斯估计常用于样本量较小、先验分布已知情况下的参数估计；矩估计常用于样本量较大、参数个数较多时的参数估计。
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参数估计计算公式
项目
类别
计算公式
重置抽样
N=Nn
样本均值的方差为总体方的1/n，即
不重复抽样
C
n N
N! n!( N n)!
样本均值的方差为
其中，
为修正系数，对于无限总体
样本均值的抽样分布 进行不重置抽样时，可以按照重置抽样计算，当总体为有限总体，N比较大而n/N≥ （样本均值的均值就 5% 时，修正系数可以简化为1-n/N，当N比较大，而n/N<5%时，修正系数可以近似为
3
统计量的标准误差
x
n
样本比例的标准误差
p
(1 ) n
大样本（n ≥30）情况下，当总体方差 已知时，总 体均值 在1- 置信水平下的置信区间（大样本情况
x z / 2
, n
下，当总体方差未知时可以用样本方差代替）
小样本（n<30）情况下，对总体均值的估计都是建立
4
一个总体均值的区间 在总体服从正态分布的假定前提下。当总体方差已知
在1- 置信水平下，总体比例的置信区间。（总体比例 未知的情况下，可以用样本比例代替）
p z / 2
(1 ) n
估计总体均值时，样本量的确定
6
样本量的确定
估计总体比例时样本量的确定
n z /2 2 2
E2
n z/2 2(1)
E2
体中，抽取样本量为n的随机样本，当n充分大时（通常要求n ≥30），样本均值的
分布近似服从均值为 ,方差为 的正态分布。如果总体不是正态分布，当n为小样本
时（通常n<30）,样本均值的分布则不服从正态分布
重置抽样
样本比例的抽样分布
（当样本容量比较大 不重置抽样
2
时，样本比例p近似服 从正态分布，且有p的 一般讲，当 np≥5,并n(1-p) ≥5时，就可以认为样本容量足够大。对于无限总体进
估计
时，样本均值经过标准化后仍服从标准正态分布
小样本（n<30）情况下，对总体均值的估计都是建立
s
在总体服从正态分布的假定前提下。如果总体方差未 x t / 2
知时，样本均值经过标准化后仍服从自由度为（n-1）
, n
的t分布
5
一个总体比例的区间 估计
在大样本（n ≥30）情况下，当总体比例 已知时，
是总体均值） 1，即可以按重置抽样计算。 当总体服从正态分布时，样本均值一定服从正态分布，即有X~N( , )时， ~N( ,
)若总体为未知的非正态分布时，只要样本容量 n足够大（通常要求n ≥30）,样本
均值仍会接近正态分布。样本分布的期望值为总体均值，样本方差为总体方差的1/n
。这就是统计上著名的中心极限定理。该定理可以表述为：从均值为 ,方差为 的总
数学期望就是总体比 行不重置抽样时，可以按照重置抽样计算，当总体为有限总体，当N比较大，而n/N
率即
） 5%时，修正系数可以近似为1，这时也可以按重置抽样计算。
从上述分析可以看出，随着样本容量的增大，样本比例的方差愈来愈小，说明样本
比例随样本容量增大，围绕总体比例分布的峰度愈来愈高。
样本均值的标准误差