历年全国卷高考数学真题大全解析版

全国卷历年高考真题汇编 三角
1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线2C
B ．把1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线2C
C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C
D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线2C
【答案】D
【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭C y x
【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．
【解析】πππcos cos sin 222⎛⎫⎛
⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，
【解析】即112
πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−
−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛
⎫−−
→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+
x 平移至π
3
+x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π
12
2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的
面积为2
3sin a A
．
（1）求sin sin B C ；
（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．
【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2
3sin a S A
=.且1sin 2S bc A =
【解析】∴
21
sin 3sin 2
a bc A A = 【解析】∴22
3sin 2
a bc A =
【解析】∵由正弦定理得22
3sin sin sin sin 2A B C A =，
由sin 0A ≠得2
sin sin 3B C =.
（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1
cos cos 6
B C =
∵πA B C ++=
∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2
A B C B C B B C =--=-+=-=
又∵()0πA ∈，
∴60A =︒，sin A =
1cos 2A =
由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①
由正弦定理得sin sin a b B A =
⋅，sin sin a c C A
=⋅ ∴2
2sin sin 8sin a bc B C A
=⋅= ②
由①②得b c +=
∴3a b c ++=+ABC △周长为3+3. (2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B A
C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b 【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．
【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将2
sin 8)sin(2
B
C A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2
sin 2B
，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2sin 8sin 2B B =，两边约去2sin B ，求得2
tan B ，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，
利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b ． （Ⅰ） 【基本解法1】
由题设及2
sin
8sin ,2
B
B C B A ==++π，故 上式两边平方，整理得 2
17cos B-32cosB+15=0
解得 15cosB=cosB 17
1（舍去），= 【基本解法2】
由题设及2sin
8sin ,2
B B
C B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02
sin ≠B ，所以
4
12tan =B ，17152
tan 12tan 1cos 2
2
=+-=
B B
B （Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14
a sin 217
ABC S c B ac ∆==
又17
=22
ABC S ac ∆=，则
由余弦定理及a 6c +=得 所以b=2
【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意2
2
,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎． 4 （2017全国卷3理）17．（12分）
ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，已知sin 0A A =
，a =2b =． （1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．
【解析】（1
）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
即()π
π3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，
∴ππ3A +=，得2π3
A =.
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又
∵1
2,cos 2
a b A ===-代入并整理得
()2
125c +=，故4c =.
（2
）∵2,4AC BC AB ===，
由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==
. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形， 则cos AC CD C =⋅
，得CD =
由勾股定理AD =
又2π3A =
，则2πππ
326DAB ∠=
-=，
1π
sin 26
ABD S AD AB =⋅⋅=△
5 （2017全国卷文1）14 已知π(0)2
a ∈，,tan α=2，则π
cos ()4α-=__________。

（法一）Θ0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，sin tan 22sin 2cos cos ααααα=⇒
=⇒=， 又22sin cos 1αα+=，
解得sin 5α=
，cos 5α=
，cos (cos sin )4210πααα⎛
⎫∴-=+=
⎪⎝
⎭．
（法二）)sin cos (2
2
)4cos(ααπ
α+=
-
21cos sin cos 42πααα⎛
⎫∴-=+ ⎪⎝
⎭．又Θtan 2α=
222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα∴===++，29cos 410
πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，
由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭知444πππα-<-<，cos 04πα⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭，故cos 410πα⎛
⎫-=
⎪⎝
⎭ 6.（2017全国卷2 文） 3.函数π
()sin(2)3f x x =+的最小正周期为
A.4π
B.2π
C. π
D.π
2
【答案】C 【解析】由题意22
T π
π=
=，故选C. 【考点】正弦函数周期
【名师点睛】函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的性质 (1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2.T π
ω
=
(3)由 π
π()2
x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴 (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π
2π2π()22
k x k k ωϕ+≤+≤
+∈Z 求减区间;
7（2017全国卷2文）13.函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .
8（2017全国卷2文）16.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos bc B a C c A =+,则B = 【答案】
3
π 9（2017全国卷3文） 4．已知4
sin cos 3
αα-=
，则sin 2α=（ ） A ．79
-
B ．29
-
C ．
29
D ．
79
【答案】A
10 （2017全国卷3文）6．函数f (x )=15
sin(x +3π)+cos(x ?6π
)的最大值为（ ）
A ．65
B ．1
C ．35
D ．15
【答案】A
【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫-
=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=
+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ , 函数的最大值为
6
5
. 本题选择A 选项. 7．函数y =1+x +
2
sin x
x 的部分图像大致为（ ） A B
D ．
C D 【答案】D
1、（2016全国I 卷12题）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，
ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π
4
x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π
(
)1836
，单调，则ω的最大值为 （A ）11?????? ??（B ）9????? （C ）7??????? ?（D ）5 【答案】B
考点：三角函数的性质
2、（2016全国I 卷17题）（本小题满分12分）
ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（I ）求C ；
（II
）若c ABC △=
ABC △的周长． 【答案】（I ）C 3
π
=（II
）5
【解析】
试题解析：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，
()2cosCsin sinC A+B =．
故2sinCcosC sinC =． 可得1cosC 2=
，所以C 3
π
=． 考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式
3、（2015全国I 卷2题）sin20°cos10°-con160°sin10°=
（A
）（B
（C ）12- （D ）1
2
【答案】D 【解析】
试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1
2
，故选D.
考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式
4、（2015全国I 卷8题） 函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区
间为
(A)（kπ−1
4,kπ+3
4,）,k ∈z (b)（2kπ−1
4,2kπ+3
4）,k ∈z (C)（k −1
4,k +3
4）,k ∈z (D)（2k −1
4,2k +3
4）,k ∈z 【答案】D 【解析】
试题分析：由五点作图知，1
+42
53+42
πωϕπ
ωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令
22,4
k x k k Z π
ππππ<+
<+∈，解得124k -
＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（1
24
k -，
324
k +
），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质
5、（2015全国I 卷16题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范
围是
【答案】（ 【解析】
试题分析：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得
sin sin BC BE
E C
=
∠∠，即
o o
2sin 30sin 75BE
=
，解得BE AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC
FCB BFC
=
∠∠，即
o o
2
sin 30sin 75
BF =，解得AB ）. 考点：正余弦定理；数形结合思想 6. （2014全国I 卷8题）设(0,
)2π
α∈，(0,)2
π
β∈，且1sin tan cos βαβ+=
，则 A .32
π
αβ-=
B .22
π
αβ-=
C .32
π
αβ+=
D .22
π
αβ+=
【答案】：Ｂ
【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβ
ααβ
+=
=，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫
-==- ⎪⎝⎭
，,02222ππππαβα-<-<<-<
∴2
π
αβα-=
-，即22
π
αβ-=
，选B
7、（2014全国I 卷16题）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且
(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .
【答案】【解析】：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，
即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-
∴2
2
2
b c a bc +-=，故2221
cos 22
b c a A bc +-=
=，∴060A ∠=，∴224b c bc +-= 224b c bc bc =+-≥，∴1
sin 32
ABC S bc A ∆=≤，
8、（2013全国I 卷15题）设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______
【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题. 【解析】∵()f x =sin 2cos x x -=5255(
sin cos )x x - 令cos ϕ=
55，25
sin 5
ϕ=-，则()f x =5(sin cos sin cos )x x ϕϕ+=5sin()x ϕ+， 当x ϕ+=2,2
k k z π
π+
∈，即x =2,2
k k z π
πϕ+
-∈时，()f x 取最大值，此时θ=2,2
k k z π
πϕ+
-∈，
∴cos θ=cos(2)2
k π
πϕ+
-=sin ϕ=25
5
-
. 9、（2013全国I 卷17题）（本小题满分12分）
如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°
(1)若PB=1
2，求PA ；
(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA
【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角
形及两角和与差公式，是容易题.
【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=o
60，∴∠PBA=30o
，
在△
PBA 中，由余弦定理得2
PA =o 11323cos3042+
-⨯⨯=7
4
，∴PA=7； （Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sin α，在△PBA 中，由正弦定理得，
o 3sin sin(30)
α
α=
-，化简得，3cos 4sin αα=，
∴tan α=
34
，∴tan PBA ∠=34.
10、（2016全国II 卷7题）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π
12
个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ
26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =
-∈ （D ）()ππ212
Z k x k =+∈
【解析】B
平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令ππ2π+122x k ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =
+∈， 故选B ．
11、（2016全国II 卷9题）若π3
cos 45
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=
（A ）7
25 （B ）15
（C ）1
5
-
（D ）725
-
【解析】D
∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ
7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故选D ．
12、（2016全国II 卷13题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5
A =，5
cos 13C =，1a =，
则b = ． 【解析】
21
13
∵4cos 5
A =，5
cos 13C =，
3sin 5A =
，12
sin 13
C =， ()63
sin sin sin cos cos sin 65
B A
C A C A C =+=+=
， 由正弦定理得：
sin sin b a B A =解得21
13
b =． 13、（2015全国II 卷17题）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，?ABD 是?ADC 面积的2倍。

(Ⅰ)求
C
B
∠∠sin sin ;
(Ⅱ) 若AD =1，DC =
2
2
求BD 和AC 的长.
14、（2014全国II 卷4题）钝角三角形ABC 的面积是12
，AB=1， ，则AC=( )
A. 5 C. 2 D. 1
【答案】B 【KS5U 解析】
15、（2014全国II 卷14题）函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 【答案】 1 【KS5U 解析】
16、（2013全国II 卷15题）设θ为第二象限角，若1tan 42
πθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭ ，则sin cos θθ+=_________. 17、（2013全国II 卷17题）（本小题满分12分）
△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB 。

（Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值。

18、（2013全国III 卷5题）若3
tan 4
α=
，则2cos 2sin 2αα+= (A)
6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625
【答案】A 【解析】
试题分析：由3
tan 4
α=
，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以
2161264
cos 2sin 24252525
αα+=
+⨯=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式． 19、（2013全国III 卷8题）在ABC △中，π4B =
，BC 边上的高等于1
3
BC ,则cos A =
（A （B （C ）- （D ）-
【答案】C 【解析】
试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC =
=，
AB =．由余弦定理，知222222cos
2AB AC BC A AB AC +-===⋅，故选C ． 考点：余弦定理．
20、（2013全国III 卷14题）函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少
向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】
3
2π
【解析】
试题分析：因为sin 2sin()3
y x x x π==+，sin 2sin()3
y x x x π==-＝
2sin[()]33
x π2π+-，所以函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移3
2π个单位长度得到． 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．。