微积分知识在高考物理中应用例析.doc
微元法在高中物理中的运用及技巧简说
微元法在高中物理中的运用及技巧简说微积分在高中要求不是很高，但它的思想可以说贯穿了整个高中物理。
比如瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势、匀变速直线运动位移公式、重力做功的特点等都用到了微元法的思想，学会这种研究问题的方法可以丰富我们处理问题的手段，拓展我们的思维，特别是在解决高层面物理问题时，常常起到事半功倍的效果。
微元法，即在处理问题时，从事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问题的方法。
微元法基本思想内涵可以概括为两个重要方面：一是“无限分割”（取微元）；二是“逼近”（对微元作“低细节”描述）。
用微元法解决问题的特点是“大处着眼，小处着手”，具体说即是对事物作整体客观观察后，必须取出该事物的某一小单元，即微元进行分析，通过微元构造“低细节”的物理描述，最终解决整体问题。
所以微元法解决问题的两要诀就是取微元与对微元作“低细节”描述。
如何取微元呢？主要有这么几种：对整体对象进行无限分割得到“线元”、“面元”、“体元”、“角元”等；也可以分割一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；还可以对各种物理量进行分割，得到诸如“元电荷”、“元功”、“元电流”等相应的元物理量；这些微元都是通过无限分割得到的，要多么小就有多么小的“无穷小量”，解决整体问题就要从它们入手。
对微元作“低细节”描述，即通过对微元性质作合理近似描述，在微元是无穷小量的前提下，通过求取极限，达到向精确描述的逼近。
关于逼近有这么常见的几种逼近：①“直”向“曲”的逼近。
例如质量为m的物体由A沿曲线运动到B时，计算重力做的功。
我们将曲线AB细分成n段小弧，任意一段元弧可以近似地看成一段直线，则重力做的元功为Wi=mglicosθ＝mgHi，在无限分割下，即n→∞的条件下，WG=ΣWi＝mgH；②平均值向瞬时值的逼近。
例如瞬时速度的求解，设某时刻t至邻近一时间点t’长度为△x，则物体在时间△t内平均速度为■=■，当△t→０时，该时间元的平均速度即时刻的瞬时速度。
知识讲解 物理学中微元法的应用
物理学中微元法的应用【高考展望】随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。
教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。
高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。
在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。
【知识升华】“微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。
微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。
这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。
利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。
【方法点拨】应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。
微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。
【典型例题】类型一、微元法在运动学、动力学中的应用例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物体的位移与时间的关系式为2012x v t at =+，试推导。
高考物理解题方法：类比.等效
等效法：利用研究对象（物理量、物理过程、系统等）在某方面的作用效果与另一个对象所起的作用效果相同，在相互间进行变换（相等、替代等）从而解决问题的方法。
我们再来看一个例子：
例题：（2011全国）如图，A、B、C三个木块的质量均为m，置于光滑的水平桌面上，B、C之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连。将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B和C紧连，使弹簧不能伸展，以至于B、C可视为一个整体。现A以初速v0沿B、C的连线方向朝B运动，与B相碰并粘合在一起。以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离。已知C离开弹簧后的速度恰为v0。求弹簧释放的势能。
A.小球以后将向左做平抛运动
B.小球将做自由落体运动
C.此过程小球对小车做的功为Mv02/2
D.球在弧形槽上升的最大高度为v02/2g
解析见下期。祝师生们愉快！
（本文系叶老师物理原创文章，转载请注明作者和来源于百家号叶老师物理）
A．2FB．1.5FC．0.5FD．0
参考答案：B；难度系数：0.36
解析：我曾经在一本书上看到对此题的解析，如图所示。从受力分析着手，计算出F1、F2的合力进而求解。由于题目中给的是等边三角形线框，F1、F2的的夹角是1200，不难计算出合力。问题是，假如遇上不是等边三角形线框的情况该怎样计算？况且，在高考考场上，能节余一分钟的时间都是宝贵的。我在一次会议上给出这道题，说几秒钟就能口算出来，与会者有的明白，有的则诧异不已。我们以垂直放置在匀强磁场中半径为R的半圆形通电导体为例，解析其所受安培力的情况。
高考有效复习——物理模型的整合
高考有效复习——物理模型的整合近年来，随着高考竞争的日益激烈，对于物理这门科目的学习和复习变得越发重要。
在备战高考的过程中，如何有效地复习物理成为了许多考生的关注焦点。
而物理模型的整合作为一种有效的学习方法，被越来越多的考生所认可和应用。
一、物理模型的概念与作用物理模型是指用来描述某个物理系统或过程的一种具体表示形式。
它通过将复杂的物理现象简化为假设情况，从而让我们更易于理解和应用。
物理模型起到了概括和归纳的作用，可以帮助我们从宏观或微观的角度去理解物理问题，并进行相应的探索和解决。
物理模型整合如同拼图的过程，将各个知识点有机地结合在一起，形成一个完整的知识体系。
通过整合不同的模型，我们可以更全面地了解物理规律，强化对物理概念的记忆和理解。
同时，整合模型还能提供思路和路径，指导我们解决各种复杂的物理问题，增加我们在应对高考考题上的把握能力。
因此，正确应用物理模型整合方法，可以有效提升复习效果，使我们的学习更加高效和有价值。
二、物理模型整合的具体方法1. 概念联系整合法物理知识是相互联系的，概念之间存在着内在的逻辑联系。
利用概念联系整合，我们可以将物理现象分类，找出各种概念之间的联系，形成概念网络。
例如，在力学中，我们可以将概念“力”和“运动”相联系，将概念“功”和“能量”相联系，将概念“动量”和“撞击”相联系等等。
通过形成这种概念网络，我们可以更好地理解物理规律，从而更加深入地学习和掌握物理知识。
2. 数学工具整合法数学是物理的重要工具，物理模型的建立需要借助数学的方法和技巧。
因此，在物理学习和复习过程中，合理运用数学工具进行整合是非常重要的。
例如，在力学中，我们可以运用微积分的方法对速度、加速度进行求导和积分，进而得出位置的函数关系。
在电磁学中，我们可以利用复数的运算方法对交流电路进行计算。
通过灵活运用数学工具，我们可以更准确地建立物理模型，解决物理问题。
3. 名词解释整合法物理学是一门术语较多的学科，理解和掌握其中的各种专业术语对于学习者来说是一个难点。
新课程背景下微元法在高中物理中的应用
新课程背景下微元法在高中物理中的应用随着新课改的深入发展，新教育理念更注重对学生各种能力的培养，尤其在高中物理教学中应注重对学生物理思想方法的渗透。
其中“微元”思想贯穿高中阶段的物理知识体系，自然“微元法”是解决高中物理问题的基本思想方法，它渗透于一些物理概念、公式中。
近年来，“微元法”在高考物理压轴题中的频频应用，既体现了这种方法的重要性，又体现了新课程理念的要求，但许多学生对此感到十分困惑，无从下手。
对此，笔者就“微元法”谈谈在一些物理问题中的具体应用和做法。
一、用微元法解决问题的基本方法“微元法”作为高中物理的一个重要物理思想，在被应用于物理解题时，其解题思路可概括为：选取“微元”，将瞬时变化问题转化为平均变化问题，避开直接求瞬时变化问题的困难；再利用数学“微积分”知识，将平均变化问题转化为瞬时变化问题，既完成求解问题的“转化”，又保证所求问题性质不变且求解更简单。
即采取从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方法。
具体可分以下三个步骤进行：①选取微元用以量化元事物或元过程；②视元事物或元过程为恒定，运用相应的规律给出待求量对应的微元表达式；③在微元表达式的定义域内施以叠加演算，进而求得待求量。
二、“微元法”在解题中的应用1.极限思想在速度等概念中的应用在学习速度这个知识点时，教材对瞬时速度的概念是物体在某时刻的速度，某时刻在时间轴上对应的是一个点，但在介绍如何求这个瞬时速度时是来自平均速度，对于平均速度只能粗略地描述运动的快慢。
为了使描述精确些，可以把△t取得小一些。
物体在从t到t+△t这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异也就小一些。
△t越小，运动的描述就越精确。
如果△t非常小，就可以认为△x/△t表示的是物体在某时刻的速度即瞬时速度。
这其实就是高中生所初步接触到的微元法。
在这里从段到点的转化学生的理解只是粗略抽象的理解，我们可以认为它叫“近似”。
如果学生想这个问题时能上升一个高度，当时间表示一个点的时候，△t=0，△x=0，△x/△t=？。
高中物理中的微积分思想
高中物理中的微积分思想作者：李党飞来源：《新课程学习·下》2013年第08期在现阶段的高中物理教学中，虽然很少有涉及利用微积分直接进行运算的问题，但许多地方用到了“微分”与“积分”的思想，即我们常说的“微元法”。
这就是高等数学中的微积分，只不过在高中阶段我们巧妙利用微元思想避开微积分。
但只要仔细讲解，以高中学生的理解能力是完全可以掌握的，同时也可以使学生对其他物理知识的理解更加透彻。
使用微元法处理问题时，需将其分解为若干微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
下面将高考中体现微积分思想的三个试题加以整理与罗列，举出一套切实可行的操作方法，名为“化曲为直、化整为零，积零为整”解题法。
例1.如图所示，力F作用于半径为R的转盘边缘上一点，力F大小保持不变，方向始终沿作用点的切线方向，求转盘转动一周的过程中力F所做的功。
解析：力F为变力，不能直接用W=FS来求解，可采用微元法来求解。
将圆周分成无限个小段，可认为每小段为直线、力F为恒力，且力F方向与位移方向相同。
设每小段长度为Δs，则力F在每小段中做功为：ΔW=FΔs对一周中所有小元段内做功求和，可得转动一周过程中力F做功为：W=ΣΔW=FΣΔs=F2πR例2.电量Q均匀分布在半径为R的圆环上，求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度。
■解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场，故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性求解。
选电荷元：它在P点产生的电场的场强的x分量为：由此可见，此带电圆环在轴线P点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向。
例3.如图1所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，现给金属杆一个水平向右的初速度v0，导轨足够长，求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？■解析：水平地从a向b看，金属杆在运动过程中受力如图2所示，这是一个典型的在变力作用下求位移的问题，可采用微元法来求解。
高考数学中的微积分与物理及其他应用
高考数学中的微积分与物理及其他应用高考数学中的微积分和物理是有着密切联系的。
微积分是对一连串数的变化过程进行研究和处理的数学分支，而物理学则是对世界的自然现象进行研究和探究的学科。
那么，微积分在物理中起到的作用又是什么呢？微积分在物理中的应用物理学是一个数学应用非常广泛的学科，其中微积分也是被广泛应用的一种工具。
主要表现在以下几个方面。
1. 运动学运动学是研究物体运动状态和规律的学科。
在运动学中，速度和加速度这些物理量都需要用到微积分的知识。
加速度可以通过速度随时间的导数来定义，而速度又可以通过位移随时间的导数来定义。
所以，在运动学计算中常常需要用到导数和微积分的相关知识。
2. 力学力学是研究物体运动受力和运动规律的学科。
它是物理学的核心内容。
在力学中，物体的运动可以用牛顿运动定律来描述。
其中，第二定律 F=ma（力等于质量乘以加速度）就涉及到力和加速度这两个物理量。
而加速度的定义又与速度的导数相关联。
所以，在力学中，微积分的应用也是必不可少的。
3. 热学热学是研究热现象和热力学规律的学科。
在热学中，温度梯度、热流等物理量需要用到微积分的相关知识。
4. 光学光学是研究光和光现象的学科。
在光学中，波长、反射、折射等物理量需要用到微积分的相关知识。
这只是微积分在物理学中应用的几个方面，实际上微积分在物理学中的应用非常广泛。
其他应用微积分在物理学以外的领域中也有广泛的应用。
例如，在工程学、计算机科学、经济学以及生物医学等领域，微积分的应用也非常广泛。
在工程学中，微积分被广泛应用于研究结构物的强度和稳定性、电路的设计、流体力学以及工业生产的优化等方面，可谓是数理工程学不可或缺的学科。
在计算机科学中，微积分被广泛应用于图像和声音信号的处理、数据挖掘、机器学习等领域。
特别是在机器学习中，微积分是深度学习、神经网络等技术的基础，直接影响着人工智能领域的发展。
在经济学中，微积分可以被用来研究经济问题，如市场需求、价格变化、税收等。
微积分知识在高考物理中应用例析
微积分初步知识在今年物理高考中的应用例析 江苏省常州高级中学 丁岳林物理学是一门精确科学，与数学有密切关系，在应用物理知识解决实际问题时，一般或多或少总要进行数学运算、进行数学推理，而且处理的问题愈是高深，应用的数学一般也愈多.“应用数学处理物理问题的能力”是物理科高考考试说明中的五条能力要求之一，说明中指出，“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论……”.物理解题中运用的数学方法，通常包括方程(组)法、比例法、函数法、几何(图形辅助)法、图象法、数列与不等式及微积分初步等。
其中，微积分初步是新编数学教材(本届高三学生是全国面上使用新教材的第一届)中增加的内容，因此往届高考物理试题中并未出现，但通观今年的高考物理试题，对微积分初步知识还是有一定要求的，本文就以今年的两道高考物理试题为例对这一要求来做一解读。
例1．如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r 0＝0.10Ω/m ，导轨的端点P 、Q 用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离l ＝0.20m 。
有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感强度B 与时间t 的关系为B ＝kt ，比例系数k ＝0.020T/s ，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直，在t ＝0时刻，金属杆紧靠在P 、Q 端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t ＝6.0s 时金属杆所受的安培力。
（2003年江苏省高考物理试题）解析：求解本题的关键是正确计算回路中总感应电动势，从高考阅卷抽样统计来看该题的正确率极低，98%以上的考生都是错误地应用公式Blv =ε或tB S∆∆=ε计算电动势，原因是对公式的适用条件模糊不清，从而是乱代公式。
以a 表示金属杆运动的加速度，在t 时刻，金属杆与初始位置的距离221at x =此时杆的速度at v =。
这时穿过回路的磁通量为BS =Φ，其中xl S =，kt B =，因此，32t kla =Φ，根据法拉第电磁感应定律223t kla dt d =Φ=ε 回路的总电阻02Lr R =回路中的感应电流Ri ε=作用于杆的安培力Bli F = 解得 t r l k F 02223=，代入数据为31044.1-⨯=F N 本题中的电动势第二种计算方法是，根据法拉第电磁感应定律运用数学上的极限工具。
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微积分初步知识在今年物理高考中的应用例析
江苏省常州高级中学 丁岳林
物理学是一门精确科学，与数学有密切关系，在应用物理知识解决实际问题时，一般或多或少总要进行数学运算、进行数学推理，而且处理的问题愈是高深，应用的数学一般也愈多.“应用数学处理物理问题的能力”是物理科高考考试说明中的五条能力要求之一，说明中指出，“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论……”.物理解题中运用的数学方法，通常包括方程(组)法、比例法、函数法、几何(图形辅助)法、图象法、数列与不等式及微积分初步等。
其中，微积分初步是新编数学教材(本届高三学生是全国面上使用新教材的第一届)中增加的内容，因此往届高考物理试题中并未出现，但通观今年的高考物理试题，对微积分初步知识还是有一定要求的，本文就以今年的两道高考物理试题为例对这一要求来做一解读。
例1．如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r 0＝0.10Ω/m ，导轨的端点P 、Q 用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离l ＝0.20m 。
有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感强度B 与时间t 的关系为B ＝kt ，比例系数k ＝0.020T/s ，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，
在滑动过程中保持与导轨垂直，在t ＝0时刻，金属杆紧靠
在P 、Q 端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开
始向导轨的另一端滑动，求在t ＝6.0s 时金属杆所受的安培
力。
（2003年江苏省高考物理试题）
解析：求解本题的关键是正确计算回路中总感应电动势，从高考阅卷抽样统计来看该题的正确率极低，98%以上的考生都是错误地应用公式Blv =ε或t
B S
∆∆=ε计算电动势，原因是对公式的适用条件模糊不清，从而是乱代公式。
以a 表示金属杆运动的加速度，在t 时刻，金属杆与初始位置的距离22
1at x =
此时杆的速度at v =。
这时穿过回路的磁通量为BS =Φ，其中xl S =，kt B =，因此，
32t kla =Φ，根据法拉第电磁感应定律223t kla dt d =Φ=ε 回路的总电阻02Lr R = 回路中的感应电流R
i ε
=
作用于杆的安培力Bli F = 解得 t r l k F 0
2
223=，代入数据为31044.1-⨯=F N
本题中的电动势第二种计算方法是，根据法拉第电磁感应定律运用数学上的极限工
具。
)33(2
])[(23233t t t t kla t t t kla t ∆+∆+=-∆+=∆∆Φ=
ε 当0→∆t 时，瞬时电动势为22
3t kla =ε 高考命题组提供的标准答案是直接写出公式Sk Blv +=ε，其实该公式是这样来的，
由BS =Φ，因B 、S 均随时间变化，故dt
dB S dt dS B dt d +=Φ=ε， 其中，Blv Blat dt
at l d B dt dS B ==⋅=)21(2 为导体切割磁感应线产生的电动势分量，Sk dt dB S =为假设回路的面积一定由于B 的变化而产生的电动势分量。
从考生答卷情况来看，考生的实际水平与命题者的要求差距实在是太远了。
反过来说，我们中学阶段法拉第电磁感应定律这一知识点的教学必须适度渗透微分（导数）的数学思想方法。
例2．为研究静电除尘，有人设计了一个盒状容器，容器侧面是绝缘的透明有机玻璃，它的上下底面是面积A ＝0.04m 2的金属板，间距L ＝0.05m ，当连接到U ＝2500V 的高压电源正负两极时，能在两金属板间产生一个匀强电场，如图所示，现把一定量均匀分布的烟尘颗粒密闭在容器内，每立方米有烟尘颗粒1013个，假设这些颗粒都处于静止状态，
每个颗粒带电量为q ＝+1.0×10－17C ，质量为m ＝2.0×10－15kg ，不考虑烟尘颗粒之间的相互
作用和空气阻力，并忽略烟尘颗粒所受重力。
求合上电键后,除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功？ （2003年上海市高考物理试题）
解析：电场力对距下（负）极板远近不同的颗粒做功并不相同，解决的基本办法是求出电场力对所有颗粒做的功再求和，由于涉及的是颗粒
数量非常大的均匀介质，这一求和工作可借助于积分来
完成。
在距离下极板为y 远处取平行于极板厚度为dy 的
介质薄层，此微元的体积为Ady dV =……①
微元带电量nqdV dQ =……② （n =10131/m 3
） 这一微元从该处运动至下极板处，电场力做功EydQ dW =……③，其中，L
U E =
……④ 两板间全部尘埃从初位置运动至下极板电场力做的总功为 ⎰=dW W ……⑤ 将①②③④代入⑤得⎰=L ydy L nqAU W 0
解得：2
nqAUL W =，代入已知数据得，4105.2-⨯=W J 高考命题组提供的标准答案是采用的等效法，即将两板间的全部尘埃等效成位于两极板正中间的一个点电荷（类似于重力场中的重心），其总电量为q nAL Q ⋅=，该电荷Q 从两板中点移到下极板，位移为2
L ，电场力做功为：2L QE W ⋅= 事实上，等效法的解是上述积分解的必然结果。
如果本题中两板间的尘埃分布不均匀，例如ky n =，这时等效法就无能为力了，而积分法却照样可行。
从以上两道高考题的分析可以看出，虽然求解过程中所用的数学知识并不限于微积分，但很显然，若考生具备较好的微积分基础这一数学工具，则此类题的求解将会变得非常轻松。
高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，以物理题为载体渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题，所以我们的教学必须进一步强化学生数理结合能力的培养。