五年级下册数学扩展专题练习数论.整除性(a级).学生版全国通用(无答案)
【思维拓展】数学五年级思维拓展之数的整除(附答案)
五年级思维拓展之整除问题1.已知45|x1993y求所有满足条件的六位数x1993y。
2.判断42559，7295871能否被11整除？3.32335能否被7整除？4.把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？5.四位数36AB能同时被2、3、4、5、9整除，则A=B=6.李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9口.2口元.已知口处数字相同，请问每支钢笔多少元?7.能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.8.1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.9.能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.10.从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.参考答案1.【解答】因为45=5×9，根据整除“性质2”可知5|x1993y，9|x1993y。
所以y可取0或5。
当y=0时，根据9|x1993y及数的整除特征③可知x=5，当y=5时，根据9|x1993y及数的整除特征③可知x=9.所以，满足条件的六位数是519930或919935。
2.【解答】一个三位以上的整数能否被11整除，只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。
42559奇数位的数字和为4+5+9=18，偶数位的数字和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559能被11整除；7295871奇数位的数字和为7+9+8+1=25，偶数位的数字和为2+5+7=14，25-14=11是11的倍数，所以7295871也能被11整除。
3.【解答】一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
【精品】五年级下册数学试题-竞赛专题：第2讲-整除性(含答案)人教版
知识概述1.整除的概念：两个整数相除，余数为零（没有余数）我们就说被除数能被除数整除，即整数a 除以整数b（0b≠），除得的商正好是整数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a），记为|b a，如15能被3整除，即为3|15。
2.整除的性质：（1）如果数a数b都能被数c整除，那么他们的和或差也能被c整除，即如果|c a，|c b，那么|()c a b±；（2）如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或者c整除，即如果|bc a，那么|b a，|c a；（3）如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除，即如果|b a，|c a，且(,)1b c=，那么|bc a。
（4）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果|c b，|b a，那么|c a。
3.整除的特征：特征1：能被2整除的数为个位数字是0、2、4、6、8的整数。
“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除，另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）。
（下同）特征2：能被5整除的数的个位是0或5。
特征3：能被3（或9）整除的数，各个数位数字之和能被3（或9）整除。
特征4：能被4（或25）整除的数其末两位数能被4（或25）整除。
特征5：能被8（或125）整除的数其末三位数能被8（或125）整除。
特征6：一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数也能被11整除。
整除性请用数字9、7、2、5、1写出一个能被2整除的最大三位数。
【解析】这些数字组成的最大三位数是975，但是它不能被2整除，能被2整除的数末位数一定是“0、2、4、6、8”。
所以能被2整除的最大三位数为972。
在下面的数中，哪些能被2整除？哪些能被3整除？哪些能被5整除？234、79、775、885、378、864、63、75、26、40【解析】能被2整除的数有234、378、864、26、40；能被3整除的数有234、885、378、864、63、75；能被5整除的数有775、885、40。
五年级数论数论综合一学生版
数论综合一知识要点一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；常见数的整除问题【例 1】 已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【例 2】 173□是个四位数字。
数学老师说：“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。
”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？【例 3】 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?【例 4】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？【例 5】 （2008年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级2试）a ，b ，c ，d 各代表一个不同的非零数字，如果abcd 是13的倍数，bcda 是11的倍数，cdab 是9的倍数，dabc 是7的倍数，那么abcd是______。
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知识概述1.2.整除的概念：两个整数相除，余数为零（没有余数）我们就说被除数能被除数整除，即整数除以整数b （ b 0），除得的商正好是整数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）,记为b|a，如15能被3整除，即为3|15 。
整除的性质：（1）如果数a数b都能被数c整除，那么他们的和或差也能被c整除，即如果c|a , c| b，那么c |（a b）;（2）如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或者c整除，即如果bc| a ,月S么b | a , c| a ;（3）如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a- 定能被b与c的乘积整除，即如果 b | a , c | a，且（4）如果c能整除b , b能整除a，那么c能整除（b,c） 1，那么bc |a。
a。
即：如果c| b , b |a ,那么 c | a。
3.整除的特征：R特征1 :能被2整除的数为个位数字是0、2、4、6、8的整数。
“特征”包含\两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除，另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0 ）。
（下同）1特征2:能被5整除的数的个位是0或5。
特征3:能被3 （或9）整除的数，各个数位数字之和能被 3 （或9）整除。
特征4:能被4 （或25）整除的数其末两位数能被 4 （或25）整除。
,特征5:能被8 （或125 ）整除的数其末三位数能被8 （或125）整除。
I 特征6: 一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11 整除，这个数也能被11整除。
Wi数的整除是数论的基础，而数论又是数学竞赛必考知识点， 所以掌握好数的整除顼0基础闻关例1请用数字9、7、2、5、1写出一个能被2整除的最大三位数。
【解析】 这些数字组成的最大三位数是 975,但是它不能被2整除，能被2整除的数末位数一定是“ 0、2、4、6、8”。
所以能被2整除的最大三位数为 972。
五年级下册数学试题-竞赛专题：第2讲-整除性(含答案)人教版
知识概述1.整除的概念：两个整数相除，余数为零（没有余数）我们就说被除数能被除数整除，即整数a 除以整数b（0b≠），除得的商正好是整数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a），记为|b a，如15能被3整除，即为3|15。
2.整除的性质：（1）如果数a数b都能被数c整除，那么他们的和或差也能被c整除，即如果|c a，|c b，那么|()c a b±；（2）如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或者c整除，即如果|bc a，那么|b a，|c a；（3）如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除，即如果|b a，|c a，且(,)1b c=，那么|bc a。
（4）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果|c b，|b a，那么|c a。
3.整除的特征：特征1：能被2整除的数为个位数字是0、2、4、6、8的整数。
“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除，另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）。
（下同）特征2：能被5整除的数的个位是0或5。
特征3：能被3（或9）整除的数，各个数位数字之和能被3（或9）整除。
特征4：能被4（或25）整除的数其末两位数能被4（或25）整除。
特征5：能被8（或125）整除的数其末三位数能被8（或125）整除。
特征6：一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数也能被11整除。
整除性请用数字9、7、2、5、1写出一个能被2整除的最大三位数。
【解析】这些数字组成的最大三位数是975，但是它不能被2整除，能被2整除的数末位数一定是“0、2、4、6、8”。
所以能被2整除的最大三位数为972。
在下面的数中，哪些能被2整除？哪些能被3整除？哪些能被5整除？234、79、775、885、378、864、63、75、26、40【解析】能被2整除的数有234、378、864、26、40；能被3整除的数有234、885、378、864、63、75；能被5整除的数有775、885、40。
五年级数论_整除
整除知识点精讲整除的性质（1）末尾判断：2、5末位数字能被2、5整除；4、25末两位数字组成的两位数能被4、25整除；8、125末三位数字组成的三位数能被8、125整除.（2）截断求和：9（或3），一位截断后，各段之和能被9（或3）整除；99（或11、33），两位截断后，各段之和能被99（或11、33）整除；9（或3），乱切后，各段之和能被9（或3）整除.这种方法又叫乱切法.（3）截断作差法：11，一位截断后，奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除；101，两位截断后，奇数段之和与偶数段之和的差能被101整除；1001（或7、11、13），三维截断后，奇数段之和与偶数段之和的差能被1001（或7、11、13）整除.课堂例题与练习<珍惜有限，创造无限>一、整除1.判断306371能否被7整除？能否被13整除？2.已知10□8971能被13整除，求□中的数．3.在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除．4.现有四个数：76550，76551，76552，76554．能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？5. 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？6. 求满足下面条件的整数a 、b ：1）8|375a a 2）72|761a b 3）99|14758a b7. 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是 。
8.设六位数N=y x 3795，又知N 是4的倍数，且被11除余3，那么x +y 等于几？9. 有0~9十个数字组成的十位数成为“十全数”． 那么：（1）能被11整除的最小十全数为 ；（2）能被11整除的最大十全数为 。
10. 将自然数1，2，3，……，依次写下去形成一个多位数“12345678910111213…”．当写到某个数N 时，所形成的多位数恰好第一次被45整除．请问：N 是多少？课后复习与检测课后总结：练习题A B．1.求无重复数字，能被75整除的五位数3652.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问这个数能否被3整除？x y同时是11与25的倍数，求这个五位数．3.一个五位数4754.（1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0．如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？（2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？思考题6.黑板上写有两个多位数123457和14569，如果从两个数中个取出一个数字并且将它们对调位置，可以使得新的两个数中有一个是9的倍数而另一个是11的倍数，请写出调换后的两位数。
五年级下册数学扩展专题练习数论.数的整除、约数倍数(c级).学生版全国通用(无答案)
“0”大约年前，欧洲的数学家们是不知道用“”的。
他们使用罗马数字。
罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目。
在这种数字的运用里，不需要“”这个数字。
而在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“”这个符号。
他发现，有了“”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“”的方法向大家做了介绍。
过了一段时间，这件事被当时的罗马教皇知道了。
当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，罗马教皇的权利更是远远超过皇帝。
教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，用夹子把他的十个手指头紧紧夹注，使他两手残废，让他再也不能握笔写字。
就这样，“”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了。
但是，虽然“”被禁止使用，然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学的研究中仍然秘密地使用“”，仍然用“”做出了很多数学上的贡献。
后来“”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。
一、常见数字的整除判定方法：1. 一个数的末位能被或整除，这个数就能被或整除；2. 一个数的末两位能被或整除，这个数就能被或整除；3. 一个数的末三位能被或整除，这个数就能被或整除；4. 一各位数数字和能被整除，这个数就能比整除；5. 一个数各位数数字和能被整除，这个数就能被整除；6. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被整除，那么这个数能被整除.7. 特征(家有三子、、)课前预习知识框架数的整除、约数倍数一个数除以的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以的余数；一个数除以的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以的余数；或者，其奇数位数字之和(从个位往高位数，个位为第位，即为奇数位)减去偶数位数字之和所得的差除以的余数；一个数除以的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差(大减小)能被整除；【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质 如果数和数都能被数整除，那么它们的和或差也能被整除．即如果︱，︱，那么︱(±)． 性质 如果数能被数整除，又能被数整除，那么也能被整除．即如果∣，∣，那么∣．用同样的方法，我们还可以得出：性质 如果数能被数与数的积整除，那么也能被或整除．即如果∣，那么∣，∣．性质 如果数能被数整除，也能被数整除，且数和数互质，那么一定能被与的乘积整除．即如果∣，∣，且(，)，那么∣．例如：如果∣，∣，且(，)，那么(×) ∣．性质 如果数能被数整除，那么也能被整除．如果 ｜，那么｜（为非整数）；性质 如果数能被数整除，且数能被数整除，那么也能被整除．如果 ｜ ，且｜ ，那么｜；三、 质数与合数一个数除了和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：和不是质数，也不是合数.常用的以内的质数：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共计个；除了其余的质数都是奇数；除了和，其余的质数个位数字只能是，，或.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数的特殊性为考点.⑵ 除了和，其余质数个位数字只能是，，或.这也是很多题解题思路，需要大家注意.四、质因数与分解质因数．质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中、、叫做的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，、都叫做的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.． 唯一分解定理任何一个大于的自然数都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是，求这三个数.分析：∵×××，∴可知这三个数是、和.. 部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于的质数(均为整数)，使得能够整除，那么就不是质数，所以我们只要拿所有小于的质数去除就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的，我们可以先找一个大于且接近的平方数2K ，再列出所有不大于的质数，用这些质数去除，如没有能够除尽的那么就为质数.例如：很接近1441212=⨯，根据整除的性质不能被、、、、整除，所以是质数.五、约数的概念与最大公约数被排除在约数与倍数之外． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是，那么原来的两个数是互质的)．例如，求和的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以和的最大公约数是．． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． ． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数；求出各个分数的分子的最大公约数；b a即为所求． 六、倍数的概念与最小公倍数. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；②短除法求最小公倍数； 例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=； ③[,](,)a b a b a b ⨯=． . 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． . 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；b a 即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦。
全国通用五年级下册数学扩展数论.带余除法(A级)专题练习
带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲知识框架带余除法【例1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。
【巩固】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【例2】除法算式□□=208中，被除数最小等于。
【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。
如果▲的值是6，那么△的最小值是_____。
【例3】71427和19的积被7除，余数是几?【巩固】在下面的空格中填上适当的数。
31247【例 4】 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【例 5】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？【巩固】 大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？【例 6】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【巩固】 写出全部除109后余数为4的两位数．【例7】甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【巩固】用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【例 8】当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1．那么，n最小是多少？【巩固】有三个自然数a，b，c，已知b除以a，得商3余3；c除以a，得商9余11。
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九 进 制
乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。
他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。
他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。
他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。
拿破仑年执政，希特勒年上台，相隔年。
拿破仑年战败，希特勒年战败，相隔年。
拿破仑年占领维也纳，希特勒在年攻人维也纳，也是相隔年。
拿破仑年进
攻俄国，希特勒在相隔年后进攻苏联。
美国第届总统林肯于年任总统，美
国第届总统肯尼迪于年任总统，时隔年。
两人同在星期五并在女人的参与
下被刺遇害。
接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。
更巧的是，杀
害林肯的凶手出生于年，杀害肯尼迪的凶手出生于年，相隔又是年。
兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。
他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数与林肯和肯尼迪的巧合数，把它
们颠倒过去分别是和，用减去，用减去，得数都能被除尽：，；，÷，结果都
有一个十位和个位都相同的两位数的商。
兰伯特非常吃惊，他对着了迷。
他发现将、、、、、、、、加在一起是，而。
他还发现，用乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是。
取任何一个数，比如说，将每位数加起来是，用减去结果得到，而÷，能被除尽。
他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。
这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。
最后这个数称为最初那个数的“数字根”，这个数字等于原数除；的余数，这个计算过程被称作是“弃法”。
懂得了弃法，蓝伯特醒悟了不少，他进而想到，人类不应该个个地数数，也不应该个个数数，而应该个个地数数，实行进制。
科学家认为，使用九进制，能使加减乘除运算变得更快更准确。
但目前对的研究还很不够，对人类来说极具神秘性。
包括兰伯特在内的数学家们正努力探索的奥秘，希望在不久的将来对的研究有更大的突破。
课前预习
数论之整除性
（1） 熟悉常见数的整除性质
（2） 对于整除含义的理解，求解一些特定问题
整除性质
（）：个位是偶数的自然数
（）：个位是或的自然数
注：若一个数同时是和的倍数，则此数的个位一定为
（）、：末两位能被、整除
（）、：末三位能被、整除
（）、：各个数位上的数之和能被、整除
（）、、通用性质：①一个数如果是的倍数，即能被、、整除.如×，则其必能被、、整除
②从末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是、、的倍数，
则其为、、的倍数
③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为、、的倍数，
则其为、、的倍数
（）：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被整除
（）：两位一段（从右往左），各段的和能被整除
（）：三位一段（从右往左），各段的和能被整除
注意：当同时能被多个数整除时，一般优先顺序为和确定个位，再、、、来确定十位、百位，接着考虑和，最后、、，
（1） 熟记整除性质，若遇未学过的，则尽量分解成互质的几个数相乘，如：×
（2） 已知一个多位数的前半部分求后半部分时，可用估算，把原数看大些，利用除法求出余数，再把
重难点
知识框架
考试要求
（3） 看几个数相乘后末尾有多少个，主要是看所有数中能分解出多少个和，如例
【例 1】 在□内填上适当的数字，使五位数□□既能被整除又能被整除.
【巩固】 已知五位数xy 154能被整除，求的值.
【例 2】 六位数是的倍数，其中、表示不同的数字，这样的六位数共有多少个？
【巩固】 七位数□的末位数字是 的时候，不管千位上是到中得哪一个数字，这个七位数都不是的
倍数
【例 3】 由，，，，，这六个数字所组成的六位数中，能被整除的最大的数是多少？
例题精讲
【巩固】求出一个最大的十位数，它由，…这十个不同的数字组成，并且能被整除？
【例 4】从四个数字中任选三个，排成能同时被、、整除的三位数，这样的三位数共有几个？
【巩固】一个三位数能同时被、、整除，这样的三位数按从小到大的顺序排成一列，中间的一个是 . 【例 5】求被整除且数字和等于的五位数
【巩固】在小于的自然数中，能被整除，并且数字和为的数，共有多少个？
【例 6】（解题能力展示六年级初赛）已知九位数□□既是的倍数，又是的倍数，那么，这个九位数是。