小奥数论整除和余数知识点总结及例题

小奥数论整除和余数知识

点总结及例题

Prepared on 21 November 2021

1.数论——数的整除和余数

2.1基本概念和基本性质

整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。

b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；ba，不能整除；

①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯

定是a的倍数；

②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);

③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能

整除c;

④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能

整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;

⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。

173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；

简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。

从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；

奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。

2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）

从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；

两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。

① 一般求空格数

如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。

395864□82365，答案为5

463925□01234，答案为1和8

② 特殊求空格数

根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为：

7×11×13=1001;

77×13=1001;

99×11=1001;

7×143=1001;

根据abc → abc → =abc → ×1001; aaa → aaa → =aaa

→ ×1001;求能被7整除的空格数 系列截判法（用以判别能否被9/99/999整除）

除数是几位数就可以从右往左几位一截，将截取的段位数相加再截取，直至不能再截取，看相应的数能否被相应的除数9/99/999整除。

除数是11时，也可以用两位一截判别法，因为根据整数的因数性，能被99整除的数，肯定能被11整除。

例如：

2.3余数的判别法

① 整除是余数为0的情况。a ÷b=c …..0；

此时，a=b ×c;b=a ÷c

②有余数的情况：a÷b=c…..d（0﹤d﹤b）；

此时，a=b×c+d;b=(a-d)÷c;c=(a-d)÷b

记着：a≡d(modb)

2.3.2余数的判别法（与整除相同）

【注意】：当被除数是比除数小的非零自然数，则被除数为余数；当被除数比

【例】将1，2,3,4，…，30从左往右依次排列成一个51位数，这个数被11除的余数是多少？

奇数位数字和：（0+9+8+…+1）×2+0+9+7+5+3+1=115

偶数位数字和：3+2×10+1×10+8+6+4+2=53

115-53=62；62÷11，余7；

【例】求被13除余数是多少？

解：注意13|111111，即每连续6个1是13的倍数，且2012除以6余2，所以答案为11．

…

无敌乱切，按1/2/3/4到2011的等差数列求和，看除以9的余数；

定义:用给定的正整数m分别除整数a、b，如果所得的余数相等，则称a、b关于模m同余或a同余于b模m，记作a≡b(modm)，如56≡0（mod8），式子称为同余式，m称为该同余式的模。

充要条件：整数a,b对模m同余的充要条件是a-b能被m整除（即m|a-b）；或a≡b(modm)的充要条件是a=mt+b（t为整数）。

2.3.2.2基本定理

同余关系具有自身性、对称性与传递性，即

1）自身性：a≡a(modm);

2）对称性：若a≡b(modm),则b≡a(modm);

3）传递性：若a≡b(modm),b≡c(modm)，则a≡c(modm).

2.3.2.3重要定理：一个同余式的加减乘及幂的运算

定理1若a≡b(modm),n为自然数，则an≡bn(modm)；即a、b关于关于模m同余，则a、b的同倍数也关于模m同余；

定理2若ca≡cb(modm),(c,m)=d（最大公约数）,且a,b为整数，则

a≡b(modm/d).

推论若ca=cb(modm),(c,m)=1,且a,b为整数，则a≡b(modm).

定理3若a≡b(modm),a≡b(modn),则a≡b(mod[m,n]).

推论若a≡b(modmi),i=1,2,…,n，则a≡b(mod[m1,m2,..,mn]).

【例】将1996加上一个整数，使和能被9和11整除，加的整数尽可能小，那么加的整数是多少？

1996≡16(mod99)；99-16=83

定理4若a≡b(modm),则a n≡b n(modm),其中n是自然数。

两个同模同余式的加减乘运算

若a≡b(modm),c≡d(modm),则可以将这两个同余式左右两边分别相加、相减或相乘：

1）a+c≡b+d(modm);即和的余数等于余数的和

2）a-c≡b-d(modm);即差的余数等于余数的差；

3）ac≡bd(modm)；即积的余数等于余数的积；

【例】316×419×813除以13所得的余数

2.3.4只知被除数和余数，求除数或求商

（注意余数比除数小）

有余数的情况：a÷b=c…..d（0﹤d﹤b）；

b=(a-d)÷c;或c=(a-d)÷b

如果，只知a和d,求b或c

【例】1111÷某2位数=（） (66)

①余数不确定——余数的和

【例1】63=m×（）+a

90=m×（）+b

130=m×（）+c,余数和为25；

（63+90+130）=m×（）+（a+b+c）=m×（）+25

（63+90+130-25）=m×（）

258=m×（）

258的约数有8个：

1/258

2/129

3/86

6/43

因为余数要小于除数，判断9﹤m﹤63；所以m=43

②余数不确定——余数相同

【例2】300=m×（商）+a

262=m×（）+a

205=m×（）+a,

根据同余定理：

m∣（300-262）=m∣（38）；

m∣（262-205）=m∣（57）；

m∣（300-205）=m∣（95）；

满足两个即可，选数小的算，求同时满足能整除38和57，即求这两个数的公约数，分别有1和19，答案为19。

③余数不确定——余数的差

【例3】97=m×（商）+a+3

29=m×（）+a

变为94=m×（）+a,

根据同余定理：

m∣（94-29）=m∣（65）；

65的约数有1/65,5/13，除数大于余数，排除1和65,5和13都满足；

④余数不确定——余数的倍数

【例4】61=m×（商）+2a

90=m×（）+a

变为180=m×（）+2a,

根据同余定理：

m∣（180-61）=m∣（119）；

119的约数有1/119,7/17，除数大于余数，排除1和119,仅17满足；

2.3.5幂和连乘积的余数——余数的周期性

周期性的用法：可用以求某个数的若干次方的个位数：

【例】32015的个位数：

3的若干次方的个位数，依次枚举，找出循环规律，4个一个周期，2015除以4，余几为周期内第几个。

幂的余数的求法：先求底数的余数，再算底数的幂的余数的周期性，再根据指数相应的周期来确定最终的余数；

【例】2015100除以7的余数：

2015100≡6100≡1（mod7）

6,36,196,1176…除以7的余数分别为6,1,6,1，2个为1周期，100÷2=50余0，故余数为1。

特殊情况：

①【例】32014除以8的余数：

32014≡91007≡1（mod8）

9除8的余数为1，所以无论指数多少，余数皆为1。

【例】31625除以9的余数：

【例】14389除以7的余数：

【例】33335555+55553333除以7的余数：

②作业5，2的3次方以上模8的余数皆为0

2.3.6中国剩余定理——物不知数（韩信点兵）

【题目】今物知其数三三数剩二（数除三余数二意思）,五五数剩三,七七数剩二,问物几何（韩信点兵算所谓剩余定理）

【解法】

三人同行七十稀；把除以3所得的余数用70乘

五树梅花廿一枝；把除以5所得的余数用21乘；

七子团圆正半月；把除以7所得的余数用15乘

除百零五便得知；把上述三个积加起来,除以105的余数即为得数；

2×70+3×21+2×15=233233÷105=2…23；得数为23。

2.3.6.2物不知数：余数问题的通解：基本的枚举法

①从除数大的开始枚举；

②先找同时满足两个除数的最小符合数，再加这俩除数的最小公倍数，

直到满足所有除数的最小的符合数；

③再加所有除数的最小公倍数×n，直到符合题意；

【例】3余2，5余3，7余2，求满足条件的数；

【注意】

①从除数大的着手；

【例】5余4,97余1；1,98,195，得389；

②找最小符合数时不要忽略商为0的情况；

【例】某除48余23，除49余23；某最小的答案就是23；

【例】例3：49余23,48余23；最小符合数为23，连续两个自然数的最小公倍数为其积；48×49能整除14，余数是0,23除14的余数，全是9。

③在所有除数的最小公倍数内一定能找到最小的满足数；

④多个符合数必然是一个以所有除数的最小公倍数为等差的等差数列

2.3.6.3物不知数：余数问题的通解：特殊情况

①余数相同的——最小符合数就是余数，其他的为除数的最小公倍数的

倍数+余数（即最小符合数+除数的最小公倍数的倍数）；

【例】5余4,7余4,9余4，最小的为4；

【例】某除4、除5、除6皆余1，某=4/5/6的公倍数+1；

②差相同的——余数都不相同但除数与余数的差相同的，最小符合数为

除数的最小公倍数-差；其他符合数为除数的最小公倍数的倍数-差

（也即最小符合数+除数的最小公倍数的倍数）；

【例】5余3,7余5,9余7：都补上两个的就都整齐了，所以为最小公

倍数-2；为313；

【例】5千多根火柴棍，10根一盒的分余9，9根一盒的分余8，8根

一盒的分余7，7根一盒的分余6，6根一盒的分余5，5根一盒的分余

4，问到底多少根火柴棍？

10余9，9余8，8余7，7余6，6余5：

【5,6,7,8,9】-1=【1,2,3,4,5,6,7,8,9，10】-1=2520-1=2519

2519+2520=5039

【例】有不足100个苹果，如果是10个一堆，那么剩余9个；9个一

堆剩余8个；6个一堆剩余5个；5个1堆剩余4个；3个一堆剩2

个；求开始有多少个苹果【

10,9,6,5,3】-1=89

③和相同——余数都不相同的，但除数与余数的和相同的，可以转化为

同余的，最小符合数就为最小的除数+余数；其他的符合数为除数的最

小公倍数的倍数+和（也即最小符合数+除数的最小公倍数的倍数）；

【例】5余4,7余2,6余3：最小符合数为5+4=9；

【注意】多个除数的时候一定先看有无特殊情况；先利用部分特殊规律的，再找一般的；

【例】3余2,5余4,7余1，

【例】3余1,5余2,7余2,11余3；先找同余，2+35,37+已满足的3

个的最小公倍数；

2.3.6.4物不知数：可以用来解决除以12和6的余数的算法：互质分解

求A=123456……319被12/14/15/45/99除的余数；

将12互质分解=4×3,求同时满足除以4和除以3的；

A≡(1+2+3+ (319)

≡(1+319)×319÷2

≡160×319

≡1×1（mod3）

4余3,3余1，最小符合数为7，其他符合数为7+12×n

所以A≡7（mod12）;

【注意】

①常见的互质分解有：12=4×3,14=2×7,15=3×5,45=5×9，99=9×11；

105=3×5×7，其中105的频率最高；

【例】5余4,97余1；1,98,195，得389；

②99有两种算法，两位截断法和互质分解；

求A=123123……123被99除的余数；

︸

123个123

互质分解法：将99互质分解=9×11,求同时满足除以9和除以11的；

A≡123×123

≡6×6

≡0（mod9）;

A≡(62×123)-(61×123)

≡123

≡2（mod11）

9余0,11余2，最小符合数为90，其他符合数为90+99×n

所以A≡90（mod99）;

两位截断法：

A≡(23+31+12)×61+(1×23)

≡66×61+24

≡4026+24

≡66+24

③求A=……2016被495除的余数；

︸

100个2016

互质分解法：将495互质分解=9×5×7,求同时满足除以9余0，除以5余1，除以11余9的物不知数，即为余数；

2.3.6.4物不知数：非典型物不知数题目转为物不知数题目

【例1】三个非0的连续自然数，分别是3、5、7的倍数，找出符合要求的最小的一组自然数；

设n,n+1,n+2分别能被3、5、7整除，则

n÷3余0，（n+1）÷5余0，（n+2）÷7余0，

3余0，5余4，7余5

19

54

答案为54、55、56

【例2】三个非0的连续自然数，分别是7、9、11的倍数，找出符合要求的最小的一组自然数；

设n,n+1,n+2分别能被7、9、11整除，则

n÷7余0，（n+1）÷9余0，（n+2）÷11余0

7余0，9余8，11余9

53

350

答案为350、351、352

图1:2m+(m+1)=a=3m+1;

图2:3n+2(n+1)=a=5n+2;

图3:4x+3(x+1)=a=7x+3;

所以，3m+1=5n+2，m=5n+1

3

除3余1，除5余2；除7余3；

根据物不知数通常求法，得出a=52

作业6：如果倒过来不够减怎么办，-450时，前面加一个够减的7的倍数就可以；

例2：19余9,23余7；用余数来取代，7+23的倍数，模19时，变为7+4的倍数，列举除19余9的数直到符合的，9,28,47，从47往回导出倍数为10，再往回算为237；与辗转相除法类似；