圆曲线要素及计算公式
曲线计算公式
一、曲线要素计算已知：JDZH 、JDX 、JDY 、R 、L S1、L S2、L H 、T 、A 1、A 2（L H =L S1+L S2+圆曲线长）1、求ZH 点（或ZY 点）坐标及方位角⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=11sin cos AT JDY ZHY A T JDX ZHX TJDZH ZHZH 2、求HZ 点（或YZ 点）坐标及方位角⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+-=22sin cos AT JDY HZY A T JDX HZX L T JDZH HZZH H3、求解切线长T 、外距E 、曲线长L（1）圆曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-==180/)1)2/cos(/1()2/tan(απααR L R E R T （2）缓圆曲线 )2/(2/)2/cos(/)(2180/)21()2/tan()(020R l l l Rl l R p R E l R L qp R T s s s HsH H ===⎪⎩⎪⎨⎧-+=+⨯-=+⨯+=ββαπβα时当其中 二、直线上各桩号坐标及方位角计算 已知：ZH 、X 、Y 、A ⎪⎩⎪⎨⎧+=+==-=A L Y DY A L X DX A T ZH DZH L sin cos 三、第一缓和曲线上各桩号点坐标及方位角计算 已知：ZHZH 、ZHX 、ZHY 、A 1、R 、L S1、i （Z+1Y-1） ⎪⎩⎪⎨⎧⨯-+=⨯++=⨯⨯-==-=-=1111121132125cos sin sin cos /180)2/()6/()40/(Ay i A x ZHY DY A y i A x ZHX DX Rl l i A T Rl L y l R L L x ZHZH DZH L s s s π四、圆曲线上各桩号点坐标及方位角计算已知：ZHZH 、ZHX 、ZHY 、A 1、R 、L S1、i （Z+1Y-1）⎪⎩⎪⎨⎧⨯-+=⨯++=⨯+⨯-=⎪⎩⎪⎨⎧=-==++-=-++=--=1111121231110211231111cos sin sin cos /180)/2/(24/240/2/2/24/)]/2/cos(1[240/2/)/2/sin(Ay i A x ZHY DY A y i A x ZHX DX R L R l i A T R l p R l l q R l R l R L R l R y R l l R L R l R x ls ZHZH DZH L s s s s s s s s s s πβ其中五、第二缓和曲线上个桩号坐标及方位角计算 已知：HZZH 、HZX 、HZY 、A2、R 、L S2、i （Z+1Y-1） ⎪⎩⎪⎨⎧⨯--=⨯+-=⨯⨯+==-=-=2222222232225cos sin sin cos /180)2/()6/()40/(Ay i A x HZY DY A y i A x HZX DX Rl l i A T Rl L y l R L L x DZHHZZH L s s s π六、边桩坐标求解 已知：DZH 、X 、Y 、T 、BZJL （Z+Y-）、DLJJ 、N （距中桩距离，左正右负）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=T N Y BDY T N X BDX T T sin cos α七、纵断面高程计算（1） 直线段上高程计算 已知：直线上任一点桩号（ZH ）、高程（H ）、纵坡（i ）)(*ZH DZH i H DH -+=（2） 竖曲线上高程计算已知：竖曲线起点桩号（ZH ）、起点高程（H ）、竖曲线半径R 、起点坡度（i ）、k （凸曲线+1、凹曲线-1） )2/(2R l k il H DH ZHDZH l ⨯-+=-=注：JDZH 、JDX 、JDY ：交点桩号、交点X 、Y 坐标R 、L S1、L S2：半径、缓和曲线1、缓和曲线2LH ：缓和曲线1长 +圆曲线长+ 缓和曲线2长 A1、A2：方位角1、方位角2 T ：在曲线要素中代表切线长；在坐标计算中代表被求解点的坐标方位角。
圆曲线要素及计算公式
第二章圆曲线要素及计算公式
如图2-1所示，两相邻直线偏角（线路转向角）为，选定其
图 2-1
连接曲线圆曲线的半径为R，这样，圆曲线和两直线段的切点位置ZY点、YZ点便被确定下来，我们称为对圆曲线相对位置起控制作用的直圆点ZY、圆直点YZ和曲中点QZ为圆曲线三主要点。
我们称R、α以及具体体现三主要点几何位置的切线长T、曲线长L、外矢距E和切曲差（切线长和曲线长之差）D为曲线6要素。
只要知道了曲线6要素，便可于实地测放出圆曲线。
现将圆曲线的元素列下：
：转向角（实地测出）
R：曲率半径（设计给出）
T：切线长（计算得出）
L：曲线长（计算得出）
D：切曲差（计算得出）
偏角是在线路祥测时测放出的，圆曲线半径R是在设计中根据线路的等级以及现场
地形条件等因素选定的，其余要素可根据以下公式计算：。
圆曲线要素计算公式
圆曲线要素计算公式
1圆曲线要素
圆曲线是一种比较复杂的曲线，一般表示一个圆曲线就需要四组参数，它们分别是锚点、大小、旋转角度和方向。
2圆曲线计算公式
圆曲线(or圆弧)曲线在数学上表示为:(x-Cx)^2+(y-Cy)^2= r^2。
这个公式中，Cx和Cy分别是圆心横纵坐标，r代表半径，可以通过计算得出圆曲线。
3圆曲线应用
圆曲线在计算机图形学中有重要的应用，它把平面上的点连接起来，形成一条由点变王的曲线。
这条曲线往往用于表示更复杂的几何体，如圆、椭圆、三角形、多边形等等。
4圆曲线的优势
圆曲线的优势在于它的计算精度高，圆曲线上的每个点处，都可以接近圆形。
而且，由于圆曲线本身就很接近于圆，而且它又具有良好的扩展性，所以可以用来做不同程度圆形的几何体。
5结论
圆曲线能够把一个平面上的点连接成一条曲线，而且可以通过圆曲线的计算公式更好的表示几何体的形状与形态，它在数学计算以及计算机图形学中有着重要的应用。
第十章 铁路曲线测设
JD
δ2
2
δ1
K ZY 1
2、圆曲线详细测设举例 圆曲线详细测设前，曲线主点ZY、QZ、YZ己测设好，因此 通常以ZY、YZ为测站，分别测设ZY～QZ和YZ～QZ曲线段，并闭 合于QZ作检核。
(1)以ZY为测站 1)偏角计算 已知ZY里程为DK53+621.56，QZ为DK 53+864.70，R ＝ 500 m，曲线ZY QZ为顺时针转。偏角资料计算见下表。由于偏角值 与度盘读数增加方向一致，故称“正拨”。
1、偏角法测设曲线的原理
(1)测设原理——方向距离交会法，即根据偏角和 弦长交会出曲线点。 偏角即为弦切角。 由ZY点拨偏角δ1方向与量出的弦长c1交于1点，拨 偏角 δ2与由1点量出的弦长c2交于2点；同样方法可测 设出曲线上的其它点。
ZY
δ1
c1
αi
1
JD
c2
δi
i O
(2)弦长计算 铁路曲线半径一般很大，20 m的圆弧长与相应的弦 长相差很小，如R = 450 m时，弦弧差为2 mm，两者的 差值在距离丈量的容许误差范围内，因而通常情况下， 可将20 m的弧长当作弦长看待；只有当R < 400 m时， 测设中才考虑弦弧差的影响。
δ2
1
置镜点及测 设里程 YZ4+107.8 1 +100 +80 … 3+880 QZ3+864.7 0
点间曲线 长(m) 7.84 20 … 20 15.30
偏角 0 00 00 359 33 03 358 24 18 … 356 56 45 346 04 09
备注 后视JD 后视
δ1
校核
§10-3 切线支距法测设圆曲线
各种曲线计算公式
一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1，当x>0时sgn(x)=1，当x=0时sgn(x)=0。
圆曲线偏角计算公式
圆曲线偏角计算公式90L/（∏R）L为置镜点到测点的距离缓和曲线偏角计算公式：573L2/（RLs60）L为置镜点（ZH，HZ）到测点的距离，Ls为缓和曲线总长HY，YH点的切线方向是：两倍的缓和曲线总偏角后视ZH，或HZ点曲线要素：切线长T=Rtg（a/2）a为转折角曲线长L=∏Ra/180 a为转折角，R为半径外矢距E=R/cos（a/2）-R a为转折角，R为半径切曲差q=2T-L竖曲线：曲线长L=R（i2-i1）i2i1分别为交点相邻两边的纵坡度切线长T= R（i2-i1）/2外矢距E=T2/（2R）前进方向坐标计算公式：（坐标增量）：X1=X+Dcosa D为距离ａ为方位角Y1=Y+Dsina后退方向坐标计算公式;Cx=X-DcosａCy=Y-Dsinａ直线段右侧坡脚点坐标计算公式：Ax1=AX+Dcos(ａ+90) Y 值同样直线段左侧坡脚点坐标计算公式：Ax1=AX+Dcos(ａ-90) Y值同样有已知两个坐标点计算方位角：例：A点坐标（X，Y），B点坐标（X1，Y1）A点方位角：tan-1a=（Y1-Y）/（X1-X）A，B两点间的距离AB=√（X-X1）2+（Y-Y1）2( 一).导线坐标计算的基本公式1.以纵坐标X的北端按顺时针方向到一直线的角度，称为该直线的方位角，通常以ａ表示。
有例说明，ａAB表示直线AB方向的坐标方位角，ａBA表示直线BA方向的坐标方位角，一般以直线的前进方向称为正方向，反之，称为反方向，直线AB的正、反方向的坐标方位角有如下关系：ａBA=ａAB加减180度2.坐标方位角的传递已知直线AB的方位角为ａAB，在B点测得到直线B1的折角￡左（或￡右），直线B1的方位角ａB1为：取左角￡左时，ａB1=ａAB+￡左—180度取右角￡右时，ａB1=ａAＢ—￡右＋１８０度若计算的ａB1<０度时应加３６０度若计算的ａB1>３６０度时应减３６０度３坐标的正运算设Ａ为已知点，其坐标ＸA、YA为已知，B是待定点。
第四讲2、圆曲线
24 图12－
Байду номын сангаас
• 1、要增加曲线测设例题 • 2、极坐标法用例题介绍 • 3、曲线测设技巧和方法
2 1
δ 3 = 3 ⋅ δ1
L
δ n = n ⋅ δ1
•
由于《测规》规定，圆曲线的中桩里程宜为20 m的整倍数，而通常在ZY、QZ、YZ附近的曲 线点与主点间的曲线长不足20 m，则称其所对应的弦为分弦。分弦所对应的偏角可按式（11 －8）来计算。
（二）圆曲线详细测设举例
• • • • •
圆曲线详细测设前，曲线主点ZY、QZ、YZ己测设好，因此通常以ZY为测站，分别测设ZY～ QZ和YZ～QZ曲线段，并闭合于QZ作检核。 以上例资料为依据，举例说明测设的步骤与方法。 1．以ZY为测站 （1）偏角计算 已知ZY里程为DK53+621.56，QZ为DK 53+864.70，R ＝ 500 m，曲线ZY QZ为顺时针转 （图12－20）。偏角资料计算见表12－12。由于偏角值与度盘读数增加方向一致，故称“正 拨”。
左 右
• •
•
R——圆曲线的半径。 α 、R为计算曲线要素的必要资料，是已 知值。α 可由外业直接测出，亦可由纸上 定线求得；R为设计时采用的数据。 圆曲线要素的计算公式，由图12－18得： • α
切线长 曲线长 外矢距 T＝R ⋅ tan π L = R ⋅α ⋅ • o 180 α E0 = R ⋅ sec − R 2 2
（12－7） 图12－18
•
α 式中计算L时， 以度为单位。
（三）圆曲线主点里程计算
• •
•
主点里程计算是根据计算出的曲线要素，由一已知点里程来推算，一般沿里程增加的方向由 ZY QZ Y2进行推算。 如上例己知ZY点的里程为DK53＋621.56，则各主点里程计算如下： • ZY DK53+621.56 • +L/2 243.14 • QZ DK53+864.70 • +L/2 243.14 • YZ DK 54+107.84 若已知交点JD的里程，则需计算出ZY或YZ的里程，由此推算其它主点的里程。
7-2平面曲线
一般平面曲线是按“直线+缓和曲线+圆曲线+缓和曲线+直线”的顺序连接组成完整的线形。
平面曲线最基本的是圆曲线和缓和曲线，其他曲线是由其派生而成曲线。
一、圆曲线二、有缓和曲线的圆曲线三、回头曲线四、复曲线五、立交曲线一、圆曲线（一）圆曲线要素及其计算JD——路线转角点，称交点；ZY——圆曲线起点，称直圆点；YZ——圆曲线终点，称圆直点；QZ——圆曲线中点，称曲中点。
T——切线长；L——曲线长；E——外矢距；q——切曲差；R ——圆曲线半径；α——路线的转角。
YZZYEROTL主点曲线要素TQZJD一、圆曲线（一）圆曲线要素及其计算2tanα⋅=R T 曲线长：0180παR L =外矢距：)12(sec -=αR E 切曲差：LT q -=2切线长：2αYZ ZYαEROTLTQZJDR一、圆曲线（一）圆曲线要素及其计算例题——某圆曲线的半径，转向角，试计算该圆曲线的曲线要素。
52100'=α解：切线长：曲线长：外矢距：切曲差：m R 800=m R T 92.722tan =⋅=αmR L 44.145180==παmR E 32.3)12(sec =-=αmL T q 40.02=-=OYZZYJDQZαERTLR一、圆曲线（二）圆曲线主要点里程的计算☞ZY里程= JD里程–切线长T☞YZ里程= ZY里程+ 曲线长L☞QZ里程= YZ里程–L/2检核：JD里程= QZ里程+ q/2QZ里程= JD里程-切线长T + 曲线长L –L/2= JD里程-（T-L/2）切曲差q = 2T -LJDYZ ZYEROTLTQZR一、圆曲线（二）圆曲线主要点里程的计算例题——设上例中的交点里程为K11 + 295.78，求各主点里程曲线要素：切线长：T=72.92m；曲线长：L=145.44m外矢距：E=3.32m；切曲差：q=0.40m一、圆曲线（二）圆曲线主要点里程的计算JDK11+295.78-T)72.92ZY+222.86+L)145.44YZ+368.30-L/2)72.72QZ+295.58+q/2)0.20JD+295.78检核无误切线长：T=72.92m 曲线长：L=145.44m 外矢距：E=3.32m 切曲差：q=0.40m☞ZY 里程= JD 里程–切线长T☞YZ 里程= ZY 里程+ 曲线长L ☞QZ 里程= YZ 里程–L/2 JD 里程= QZ 里程+ q/2二、有缓和曲线的圆曲线（一）缓和曲线列车在曲线上行驶会产生离心力，所以在曲线上要用外轨超高的方法来克服离心力。
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圆曲线要素及计算公式 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第二章圆曲线要素及计算公式如图2-1所示，两相邻直线偏角（线路转向角）为，选定其
图2-1
连接曲线圆曲线的半径为R，这样，圆曲线和两直线段的切点位置ZY点、YZ点便被确定下来，我们称为对圆曲线相对位置起控制作用的直圆点ZY、圆直点YZ 和曲中点QZ为圆曲线三主要点。
我们称R、α以及具体体现三主要点几何位置的切线长T、曲线长L、外矢距E和切曲差（切线长和曲线长之差）D为曲线6要素。
只要知道了曲线6要素，便可于实地测放出圆曲线。
现将圆曲线的元素列下：
：转向角（实地测出）
R：曲率半径（设计给出）
T：切线长（计算得出）
L：曲线长（计算得出）
D：切曲差（计算得出）
偏角是在线路祥测时测放出的，圆曲线半径R是在设计中根据线路的等级以及现场地形条件等因素选定的，其余要素可根据以下公式计算：。