解三角形专题练习【附答案】

解三角形专题（高考题）练习【附答案】

1、在ABC ?中，已知内角3

A π

=

，边BC =设内角B x =,面积为y .

(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值.

8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当

13,4==c a ，求△ABC 的面积。

2、已知ABC ?中，1||=AC ，0120=∠ABC ，

θ=∠BAC ，

记→

→

?=BC AB f )(θ，

（1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域；

3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2

1

222ac b c a =-+ （1）求B C

A 2cos 2

sin 2

++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ?中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =，

2cos 2,2cos 12B n B ?

?=- ??

?，且//m n 。

（I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ?中，cos 5A =

，cos 10

B =. （Ⅰ）求角

C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ?的面积.

7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =u r

，(sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.

8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当

Ａ Ｂ Ｃ

120°

θ

13,4==c a ，求△ABC 的面积。

9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知1

1tan ,tan 23

A B ==，且最长边的边长为l.求：

（I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.

10、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且

.2

7

2cos 2sin 42

=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积.

11、已知△ABC 中，AB=4,AC=2,ABC S ?= （1）求△ABC 外接圆面积. （2）求cos(2B+

3

π

)的值. 12、在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。

⑴求角A 的大小； ⑵当22sin sin(2)6

y B B π

=++取最大值时，求角B 的大小

13、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k ∈=?=? （Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若k c 求,2=的值. 14、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且

c o s c o s B C b

a c

=-+2. （I ）求角B 的大小； （II ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积. 15、（2009全国卷Ⅰ理） 在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b

16、（2009浙江）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos

25

A =， 3A

B A

C ?=u u u r u u u r

．

（I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值． 17、6.（2009北京理）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,3

a b c B π

=

，

4

cos ,5

A b ==。

（Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ?的面积.

18、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，

2

3cos )cos(=

+-B C A ,ac b =2

，求B. 19、（2009安徽卷理）在?ABC 中，sin()1C A -=, sinB=1

3

.

（I ）求sinA 的值 ， (II)设AC=?ABC 的面积.

20、（2009江西卷文）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6

A π

=

，

(12c b +=．

（1）求C ； （2）若1CB CA ?=u u u r u u u r

a ,

b ，

c ．

21、（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，

sin sin tan cos cos A B

C A B

+=

+,sin()cos B A C -=.

（1）求,A C ； （2）若3ABC S ?=,求,a c . 22、（2009天津卷文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求)4

2sin(π

-

A 的值。

23、(2010年高考天津卷理科7)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若

22a b -=，sinB ，则A=

（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150° 24．(2010年高考全国2卷理数17）（本小题满分10分）

ABC ?中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =

，3

cos 5

ADC ∠=，求AD 25．（2010年高考浙江卷理科18）在ABC V 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，

已知cos2C= -

14

。 （Ⅰ）求sinC 的值； （Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC ，求b 及c 的长。 26、（2010年高考广东卷理科16）

已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<<在12

x π

=时取得最大值4．

(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=12

5

,求sin α．

27、（2010年高考安徽卷理科16）（本小题满分12分）

设ABC ?是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且

22sin sin() sin() sin 33

A B B B ππ

=+-+。

(Ⅰ)求角A 的值； (Ⅱ)若12,AB AC a ==u u u r u u u r

g ,b c （其中b c <）。

答案：

1. 解：（1）ABC ?的内角和A B C π++=

Q

3A π

=

203B π

∴<<

sin 4sin sin BC

AC B x

A ==Q 12

sin sin()23y AB AC A x x π∴=?=- 2(0)3x π

<<

（2）y =

Q 21

sin(

)sin )32x x x x x π-=+

26sin cos x x x =+7)2)

6666x x ππππ=-+-<-<

当

26

2x π

π

-

=

即

3x π

=

时，y 取得最大值………………………14分

2、解：（1）由正弦定理有：

)60sin(|

|120sin 1sin ||0

0θθ-==AB BC ； ∴θsin 120sin 1

||0

=BC ，

00120sin )60sin(||θ-=AB ； ∴→

→?=BC

AB f )(θ21)60sin(sin 340?-?=

θθθ

θθsin )sin 21cos 23

(32-=

)30(61)62sin(31π

θπθ<<-+= （2）由

6562630π

πθππθ<

+

)62sin(21≤+<πθ；∴)

(θf ]61

,0(∈ 3、解：(1) 由余弦定理：conB=1

4

sin

2

2A B

++cos2B= -1

4

（2）由

.415sin ,41cos ==

B B 得 ∵b=2，

a 2

+c 2=12ac+4≥2ac,得ac ≤38

,S △ABC=12acsinB ≤315(a=c 时取等号)

故S △ABC 的最大值为315

4、(1)解：m ∥n

2sinB(2cos2B

2

－1)＝－3cos2B

2sinBcosB ＝－3cos2B tan2B ＝－ 3 ……4分

∵0＜2B ＜π,∴2B ＝

2π3,∴锐角B ＝π

3

……2分 (2)由tan2B ＝－ 3

B ＝

π3或5π

6

①当B ＝

π

3

时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立) ……3分 ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝3

4ac ≤ 3

∴△ABC 的面积最大值为 3 ……1分

②当B ＝5π

6

时，已知b ＝2，由余弦定理，得：

4＝a2＋c2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∴ac ≤4(2－3) ……1分

∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝1

4ac ≤2－ 3

∴△ABC 的面积最大值为2－ 3 ……1分 注：没有指明等号成立条件的不扣分.

5、解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，

,

0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则

因此

.

31

cos =B …………6分 （II ）解：由2cos ,2==?B a BC BA 可得，

,,0)(,

12,cos 2,

6,3

1

cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以a ＝c ＝6

6、（Ⅰ）解：由

cos 5A =

，cos 10B =

，得

02A B π??∈ ???、，，所以sin sin

A B =

= …… 3分

因为

cos cos[()]cos()cos cos sin sin C A B A B A B A B π=-+=-+=-+=

…6分

且0C π<< 故.

4C π

=

………… 7分

（Ⅱ）解：

根据正弦定理得

sin

sin sin sin AB AC AB B AC C B C ?=?== ………….. 10分

所以ABC ?的面积为16

sin .

2

5AB AC A ??= 7、解：（1）由

m 0cos 1sin 22

=--A A 0

1cos cos 22

=-+A A 1cos 2

1

cos -==

∴A A 或1cos ,-=

?A ABC A 的内角是Θ3π

=

∴A a

c b 3=+Θ2

3

sin 3sin sin =

=+A C B π

32=+C B Θ2

3)32sin(

sin =-+∴B B π23

)6sin(23sin 23cos 23=

+=+∴πB B B 即π

=++=++C B A B A C 且0)cos(32sin 2

3

sin 0cos ,0cos 3cos sin 2=

==-C C C C C 或所以3

,23sin ,,13,4π==

<==C C a c c a 则所以只能有3

1,034cos 22222===+-?-+=b b b b C ab b a c 或解得有.3sin 2

1

,133sin 2

1

,3=?=

==?=

=C ab S b C ab S b 时当时

11tan tan 231111tan tan 123A B A B +

+=-=-

=---?0C π<<34

C π=1tan 3B

=sin B =sin sin b c B C

=

1sin sin 5c B b C ?==

=272cos 2cos 4272cos 2sin 422=

-=-+C C C B A 得27

)1cos 2(2cos 142=--+?C C 0

1cos 4cos 42

=+-C C 21cos =C ?<

-+=ab=6

2

3

323621sin 21=??==

?C ab S

ABC 11sin 42sin 22ABC S AB AC A A A =

?=??==V 3A π=23A π

=（1分）

(1)当

3A π

=

时，

,△ABC 是直角三角形，其外接圆半径为2，

面积为2

24ππ=；……………………………………………………………………. （3

分）

当

23A π=

时，由余弦定理得22222cos 164828

3BC AB AC AB AC π

=+-=++=g ，

△ABC 外接圆半径为

R=2sin BC A

=

， 面积为283π

;……………………………………………………………………………….(5

分)

（2）由（1）知

3A π

=

或

23A π=

，

当

3A π

=

时, △ABC 是直角三角形，∴

6B π

=

, cos(2B+3π)=cos 21

32π=-

; (7)

分

当23A π=

时,

由正弦定理得，2,sin sin 14B B =∴=

,

cos(2B+3π)=cos2Bcos 3π-sin2Bsin 3π

=(1-2sin2B)cos 3π-2sinBcosBsin 3π

=

222111(1)2142141427?-?-?=-

(10分) 12、解：⑴由⊥m n ，得0=g

m n ，从而(2)cos cos 0b c A a C --= 由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --=

2sin cos sin()0,2sin cos sin 0B A A C B A B -+=-=

Q ,(0,)A B π∈，∴

1sin 0,cos 2B A ≠=

，∴

3A π=

（6分）

⑵22sin sin(2)(1cos 2)sin 2cos cos 2sin

666y B B B B B πππ

=++=-++

112cos 21sin(2)26B B B π

=+

-=+-

由(1)得，

270,2,366662B B ππππππ

<<

-<-<=∴2B -时，

即

3B π

=

时，y 取最大值2

13、解：（I ）B ca BC BA A cb AC AB cos ,cos =?=?Θ …………1分

B ac A bc cos cos =∴?=?又

B A A B cos sin cos sin =∴

…………3分

即0cos sin cos sin =-A B B A

0)sin(=-∴B A …………5分

B A B A =∴<-<-ππΘ

ABC ?∴为等腰三角形. …………7分 （II ）由（I ）知b a =

22cos 2222c bc a c b bc A bc =

-+?==?∴ …………10分 2=c Θ

1=∴k …………12分

14、解：（I ）解法一：由正弦定理a A b B c

C R s i n s i n s i n ===2得

a R A

b R B cR C ===222s i n s i n s i n ，，

将上式代入已知c o s c o s c o s c o s s i n s i n s i n B C b a c B C B

A C =-+=-+22得

即20s i n c o s s i n c o s c o s s i n A B C B C B ++=

即20s i n c o s s i n ()A B B C ++=

∵A B C B C A A B A ++=+=+=π，∴，∴sin()sin sin cos sin 20

∵

s i n c o s A B ≠，∴，

01

2=- ∵B 为三角形的内角，∴

B =

2

3π

.

解法二：由余弦定理得

c o s c o s B a c b a c C a b c

a b =+-=

+-22222222， 将上式代入c o s c o s B C b a c a c b a c a b a b c b

a c =-++-+-=-+2222222

222

得×

整理得a c b a c 222

+-=-

∴c o s B a c b a c a c a c =+-=-=-

222221

2

∵B 为三角形内角，∴

B =

3π

（II ）将b a c B =+==1342

3，，π代入余弦定理b a c a c B 222

2=+-c o s 得

b a

c a c a c B 22

22=+--()c o s ，

∴131621123

=--=a c a c ()，∴ ∴

S a c B A B C

△==123

43s i n . 15、分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)

22

2a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在

已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在ABC ?中sin cos 3cos sin ,A C A C =Q 则由正弦定理及余弦定理

有:222222

3,22a b c b c a a c ab bc +-+-=g g 化简并整理得：222

2()a c b -=.又由已知

222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.

解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又22

2a c b -=,0b ≠。

所以2cos 2b c A =+…………………………………①

又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=

sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =

由正弦定理得sin sin b

B C

c =，故4cos b c A =………………………②

由①，②解得4b =。

16、解析：（I ）

因为

cos

25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ?=u u u r u u u r ，

得cos 3,bc A =5bc ∴=，sin 2

2ABC S bc A ?∴== 21世纪教育网

（II ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得

2222cos 20a b c bc A =+-=

，a ∴=世纪教育网

17、【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．

（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且

4

,cos 3

5B A π

=

=

，

∴

23

,sin 35C A A π=

-=，

∴

213sin sin cos sin 32210C A A A π+??

=-=+=

???.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

33sin ,sin 510A C +==

，

又∵

,3

B b π

=

=ABC 中，由正弦定理，得

∴

sin 6

sin 5b A a B =

=.

∴△ABC

的面积

116sin 225S ab C =

=?=.

18、解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三

角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=23

(负值舍掉)，从而求出B=3π。

解：由 cos （A -C ）+cosB=3

2及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=3

2，

cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=3

2,

sinAsinC=3

4.

又由2

b =a

c 及正弦定理得21世纪教育网

2sin sin sin ,B A C = 故

23

sin 4B =

，

sin 2B =

或

sin 2B =-

（舍去），

于是 B=3π 或 B=23π

.

又由 2

b a

c =知a b ≤或c b ≤

所以 B=3π

。

19、本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分

解：（Ⅰ）由

2C A π-=

，且C A B π+=-，∴42B

A π=-

，

∴sin sin()sin )42222B B B A π=-=-，

∴

2

11

sin (1sin )23A B =-=

，又sin 0A >

，∴sin A = （Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BC

B A =

∴

sin 31sin 3

AC A

BC B

=

=

=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+

13=

=

A B

C

∴

11

sin

223

ABC

S AC BC C

?

=??==

20、解：（1

）由(12

c b

+=得

1sin

2sin

b B

c C

==

则有

55

sin()sin cos cos sin

666

sin sin

C C C

C C

πππ

π---

=

=

11

cot

22

C=+得cot1

C=即4

C

π

=

.

（2）

由1

CB CA

?=+

u u u v u u u v

推出

cos1

ab C=+；而4

C

π

=

,

即得

1

=

则有

1

2

(12

sin sin

ab

c b

a c

A C

=+

?

?

=

?

?

?=

??

解得

1

2

a

b

c

?=

??

=

?

?=

??

21、解：(1) 因为

sin sin

tan

cos cos

A B

C

A B

+

=

+，即

sin sin sin

cos cos cos

C A B

C A B

+

=

+，

所以sin cos sin cos cos sin cos sin

C A C B C A C B

+=+，

即sin cos cos sin cos sin sin cos

C A C A C B C B

-=-，

得sin()sin()

C A B C

-=-. 所以C A B C

-=-,或()

C A B C

π

-=--(不成立).即2C A B

=+, 得3

C

π

=

，所以.

2

3

B A

π

+=

又因为

1

sin()cos

2

B A C

-==

，则6

B A

π

-=

，或

5

6

B A

π

-=

（舍去）

得

5

,

412

A B

ππ

==

(2)

1sin 328ABC S ac B ?=

==

又sin sin a c A C =

, 即

=

，21世纪教育网

得a c ==

22、【解析】（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理，A BC

C AB sin sin =

，于是

522sin sin ===BC A BC

C

AB

（2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+=

2cos 2

22 于是A A 2

cos 1sin -==55

，

从而

53sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-==

=A A A A A A

102

4

sin

2cos 4

cos

2sin )4

2sin(=

-=-

π

π

π

A A A

23、【解析】由

sinB

结合正弦定理得：c =，所以由于余弦定理得：

222

cos 2b c a A bc +-=

=222()cos 2b c b A bc +-+=

=22c bc -=

=

2，所以A=30°，选A 。