2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(五十四)数系的扩充与复数的引入的命题3角度—概念、意义、运算
【高三数学试题精选】2018高考数学(理)二轮复习数系的扩充与复数配套试题
[解析] 55设，所以，所以，
所以，解得，故
56(2018江苏苏北四市高三期末统考, 1)设复数为虚数单位,若为实数,则的值为▲．
[答案] 562
[解析] 56，要为实数，则，
57 (2018陕西宝鸡高三质量检测(一), 1)满足的复数是（）
A B c D
[答案] 57D
[解析] 57由得
2018高考数学(理)二轮复习数系的扩充与复数配套试题
5 c精品题库试题
理数
1 (1-3ic1+3iD1-3i
[答案] 1D
[解析] 1∵z= = =1+3i,∴=1-3i故选D
2 (2i)=i-2i2=2i
c3+4iD3-4i
[答案] 3D
[解析] 3z= = =3-4i,故选D
4 (2-3iB-2+3ic2-3iD 2+3i
[答案] 4c
[解析] 4∵z=(3-2i)i=2+3i,∴=2-3i故选c
5(1-ic-1+iD1-i
[答案] 5D
[解析] 5令z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,所以z+ =2a=2,得a=1,(z- )i=2bi2=-2b=2,得b=-1,∴z=1-i,故选D
6 (iDi
[答案] 6A
[解析] 6因为= = =-i,所以=(-i)2=-1,故选A
7 ( + i D- - i
[答案] 7B
[解析] 7由=i,得z= = = - i,故选B
8 (2B-2ic2D2i
[答案] 9c
[解析] 9 +i = +i(1-i)= +i+ 1=2故选c
2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第5章 第4讲 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析
第4讲 数系的扩充与复数的引入最新考纲 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知 识 梳 理1.复数的有关概念复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ→.3.复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A.－3B.－2C.2D.3解析 因为(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ，所以a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3，故选A. 答案 A3.(选修2－2P112A2改编)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i解析 ∵A (6，5)，B (－2，3)，∴线段AB 的中点C (2，4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i. 答案 C4.(2015·全国Ⅱ卷)若a 为实数，且2＋a i 1＋i ＝3＋i ，则a 等于( )A.－4B.－3C.3D.4解析 由2＋a i1＋i＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D. 答案 D5.已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析 ∵z ＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝10－5i5＝2－i ， ∴z ＝2＋i. 答案 2＋i6.(2017·温州调研)设a ∈R ，若复数a ＋i1＋i (i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＝________，|z |＝________. 解析 复数a ＋i 1＋i ＝（a ＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝a ＋1＋（1－a ）i 2，由于复数a ＋i1＋i(i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则a ＋1＝1－a ，解得a ＝0，则z ＝12－12i ，则|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.答案 0 22考点一 复数的有关概念【例1】 (1)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A.iB.－iC.1D.－1(2)(2017·东阳中学期末)设i 是虚数单位，复数a ＋i2－i 是纯虚数，则实数a ＝( )A.2B.12C.－12D.－2解析 (1)因为i 607＝(i 2)303·i ＝－i ，－i 的共轭复数为i.所以应选A. (2)∵a ＋i 2－i＝（a ＋i ）（2＋i ）5＝（2a －1）＋（a ＋2）i5是纯虚数，∴2a －1＝0且a ＋2≠0，∴a ＝12，故选B. 答案 (1)A (2)B规律方法 (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部. 【训练1】 (1)(2016·河南六市联考)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( ) A.－6B.23C.－23D.2(2)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析 (1)由2－b i 1＋2i＝（2－b i ）（1－2i ）5＝2－2b －（b ＋4）i5，由2－2b ＝b ＋4，得b ＝－23.(2)因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－b 2i 2＝a 2＋b 2＝3. 答案 (1)C (2)3 考点二 复数的几何意义【例2】 (1)(2014·全国Ⅱ卷)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A.－5B.5C.－4＋iD.－4－i(2)(2016·全国Ⅱ卷)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A.(－3，1) B.(－1，3) C.(1，＋∞)D.(－∞，－3)解析 (1)由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A.(2)由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限得⎩⎨⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1，故选A.答案(1)A(2)A规律方法因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.【训练2】(1)(2016·邯郸一中月考)复数z＝i(1＋i)在复平面内所对应点的坐标为()A.(1，1)B.(－1，－1)C.(1，－1)D.(－1，1)(2)(2016·北京卷)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.解析(1)因为z＝i(1＋i)＝－1＋i，故复数z＝i(1＋i)在复平面内所对应点的坐标为(－1，1)，故选D.(2)(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1.答案(1)D(2)－1考点三复数的运算【例3】(1)(2016·全国Ⅲ卷)若z＝1＋2i，则4iz z－1＝()A.1B.－1C.iD.－i(2)(2015·全国Ⅱ卷)若a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，则a＝()A.－1B.0C.1D.2解析(1)4izz－1＝4i（1＋2i）（1－2i）－1＝i.(2)因为a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.答案(1)C(2)B规律方法(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i；③1－i1＋i＝－i；④a＋b ii＝b－a i；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).【训练3】 (1)(2016·北京卷)复数1＋2i2－i ＝( )A.iB.1＋iC.－iD.1－i(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)1＋2i 2－i ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝2＋i ＋4i ＋2i 24－i 2＝5i 5＝i ，故选A.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)A (2)－1＋i[思想方法]1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. [易错防范]1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比较大小.3.注意复数的虚部是指在a ＋b i(a ，b ∈R )中的实数b ，即虚部是一个实数.基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )A.3，－2B.3，2C.3，－3D.－1，4解析 (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，∴a ＝3，b ＝－2，故选A. 答案 A2.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A.0B.2C.2iD.2＋2i解析 (1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，故选C. 答案 C3.(2016·山东卷)若复数z ＝21－i，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i解析 ∵z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选B.答案 B4.(2015·安徽卷)设i 为虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( ) A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝3＋i. 答案 C5.复数1－i 2－i 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 复数1－i 2－i ＝（1－i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝35－15i ，∴其对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限，故选D. 答案 D6.(2017·北京东城综合测试)若复数(m 2－m )＋m i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.－1B.0C.1D.2解析 因为复数(m 2－m )＋m i 为纯虚数，所以⎩⎨⎧m 2－m ＝0，m ≠0，解得m ＝1，故选C. 答案 C7.已知复数z＝1＋2i2－i(i为虚数单位)，则z的虚部为()A.－1B.0C.1D.i解析∵z＝1＋2i2－i＝（1＋2i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝5i5＝i，故虚部为1.答案 C8.设z是复数，则下列命题中的假命题是()A.若z2≥0，则z是实数B.若z2＜0，则z是虚数C.若z是虚数，则z2≥0D.若z是纯虚数，则z2＜0 解析举反例说明，若z＝i，则z2＝－1＜0，故选C.答案 C9.(2015·全国Ⅰ卷)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i解析由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.答案 C10.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A.若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B.若z1＝z2，则z1＝z2C.若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D.若|z1|＝|z2|，则z21＝z22解析A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z1＝z2，成立.B中，z1＝z2，则z1＝z2成立.C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1z1＝z2z2，C正确.D不一定成立，如z1＝1＋3i，z2＝2，则|z1|＝2＝|z2|，但z21＝－2＋23i，z22＝4，z21≠z22.答案 D11.(2017·浙江省三市联考)若复数z＝a＋3ii＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是()A.－4B.－3C.1D.2解析因为z＝a＋3ii＋a＝(3＋a)－a i在复平面上对应的点在第二象限，所以a<－3，选A.答案 A12.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A.1B. 2C. 3D.2解析 由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎨⎧x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B. 答案 B 二、填空题13.(2016·江苏卷改编)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________；z 的虚部是________.解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5，虚部为5. 答案 5 514.(2015·四川卷)设i 是虚数单位，则复数i －1i ＝________. 解析 i －1i ＝i －ii 2＝2i. 答案 2i15.(2015·江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________. 解析 设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎨⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4(a ，b ∈R )，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z |＝ 5. 答案 516.(2017·丽水质测)若3＋b i1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＝________；b ＝________. 解析3＋b i 1－i＝（3＋b i ）（1＋i ）2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b 2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b2，b ＝3＋b 2，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.答案 0 3能力提升题组 (建议用时：20分钟)17.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i 的点是( )A.EB.FC.GD.H解析 由题图知复数z ＝3＋i ，∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i 的点为H .答案 D18. z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i解析 法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i. 又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i. 答案 D19.(2014·全国Ⅰ卷)设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C.32D.2解析 ∵z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，故选B.答案 B20.(2017·温州月考)已知复数z ＝(cos θ－isin θ)·(1＋i)，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是( )A.θ＝π4B.θ＝π2C.θ＝3π4D.θ＝5π4解析 因为z ＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i ，所以当θ＝3π4时，z ＝－2i 为纯虚数，当z 为纯虚数时，θ＝k π－π4.故选C.答案 C21.(2017·哈尔滨六中期中)若复数z 满足i·z ＝－12(1＋i)，则z 的共轭复数的虚部是( )A.－12iB.12iC.－12D.12解析 i·z ＝－12(1＋i)⇒z ＝－12（1＋i ）i ＝－12（1＋i ）·i i·i ＝12(－1＋i)，则z 的共轭复数z ＝12(－1－i)，其虚部是－12.答案 C22.(2017·绍兴月考)i 是虚数单位，若2＋i 1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( )A.－2B.－1C.0D.12 解析 ∵（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b )＝lg 1＝0. 答案 C23.下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： p 1：|z |＝2; p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i; p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )A.p 2，p 3B.p 1，p 2C.p 2，p 4D.p 3，p 4解析 ∵z ＝2－1＋i ＝－1－i ， ∴|z |＝（－1）2＋（－1）2＝2，∴p 1是假命题；∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题；∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题；∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题.其中的真命题共有2个：p 2，p 4.答案 C24.(2017·广州综合测试)若1－i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2＋2px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个解，则p ＋q ＝( )A.－3B.－1C.1D.3 解析 依题意得(1－i)2＋2p (1－i)＋q ＝(2p ＋q )－2(p ＋1)i ＝0，即⎩⎨⎧2p ＋q ＝0，p ＋1＝0，解得p ＝－1，q ＝2，所以p ＋q ＝1，故选C.答案 C25.复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________. 解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 26.设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________. 解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 327.(2017·杭州调研)已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x 的最大值为________；最小值为________.解析 ∵|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min＝－ 3. 答案 3 － 328.定义运算＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝，则y ＝________. 解析 因为x ＝1－i 1＋i ＝（1－i ）22＝－i. 所以y ＝＝＝－2. 答案 －2。
2018年高考数学(理)考试大纲解读专题：专题13 数系的扩充与复数的引入
专题13 数系的扩充与复数的引入（十九）数系的扩充与复数的引入1．复数的概念（1）理解复数的基本概念.（2）理解复数相等的充要条件.（3）了解复数的代数表示法及其几何意义.2．复数的四则运算（1）会进行复数代数形式的四则运算.（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.复数作为高考的必考内容，在2018年的高考中预计仍会以“一小（选择题或填空题）”的格局呈现.考查的方向可能以复数的基本概念、复数的四则运算为主要考点.考向一 复数的几何意义样题1 设i 为虚数单位，若复数i z -在复平面内对应的点为()1,2，则z = A ．2i -+B ．2i -C ．12i -+D ．12i - 【答案】B 【解析】由复数i z -在复平面内对应的点为()1,2，得12i iz =+-， 即()i 12i 2i z =-+=-，故选B ．样题2 (2017北京理科)若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ．(–∞，1)B ．(–∞，–1)C ．(1，+∞)D ．(–1，+∞)【答案】B考向二 复数的四则运算样题3 已知i 为虚数单位，则复数()221i 1i ++-的共轭复数是 A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i -- 【答案】B【解析】()()221i 21i 2i 13i 1i 2+++=+=+-，∴复数()221i 1i ++-的共轭复数是13i -，故选B ．样题4 (2017新课标全国I 理科)设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B。
2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略： 数系的扩充与复数的引入 含答案
核心考点解读——数系的扩充与复数的引入复数的有关概念（II）复数的代数表示法及几何意义（I）复数的四则运算（II）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要在选择题、填空题中，考查复数的概念、模、几何意义及复数代数形式的四则运算.2.从考查内容来看，主要考查复数的几何意义的理解，复数的模的表示以及复数代数形式的四则运算.3.从考查热点来看，复数代数形式的四则运算是高考命题的热点，以复数的四则运算法则为依据，对复数的加、减、乘、除进行求值计算.1.数系的扩充数系的扩充：自然数集错误!未找到引用源。
，整数集错误!未找到引用源。
，有理数集错误!未找到引用源。
，实数集错误!未找到引用源。
，复数集错误!未找到引用源。
，其从属关系用集合来表示为错误!未找到引用源。
.2.复数的有关概念(1)复数的表示：错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
：复数的实部；错误!未找到引用源。
：复数的虚部；错误!未找到引用源。
：虚数单位，规定：错误!未找到引用源。
.(2)复数的分类：若错误!未找到引用源。
，则复数为实数；若错误!未找到引用源。
，则复数为虚数；若错误!未找到引用源。
，则复数为纯虚数.(3)复数相等：若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
.(4)共轭复数：若错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
互为共轭复数，则错误!未找到引用源。
.记作错误!未找到引用源。
.(5)复数的模：若错误!未找到引用源。
，则复数的模为错误!未找到引用源。
.(6)复数的几何意义：错误!未找到引用源。
与复平面上的点错误!未找到引用源。
一一对应；与向量错误!未找到引用源。
一一对应.3.复数代数形式的四则运算(1)设错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
.(2)复数代数形式的四则运算满足分配律、结合律等.复数的除法运算一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法运算加以化简.(3)几个常见的复数运算的技巧：错误!未找到引用源。
2018年高考理科数学数系的扩充与复数的引入100题(含答案解析)
2018年高考理科数学数系的扩充与复数的引入精编100题（含答案解析）1.复数z 满足z （1﹣i ）=﹣1﹣i ，则|z+2|=（ ）A ．3B ．1C ．D ． 2. 已知z 为复数z 的共轭复数，()1i 2i z -=，则z =（A ）1i --（B ）1i -+ （C ）1i -（D ）1i +3.如图，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则复数2z =（ ）．A ．34i --B ．54i +C ．54i -D ．34i - 4. 复数31i i +（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5. 复数421i i-=+（ ） A.13i + B.13i - C.13i -+ D.13i -- 6.若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞7.已知i 是虚数单位，若复数z 满足（1+i ）z=2i ，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣iD ．i8.设i 是虚数单位，，则实数a=（ ）A ．B ．C ．﹣1D ．1 9.已知复数（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标是（ ）A ．（3，3）B ．（﹣1，3）C ．（3，﹣1）D ．（﹣1，﹣3）10.已知复数z=i43i 34+-，则z 的共轭复数|z |=（ ） A ．5 B ．1C ．54D ． 53 11.若z=ii 43+，则|z|=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5 12.复数z 满足（3+4i ）z=5﹣10i ，则=（ ）A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ． +2iD ．﹣2i 13.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ﹣2bi 与1+4i 互为共轭复数，则|a+bi|=（ ）A ．B ．C ．2D ． 14.i 表示虚数单位，则复数=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣15.设i 为虚数单位，则(－1+2i)(2－i)=（ ）A ．5iB ．－5iC ．5D ．-516.计算： i21)i 1)(i 2(2--+=（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．2i D ．﹣2i17. 复数i1i 13--（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．iB ．1C ．﹣iD ．﹣1 18.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ﹣i 与2+bi 互为共轭复数，则（a+bi ）2=（ ）A ．5﹣4iB ．5+4iC ．3﹣4iD ．3+4i19.设复数z 1=23+21i ，z 2=3+4i ，其中i 为虚数单位，则|z ||z |220161=（ ） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 20. 若i是虚数单位，复数的虚部为（ ）A．B． C． D． 21. 已知复数z 满足z=1+i （i 为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i22.在复平面内，复数（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限23.欧拉公式e ix =cosx+isinx （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e ﹣i表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限24.复数z=（3+2i ）2（i 为虚数单位），则在复平面上z的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限25.已知复数z满足（z+1）•i=1﹣i，则z=（）A．﹣2+i B．2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i26.复数z满足z（3i﹣4）=25（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A．4+3i B．4﹣3i C．﹣4+3i D．﹣4﹣3i27.i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．128.复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．3 B．﹣3 C．﹣3i D．229.已知x，y∈R，i为虚数单位，若1+xi=（2﹣y）﹣3i，则|x+yi|=（）A． B． C．3 D．30.设2ii(,)12ix y x y+=+∈+R，则ix y+=（）．A．1BC D．231.若复数z满足（1﹣z）（1+2i）=i，则在复平面内表示复数z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限32.复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限33.设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i34.若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）35.复数的共扼复数是（）A．﹣ +i B．﹣﹣i C．﹣i D． +i36.复数的虚部（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣137.设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1﹣z）•|=（）A．B．2 C． D．138.设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i39.在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i40.复数z满足z（1﹣i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限41.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限42.已知z=（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）43.已知122iia bi+=-+（i为虚数单位，a，b R∈），在||a bi-=（）A．i-B．1C．2D44.设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）45.复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限46.当＜m＜1时，复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限47.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限48.若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限49.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限50.已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）=1+i，则z的共轭复数是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i51.设i是虚数单位，若，则复数z的虚部是（）A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i52.若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数m等于（）A．﹣1 B．C．D．153.若z=1﹣i，则复数z+z2在复平面上对应的点的坐标为（）A．（1，﹣3）B．（﹣3，1）C．（1，1）D．（﹣1，1）54.设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B． C． D．255.已知复数z满足=1﹣i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣156.已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A．B． i C．﹣D．﹣ i57.已知复数Z=（i是虚数单位），则复数Z的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．D．58.若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限59.复数等于（）A．4 B．﹣4 C．4i D．﹣4i60.复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限61.已知复数z=，则z的共轭复数的虚部为（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i62.是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i63.如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z2=（）A ．﹣3﹣4iB ．5+4iC ．5﹣4iD ．3﹣4i 64.复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限65.复数z 满足：（3﹣4i ）z=1+2i ，则z=（ ）A ．i 5251+-B ．i 5251-C ．i 5251--D ．i 5251+ 66. 若复数ii 32z +-=，i 是虚数单位，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限67.已知△ABC 中内角A 为钝角，则复数（sinA ﹣sinB ）+i （sinB ﹣cosC ）对应点在（ ）A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限68.复数+i 的共轭复数的虚部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i69.若复数z 满足z （﹣1+2i ）=|1+3i|2，（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限70.已知复数z 满足（1+i ）z=2i （i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限71.己知复数z=cos θ+isin θ（i 是虚数单位），则=（ ）A ．cos θ+isin θB ．2cos θC ．2sin θD ．isin2θ 72.已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|=（ ）A ．3B ．2C ．5D ．73.已知x ∈R ，i 为虚数单位，若为纯虚数，则x 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣274.已知复数，则的虚部为（ ）A ．﹣3B ．3C ．3iD ．﹣3i75.若复数z 满足i i43+=i 1z+，则z 等于（ ）A ．7+iB ．7﹣iC ．7+7iD ．﹣7+7i76.设z=1+i （i 是虚数单位），则=（ ）A ．2﹣2iB ．2+2iC ．﹣3﹣iD ．3+i77.已知复数为纯虚数，那么实数a=（ ）A ．﹣1B ．C ．1D ．78.已知复数z 满足：i 1i 2i )i 1(z 3-=-+则复数z 的虚部为（） A ．i B ．﹣i C ．1 D ．﹣179.计算+（2﹣i ）2等于（ ）A ．4﹣5iB ．3﹣4iC ．5﹣4iD ．4﹣3i80.若复数，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限81.复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限82.设复数z 满足（1+i ）•z=1﹣2i 3（i 为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限83.若复数z 1=a+i （a ∈R ），z 2=1﹣i ，且21z z 为纯虚数，则z 1在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题 84.复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=-，则12z z 实部的最大值__________，虚部的最大值__________．85.设a ∈R ，若复数(1i)(+i)a +在复平面内对应的点位于实轴上，则a =__________． 86.设a ∈R ，若i(1i)2i a +=+，则a =__________．87.已知复数z 满足（1+i ）z=2，则z= ．88.复数z=i12-，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 ． 89.依次填人下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是（3分）如果说河对岸的草原上万籁无声， ,使所有的色调融合为浑然一体, 使所有的声音汇成合唱，那是多么奇伟的声音，多么壮观的景象!①各种声响使这荒野的世界充满一种亲切而粗犷的和谐 ②鸟喙击橡树干的笃笃声 ③可是，当微风吹进丛林，摇晃这些飘浮的物体，使白色、蓝色、绿色的生物混杂交错④野兽穿越丛林的沙沙声 ⑤动物吞啮食物或咬碎果核的咂咂声⑥河这边却是一片骚动和聒噪A.③①⑥⑤②④ B ．⑥②③⑤①④ C.⑥②④⑤①③ D ．③②①④⑤⑥90.已知z 1=a+3i ，z 2=3﹣4i ，若21z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． 91.已知复数z=（5+2i ）2（i 为虚数单位），则z 的实部为 ．92.复数所对应的点在复平面内位于第 象限． 93.设i 为虚数单位，复数，则|z|= ． 94.设i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 的值为 ．95. 设复数z 1=2+ai ，z 2=2﹣i （其中a ＞0，i 为虚数单位），若|z 1|=|z 2|，则a 的值为 ． 96.若复数z 满足z （1﹣i ）=2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z = ． 97.计算：|3﹣i|= ，i3i 10 = ．三、解答题（ 98.复数z=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限99.已知复数，又，而u 的实部和虚部相等，求u ．100.已知关于x 的方程x 2+4x+p=0（p ∈R ）的两个根是x 1，x 2．（1）若x 1为虚数且|x 1|=5，求实数p 的值；（2）若|x 1﹣x 2|=2，求实数p 的值．答案1.D【考点】复数求模．【分析】化简z （1﹣i ）=﹣1﹣i ，z=﹣i ，从而解得．【解答】解：∵z （1﹣i ）=﹣1﹣i ，∴z （1﹣i ）（1+i ）=﹣（1+i ）2，∴2z=﹣2i ，∴z=﹣i ，∴z+2=2﹣i ，∴|z+2|=， 故选：D ，2.A【命题意图】本小题主要考查复数的运算、共轭复数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算． 【试题简析】因为22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+，所以1z i =--，故选（A ）. 【错选原因】错选B ：求出1z i =-+，忘了求z ；错选C ：错解1i z =+；错选D ：错解1i z =-.3.D由题意2i z =-+，所以222(2i)4i 4i=34i z =-+=+--．故选D ．4.B 复数31i i(1i)1i i +=+=-+，其在复平面上对应的点为(1,1)-，该点位于第二象限． 故选B ．5.B6.C复数(1i)(i)a -+，2i i i a a =-+-，(1)(1)i a a =++-，对应点(1,1)a a +-在第四象限，1010a a +>⎧⎨-<⎩， 解出1a >．故选C ．7.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+i ）z=2i ，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i ）z=2i ，得=， 则z 的虚部是：1．故选：A ．8.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案． 【解答】解：由===，得，解得a=﹣．故选：A ．9.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义即可得出．【解答】解：∵复数==（1+2i ）（1+i ）=﹣1+3i ，则z 的共轭复数=﹣1﹣3i在复平面内对应点的坐标是（﹣1，﹣3）．故选：D．10.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．【解答】解：∵z==，∴，则||=|i|=1．故选：B．11.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解： =，则|z|=．故选：D．12. B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（3+4i）z=5﹣10i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简z，则的答案可求．【解答】解：由（3+4i）z=5﹣10i，得=，则=﹣1+2i．故选：B．13.D【考点】复数求模．【分析】利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义即可得出【解答】解：∵a﹣2bi与1+4i互为共轭复数，∴a=1，﹣2b+4=0，解得a=1，b=2．∴|a+bi|=|1+2i|==．故选：D14.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解： =，故选：D．15.Ai i i. 故选A.-+-=(12)(2)516.A【分析】先求出（1﹣i）2的值，代入所求式子，利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质进行化简．【解答】解： ===2，故选 A．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．17.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵ =，∴复数的虚部是1．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．18.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．19.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知求出，在求出|z2|，代入得答案．【解答】解：∵，∴，∵z2=3+4i，∴|z2|=5，∴=．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．20.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：复数===+i，∴复数的虚部为，故选：D．21.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知求得，则答案可求．【解答】解：∵z=1+i，∴，则复数z的共轭复数的虚部为﹣1．故选：A．22.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解： =，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．故选：A．23.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由欧拉公式e ix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），结合三角函数的符号，即可得出结论．【解答】解：由欧拉公式e ix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），∵cos（﹣1）＞0，sin（﹣1）＜0，∴e﹣i表示的复数在复平面中位于第四象限．故选D．【点评】本题考查欧拉公式，考查三角函数知识，比较基础．24.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=（3+2i）2=9﹣4+12i=5+12i，则在复平面上z的共轭复数=5﹣12i对应的点（5，﹣12）位于第四象限．故选：D．25.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵（z+1）•i=1﹣i，∴（z+1）•i•（﹣i）=﹣i•（1﹣i），化为z+1=﹣i﹣1∴z=﹣2﹣i．故选：C．26.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z（3i﹣4）=25，∴z（3i﹣4）（﹣3i﹣4）=25（﹣3i﹣4），∴z=﹣4﹣3i则z的共轭复数=﹣4+3i．故选：C．27.A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入计算得答案．【解答】解：，则=i2007=（i4）501•i3=﹣i．故选：A．28.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：z==，复数z=（i为虚数单位）的虚部为：﹣3．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．29.D【分析】由复数相等的条件求出x，y的值，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由1+xi=（2﹣y）﹣3i，得，解得．∴|x+yi|=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．30.A∵2i(2i)(12i)43i43i 12i(12i)(12i)555--===--++++，∴|1x y+，∴选择A．31.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，求出对应点的坐标即可．【解答】解：复数z满足（1﹣z）（1+2i）=i，可得1﹣z===，z=，复数的对应点的坐标（，﹣）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．32. B【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数的几何意义即可得出．【解答】解： ==在复平面上对应的点位于第二象限．故选：B．33.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z=1+i，∴z2=2i，则+z2===1﹣i+2i=1+i，故选：A．34.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出．【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．35.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==的共扼复数是+i．故选：D．36.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．37.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】给出z=﹣1﹣i，则，代入整理后直接求模．【解答】解：由z=﹣1﹣i，则，所以=．故选A．38.C【考点】A6：复数代数形式的加减运算．【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，∴z=3﹣2i，∴=3+2i，故选：C39.A【考点】复数的基本概念．【分析】由复数z对应的点是Z（1，﹣2），得z=1﹣2i，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：由复数z对应的点是Z（1，﹣2），得z=1﹣2i．则复数z的共轭复数=1+2i．故选：A．40.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：z（1﹣i）=|1+i|，∴z（1﹣i）（1+i）=（1+i），∴z=+i，则复数z的共轭复数+i在复平面内的对应点位于第四象限．故选：D．41.B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数====+i在复平面内对应的点（，）位于第二象限．故选：B．42.B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣3＜0，m+1＞0，解得﹣1＜m＜3．则实数m的取值范围是（﹣1，3）．故选：B．43.B试题分析：由122iia bi+=-+得()()()()12212222i iia bi ii i i++++===--+，所以||1a bi-=，故选B.考点：复数的运算.44.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数（2﹣i）z=1+i，∴（2+i）（2﹣i）z=（2+i）（1+i），∴z=则z的共轭复数=﹣i在复平面中对应的点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．45.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解： =，则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．46.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】当＜m＜1时，复数z的实部3m﹣2∈（0，1），虚部m﹣1∈．即可得出．【解答】解：当＜m＜1时，复数z的实部3m﹣2∈（0，1），虚部m﹣1∈．复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点（3m﹣2，m﹣1）位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、不等式的性质、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．47.D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D．48.B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】化简复数，根据纯虚数的定义求出a的值，写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标，即可得出结论．【解答】解：复数==（a+1）+（﹣a+1）i，该复数是纯虚数，∴a+1=0，解得a=﹣1；所以复数2a+2i=﹣2+2i，它在复平面内对应的点是（﹣2，2），它在第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的化简与代数运算问题，也考查了纯虚数的定义与复平面的应用问题，是基础题．49.B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解： ==，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．50.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由z（1﹣i）=1+i，得，则z的共轭复数是：﹣i．故选：D．51.C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解： =，则复数z的虚部是：﹣1．故选：C．52.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求得m值．【解答】解：∵为纯虚数，∴，得m=1．故选：D．53.A【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把z=1﹣i代入z+z2，然后利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=1﹣i，∴z+z2=1﹣i+（1﹣i）2=1﹣i﹣2i=1﹣3i，则复数z+z2在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣3）．故选：A．54.A【考点】A8：复数求模．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．55.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z满足=1﹣i，∴z=﹣1+2i（1﹣i）=1+2i，∴z的虚部为2．故选：A．56.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得Z后得答案．【解答】解：由==，得，∴复数Z的虚部是．故选：A．57.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数Z得答案．【解答】解：Z==，则复数Z的共轭复数是：．故选：D．58.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，可得z==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1），在复平面内z的共轭复数对应的点（1，1）．故选：A．59.B【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】由完全平方公式，知=，由此利用虚数单位的性质能够求出结果．【解答】解： ==﹣1﹣2﹣1=﹣4，故选B．60.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z===的共轭复数为在复平面上对应的点为在第四象限．故选：D．61.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z===1+i．复数z=，则z的共轭复数1﹣i的虚部为﹣1．故选：A．62.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由题，先求出z﹣=﹣2i，再与z+=2联立即可解出z得出正确选项．【解答】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①又z+=2 ②由①②解得z=1﹣i故选D．63.D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】在复平面内，点A对应的复数为z=﹣2+i，再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：在复平面内，点A对应的复数为z=﹣2+i，则复数z2=（﹣2+i）2=3﹣4i．故选：D．64.C【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】根据题意，由复数的计算公式可得==﹣﹣i，进而由复数的几何意义可得该复数对应的点的坐标，即可得答案．【解答】解：根据题意， ==﹣﹣i，则该复数对应的点为（﹣，﹣），对应点在第三象限；故选：C．65.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵（3﹣4i）z=1+2i，∴（3+4i）（3﹣4i）z=（3+4i）（1+2i），∴25z=﹣5+10i，则z=﹣+i．故选：A．66.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z==3+2i，则z的共轭复数=3﹣2i在复平面内对应的点（3，﹣2）在第四象限．故选：D．67.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】①△ABC中内角A为钝角，可得A＞B，A=π﹣（B+C），∴sinA﹣sinB=sin（B+C）﹣sinB，根据A为钝角，可得0＜B＜B+C＜，利用正弦函数的单调性即可得出sinA﹣sinB＞0．②由0＜B+C＜，可得0＜B＜﹣C，可得sinB＜sin（﹣C）=cosC．即可复数（sinA﹣sinB）+i（sinB﹣cosC）对应点（sinA﹣sinB，sinB﹣cosC）在第四象限．【解答】解：①∵△ABC中内角A为钝角，∴A＞B，A=π﹣（B+C），∴sinA﹣sinB=sin[π﹣（B+C）]﹣sinB=sin（B+C）﹣sinB，∵A为钝角，∴0＜B＜B+C＜，∴sin（B+C）＞sinB，即sin（B+C）﹣sinB＞0，则sinA﹣sinB＞0．②∵0＜B+C＜，∴0＜B＜﹣C，∴sinB＜sin（﹣C）=cosC，∴sinB＜cosC，∴复数（sinA﹣sinB）+i（sinB﹣cosC）对应点（sinA﹣sinB，sinB﹣cosC）在第四象限．故选：D．68.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数+i得答案．【解答】解： +i=，则复数+i的共轭复数的虚部是：﹣1．故选：B．69.C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：由z（﹣1+2i）=|1+3i|2，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（﹣2，﹣4），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．70.A【考点】复数的基本概念．【分析】由复数的除法运算化简复数z，得到对应点的坐标得答案．【解答】解：由，得=．∴z在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．故选：A．71.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】z=cosθ+isinθ代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=cosθ+isinθ，∴====．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了三角函数的化简求值，是基础题．72.D【考点】复数求模．【分析】通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模．【解答】解： =1﹣bi，可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数，所以，解得a=2，b=1．所以|a﹣bi|=|2﹣i|==．故选：D．73. C【考点】复数的基本概念．【分析】对已知式子分子分母同乘以i，可得（2﹣x）﹣i，由纯虚数的定义可得其实部2﹣x=0，解之可得答案．【解答】解： ==（x﹣2）i2﹣i=（2﹣x）﹣i由纯虚数的定义可得2﹣x=0，故x=2故选C74.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，求得后得答案．【解答】解：由=，得，∴的虚部为3．故选：B．75.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解： =，∴z==7+i，故选：A76.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．【解答】解： ==+1﹣i=1﹣i+1﹣i=2﹣2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．77.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数==为纯虚数，∴a﹣1=0，1+a≠0，解得a=1．故选：C．78.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．【解答】解：∵，∴z（1+i）（﹣i）=（2﹣i）（1﹣i），∴z（1﹣i）=1﹣3i，∴z（1﹣i）（1+i）=（1﹣3i）（1+i），∴2z=4﹣2i，∴z=2﹣i．则复数=2+i的虚部为1．故选：C．79.A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】同乘分母共轭复数，（2﹣i）2去括号，化简即可．【解答】解： +（2﹣i）2=﹣i（1+i）+4﹣1﹣4i=4﹣5i，故选：A．80.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），在第四象限．故选：D．81.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数除法法则，算出z=的值，结合共轭复数的定义找到的值，再根据复数的几何意义，不难找到在复平面内的对应点所在的象限．【解答】解：∵z1=3+i，z2=1﹣i∴复数z===（3+3i+i+i2）=1+2i因此z的共轭复数=1﹣2i，对应复平面内的点P（1，﹣2），为第四象限内的点故选D。
【推荐精选】2018届广东省江门市高考数学一轮复习 专项检测试题14 数系扩充与复数的引入
数系扩充与复数的引入一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若关于x 的方程2(12)30x i x m i ++++=有实根，则实数m 等于( )A ．112B ．112iC ．112-D ．112i - 【答案】A2．若复数12ai i++（i 是虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a 等于( ) A ．-1B ．13- C ．13 D ．3 【答案】D3．i 是虚数单位, 41()1i i +-等于( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C4．已知复数i zz =-+11，则z 的虚部为( ) A ．1B ．1-C ．iD ．i - 【答案】A5．在复平面内，复数1i iz -=（i 是虚数单位）对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C6．若复数 i ·(1+ai)是纯虚数，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．0或－1 【答案】C7．复数3223i i+-=( ) A ．1213i + B ．i - C ． 1213i - D ． i【答案】D8．已知复数z=－1+i ，则z 在复平面内对应的点在第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】C 9．已知复数,21,321i z bi z -=-=若21z z 是实数，则实数b 的值为( ) A ．6B ．-6C ．0D ．61 【答案】A10．设z z i i z 2),(12+-=则为虚数单位=( ) A ．i --1 B ．i +-1C ．i -1D ．i +1 【答案】C11．复数i(12i)-=( )A ．2i -+B ． 2i +C ．2i -D ．2i -- 【答案】B12．下面是关于复数21z i=- 的四个命题: 1p :2z =, 2:p 22z i =3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1其中真命题为( )A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p【答案】C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知i 为虚数单位，复数2i 1iz +=-，则 | z | ＝ . 【答案】210 14．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ． 【答案】6- 15．若i 为虚数单位，则复数31i i -+＝____________． 【答案】12i -16．已知复数11z i =-，21z i =+,那么21z z =____________。
2018届广东省江门市高考数学一轮复习 专项检测试题14 数系扩充与复数的引入
数系扩充与复数的引入一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若关于x 的方程2(12)30x i x m i ++++=有实根，则实数m 等于( )A ．112B ．112iC ．112-D ．112i - 【答案】A2．若复数12ai i++（i 是虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a 等于( ) A ．-1B ．13- C ．13 D ．3 【答案】D3．i 是虚数单位, 41()1i i +-等于( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C4．已知复数i zz =-+11，则z 的虚部为( ) A ．1B ．1-C ．iD ．i - 【答案】A5．在复平面内，复数1i iz -=（i 是虚数单位）对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C6．若复数 i ·(1+ai)是纯虚数，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．0或－1 【答案】C7．复数3223i i+-=( ) A ．1213i + B ．i - C ． 1213i - D ． i【答案】D8．已知复数z=－1+i ，则z 在复平面内对应的点在第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】C 9．已知复数,21,321i z bi z -=-=若21z z 是实数，则实数b 的值为( ) A ．6B ．-6C ．0D ．61 【答案】A10．设z z i i z 2),(12+-=则为虚数单位=( ) A ．i --1 B ．i +-1C ．i -1D ．i +1 【答案】C11．复数i(12i)-=( )A ．2i -+B ． 2i +C ．2i -D ．2i -- 【答案】B12．下面是关于复数21z i=- 的四个命题: 1p :2z =, 2:p 22z i =3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1其中真命题为( )A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p【答案】C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知i 为虚数单位，复数2i 1iz +=-，则 | z | ＝ . 【答案】210 14．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ． 【答案】6- 15．若i 为虚数单位，则复数31i i -+＝____________． 【答案】12i -16．已知复数11z i =-，21z i =+,那么21z z =____________。
2018年高中数学人教A版选修1-2第3章数系的扩充与复数的引入检测习题含解析.docx
人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修1-2 习题第三章检测(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.已知a,b∈ R ,则“a=b”是“(a-b)+ (a+b )i为纯虚数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 (a-b)+ (a+b )i 为纯虚数的充要条件是实数a,b 满足-即a=b ,且 a≠-b,也就是 a=b ≠0.故选B.答案 B2.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()A. AB. BC.CD.D解析设 z=a+b i( a,b∈R),则其共轭复数为所以表示 z与的两点关于 x 轴对称 .故选 B .答案 B3.设i是虚数单位,若复数a∈ R)是纯虚数,则a的值为()-A. -3B. -1C.1D.3解析由已知 ,得 a-复数 a为纯虚数 ,∴a- 3=0,即 a= 3.--答案 D4.设z=1+ i(i是虚数单位),则等于A. -1-iB. -1+iC.1 -iD.1+ i解析∵z=1+ i,= (1-i)+ (1+ 2i-1)= 1+ i,故选 D.答案 D5.设a,b为实数,若复数则1人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2 A. aC.a解析由可得1+ 2i = (a-b )+ (a+b )i .-解得故 A .由两复数相等可以得到答案 A6. i是虚数位,复数i3A. -iB.iC.-1D.1解析原式 =- i-答案 D7.已知复数z=( a2-a-2)+ (|a-1|- 1)i(a∈ R )不是虚数,有()A. a≠0B. a≠2C.a≠0,且 a≠2D.a≠-1解析若 z 虚数 ,- -解得 a=- 1.--而已知 z 不是虚数 ,所以 a≠-1.故 D.答案 D8.已知i虚数位,a数,复数z= (1-2i)( a+ i)在复平面内的点M ,“a是点在第四象限的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 z=(1- 2i)(a+ i)=a+ 2+ (1-2a)i, 所以复数z 在复平面内的点M 的坐 (a+ 2,1-2a),所以点 M 在第四象限的充要条件是a+ 2> 0,且 1-2a< 0,解得 a故 C.答案 C9.投两枚骰子,得到其向上的点数分m 和 n,复数 (m+n i)( n-mi) 数的概率 ()A2222,所以 m=n ,可以取解析因 (m+n i)( n-mi)= 2mn+(n -m )i 数 ,所以 n =m .因骰子的点数正数1,2,⋯ ,6,共 6 种可能 .所以所求概率故 C.2答案 C10.复数z= (x-2)+y i(x,y∈ R)在复平面内对应向量的模为2,则|z+ 2|的最大值为 ()A.2B.4C.6D.8解析因为 |z|= 2,所以-即(x-2)2+y 2= 4,故点 (x,y)在以 (2,0) 为圆心 ,2 为半径的圆上,而|z+2|=|x+y i|它表示点 (x,y)与原点的距离,结合图形 (图略 )易知 |z+ 2| 的最大值为4,故选 B.答案 B二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.i是虚数单位,计算-的结果为解析---- - ---答案 -i12.设复数z满足i(z+ 1)=- 3+ 2i(i为虚数单位 ),则 z的实部是.---故 z的实部为 1.解析∵i( z+1)=- 3+2i,∴ z+1-答案 113.设复数z在对应法则f的作用下和复数w ·i对应 ,即f:z→w·i,则当 w=- 1+ 2i 时 ,复数z=.解析∵f:z→ w·i,且 w=- 1+ 2i,·i=- 1+2i, 则答案 2-i14.在复平面内,若z=m2(1+ i) -m(4+ i) -6i所对应的点在第二象限,则实数 m 的取值范围是.解析∵z=m 2-4m+ (m2-m- 6)i 所对应的点在第二象限,-解得 3<m< 4.- -答案 (3,4)2有实数根 ,则纯虚数 m=.15.若关于x的方程x + (2-i) x+(2m-4)i = 0解析设 m=b i( b∈R ,且 b≠0),方程的实根为x0,则有从而有于是解得-于是 m= 4i.-答案 4i三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)32求实数取什么值时复数是16.(8分)已知复数z=(2+ i) m-(1) 零 ;(2) 虚数 ;(3) 纯虚数 ;(4) 复平面上第二、四象限平分线上的点对应的复数.分析先将复数z化简整理为a+b i( a,b∈R) 的代数形式 ,再根据复数的分类及其几何意义求解即可.解因为 m∈R ,所以复数222z=(2+ i) m -3m(1+ i)- 2(1-i)= (2m -3m-2)+ (m -3m+2)i .--即 m= 2时 ,z 为零 .(1)当-(2)当 m2-3m+2≠0,即 m≠2,且 m≠1 时,z 为虚数 .--即 m=时 ,z 为纯虚数 .(3)当-(4)当 2m2-3m-2=- (m2-3m+2),即 m= 0 或 m=2 时,z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数 .17.(8分)设复数z的共轭复数为已知(1)求复数 z及(2) 求满足 |z1-1|=|z| 的复数 z1对应的点的轨迹方程.解 (1--故z=2+ i.(2)设 z1=x+y i(x,y∈R ),则 |(x-1)+y i|故(x-1)2+y2=5.即复数 z1对应的点的轨迹方程为(x-1)2+y 2= 5.18.(9分)已知z=1+ i,a,b为实数.(1)若ω=z 2+求(2)若-求的值解(1)∵ ω=z 2+∴|ω|--(2)由条件-得即∴ (a+b )+ ( a+ 2)i=1+i,4解得19.(10分)已知复数z满足|z|的虚部为所对应的点在第一象限(1)求 z;(2)22在复平面上对应的点分别为A,B,C,求 cos∠ ABC.若 z,z,z-z解(1)设 z=x+y i( x,y∈R ).∵ |z|①又z2= (x+y i) 2=x 2-y2+ 2xyi,∴ 2xy= 2,∴ xy= 1.②-由①② 可解得或-∴z=1+i 或 z=- 1- i.又x>0,y> 0,∴ z=1+ i.222(2)z = (1+ i) = 2i, z-z = 1+ i-2i=1-i .∴ A(1,1),B(0,2),C(1,-1),∴ cos∠ ABC20.(10分)已知复数z1= cosα+ isinα,z2= cosβ-isinβ,且z1求复数分析解答本题的关键是利用复数相等的充要条件先将复数问题实数化,再结合三角函数的知识求解.解由 z1得 cos α+ isin α-∴ cos α+ isin α+cos β+ isin β即 (cos α+ cos β)+ i(sin α+ sin β)5∴ cos2α+ sin2α--整理,得cosβ= 1β,①将①代入 sin 2β+ cos2β= 1,可解得 sin β= 0 或 sin β当sin β= 0 时 ,cos β= 1,cos α=当 sin β时,cosβ=α= 1,sinα= 0.∴ z1=或 z12= 1,z =6。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考达标检测（五十四）数系的扩充与复数的引入的命题3角度
——概念、意义、运算
一、选择题
1．(2016·山东高考)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i
D ．－1－2i
解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则2z ＋z ＝2a ＋2b i ＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i 、由复数相等的定义，得3a ＝3，b ＝－2，解得a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i 、
2．(2017·沈阳质量监测)已知i 为虚数单位，则复数2
1－i
在复平面内所对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选A 因为2
1－i
＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1,1)，故选A 、
3．(2017·昆明七校调研)已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a i
1－i
是实数，则a
的值为( )
A ．－4
B ．2
C ．－2
D ．4
解析：选D 依题意，复数2i －a i 1－i ＝2i －a i 1＋i 1＋i 1－i ＝a ＋ 4－a i
2
是实数，
因此4－a ＝0，a ＝4，选D 、
4．(2016·唐山统考)已知复数z 满足z (1－3i)＝4(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋3i B ．－2－23i C ．－1－3i
D ．1－3i
解析：选A 由题意，得z ＝
4
1－3i ＝4 1＋3i
1－3i 1＋3i
＝1＋3i ，故选A 、
5．(2017·贵阳监测)设i 为虚数单位，则复数z ＝5＋i 1－i 的共轭复数z －
为( )
A ．2－3i
B ．－2－3i
C ．－2＋3i
D ．2＋3i
解析：选A 因为z ＝5＋i 1－i ＝ 5＋i 1＋i
1－i 1＋i
＝2＋3i ，
所以z ＝2－3i ，故选A 、
6．(2017·四川模拟)已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)
x ＋y
的值为( )
A ．4
B ．－4
C ．4＋4i
D ．2i
解析：选B 由(x －2)i －y ＝－1＋i 得x ＝3，y ＝1，则(1＋i)x ＋y
＝(1＋i)4
＝－4、
7．(2016·贵州遵义模拟)复数z ＝4i 2 016
－
5i
1＋2i
(其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选 D z ＝4i
2 016
－
5i 1＋2i ＝4×1－5i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝4－5 2＋i
5
＝2－i ，故z 在复平面内对应的点在第四象限．
8．已知复数z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是( )
A ．θ＝π
4
B ．θ＝π2
C ．θ＝3π
4
D ．θ＝
5π
4
解析：选C z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i 、
z 是纯虚数等价于⎩
⎪⎨
⎪⎧
cos θ＋sin θ＝0，cos θ－sin θ≠0，等价于θ＝3π
4
＋k π，k ∈Z 、故选C 、
二、填空题
9．(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则 a b
的值为________．
解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ， 所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b
＝2、 答案：2
10．(2017·重庆巴蜀中学调研)设复数z 的共轭复数为z ，若(1－i)z ＝2i ，则复数
z ＝________、
解析：因为(1－i)z ＝2i ，所以z ＝
2i 1－i ＝2i 1＋i 1－i 1＋i
＝－1＋i ，所以z ＝－1
－i 、
答案：－1－i
11．(2017·河北质量监测)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为________．
解析：因为z ＝6＋4i 2－3i ＝ 6＋4i 2＋3i 2－3i 2＋3i ＝26i
13＝2i ，
所以|z |＝2、 答案：2
12．(2016·山东实验中学诊断)在复平面内，复数2
1－i 对应的点到直线y ＝x ＋1的距
离是________．
解析：因为21－i ＝2 1＋i 1－i 1＋i ＝1＋i ，所以复数2
1－i 对应的点为(1,1)，点(1,1)
到直线 y ＝x ＋1的距离为
|1－1＋1|12
＋ －1
2
＝2
2
、 答案：
22
三、解答题 13．计算：(1)
－1＋i 2＋i
i
3
； (2) 1＋2i 2
＋3 1－i 2＋i ；
(3)1－i 1＋i ＋1＋i
1－i ；
(4)
1－3i 3＋i
2
、
解：(1)
－1＋i 2＋i i 3
＝－3＋i
－i
＝－1－3i 、 (2) 1＋2i 2
＋3 1－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i 2－i 5＝15＋2
5i 、
(3)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2＝
1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i
2＝－1、 (4)
1－3i 3＋i 2
＝
3＋i －i
3＋i
2
＝
－i 3＋i
＝
－i 3－i
4
＝－14－34i 、
14．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2
)i ，z 2＝21－a
＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．
解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2
－10)i ＋21－a
＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝
a －13 a ＋5 a －1
＋(a 2
＋2a －15)i 、
∵z 1＋z 2是实数，
∴a 2
＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3、 ∵a ＋5≠0， ∴a ≠－5，故a ＝3、。