广义最小生成树的遗传算法求解及应用
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嘶，＝｛≯０’羔 ㈤
定义生成树ｒ为图Ｇ中连接ｙ中所有节点的Ｆ的最小 子集，（即任何碾个节点之间有且仅有一条通路），则ＭＳＴ可 以描述为
Ｔ。＝吨ｎ∑¨
（２）
‘铲７
［ｆｉＳＴ是一种抽象的数学模型，它可以具体化为电力网
络、通信网络、交通道路等实际对象，此时ＭＳＴ的物理含义
就是系统的最小距离、最小费用或者最小损耗等指标。因此
为正。
够使解的质量大大提高。
交叉运算采用单点交叉，即产生一个随机的交叉点， 将双亲交义点以后的基因整体交换，形成两个新的个体。
变异运算单点变异是产生一个随机的变鼻点，用１。 ｎ问的一个随机数来代替该点基因；多点变异则是同时改变 两个随机位置的基因。
根据Ｐｄ舔＊编码规则，交叉和变异算子都不会产生非法 个体。
在两根及眺上的十线的分接处，要安装分配放大器或者
万方数据
：：：：：
至釜三耋主皇：ｊ：茎銮
分支放大器，接人居民住宅还需要其它终端装置。连接的支
路数越多，对应的装置要求也越高．所需的花费也随着增加。
假设具体数值（包括该点的下－级支路费用）如表２所示。
衰２线路分支点的附加费用
（元）
连接干线数
３
４
５
６
７
据种群成熟度自调整变异方式的变异算子，以及限制父代个
题．因此构造如下适应值函数
体保留数目的混合选择策略。最后，为了证明ＧＭＳＴ可以有
Ｆｉｔ（ｒ）＝３８ ０００一（∑”。＋∑｛（以））
（８）
０∈ｒ
＾２１
常数３８伽。根据估算和多次试探性计算得出，以保证适麻值
效地用于实际问题的优化求解，设计了一个模拟的有线电视 网络，并用ＧＭＳ＇Ｉ＂和改进的遗传算法对该网络进行建模和仿 真。仿真计算的结果表明，改进后的遗传算法有效可行，能
ｉｓ∞日ｌｊ刮．Ｔｈｅ ｌｈｅ础ｄ％ｗｅｅ Ａｂｓｔｒａｃｔ：＇ｌｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ０ｆ ｍｉｔｆｉｍｕｍ ｓｐａｎｎｉｎｇ ｔｒｅｅ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ａｎｄ ｉｔｓ ｌｉｉｎｉｔａｔｉｏｎ
ｃｏｓｔ。ｆ
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ａ蛳帅ｉｓ．ｓｅｄ ｃｏｍｉｄｅｒｅｄ ａｎｄ即伽商叫ｙ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ０ｆ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｍｉｒｍｍｍａ印ａＩ】面Ｉ】ｇ ｌｉｃｅ（ＧＭＳｒ）ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ Ｇｅｎｅｔｉｃ
提出了广义最小生成树的概念。采用遗传算法来求解最小生成树，井针对普通遗传算法求解该问题的不足，提出
了白调整的变异算子和限制父代个体数日的混合选择策略。通过一个有线电视网络的建摸与仿真，表明了广义最
小生成树模型的适用性。分剐采用普通遗传算法和改进后的遗传算法进行采解，井将结果进行比较，证明了改进 后的遗传算法的有效性。
５００
５１０
７４７
７ ５２３ ４２０ ６００ ３５０ ４４７ 符１
３６１ ４６ｌ
８ ７６６ ７２８ ９２２
９ ９６９ ７６２ ６７５
５３９
５８３
７８ｌ
５１０
５００ ３６１
７４７ ４６１ ｓ５８
８５８
干线系统采用优质低耗的同轴电缆，同时为了避免信号 过分衰减影响电视节目质量，还必须加装自动电平控制的干 线放大器和均衡器等。假设线路铺设的费用大约为 ３．７元／ｍ（包括器材成本、施工费用等）。
Ｔ’＝叫ｎ（∑ｑ＋∑｝（喀））
（５）
‘
ｏ∈ｆ
★２ Ｌ
可以认为，度约束最小生成树实际上是ＧＭＳＴ。Ｆ的‘个特例。
ＭＳＹ的扩展一般是ＮＰ难问题，不存在多项式时间解法。
根据图论计算中的Ｃａｙｌｅｙ定理，在一个／７，节点的完全图中，
有ｎ（ｎ。２’个不同的树。，对于３０个节点的完全图，总共有 ２．２８７ ７×１０”个牛成树，搜索卒间巨大。有衅研究者㈨１用
参数选择种群大小ｐｏｐｓｉｚｅ＝５０，“＝０ ６，ｍ＝０ １，
ｐ。Ｉ＝ｏ．０５，ｐ融＝ｏ ０５，合格系数Ｐ＝ｏ ９，成熟度阈值口Ｍｄ＝ ｏ ８５，优秀个体数目ｕ为１０，父代个体限制数目”为２５，初 始种群随机选出，进化１００代。
仿真计算采用Ｍａｔ］ａｂ６．１作为仿真工具，分别采用一 般遗传算法和本文所提出的改进遗传算法求解，各计算３０ 组。结果如图１所示。
白调整变异方式的变异算子定义种群的成熟度指标 为
ｒ／＝Ｆｉｔ。／Ｆｉｔ一
（７）
式中：ｎｋ。——当代种群的最大适应值。
ＧＭＳＴ一类的问题通常具有多个极值点，在进化的后期，
整个种群集中于一个狭小的空闻，子代个体与其父代的相似
程度高，即相当于常说的近亲繁殖，容易使问题陷入局部最
优，得不到满意解。在这种情况下，变异算子就成为扩大搜
步骤４删去节点ｉ和边‰得到ｎ一１节点的树；
Ｇｈ研’的概念，使之适用于实际的工程需要。由于ＧＭＳＴ是
步骤５重复以【．步骤，直到只剩下一条边。
具有多个极值点的组合优化模型，因此用一般的遗传算法对
解码按照完全相反的步骤即可。
其求所得的优化解的质量并不高。针对这一不足，提出ｒ根
定义适应值函数 由于Ｇｌ＇ｃｋＮｒ问题求解的是最小值问
索空间的最好工具。但是，过大的变异率不仅有违于自然规
律，而且将会使遗传算法退化为纯粹的随机搜索，因此更改
变异方式成为一种好的选择。本文设计了根据种群成熟度
自调整变异方式的变异算子。
在种群进化的早期，种群中个体的相似程度很小，搜索
空间较大，此时只采用变异率为ｐ柚的单点变异；当种群的成
熟度达到一定的程度时，可以考虑采用两种形式的变异方式
２００４年３月
兰誓耋兰：垫
文章编号：１００１－５０６Ｘ（２００４）０３－０３９０－０３
系统工程与电于技术
墅：譬：ｊ重：＝：翟＝＝：２：：尘：：
Ｍａｒ．２００４
：＝：：誓：：：：
广义最小生成树的遗传算法求解及应用
徐磊，章兢
（湖南大学电气与信息工程学院，湖南长沙４１００８２）
摘要：介绍了最小生成树的概念，分析了最小生成树在实际应用中的局限性。引八了节点的度的定义，据此
ＭＳ３＂问题的求解，在工程设计规划中，具有较高的实用价值。 以上模型并没有涉及节点度的问题。所谓节点的度（以
赢表示），是指与该节点相连的边的数目。在ｎ节点的生成
树中，度的理论最大值为ｎ一１．但是在实际工程中，节点的 度是不能任意选取的。例如，在通信网络的规划设计中，为 防止节点故障引起的网络的脆弱性，对节点的度有所限制。 为了解决这一矛盾，文献［１］提出了度约束最小生成树，即在 式（１）的基础上，增加约束条件
限制父代个体保留数目的混合选择策略：首先定义合格 个体的判断函数
。。。ｃｒ，＝｛：：萋善‘‘７’’”Ｆｉ’” ｃｅ， 式巾：Ｐ≥０．卜合格系数，ｎ‘。——当代种群的平均适
应值。 当种群中有几个适应值明显大于其余个体的“超级个
体”存在时，若采用传统的“轮盘赌”选择方式，会导致这些 个体迅速繁殖，经过几次迭代后占满了种群的位置，使种群 的多样性急剧下降。尽管此后仍可能产生隐含有优秀基因信 息的子代个体，但由于其数量少以及本身适应值不够高，被 淘汰的机率很大，不利于种群的进化。在这种情况Ｆ．可以认 为合格的子代干体应该具有比其父辈更高的选择概率。采取 的方针是：在保暗“个最优秀个体的同时，限制父代个体的 保留数目为”，以便把更多的选择机会留给合格的子代个 体。具体实施算法如下。
１
３３７ ６３８ ５７ｌ ７３８ ４７２ ５２３ ７６６ ９６９
２ ３３７
５１２
ⅫБайду номын сангаас
４４７ ６７３ ４２０
１篮 ７位
３ ６３８ ５１２
５６３ ５６６ ６３７ ６００
９监
６７５
４ ５７ｌ ３００ ５６３
４００ ４１２ ３５０ ５３９ ５８３
５
６
７３８
４４７
６７３
５６６ ４００
６３７ ４１２
３５８
３５８
７８１
遗传算法和进化规划来求解浚问题，取得ｒ比较好的结果。
本文同样采用遗传算法来求解ＧＭＳＴ问题。
２改进的遗传算法
遗传算法是模拟自然界生物进化过程的计算模型。与 传统的优化算法相比，遗传算法是一种高度并行、随机、自适 应的拿局搜索算法。它处理的对象是对参数集中进行了编 码的个体空间，并不需要梯度等高阶条件，因此非常适合解 组合优化一类的问题。但是遗传算法本质上也是一种随机 搜索算法，当搜索空间较大时，需要很大的计算量，而且容易 陷入局部最优，导致解的质量降低。本文在标准遗传算法的 基础上采取了如下优化措施，使算法能更加有效地求解 ＧＭＳＴ问题。
‘＝｛（ｄ），ｄ＝１，一，ｒｇ一１
（４ｊ
收稿日期：２００２—１１—１０；修回日期：２００３—０４—１５。 作者简介：绦磊（１９７８一），男，硕士研究生，主要研究方向为人工智能，智能控制。
万方数据
第２６卷第３期
广义最小生成树的遗传算法求解及应用
．３９１．
通常情况下｛足关于ｄ的单调非减函数。此时ＧＭＳＴ可以描 述为
同时进行：一种以％Ｉ进行单点变异，另～种以ｐｍ进行多点
变异，且满足
ｐ柚２ Ｐｍｌ＋Ｐｍ２
这样可在不改变总的变异率的情况下．使搜索空间最大化。
３应用与仿真
研究一个村级有线电视网络设计，要求以尽可能少的花 费来覆盖所有的地区。用户主要集中于９个地区，各地区之 间的相对距离如表１所示
表１各地区的相对距商
（ｍ）
８，
设备成本 ｌ ０５０ ２４蚰 ５ ８１０ ９１３０ １２ ６６０ １６８帅 ２ｌ ２００
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詈：：：兰
该问题可以归为ＧＭＳＦ问题。采用改进遗传算法求解
的过程如下。
染色体编码采用Ｐ舳数进行编码，将生成树表示成
运行次数 ＋：改进算浩．·一般抖“、
ｔｏ
Ｇ脚Ｔｏ ｔｈｅ姗叫Ｉｌｉ。睁０ｆ ｓｏｌｖｅ
ｃｏｒｒｅｃｔ
ｇｉｒ印ｋ ｇｅａｅｔｉｃ出证ｄ帅ｉⅡｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ，Ｓｔ ｓｅｌｆ－呐ｕｓｆｉｎｇ ＩｌｇＪｌａｌＪＯｆｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｎｄ ａ ｈｙｂｒｉｄ
ｓｅｌｅｃ６０ｎ ｓｔｒａｔｅｇｙ ａｒｃ，ｋｓｉｇｅｅｄ．１ｌｍｍｇｈ ｔｈｅ ｍｏ＆ｎｉ”ｇ ａｎｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｂ ｃａ］ａｌｅ ｔｅｌｅｖｉｓｉｏｎ ｎｅｔｗｏｒｋ，ｔｈｅ ａｐｐｌｉ∞ｂａｉｔｙ ｏｆ ＧＭＳＴ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ａｌｇｏｉｔｈｍ ａｎｄ ｓｉｍｐｌｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓａｌｗ ｔｈｅ ｃａｂｌｅ ｔｅｌｅｖｉｓｉｏｎ ｎｅｔｗｏｒｋ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｎｄ ｔｈｅ ＣＯＩｌ— ｔｓａｓｔ ｏｆ ｔｈｅｉｒ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ珊ｅｃｄｖｅｒ№ｓ ０ｆ ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ口ｍ血ａｌｇｅｒｉｔｈｒｎ．
ｈ西ｎ 利用０ｍ函数找出子代中的合格个体； 在整个种群中选择ｕ个最优秀的个体； 用“轮盘赌”选择方式在整个种群中选出ｐｏｐｓｉｚｅ—ｕ个 新个体； 统计来自父代的个体数日；
ｉｆ来自父代的个体数大于ｐ ｔｈｅｎ 去除多余的父代个体，用“轮盘赌”选择方式在子代
中选出同样数目的合格个体米代替；
ｅｎｄ ｅｎｄ
Ｋｅｙ ｗｎｒ出：ｇｅｎｅｍｌｉｚｅｄ ｍｉｍｉｍｌｍ ｓｐａｎｎｉｎｇ ｔｒｅｅ；ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｈｙｂｒｉｄ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｓｔｒａｔｅｒｙ
１引言
最小牛成讨（１Ｉｌｉ血ｍｍ ｓｐａｎｍｎｇ ｔｒｅｅ，ＭＳＩ＂）问题是一个经 典的组合优化问题，其数学描述为：考虑一个连通的无向图 Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其中Ｖ＝｛吣％…，％｝为有限的节点集，Ｅ＝ ｛ｅｉＩｑ，ｖｉｅ Ｖ｝为有限的边集，定义图Ｇ的权值矩阵为
为ｎ一２个数的排列，具体步骤如下。
图１两种遗传算法求解的性能比较
冀步骤２１篓选嚣取标亲号善最小鬈的嚣叶节 嚣点ｉ，：并并找到 找唯到一唯与之一相与之相４１结论～
连的父节点『；
本文分析ｒ传统的ＭＳＴ的局限性（实际上是度的约束
步骤３将ｉ作为编码的第一个数字；
和度的实现代价等问题）．并且在此基础上加以扩展，提出了
关键词：广艾最小生成树；遗传算法；混舍选择幕略
中图分类号：ＴＰ２０２
文献标识码：Ａ
ｏｎ掣岫ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｍｅｔｈｏｄ Ｉｍｓｅｄ
ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ掣删瑚枷ｚｅｄ
ｍｉｎｈｎｔｌｍ ｓｐａｎｎｉｎｇ ｔｒｅｅ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ＸＵ Ｌｅｉ，ＺＨＡＮＧ肺％
（＆姆ｏｆ皿帅切ｆ ａｎｄ蛳ｎ咖，凸捌袱ｒ☆ｇ，ｍｒｍ ｎ撕时．Ｃｈａ．＇ｑ幽４１００８２，ｃ拓Ⅺ）
吗≤ｑ，，＝１，…，ｎ
（３）
度约束最小生成树仍然是一种理想化的模型，因为它只是简
单的给出了度的限制。
为＿『使问题进一步接近于实际应用，本文提出了广义最
小生成树（ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｉｎｉｍｕｌＩＴｌ ｓｐａｎＩｄｎｇｔｒｅｅ，ＧＭＳＴ）。ＧＭＳ＇Ｉ＂的 不同之处在于，它认为节点度的存在是有代价的，并且对这 种代价进行了量化。定义度的权值为
定义生成树ｒ为图Ｇ中连接ｙ中所有节点的Ｆ的最小 子集，（即任何碾个节点之间有且仅有一条通路），则ＭＳＴ可 以描述为
Ｔ。＝吨ｎ∑¨
（２）
‘铲７
［ｆｉＳＴ是一种抽象的数学模型，它可以具体化为电力网
络、通信网络、交通道路等实际对象，此时ＭＳＴ的物理含义
就是系统的最小距离、最小费用或者最小损耗等指标。因此
为正。
够使解的质量大大提高。
交叉运算采用单点交叉，即产生一个随机的交叉点， 将双亲交义点以后的基因整体交换，形成两个新的个体。
变异运算单点变异是产生一个随机的变鼻点，用１。 ｎ问的一个随机数来代替该点基因；多点变异则是同时改变 两个随机位置的基因。
根据Ｐｄ舔＊编码规则，交叉和变异算子都不会产生非法 个体。
在两根及眺上的十线的分接处，要安装分配放大器或者
万方数据
：：：：：
至釜三耋主皇：ｊ：茎銮
分支放大器，接人居民住宅还需要其它终端装置。连接的支
路数越多，对应的装置要求也越高．所需的花费也随着增加。
假设具体数值（包括该点的下－级支路费用）如表２所示。
衰２线路分支点的附加费用
（元）
连接干线数
３
４
５
６
７
据种群成熟度自调整变异方式的变异算子，以及限制父代个
题．因此构造如下适应值函数
体保留数目的混合选择策略。最后，为了证明ＧＭＳＴ可以有
Ｆｉｔ（ｒ）＝３８ ０００一（∑”。＋∑｛（以））
（８）
０∈ｒ
＾２１
常数３８伽。根据估算和多次试探性计算得出，以保证适麻值
效地用于实际问题的优化求解，设计了一个模拟的有线电视 网络，并用ＧＭＳ＇Ｉ＂和改进的遗传算法对该网络进行建模和仿 真。仿真计算的结果表明，改进后的遗传算法有效可行，能
ｉｓ∞日ｌｊ刮．Ｔｈｅ ｌｈｅ础ｄ％ｗｅｅ Ａｂｓｔｒａｃｔ：＇ｌｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ０ｆ ｍｉｔｆｉｍｕｍ ｓｐａｎｎｉｎｇ ｔｒｅｅ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ａｎｄ ｉｔｓ ｌｉｉｎｉｔａｔｉｏｎ
ｃｏｓｔ。ｆ
ｉｓ
ａ蛳帅ｉｓ．ｓｅｄ ｃｏｍｉｄｅｒｅｄ ａｎｄ即伽商叫ｙ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ０ｆ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｍｉｒｍｍｍａ印ａＩ】面Ｉ】ｇ ｌｉｃｅ（ＧＭＳｒ）ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ Ｇｅｎｅｔｉｃ
提出了广义最小生成树的概念。采用遗传算法来求解最小生成树，井针对普通遗传算法求解该问题的不足，提出
了白调整的变异算子和限制父代个体数日的混合选择策略。通过一个有线电视网络的建摸与仿真，表明了广义最
小生成树模型的适用性。分剐采用普通遗传算法和改进后的遗传算法进行采解，井将结果进行比较，证明了改进 后的遗传算法的有效性。
５００
５１０
７４７
７ ５２３ ４２０ ６００ ３５０ ４４７ 符１
３６１ ４６ｌ
８ ７６６ ７２８ ９２２
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５３９
５８３
７８ｌ
５１０
５００ ３６１
７４７ ４６１ ｓ５８
８５８
干线系统采用优质低耗的同轴电缆，同时为了避免信号 过分衰减影响电视节目质量，还必须加装自动电平控制的干 线放大器和均衡器等。假设线路铺设的费用大约为 ３．７元／ｍ（包括器材成本、施工费用等）。
Ｔ’＝叫ｎ（∑ｑ＋∑｝（喀））
（５）
‘
ｏ∈ｆ
★２ Ｌ
可以认为，度约束最小生成树实际上是ＧＭＳＴ。Ｆ的‘个特例。
ＭＳＹ的扩展一般是ＮＰ难问题，不存在多项式时间解法。
根据图论计算中的Ｃａｙｌｅｙ定理，在一个／７，节点的完全图中，
有ｎ（ｎ。２’个不同的树。，对于３０个节点的完全图，总共有 ２．２８７ ７×１０”个牛成树，搜索卒间巨大。有衅研究者㈨１用
参数选择种群大小ｐｏｐｓｉｚｅ＝５０，“＝０ ６，ｍ＝０ １，
ｐ。Ｉ＝ｏ．０５，ｐ融＝ｏ ０５，合格系数Ｐ＝ｏ ９，成熟度阈值口Ｍｄ＝ ｏ ８５，优秀个体数目ｕ为１０，父代个体限制数目”为２５，初 始种群随机选出，进化１００代。
仿真计算采用Ｍａｔ］ａｂ６．１作为仿真工具，分别采用一 般遗传算法和本文所提出的改进遗传算法求解，各计算３０ 组。结果如图１所示。
白调整变异方式的变异算子定义种群的成熟度指标 为
ｒ／＝Ｆｉｔ。／Ｆｉｔ一
（７）
式中：ｎｋ。——当代种群的最大适应值。
ＧＭＳＴ一类的问题通常具有多个极值点，在进化的后期，
整个种群集中于一个狭小的空闻，子代个体与其父代的相似
程度高，即相当于常说的近亲繁殖，容易使问题陷入局部最
优，得不到满意解。在这种情况下，变异算子就成为扩大搜
步骤４删去节点ｉ和边‰得到ｎ一１节点的树；
Ｇｈ研’的概念，使之适用于实际的工程需要。由于ＧＭＳＴ是
步骤５重复以【．步骤，直到只剩下一条边。
具有多个极值点的组合优化模型，因此用一般的遗传算法对
解码按照完全相反的步骤即可。
其求所得的优化解的质量并不高。针对这一不足，提出ｒ根
定义适应值函数 由于Ｇｌ＇ｃｋＮｒ问题求解的是最小值问
索空间的最好工具。但是，过大的变异率不仅有违于自然规
律，而且将会使遗传算法退化为纯粹的随机搜索，因此更改
变异方式成为一种好的选择。本文设计了根据种群成熟度
自调整变异方式的变异算子。
在种群进化的早期，种群中个体的相似程度很小，搜索
空间较大，此时只采用变异率为ｐ柚的单点变异；当种群的成
熟度达到一定的程度时，可以考虑采用两种形式的变异方式
２００４年３月
兰誓耋兰：垫
文章编号：１００１－５０６Ｘ（２００４）０３－０３９０－０３
系统工程与电于技术
墅：譬：ｊ重：＝：翟＝＝：２：：尘：：
Ｍａｒ．２００４
：＝：：誓：：：：
广义最小生成树的遗传算法求解及应用
徐磊，章兢
（湖南大学电气与信息工程学院，湖南长沙４１００８２）
摘要：介绍了最小生成树的概念，分析了最小生成树在实际应用中的局限性。引八了节点的度的定义，据此
ＭＳ３＂问题的求解，在工程设计规划中，具有较高的实用价值。 以上模型并没有涉及节点度的问题。所谓节点的度（以
赢表示），是指与该节点相连的边的数目。在ｎ节点的生成
树中，度的理论最大值为ｎ一１．但是在实际工程中，节点的 度是不能任意选取的。例如，在通信网络的规划设计中，为 防止节点故障引起的网络的脆弱性，对节点的度有所限制。 为了解决这一矛盾，文献［１］提出了度约束最小生成树，即在 式（１）的基础上，增加约束条件
限制父代个体保留数目的混合选择策略：首先定义合格 个体的判断函数
。。。ｃｒ，＝｛：：萋善‘‘７’’”Ｆｉ’” ｃｅ， 式巾：Ｐ≥０．卜合格系数，ｎ‘。——当代种群的平均适
应值。 当种群中有几个适应值明显大于其余个体的“超级个
体”存在时，若采用传统的“轮盘赌”选择方式，会导致这些 个体迅速繁殖，经过几次迭代后占满了种群的位置，使种群 的多样性急剧下降。尽管此后仍可能产生隐含有优秀基因信 息的子代个体，但由于其数量少以及本身适应值不够高，被 淘汰的机率很大，不利于种群的进化。在这种情况Ｆ．可以认 为合格的子代干体应该具有比其父辈更高的选择概率。采取 的方针是：在保暗“个最优秀个体的同时，限制父代个体的 保留数目为”，以便把更多的选择机会留给合格的子代个 体。具体实施算法如下。
１
３３７ ６３８ ５７ｌ ７３８ ４７２ ５２３ ７６６ ９６９
２ ３３７
５１２
ⅫБайду номын сангаас
４４７ ６７３ ４２０
１篮 ７位
３ ６３８ ５１２
５６３ ５６６ ６３７ ６００
９监
６７５
４ ５７ｌ ３００ ５６３
４００ ４１２ ３５０ ５３９ ５８３
５
６
７３８
４４７
６７３
５６６ ４００
６３７ ４１２
３５８
３５８
７８１
遗传算法和进化规划来求解浚问题，取得ｒ比较好的结果。
本文同样采用遗传算法来求解ＧＭＳＴ问题。
２改进的遗传算法
遗传算法是模拟自然界生物进化过程的计算模型。与 传统的优化算法相比，遗传算法是一种高度并行、随机、自适 应的拿局搜索算法。它处理的对象是对参数集中进行了编 码的个体空间，并不需要梯度等高阶条件，因此非常适合解 组合优化一类的问题。但是遗传算法本质上也是一种随机 搜索算法，当搜索空间较大时，需要很大的计算量，而且容易 陷入局部最优，导致解的质量降低。本文在标准遗传算法的 基础上采取了如下优化措施，使算法能更加有效地求解 ＧＭＳＴ问题。
‘＝｛（ｄ），ｄ＝１，一，ｒｇ一１
（４ｊ
收稿日期：２００２—１１—１０；修回日期：２００３—０４—１５。 作者简介：绦磊（１９７８一），男，硕士研究生，主要研究方向为人工智能，智能控制。
万方数据
第２６卷第３期
广义最小生成树的遗传算法求解及应用
．３９１．
通常情况下｛足关于ｄ的单调非减函数。此时ＧＭＳＴ可以描 述为
同时进行：一种以％Ｉ进行单点变异，另～种以ｐｍ进行多点
变异，且满足
ｐ柚２ Ｐｍｌ＋Ｐｍ２
这样可在不改变总的变异率的情况下．使搜索空间最大化。
３应用与仿真
研究一个村级有线电视网络设计，要求以尽可能少的花 费来覆盖所有的地区。用户主要集中于９个地区，各地区之 间的相对距离如表１所示
表１各地区的相对距商
（ｍ）
８，
设备成本 ｌ ０５０ ２４蚰 ５ ８１０ ９１３０ １２ ６６０ １６８帅 ２ｌ ２００
●●＋｜Ｌ
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该问题可以归为ＧＭＳＦ问题。采用改进遗传算法求解
的过程如下。
染色体编码采用Ｐ舳数进行编码，将生成树表示成
运行次数 ＋：改进算浩．·一般抖“、
ｔｏ
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ｃｏｒｒｅｃｔ
ｇｉｒ印ｋ ｇｅａｅｔｉｃ出证ｄ帅ｉⅡｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ，Ｓｔ ｓｅｌｆ－呐ｕｓｆｉｎｇ ＩｌｇＪｌａｌＪＯｆｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｎｄ ａ ｈｙｂｒｉｄ
ｓｅｌｅｃ６０ｎ ｓｔｒａｔｅｇｙ ａｒｃ，ｋｓｉｇｅｅｄ．１ｌｍｍｇｈ ｔｈｅ ｍｏ＆ｎｉ”ｇ ａｎｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｂ ｃａ］ａｌｅ ｔｅｌｅｖｉｓｉｏｎ ｎｅｔｗｏｒｋ，ｔｈｅ ａｐｐｌｉ∞ｂａｉｔｙ ｏｆ ＧＭＳＴ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ａｌｇｏｉｔｈｍ ａｎｄ ｓｉｍｐｌｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓａｌｗ ｔｈｅ ｃａｂｌｅ ｔｅｌｅｖｉｓｉｏｎ ｎｅｔｗｏｒｋ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｎｄ ｔｈｅ ＣＯＩｌ— ｔｓａｓｔ ｏｆ ｔｈｅｉｒ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ珊ｅｃｄｖｅｒ№ｓ ０ｆ ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ口ｍ血ａｌｇｅｒｉｔｈｒｎ．
ｈ西ｎ 利用０ｍ函数找出子代中的合格个体； 在整个种群中选择ｕ个最优秀的个体； 用“轮盘赌”选择方式在整个种群中选出ｐｏｐｓｉｚｅ—ｕ个 新个体； 统计来自父代的个体数日；
ｉｆ来自父代的个体数大于ｐ ｔｈｅｎ 去除多余的父代个体，用“轮盘赌”选择方式在子代
中选出同样数目的合格个体米代替；
ｅｎｄ ｅｎｄ
Ｋｅｙ ｗｎｒ出：ｇｅｎｅｍｌｉｚｅｄ ｍｉｍｉｍｌｍ ｓｐａｎｎｉｎｇ ｔｒｅｅ；ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｈｙｂｒｉｄ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｓｔｒａｔｅｒｙ
１引言
最小牛成讨（１Ｉｌｉ血ｍｍ ｓｐａｎｍｎｇ ｔｒｅｅ，ＭＳＩ＂）问题是一个经 典的组合优化问题，其数学描述为：考虑一个连通的无向图 Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其中Ｖ＝｛吣％…，％｝为有限的节点集，Ｅ＝ ｛ｅｉＩｑ，ｖｉｅ Ｖ｝为有限的边集，定义图Ｇ的权值矩阵为
为ｎ一２个数的排列，具体步骤如下。
图１两种遗传算法求解的性能比较
冀步骤２１篓选嚣取标亲号善最小鬈的嚣叶节 嚣点ｉ，：并并找到 找唯到一唯与之一相与之相４１结论～
连的父节点『；
本文分析ｒ传统的ＭＳＴ的局限性（实际上是度的约束
步骤３将ｉ作为编码的第一个数字；
和度的实现代价等问题）．并且在此基础上加以扩展，提出了
关键词：广艾最小生成树；遗传算法；混舍选择幕略
中图分类号：ＴＰ２０２
文献标识码：Ａ
ｏｎ掣岫ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｍｅｔｈｏｄ Ｉｍｓｅｄ
ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ掣删瑚枷ｚｅｄ
ｍｉｎｈｎｔｌｍ ｓｐａｎｎｉｎｇ ｔｒｅｅ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ＸＵ Ｌｅｉ，ＺＨＡＮＧ肺％
（＆姆ｏｆ皿帅切ｆ ａｎｄ蛳ｎ咖，凸捌袱ｒ☆ｇ，ｍｒｍ ｎ撕时．Ｃｈａ．＇ｑ幽４１００８２，ｃ拓Ⅺ）
吗≤ｑ，，＝１，…，ｎ
（３）
度约束最小生成树仍然是一种理想化的模型，因为它只是简
单的给出了度的限制。
为＿『使问题进一步接近于实际应用，本文提出了广义最
小生成树（ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｉｎｉｍｕｌＩＴｌ ｓｐａｎＩｄｎｇｔｒｅｅ，ＧＭＳＴ）。ＧＭＳ＇Ｉ＂的 不同之处在于，它认为节点度的存在是有代价的，并且对这 种代价进行了量化。定义度的权值为