第2章 平面体系的机动分析

x
若连接的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
（3）刚性连接
看做一个刚片
12
一个单刚节点能使体系减少三个自由度，故 相当于三 个约束。连接n个刚片的复刚结点，相 当于n－1个单刚结点或3(n－1)个约束。
（4）瞬铰（虚铰）
两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个 简单铰所起的约束作用。故两根链杆可以看做在交 点处有一个瞬铰（虚铰）。 相交在∞点
约束为c
体系最后的自由度为： W＝3M－2n－3g－c
W——计算自由度 W≤0是体系为几何不变的必要条件并非充分条件。
【例】试求图示体系的计算自由度W。
n m3 n
m1 m4
n
m2 m5
n m6 g
(1) nm
m1 m4
(3)n
m2 m5
(1)n
m6 (3)g
3
m7
(3)n
m7
m8
c
m9 c
m8
(3)c
系位置所需的独立坐标数目。 （1）一个结点在平面内有两 个自由度，因为确定该结点在 平面内的位置需要两个独立的 几何参数x、y。
y
x
A
y
结点自由度
x
（2）一个刚片在平面内 有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需 要三个独立的几何参数x、 y、φ。
刚片自由度
y x y x φ
8
如何使体系成为几何不变体？ 三. 约束（外部约束、内部约束）
2－3几何不变体系的组成规则
1.三钢片规则
三个钢片用不同在一直线上的三个单铰两两铰联，组 成的体系是几何不变的，而且没有多余联系。
瞬变体系 为什么在三钢片规则中，要规定三个铰不在 同一直线上？
C点仍有可能在垂直于AB方向作微小的移动。这种 微小的移动，仅是在开始施加荷载的一瞬间发生， 过后，当两根链杆或三个铰不再处在一直线上时， 它就不变了，因而称为瞬变体系。
A
A
13
并非所有的约束都能减少体系的自由度。 多余约束——多加一根竖向支座链杆，体系仍然为几何不变， 自由度仍然为零而不会再减少。
四.平面体系的计算自由度 体系怎样才能成为几何不变呢？ 1.要有足够数量的约束
2.要布置得当
平面体系有钢片、铰、链杆组成 设钢片数为m 单铰数为n 单刚节点数为g 支座链杆数c 自由度数为3m 约束为2n 约束为3g
5
2－2 几何组成分析中的几个概念 一、刚片(rigid plate)——平面刚体。
形状可任意替换,无论其具体形状如何， 凡本身为几何形状不变者，则均可把它看作 为钢片。建筑物的地基或地球也可以看做是 一个钢片。
自由度和联系（约束）的概念
二.自由度
指体系运动时具有的独立运动方式数目，也就是
体系运动时可以独立变化的几何参数，或者说确定体
m8 m9
(1)n
(3)c
m=9，g=6，n=4, c=9
W = 3m-(3g+2n+c) = 3×9-(3×6+2×4+9) = -8
思考：
注意：用上述公式时A（或B）处的n=0 ,不是一个铰。
此处只是杆AC（或EB）的端点，而不是结构内部两杆 件所形成的铰结点。 m=13，g=0，n=16, c=7
Ⅰ
（Ⅰ，Ⅲ ）
（b）三杆件平行但不等长时，两钢片发生微小相对 移动后三杆件不再全平行，因此属瞬变体系。 （c）三杆件平行且等长，运动可以一直继续下去， 故为常变体系。
3.二元体规则
在钢片上增加一个二元体（两根不共线的链杆联结 一个节点的构造），仍为几何不变体系，而且没有 多余联系。
2－4 几何组成分析举例 【例】
对体系进行机动分析或者几何构造分析
一、几何构造分析的目的
1. 判断某个体系是否为几何不变体系，因为 只有几何不变体系才能作为结构使用；此
外应根据几何不变体系的规律设计新结构。
2. 正确区分静定结构与超静定结构。
二、基本概念
1. 几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状不会改变。
试求图示体系的计算自由度。
1 2 3
4
5
W = 3× 4－ 2× 3－ 6 = 0
W = 3× 7－ 3× 0－ 2× 7－ 6 = 1
总结
（1）W＞0，肯定是几何可变体
（2）W＝0，无多余约束，看约束的布置
（3）W＜0,有多余约束，但还是要看约束的布置。
W≤0是几何不变体系的必要条件，不是充分条件
【例】
1
Ⅱ
2
Ⅰ
3
Ⅲ
4
Ⅳ
5
6
【例】
【例】
【例】
（Ⅰ，Ⅱ）
Ⅰ
（Ⅰ，Ⅲ）
Ⅱ Ⅲ
（Ⅰ，Ⅲ） （Ⅰ，Ⅱ） （Ⅱ ，Ⅲ ）
（Ⅰ，Ⅱ）
Ⅰ
（Ⅱ ，Ⅲ ） （Ⅱ ，Ⅲ ）
Ⅰ
（Ⅰ，Ⅲ ）
【例】
【例】
【例】
【例】
（Ⅰ，Ⅲ （Ⅱ ，Ⅲ ） ） （Ⅰ，Ⅱ）
（Ⅱ ，Ⅲ ）
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
Ⅲ
（Ⅰ，Ⅱ）
（Ⅰ，Ⅲ ）
Ⅰ
*2-6 三钢片体系中虚铰在无穷远处的情况
第二章 平面体系的几何组成分析
2－1 几何不变体系和几何可变体系 杆件结构通常是由若干杆件相互联结而成的体系。
如果不考虑材料的变形，其几何形状与位置 均能保持不变，这样的体系称为几何不变体系。
在很小的荷载作用下，也会发生机械运动而不能 保持原有的几何形状和位置，这样的体系称为几何 可变体系。 在几何组成分析中，由于不考虑材料的变形，因此 可以把一根杆件或已知是几何不变的部分看作是一个刚 体，在平面体系中又将刚体称为钢片
3
几何不变体系
几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状是可以改变的。
几何可变体系
常变体系 瞬变体系 叫作常变体系。
4
常变体系 ——可以发生大位移的几何可变体系
瞬变体系——本来几何可变，经微小位移后又成
为几何不变的体系称为瞬变体系。
o
常变体系
A
B
C
瞬变体系
B1
几何可变体系不能作为结构来使用。
虚铰在无穷远处时，如何判定体系是否是几何不变的？
（1）一铰无穷远
（a）一铰无穷远，其与另二铰连线不平行，则为几 何不变。 （b）无穷远的虚铰与另二虚铰连线平行，则为几 何瞬变体。 （c）无穷远的虚铰与另二实铰连线平行，则为几 何常变。
（2）两铰无穷远
（a）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互不平行， 则体系为几何不变 （b）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互平行， 则体系为几何瞬变
（c）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互平行且 相等，则体系为几何常变
（3）三铰无穷远
平面上所有无穷远点均在同 一条直线上，这条直线称为 无穷远直线。
由上可知，三虚铰均在无穷远，体系是几何瞬变
【例】
（Ⅰ，Ⅱ）
Ⅰ
（Ⅰ，Ⅲ）
Ⅱ Ⅲ
（Ⅰ，Ⅲ） （Ⅰ，Ⅱ） （Ⅱ ，Ⅲ ）
（Ⅰ，Ⅱ）
Ⅰ
（Ⅱ ，Ⅲ ） （Ⅱ ，Ⅲ ）
限制物体或体系运动的装置称为联系（或约束）， 体系的自由度可因加入约束而减少，能减少一个自由 度的装置称为一个联系。
约束的种类 （1）链杆 简单链杆 仅连接两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。
y
2 3 x 1 y
链杆约束
x, y, 1 , 2 , 3
2.两钢片规则 II
A
1
I
两个钢片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，为 几何不变体系体系而且没有多余联系； 或者两个钢片用三根不全平行也不交于同一点的链杆 相联，为几何不变体系，而且没有多余联系。
例题
（a）三根链杆交于同一点，两钢片可绕交点 o转动， 但发生微小转动后三杆不交于一点，几何瞬变体系。
x
10
（2）铰 简单铰 只与两个刚片连接的铰称为简单铰。
一个简单铰能减少两个自由度，故相当于两个 约束。
复杂铰 与三个或三个以上刚片连接的铰称为
复杂饺。
11
y x
II
2 I 1
y
III
II
x
3 2 I 1
y
x
铰约束
y
2(3-1)=4
x, y, 1 , 2
x, y, 1 , 2 , 3
m9 (3)c
m=9，g=3，n=8, c=6
W = 3m-(3g+2n+c) = 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
【例】试求图示体系的计算自由度。
m1
(1)g m4 (1)n m2 (2)g m3 (3)c m5 m7 (3)c (1)n (1)g m6 (2)g (1)n
计算单刚结点数时，可把铰接 杆当作不存在；计算铰结点数 时，把刚接各杆看作一个刚片。