2020中考数学 几何专题：特殊的平行四边形(含详解版)
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2020中考数学 几何专题：特殊的平行四边形（含答案）
例1 矩形的性质
（1）如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α=∠________度．
（2）矩形边长为10和15，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）
A ．6和9
B ．5和10
C ．4和11
D ．7和8
（3） 如图，矩形ABCD
中，120AOD BC ∠=︒=，，则下列结论：①AOB △是等边三角形②130∠=︒
③3cm AB =④6cm AC =
⑤2ABCD S =矩形．其中正确的有（ ）
A ．①②③
B ．①②③④
C ．②③④⑤
D ．①②③④⑤
(4) 如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点，AE BD ⊥，垂足为E
．若2OD OE AE =，则DE 的长为________．
【答案】（1）30；（2）B ；（3）D ；（4）3
例2 矩形模型 （1）如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE BD ⊥，垂足为E ，:3:1DAE BAE ∠∠=，则EAC ∠的度数为_______．
α60°l
m D
C
B
A
O 1D
C B
A
第14题图
E O
C
B
D
A
A B
（2）如图所示，矩形ABCD 内一点P 到A 、B 、C 的长分别是2、3、4，则PD 的长为_______．
（3）已知，如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，如果3AB =，4AD =，那么PE+PF=_______．
【答案】（1）45︒；（2
（3）
12
5
例3 矩形的判定
（1）在四边形ABCD 中，AB DC =，AD BC =．请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形．你添加的条件是________．（写出一种即可）
【答案】AC BD =或AB BC ⊥或90ABC =︒∠（答案不唯一）
（2）如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于点M ，若MA=MC ，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN 是矩形．
证明：∵CN ∥AB ， ∴∠DAC=∠NCA ， 在△AMD 和△CMN 中，
∵∠DAC ＝∠NCA ，MA ＝MC ，∠AMD ＝∠CMN
∴△AMD ≌△CMN （ASA ）， ∴AD=CN ． 又∵AD ∥CN ，
∴四边形ADCN 是平行四边形． 又∵∠BAN=90度，
∴四边形ADCN 是矩形．
P
D
C
B
A
A
B
C
D
P
E F
（3）如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．
【答案】∵四边形ABCD 为平行四边形
∴AB CD ∥，AD BC ∥
∵AQ 、BN 分别是DAB ∠、ABC ∠的平分线 ∴180BAD ABC ∠+∠=︒ ∴90QPN ∠=︒
同理90PQM QMN MNP ∠=∠=∠=︒ ∴四边形PQMN 是矩形．
例4 （1）如图，已知菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若6AC =，4BD =，则菱形ABCD 的周长是（ ）
A ．24
B ．16
C
．
D
．（2）如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的高DE 为（ ） A ．2.4cm
B ．4.8cm
C ．5cm
D ．9.6cm
（3）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，则△DEF 的周长为_______
（4）如图，把菱形ABCD 沿AH 折叠，使B 点落在BC 上的E 点处，若70B =︒∠，则AED ∠的大小为（ ）
N
M
Q
P
D
C
B
A
O
D
C B
A
A ．60︒
B ．55︒
C ．65︒
D ．70︒ （5）如图，在菱形ABCD 中，80BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点
E ，点
F 为垂足，连接DE ，则CDE ∠=（ ）
A ．80︒
B ．70︒
C ．65︒
D ．60︒
（6）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 是对角线AC 上的一个动点，点E 是AB 边上的中点，则PB PE +的最小值为（ ）
A ．2
B
．
C
． D ．4
【答案】（1）C ；（2）B ；（3
）（4）B ；（5）D ；（6）B
能力提升
例5 菱形的判定
（1）已知：如图，平行四边形的对角线、相交于点，且，，
求证：平行四边形是菱形；
A
B
C
D
E
H
F
A
B
C
D
E
ABCD AC BD O 10AB =5AO =BO =ABCD