3.3向量空间

2 3 2 (b1 , b2 ) = ( a 1 , a 2 , a 3 ) 3 1 4 3 1 . 2 3
思考题
设V = {x = ( a , b ) 运算如下 : 加法 : (a , b ) ⊕ ( c , d ) = ( a + c , bd ), 数乘 : k o (a , b ) = (lg a , b k ), k ∈ R V是不是向量空间 ? 为什么 ?
T
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V2 = x = (1, x 2 , L , x n ) x 2 , L , x n ∈ R
T
{
}
解
V2不是向量空间 .
因为若 α = (1, a 2 ,L, a n ) ∈ V2 ,
T
则2α = (2,2a 2 , L ,2a n ) V2 .
T
维向量， 例4 设a, b为两个已知的 n维向量，集合
V = {x = λa + b λ , ∈ R} 试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间
解 V是一个向量空间 .因为若 x1 = λ1a + 1b x 2 = λ 2 a + 2 b， 则有
x1 + x 2 = (λ1 + λ 2 )a + ( 1 + 2 )b ∈ V ,
： 向量空 的
{( x, y,z) ax+by+cz=d} {r =( x, y,z)
P( x, y, z)
T
ax+by+cz=d}
T
r = ( x, y, z)
n 维向量没有直观的几何形象． n > 3时， 维向量没有直观的几何形象．
R = x = ( x1 , x 2 ,L, x n ) x1 , x 2 ,L, x n∈ R
r2 2r1 r3 ~ r1 +
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
r2 2r1 r3 ~ r1 +
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
r2 ÷ ( 3)
r3
~3 ÷
1 1 1 1 3 0 1 0 2 1 3 5 5 0 1 1 3 3
向量的内积
一、内积的定义及性质
定义1 设有n 定义1 设有 维向量 x1 y1 x2 y2 x = , y = , M M x y n n 令 [ x , y ] = x1 y1 + x2 y2 + L + x n yn
称 [ x , y ]为向量 x 与 y 的 内积 .
维向量的全体R 例1 3 维向量的全体 3 , 是一个向量空间. 因为任意两个 3维向量之和仍然是 3维向量 , 数
λ乘 3维向量仍然是 3维向量，它们都属于 R 3 . 维向量，
判别下列集合是否为向量空间. 例2 判别下列集合是否为向量空间
V1 = x = (0, x 2 , L , x n ) x 2 , L , x n ∈ R
线性表示 .
的一个基， 解 要证a1 , a2 , a3是R 3的一个基，只要证 a1 , a 2 , a 3 线性无关， 线性无关，即只要证 A ~ E .
设 即
b1 = x11a1 + x 21a 2 + x 31 a 3 , b2 = x12 a 1 + x 22 a 2 + x 32 a 3，
因此 V2 V1 . 因为 V1 V2，V2 V1，所以 V1 = V2 .
二、向量空间的基与维数
定义3 是向量空间， 定义3 设 V 是向量空间，如果 r 个向量 α1 ,α2 , ， L,αr ∈V 且满足
(1) α 1 , α 2 , L , α r 线性无关 ;
( 2) V中任一向量都可由 α 1 ,α 2 ,L ,α r 线性表示 .
α β = 18 = 2 解 Q cosθ = 3 26 2 α β π ∴θ = .
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当[ x , y ] = 0时, 称向量x与y 正交.
由定义知 , 若 x = 0, 则 x 与任何向量都正交 .
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交， 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 量组为正交向量组．
T
{
}
解 V1是向量空间 .
因为对于 V1的任意两个元素
α = (0, a 2 , L , a n ) , β = (0, b2 , L , bn ) ∈ V1 ,
T T
有
α + β = (0, a 2 + b2 ,L, a n + bn ) ∈ V1
T
λα = (0, λa 2 , L , λa n ) ∈ V1 .
x11 (b1 , b2 ) = (a1 , a 2 , a 3 ) x 21 x 31 记作B = AX .
x12 x 22 , x 32
施行初等行变换， 对矩阵( AM B )施行初等行变换，若 A能变为 E， 的一个基， 则a1 , a 2 , a 3为R 3的一个基，且当 A变为E时，B变为 X = A B.
kx1 = ( kλ1 )a + ( k 1 )b ∈ V .
这个向量空间称为由向 量a , b所生成的向量空 间.
一般地， 一般地， 由向量组a1 , a2 ,L, am所生成的向量空 为 间
V = {x = λ1a1 + λ2a2 + L+ λmam λ1 ,λ2 ,L,λm ∈ R}
例5 记 V2 = {x = 1b1 + 2 b2 + L + s bs 1 , 2 ,L s ∈ R} 试证： V1 = V2 . 试证： V1 = {x = λ1 a1 + λ 2 a 2 + L + λ m a m λ1 , λ 2 ,L, λ m ∈ R} 等价， 设向量组 a1 ,L, a m 与向量组 b1 ,L, bs 等价，
1
2 1 1 4 2 ( AM B ) = 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2
1 ( r1 + r2 + r3 ) 3
1 1 1 3 1 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2
~
1 ( r1 + r2 + r3 ) 3
~
1 1 1 3 1 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2
二、向量的模及性质
定义2 定义2 令
x =
[x, x] =
2 2 2 x1 + x2 + L + xn ,
或长度,范数 或长度 范数) 称 x 为 n 维向量 x 的 模(或长度 范数 . 向量的模具有下述性质： 向量的模具有下述性质： 1. 非负性当 x ≠ 0时, x > 0;当 x = 0时, x = 0; 2. 齐次性 λx = λ x ;
内积的运算性质
(其中 x , y , z 为n维向量 , λ为实数 ) : (1) [ x , y ] = [ y , x ];
( 2) ( 3)
[λx , y ] = λ [ x , y ]; [x +
y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ];
(4)[ x , x ] ≥ 0, 且当x ≠ 0时有[ x , x ] > 0.
ψ
( ≤ ≤ ) 2 2 (π < ψ ≤ π )
π
π
(0 ≤ θ < 2π ) 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 飞机重心在空间的位置参数
所以，确定飞机的状态，需用 维向量 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a = ( x, y, z,,ψ ,θ )
θ
一、向量空间的概念
定义1 维向量的集合， 非空， 定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空， 对于加法及乘数两种运算封闭， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 为向量空间． 集合 V 为向量空间． 说明: ． 说明 1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指 若α ∈ V , β ∈ V , 则 α + β ∈ V ; 若α ∈ V , λ ∈ R, 则 λα ∈ V . n 维向量的集合是一个向量空间 记作 R n. 2． 维向量的集合是一个向量空间,记作 ．
那末， 那末，向量组 α 1 ,α 2 ,L ,α r 就称为向量 V 的一个
r 的维数， 基， 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量 空间． 空间．
说明 （1）只含有零向量的向量空间称为 维向量 ）只含有零向量的向量空间称为0维向量 空间，因此它没有基． 空间，因此它没有基． 看作向量组， （2）若把向量空间 V看作向量组，那末 V 的基 ） 就是向量组的最大无关组, 就是向量组的最大无关组 V 的维数就是向量组的 秩. （3）若向量组 α 1 ,α 2 ,L ,α r是向量空间 V的一 ） 个基， 个基，则 V 可表示为
T
a , b ∈ R + , 定义加法与数乘
}
思考题解答
解 V不是向量空间 .
显然,V对加法封闭,因为两个正实数的和与 积 还是正实数 . 但V对乘法不封闭.
比如V中的元素(1, b ), 对任意实数 k , k o (1, b ) = (lg 1, b k ) = (0, b k ) V .
3.3.2
r2 ÷ ( 3)
r3
~3 ÷
1 1 1 1 3 0 1 0 2 1 3 5 5 0 1 1 3 3
2 1 0 0 3 0 1 0 2 3 0 0 1 1 4 3 1 2 3
r1 r3 r3
~r
2
2 4 1 0 0 3 3 初等行变换 0 1 0 2 1 ( A B) ~ 3 2 0 0 1 1 3 因有A ~ E，故a1 , a 2 , a 3为R 3的一个基，且 的一个基，