特征根与特征向量
特征根与特征向量
特征根与特征向量特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念，广泛应用于各个学科的数学模型和问题求解中。
首先，我们先来了解一下什么是特征值和特征向量。
特征值是指在线性变换中，每一个向量在线性变换后与原向量方向相同或相反的数值。
如果一个向量在线性变换之后只被缩放而没有改变方向，那么这个缩放因子就是特征值。
特征向量是指在线性变换中，仅被线性变换缩放而没有改变方向的非零向量。
特征向量与特征值一一对应。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k为常数，那么k就是A的一个特征值，x就是对应于这个特征值的特征向量。
接下来，我们来讨论一下特征根与特征向量在实际问题中的应用。
特征值与特征向量在多个领域都有重要的应用，包括物理学、统计学、计算机学科等等。
在物理学中，特征值与特征向量经常被用来描述量子力学中的量子态。
例如，电子在磁场中的自旋矩阵可以通过求解特征值和特征向量得到。
在统计学中，特征值与特征向量被广泛应用于多元数据分析和主成分分析。
矩阵的特征向量提供了原始数据向新坐标系的映射，而特征值则提供了新坐标系的重要性。
在计算机科学中，特征值与特征向量在图像处理、模式识别和机器学习等领域有重要的应用。
例如，通过对图像矩阵求解特征值和特征向量，可以实现图像压缩和特征提取。
特征值与特征向量还可用于解线性方程组、求解微分方程和研究动力系统的稳定性等问题。
此外，特征值与特征向量还有一些有趣的性质。
首先，特征值可重复。
一个矩阵可以有重复的特征值，也可以有多个相互独立的特征向量对应于同一个特征值。
其次，特征值与特征向量之间的关系可以通过矩阵特征分解来表示。
对于一个n阶方阵A，特征分解可以写作A=QΛQ^-1，其中Λ是一个对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，Q是由A的特征向量组成的矩阵。
特征分解可以将一个复杂的矩阵分解为特征向量和特征值的简单组合。
特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用价值。
高等代数 第8章线性变换 8.5 不变子空间 特征值 特征向量
b1 1 b2 2 bn n
是属于的特征向量的充分 必要条件是： b1 0 b2 0 I A b 0 n
推论1：设n维线性空间V上的 线性变换在基底上的表示阵 为A，是的特征根，则 V 是由V中坐标（在基底上的） 满足齐次线性方程组：
（证明略）
定义2：设是线性空间V上的 线性变换，是数域F中的一个 数，如果存在一个非零 向量 使得（） 则称是 的特征根，称 为属于特征根
的特征向量。
定理1：设V是n维线性空间， ， ， ， 是它的基底， V 上 1 2 n 的线性变换在基底上的表示阵 为A，是的特征根，则向量
b11 b1r b21 b2 r 1 ,, r 则： b b n1 nr k 1 1 k 2 2 k r r 即为
的属于 0 的特征向量。
Байду номын сангаас
特征根与特征向量的性质
定理1：若n维线性空间V的线性变换
在某基底 1， ， 2， n 上的表示阵
为A，A的特征多项式为： （） I A，如果 0 是其K重根 V V （）
0
则V
的维数不超过 K，这里：
0
0
定理2： 对应于的不同特征根的特征 向量是不同的 推论：如果n维线性空间的线性变换 有n个不同的特征根那么它有n 个线性无关的特征向量，因此 在这些特征向量上的表示阵是 对角阵。
不变子空间，特征根与特征向量
定义1 设是数域F上线性空间V的线性变换， W是V的子空间，如果
则称W在之下不变，简称W为V的 —子空间。
命题1：设S是V n 子空间， t 是S 1， 2， 的基底，是V n 的线性变换，则 S是的 不变子空间的充分必要 条件是：
特征根与特征向量
程组（ I-A）X= 0的一个基础解系
｛η1，η2，…，ηn｝给出. （其中βi=(α1，α2，…，αn)ηi, i=1,2, …,r）.
2. 矩阵的特征多项式与特征根
定义3 设A=(aij)是数域F上的一个n阶矩阵，
行列式
x a11 a12
称为σ 的属于特征根 的特征子空间． 当 是σ 的特征根时,Vλ ≠{0},因此,Vλ 含有
无限多个向量.但我们只要求出Vλ的一个基.
Vλ就被确定了． 4. 几个例子
例 1 在 V3 中，σ 是关于过 原点的平面 H 的反射，它 是一个线性变换．那么 H 中的每个非零向量都是 σ 的属于特征根 1 的特征向 量，Vλ 就是平面 H．与 H 垂直的非零向量都是 σ 的 属于特征根 -1 的特征向 量，即 V-1 就是直线 L（见 图 6.5）
① 在R内，A只有特征根1，A的属于特征根1 的特征向量为k（2，-1，-1），k∈R，k≠0． ② 在C内，A有特征根λ1＝1，λ2＝i, λ3＝-i. A的属于特征根1的特征向量为k（2，-1，-1），
k∈C，k≠0；A的属于特征根i的特征向量为 K1(-1+2i,1-i,2), k1∈C, k1≠0 A的属于特征根-i的特征向量为k2(-1-2i,1+i,2), k2∈C, k2≠0 注意：求A的特征根时，要考虑给定的数域， 假设没有指定数域，就在C内讨论；表示属于某 个特征根的特征向量(关于基础解系)组合系数 要取自指定的数域F(或C)，且不全为零．
换．假如对应F中的一个数λ，存在V中的非零向
量ξ，使得σ（ξ）=λξ
（1）
那么λ就叫做σ的一个特征根（值），而ξ叫做
组合数学特征根为共轭复根的通解
组合数学是数学的一个重要分支，它研究的是离散对象的组合和排列问题。
在组合数学中，特征根和通解是一些重要的概念，而当特征根为共轭复根时，其通解也具有一些特殊的性质。
本文将结合组合数学的理论知识，对特征根为共轭复根的通解进行深入探讨。
一、特征根和特征向量的概念在矩阵论中，特征根和特征向量是非常基础且重要的概念。
设A是n 阶矩阵，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
二、特征根为共轭复根的矩阵对于一个n阶矩阵A，如果其特征多项式有共轭复根，那么A的特征根也会成对出现。
即如果λ是A的特征根，则其共轭复根必定也是A 的特征根。
这就意味着A的特征根存在复数，且成对出现。
三、特征根为共轭复根的通解对于一个n阶矩阵A，如果其特征根为共轭复根，那么它的通解也会具有一些特殊的性质。
设λ=a+bi是A的特征根，则其共轭复根为λ=a-bi。
根据线性代数的知识，如果λ=a+bi是A的特征根，则其共轭复根λ=a-bi也是A的特征根，则对应于这两个特征根的特征向量x1和x2也分别是共轭复数。
四、特征根为共轭复根的通解的表达式当A的特征根为共轭复根时，其通解的表达式可以表示为：x(t)=C1*e^(a*t) * cos(b*t) * v1 + C2*e^(a*t) * sin(b*t) * v2其中C1和C2是任意常数，v1和v2是对应于特征根λ=a+bi和λ=a-bi的特征向量。
五、特征根为共轭复根的通解的几何解释特征根为共轭复根的通解有着非常重要的几何意义。
从上面的通解表达式可以看出，通解可以表示为两个分量的线性组合，其中一个分量是指数函数与余弦函数的乘积，另一个分量是指数函数与正弦函数的乘积。
这就意味着通解是由两个振动频率相同，幅值和初相位不同的振动组成。
六、特征根为共轭复根的通解的物理意义特征根为共轭复根的通解在物理学中有着广泛的应用。
振动是自然界中非常常见的现象，而共轭复根的特征根恰好可以描述振动的幅值和相位的变化规律。
怎么根据特征根求单位正交化特征向量例题
特征根和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在矩阵和向量的运算中起着至关重要的作用。
单位正交化特征向量是一种常见的线性代数操作，它可以将特征向量变换成正交的向量，从而简化计算过程并且便于理解。
在本文中，我们将讨论如何根据特征根求单位正交化特征向量，并通过例题详细展示实际操作过程。
1. 特征根和特征向量的概念在矩阵运算中，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量v使得满足Av=λv，其中λ为实数，则称λ为矩阵A的特征根，v为矩阵A的特征向量。
特征根和特征向量的求解是矩阵运算中的重要问题，它们有助于理解矩阵的性质和变换过程。
2. 求解特征根和特征向量特征根和特征向量的求解是通过解决矩阵特征方程来实现的。
对于一个n阶矩阵A，其特征方程为|A-λE|=0，其中E为n阶单位矩阵，通过求解特征方程可以得到矩阵A的n个特征根。
通过代入特征根到方程(A-λE)v=0中，可以求解得到对应的特征向量。
3. 单位正交化特征向量的概念在实际计算中，我们经常需要对特征向量进行正交化处理。
特征向量的正交化可以简化计算公式并且易于理解，使得矩阵运算更加规范化。
对于实对称矩阵来说，单位正交化特征向量是存在的。
4. 根据特征根求单位正交化特征向量的例题以实对称矩阵为例，假设给定矩阵A的特征根为λ1，λ2，…，λn，对应的特征向量分别为v1，v2，…，vn。
现在我们要求解单位正交化特征向量。
步骤1：计算特征向量的模我们首先计算每个特征向量的模，即|vi|，其中i=1,2,…,n。
步骤2：特征向量的单位化对于每个特征向量vi，进行单位化处理，即将其除以模得到单位特征向量ui=vi/|vi|。
步骤3：特征向量的正交化对于单位特征向量ui和uj，如果它们对应不同特征根，则它们正交；如果它们对应相同特征根，则需要进行正交化处理，使得它们正交。
步骤4：得到单位正交化特征向量经过上述处理，我们可以得到矩阵A的单位正交化特征向量。
5. 总结特征根和特征向量是矩阵运算中的重要概念，求解特征根和特征向量有助于理解矩阵的性质和变换过程。
特征根和特征向量
7.5 特 征 根 和 特 征 向 量教学目的：1． 熟悉掌握线性变换（矩阵）的特征根与特征向量的方法。
2． 掌握特征根与特征向量的一些常用的性质。
教学内容:1．线性变换的特征根与特征向量：一维不变子空间和所谓特征根的概念有着密切的联系，后者无论在理论上还是在应用上都是非常重要的。
设V 是数域F 上一个向量空间。
σ是V 的一个线性变换。
定义1 设λ是F 中一个数。
如果存在V 中非零向量ξ，使得（1） ()λξξσ=那么λ就叫做σ的一个特征根，而ξ叫做σ的属于特征根λ的一个特征向量。
显然，如果ξ是σ的属于特征根λ的一个特征向量，那么对于任意a ∈F ，都有 )()()(ξλλξξσξσa a a a ===这样，如果是的一个特征向量，那么由所生成的一维子空间在之下不变；反过来，如果V 的一个一维子空间U 在之下不变，那么U 中每一个非零向量都是的属于同一特征根的特征向量。
例1 令H 是的一个过原点的平面，而是把的每一向量变成这个向量在H 上的正射影的线性变换（参看7.1,例题）。
那么H 中每一个非零向量都是的属于特征根深蒂固的特征向量，而过原点与平面H 垂直的直线上每一个非零向量都是的属于特征根的特征向量。
例2 令D 表示定义在全体实数上的可微分任意次的实函数所成的向量空间。
)()(:x f x f ' δ是求导数运算。
δ是D 的一个线性变换。
对于每一个实数λ，我们有xxe e λλλδ=)(所以任何实数λ都是δ的特征根，而xe λ是属于λ的一个特征向量。
例3 令F[x ]是数域F 上一切一元多项式所成的向量空间。
容易证， )()(:x xf x f σ是F[x ]的一个线性变换。
比较次数可知，对于任何F ∈λ，都不存在非零多项式)(x f ，使)()(x f x xf λ=，因此σ没有特征根。
设V 是数域F 上一个n 维向量空间。
取定V 的一个基{}n ααα,,,21 ，令线性变换σ关于这个基的矩阵是.)(nn ij a A =如果n n x x x αααξ+++= 2211是线性变换σ的属于特征根λ的一个特征向量，那么由（1）和定理7.3.1，我们有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x x x x A 2121λ,或(2) .000)(21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- n x x x A I λ因为0≠ξ，所以齐次线性方程组（2）有非零解。
特征根和特征向量
特征根和特征向量在线性代数中，矩阵的特征根（eigenvalue）与特征向量（eigenvector）是非常重要的概念。
特征根和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质以及解决许多与矩阵相关的问题。
接下来，我将详细介绍特征根和特征向量的定义、性质以及它们在实际中的应用。
首先，我们来定义特征根和特征向量。
给定一个n阶矩阵A，如果存在一个实数λ和非零向量v，使得满足Av=λv，则称λ为矩阵A的特征根，v称为矩阵A对应于特征根λ的特征向量。
特征根和特征向量有着许多重要的性质。
首先，矩阵的特征根和特征向量是成对出现的。
也就是说，对于矩阵A的特征根λ和特征向量v，如果v是一个特征向量，则对应于λ的特征向量仍然是v的倍数。
这意味着一个特征根可以对应多个线性无关的特征向量。
其次，特征根和特征向量提供了关于矩阵性质的重要信息。
例如，特征根可以用来求解矩阵的行列式和迹。
特征根的和等于矩阵的迹，而特征根的乘积等于矩阵的行列式。
此外，特征根还可以用来判断矩阵的可逆性。
如果矩阵A的特征根都不为零，则矩阵A是可逆的。
特征根和特征向量在实际中有着广泛的应用。
首先，它们在物理学中有着重要的意义。
在量子力学中，特征向量对应于态矢量，而特征根对应于测量物理量的结果。
其次，特征根和特征向量在图像处理、数据压缩和模式识别等领域也得到了广泛应用。
在图像处理中，特征向量可以用来表示图像的特征，而特征根可以用来评估图像的相似性。
此外，在机器学习中，特征根和特征向量也是常用的特征提取和降维技术。
最后，特征根和特征向量的计算可以通过特征值问题来实现。
特征值问题是指求解矩阵A的特征根和特征向量的问题。
可以通过求解矩阵A减去λI的行列式为零的方程来得到特征根，进而通过解线性方程组来得到特征向量。
对于n阶矩阵A，可以得到n个特征根和对应的n个特征向量。
综上所述，特征根和特征向量是矩阵分析中非常重要的概念。
它们提供了关于矩阵性质的重要信息，且在实际应用中具有广泛的应用。
13-层次分析法特征根以及其他特别问题
P1,P2只作教学 P4只作科研 只作教学, 只作科研, P3兼作教学、科研。 兼作教学、科研。 C1,C2支配元素的数目不等
重要性相同, 若C1,C2重要性相同 w(2)=(1/2,1/2)T, P1~P4能力相同 w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T 能力相同, 公正的评价应为： 公正的评价应为： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 • 不考虑支配元素数目不等的影响 仍用 w ( 3 ) = W ( 3 ) w ( 2 ) 计算 • 支配元素越多权重越大 w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T 教学、 教学、科研任务由上级安排
用拟合方法确定w 用拟合方法确定
wi min , n ) ∑ ∑ a ij − w ( i = 1 ,L i =1 j =1 wj
n n
i
2
非线性 最小二乘
2
线性化—— 线性化 对数最小பைடு நூலகம்乘
wi min , n ) ∑ ∑ ln a ij − ln w ( i =1 ,L i =1 j =1 wj
A w = λw
mi~A第i 行 第 中θ的个数
6. 更复杂的层次结构 • 递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和 递阶层次结构：层内各元素独立， 支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。 支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。 • 更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响 更复杂的层次结构： 或支配；层间存在反馈或循环。 或支配；层间存在反馈或循环。 例
2 6 列向量 1 例 A = 1/ 2 1 4 归一化 1/ 6 1/ 4 1
特征值与特征向量定义与计算
特征值与特征向量特征值与特征向量的概念及其计算定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，l是一个未知量，称为A的特征多项式，记ƒ(l)=| lE-A|，是一个P上的关于l的n次多项式，E是单位矩阵。
ƒ(l)=| lE-A|=l n+a1l n-1+…+a n= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。
特征方程ƒ(l)=| lE-A|=0的根(如：l0) 称为A的特征根(或特征值)。
n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P 也有关。
以A的特征值l0代入(lE-A)X=q，得方程组(l0E-A)X=q，是一个齐次方程组，称为A的关于l0的特征方程组。
因为|l0E-A|=0，(l0E-A)X=q必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于l0的特征向量。
所有l0的特征向量全体构成了l0的特征向量空间。
一.特征值与特征向量的求法对于矩阵A，由AX=l0X，l0EX=AX，得：[l0E-A]X=q即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：即说明特征根是特征多项式|l 0E-A| =0的根，由代数基本定理有n个复根l1, l2,…, l n，为A的n个特征根。
当特征根l i (I=1,2,…,n)求出后，(l i E-A)X=q是齐次方程，l i均会使|l i E-A|=0，(l i E-A)X=q必存在非零解，且有无穷个解向量，(l i E-A)X=q 的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。
例1. 求矩阵的特征值与特征向量。
解：由特征方程解得A有2重特征值l1=l2=-2，有单特征值l3=4对于特征值l1=l2=-2，解方程组(-2E-A)x=q得同解方程组x1-x2+x3=0解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)分别令自由未知量得基础解系所以A的对应于特征值l1=l2=-2的全部特征向量为x=k1x1+k2x2 (k1,k2不全为零)可见，特征值l=-2的特征向量空间是二维的。
三阶矩阵特征根
三阶矩阵特征根引言矩阵是线性代数中的重要概念，用于描述线性变换和线性方程组。
其中，特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念之一。
本文将介绍三阶矩阵的特征根及其相关概念。
特征根与特征向量在讨论三阶矩阵的特征根之前，我们首先需要了解什么是特征根以及与之相关的概念——特征向量。
特征向量对于一个n维向量空间V，若存在一个非零向量x使得对于任意一个属于V的向量v都有Av=λv（其中A为n×n的方阵，λ为常数），则称x为A的一个特征向量，λ为其对应的特征值。
特征根对于n×n矩阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx（其中λ为常数），则称λ为A的一个特征值或者特征根。
三阶矩阵的求解方法在了解了什么是特征值和特征向量后，我们接下来将介绍如何求解三阶矩阵的特征根。
对于一个三阶矩阵A，我们可以通过求解其特征方程来获得其特征根。
特征方程的一般形式为：det(A-λI) = 0其中，A为一个3×3矩阵，λ为特征根，I为单位矩阵。
我们可以通过求解上述特征方程来得到三个特征根。
下面将介绍具体的求解步骤。
步骤一：计算行列式首先，我们需要计算行列式det(A-λI)的值。
其中，A为给定的三阶矩阵，λ为待求的特征根，I为单位矩阵。
步骤二：化简行列式将行列式det(A-λI)进行化简，得到一个关于λ的多项式表达式。
这个多项式称为特征多项式。
步骤三：求解特征方程将特征多项式设置为0，并解出关于λ的方程。
这个方程即为特征方程。
步骤四：求解特征根通过求解特征方程，我们可以得到三个不同的特征根。
这些特征根即是所要求解的三阶矩阵A的特征值或者特征根。
示例为了更好地理解三阶矩阵特征根的求解过程，我们举一个具体的例子来演示。
假设我们有一个三阶矩阵A如下：A = | 1 2 3 | | 4 5 6 | | 7 8 9 |我们将按照上述步骤来求解该矩阵的特征根。
步骤一：计算行列式首先，我们需要计算行列式det(A-λI)的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3. 线性变换的特征根与矩阵的特征根的关系 （1）如果σ关于某个基的矩阵是A,那么σ的特 征根一定是A的特征根，但A的特征根却不一定 是σ的特征根，A的n个特征根中属于数域F的数 才是σ的特征根； （2）σ的特征向量是V中满足（1）式的非零向 量ξ，而A的特征向量是Cn中的满足
Ax0= x0的非零列向量x0；
0 0 x1 0
0
0
x2
0
0
1
0 0 xn1 0
得基础解系η1＝（1，0，0，…，0）．它对应 的D的特征向量是1·1+0·x+…+0·xn =1.
n!
前页 后页 返回
于是，Vλ1 =V0=L(1).即D的属于特征根0的特征 向量为任一非零常数，这与数学分析中的结论是 一致的．
前页 后页 返回
对应的特征向量组是｛-2α1+α2,α3｝，它 是特征子空间V1的一个基，所以 V1＝L（-2α1+α2，α3）． 而σ的属于特征根1的一切特征向量为
k1（-2α1+α2）+k2α3，k1，k2∈R，不全为0．
对特征根λ2＝-2，解齐次线性方程组
6 6 0 x1 0
例6 分别在实数域R和复数域C内求矩阵
3 7 3
2 4
5 10
2 3
的特征根和相应的特征向量．
前页 后页 返回
解
x 3 7 3
fA(x) 2 4
x 5 2 10 x 3
( x 1)( x2 1) ( x 1)( x i)( x i)
① 在R内，A只有特征根1，A的属于特征根1 的特征向量为k（2，-1，-1），k∈R，k≠0． ② 在C内，A有特征根λ1＝1，λ2＝i, λ3＝-i. A的属于特征根1的特征向量为k（2，-1，-1），
前页 后页 返回
k∈C，k≠0；A的属于特征根i的特征向量为 K1(-1+2i,1-i,2), k1∈C, k1≠0 A的属于特征根-i的特征向量为k2(-1-2i,1+i,2), k2∈C, k2≠0 注意：求A的特征根时，要考虑给定的数域， 若没有指定数域，就在C内讨论；表示属于某 个特征根的特征向量(关于基础解系)组合系数 要取自指定的数域F(或C)，且不全为零．
3 3
3 6
0 3
x2 x3
0 0
前页 后页 返回
得基础解系ξ3＝（-1，1，1），对应的σ的特征 向量是-α1+α2+α3，它可构成V-2的一个基，所 以 V-2＝L（-α1+α2+α3）． 因此σ的属于特征根-2的一切特征向量为 k（-α1+α2+α3），k∈R，k≠0．
或
k1 0
(
I
A)
k2
0
kn
kn
kn
0
前页 后页 返回
这说明特征向量ξ的坐标（k1，k2，…，kn）是 齐次线性方程组
x1 0
( I
A)
x2
0
3 6 x1
fA(x)的根为λ1＝1（二重根），λ2＝-2都是σ 的特征根．
对特征根λ1＝1，解齐次线性方程组 （1·I-A）X=0，即
前页 后页 返回
3 x1 6 x2 3 x1 6 x2
0 0
3 x1 6 x2 0
得基础解系
ξ1＝（-2，1，0），ξ2＝（0，0，1）．
定义3 设A=(aij)ห้องสมุดไป่ตู้数域F上的一个n阶矩阵，
行列式
x a11 a12
a1n
f A( x) xI A a21 x a22
a2n
an1
an2
x ann
叫做矩阵A的特征多项式．fA(x)在C内的根叫做 矩阵A的特征根．
前页 后页 返回
设λ0∈C是矩阵A的特征根，而x0∈Cn是一个 非零的列向量，使Ax0=λ0 x0 , 就是说，x0是齐 次线性方程组(λ0I-A)X=0的一个非零解． 我们称x0是矩阵A的属于特征根λ0的特征向量．
前页 后页 返回
一个线性变换σ在不同基下的矩阵是相似的， 根据定理，它们有相同的特征多项式．因而，
我们可以把σ在任一个基下的矩阵的特征多项 式叫做σ的特征多项式，记为fσ (x)． 如果把n阶矩阵A的特征多项式
x a11 f A( x) a21
a12 x a22
a1n a2n
an1
前页 后页 返回
三．特征多项式的基本性质． 定理6.4.1 相似的矩阵有相同的特征多项式． 证 设A~B,即存在可逆矩阵T使得B=T-1AT.于是 FB(x)=|xI-B|=| x I - T-1AT |=| T-1(x I-A)T | =|T-1||x I-A ||T|=| x I-A |= fA(x).□
＝0时，σ （ξ ）= 0．
前页 后页 返回
3. 几个基本事实
设 是σ的特征根，存在如下基本事实： 1）若ξ1，ξ2，是σ的属于特征根 的特征向
量，则当ξ1+ξ2≠0时，ξ1+ξ2也是σ的属于
特征根 的特征向量．因为
σ(ξ1+ξ2)=σ(ξ1)+σ(ξ2)
= （ξ1+ξ2）．
前页 后页 返回
2）若ξ是σ的属于特征根 的特征向量，则对 任意k∈F，k≠0，kξ也是σ的属于特征根
的特征向量，这是因为kξ≠0，且
σ(kξ)=kσ(ξ)=k( ξ)= （kξ）．
3）一个特征向量只能属于一个特征值．
事实上，设ξ≠0是σ的属于特征值 与的特
征向量，就有σ(ξ)= ξ= ′ξ, ( -′ )ξ=0， 而ξ≠0，只有 ＝0，从而
0
x
1
fA(x)
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
xn1
x 0
1 x
n1
它的根仅有一个（n+1重根）λ1＝0∈F，即D
仅有特征根λ＝0（n+1重根）．
前页 后页 返回
对于这个特征根λ1＝0，解相应的方程组
0 1 0
0
0
1
0 0
0 0
0 0
前页 后页 返回
例4 设R上的三维线性空间V的线性变换σ在 基｛α1，α2，α3｝下的矩阵是
4 6 0
A
3 3
5 6
0 1
求σ的特征根和对应的特征向量．
前页 后页 返回
解 σ的矩阵A已给出，先求特征多项式和特 征根．
x 4 6 0
fA( x) 3 x 5 0 x 12 x 2
是σ的一个特征根，ξ就是σ的属于特征根 的特征向量．
前页 后页 返回
由上面的分析，可以得到以下的结论
1） ∈F是σ的特征根的充分必要条件是它满足
方程（3）；
2）对于特征根 , 子空间Vλ中一切向量在基
｛α1，α2，…，αn｝下的坐标正好构成齐次
线性方程组（ I-A）X=0的在F上的解空间．
属于特征根 的一个特征向量，那么，
前页 后页 返回
σ（ξ）关于基｛α1，α2，…，αn｝的坐标是
k1
A
k2
kn
而λξ的坐标是
k1
k2
kn
这样，就有
A
k1 k2
k1 k2
前页 后页 返回
从上面的性质可知,把σ 的属于特征根 的全部 的全部特征向量再添上零向量组成V 的一个子集, 它对V的加法和数量乘法作成V的一个子空间, 记为Vλ.Vλ= { V ( ) }
称为σ 的属于特征根 的特征子空间． 当 是σ 的特征根时,Vλ ≠{0},因此,Vλ 含有
2) 计算特征多项式fA(x)=|XI-A|,求出它的属于数 域F的根λ1，λ2，…，λ s; 3) 对每个λi(i=1,2, …,s)求齐次线性方程组 (λiI-A)X=0的基础解系； 4) 以上面求出的基础解系为坐标，写出V中对应 的向量组，它就是特征子空间Vλi的一个基，从 而可确定σ的特征向量．
所以， 是 σ 的特征根，而 eλx 是 σ 的属于 的特
征向量．
二. 特征根与特征向量的求法
前页 后页 返回
1. 问题的转化 直接由定义来求线性变换的特征值与特征向
量往往是困难的，我们可用线性变换的矩阵来解
决这个问题．
设V是数域F上的n维线性空间，取定它的基 ｛α1，α2，…，αn｝，令线性变换σ在这个 基下的矩阵是A＝（aij）. 如果ξ＝k1α1+ k2α2+…+ knαn是线性变换σ的
an2
x ann
前页 后页 返回
展开，得到F［x］中的一个多项式．它的最高 次数项xn，出现在主对角线上元素的乘积
(x-a11) (x-a22) …(x-ann)
(5)
中．行列式fA(x)的展开式里，其余项至多含有
n-2个主对角线线上的元素．因此，fA(x)是乘积