y=ax2与y=ax2+c图象和性质
二次函数y=ax2图像和性质
欢迎来到我们的演示文稿！今天我们将深入探讨关于二次函数的图像和性质。 让我们一起来探索吧！
二次函数的定义和表达式
二次函数是一个形如 y = ax²+ bx + c 的函数，其中 a、b、c 为常数。 它的图像通常是一个平滑的弧线，可以呈现不同的形状和方向。
二次函数图像的基本形状
二次函数图像的对称性
二次函数的图像关于其顶点对称。 这意味着，如果顶点的坐标是 (h, k)，则对称轴是 x = h。
二次函数的顶点和轴
二次函数的顶点是抛物线的最高或最低点。 顶点坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。 其中，f(x) 是二次函数的解析式。
二次函数的零点和解析式
通过二次函数来描述物体的运动轨迹，如抛 物线的飞行轨迹。
3 面积计算
二次函数图像下方的面积可以用于计算各种 形状的面积，如池塘或园艺项目。
4 信号处理和图像处理
二次函数的性质被广泛应用于数字信号处理 和图像处理算法中。
向上凹的抛物线
当 a 的值大于 0 时，抛物线开口向上。
向下凹的抛物线
当 a 的值小于 0 时，抛物线开口向下。
二次函数图像的平移和缩放
平移
通过增加或减小 c 的值可以改变抛物线在 y 轴上的位置。
缩放
通过改变 a 的值来控制抛物线的宽度和高度。
特殊情况
当 a 的绝对值很大时，抛物线会变得非常陡峭或扁平。
二次函数的零点，也称为根，是函数与 x 轴相交的点。 通过求解二次方程 ax²+ bx + c = 0，我们可以找到二次函数的零点。 解析式为 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。
二次函数y=ax2+c的图象与性质
同坐标系中，画出二函数 的图象．
解: (1) 列表：
y x 1和y x 1
2 2
x y = x2＋1 y = x2－1
(2) 描点 (3) 连线
·· · ·· · ·· ·
－3
10 8 10
－2
5 3
－1
2 0
0
1 －1
1
2 0
2
5 3
3
10 8
·· · ·· · ·· ·
y x2
归纳：
把抛物线y = 2x2 向上平移5个单位， 会得到哪条抛物线？向下平移3.4个单 位呢？ y 2x2 5
把抛物线y=ax2 向上平移c个单 位，就得到抛物 线y=ax2+c； 把抛物线y=ax2 向下平移c个单 －4 位，就得到抛物 线y=ax2-c.
－2
8
6
4 2
y 2x
2
简记为：
上加下减
y 2 x 2 3.4
2
4
－2 －4
a > 0,c > 0
一般地,抛物线y=ax2+c的性质：
（1）开口方向： a＞0时, 开口向上, a＜0时, 开口向下. （2）对称轴： y轴（或x=0) （3）顶点坐标： 顶点是抛物线的最低点 （或最高点）,顶点坐标（0,c） （4）增减性：
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 当x<0时， 增 y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。 性 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 参考解析
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课前预习1.二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）.当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，此时抛物线有最低点，即当x=0时，y取得最小值0 ；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时抛物线有最高点，即当x=0时，y取得最大值0 .|a|越大，抛物线的开口越小，|a|相等说明抛物线的开口大小相同.课堂练习知识点1 二次函数y=ax2的图象1.填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.2.某同学画二次函数y=ax2的图象时，列下列表格：（1）将表格中的空格补全；（2）这个二次函数的解析式为y=-1x2；2（3）在平面直角坐标系中画出二次函数的图象.解：（3）函数图象如图所示.知识点2 二次函数y=ax2的性质3.已知二次函数y=（m-2）x2的图象开口向上，则m的取值范围是m>2 .4.下列各点在二次函数y=-2x2图象上的是（ B ）A.（-1，2）B.（-1，-2）C.（-2，-4）D.（-2，4）5.关于函数y=x2的图象，下列说法错误的是（ C ）A.它的图象是一条抛物线B.它的开口向上，且关于y轴对称C.它的顶点是抛物线的最高点D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0）课时作业1.与二次函数y=x2开口大小相同，方向相反的二次函数是y=-x2.2.二次函数y=-0.2x2的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）.当x= 0 时，函数有最大值0 ；当x ＞0时，y随x的增大而减小.3.关于函数y=3x2的性质，下列说法正确的是（ C ）A.无论x为任何实数，y的值总为正B.当x值增大时，y的值也增大C.它的图象关于y轴对称D.它的图象在第一、第三象限内4.已知A （-1，y ₁），B （-2，y ₂）都在二次函数y=x 2上，则y ₁，y ₂之间的大小关系是（ C ）A.y ₁>y ₂B.y ₁=y ₂C.y ₁<y ₂D.不能确定 5.二次函数y=ax 2（a ＞0）的图象经过点（3，4），则其图象一定经过点（ C ） A.（3，-4） B.（-3，-4） C.（-3，4） D.（4，3）6.如图，当ab ＞0时，函数y=ax 2与函数y=bx+a 的大致图象是（ C ）7.二次函数y=2x 2，y=-2x 2，y=12x 2的共同性质是（ B ） A.开口向上 B.对称轴是y 轴 C.都有最高点 D.y 随x 的增大而增大 8.已知函数y=（m+2）226m m x +-是关于x 的二次函数. （1）求m 的值；（2）当m 为何值时，函数图象的顶点为最低点？ （3）当m 为何值时，函数图象的顶点为最高点？ 解：（1）根据二次函数的定义得22026 2.m m m +≠+-=⎧⎨⎩，解得⎩⎨⎧-==.4,221m m ∴m 的值为2或-4；（2）当m=2时，抛物线的开口向上，函数有最小值，函数图象的顶点为最低点； （3）当m=-4时，抛物线的开口向下，函数有最大值，函数图象的顶点为最高点.9.在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y=x 2；②y=12x 2；③y=-x 2；④y=-12x 2.从图象上对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？解：列表如下描点、连线，函数图象如图所示a的绝对值相同，抛物线的形状相同；a的绝对值越大，开口越小.10.如图，A，B为抛物线y=x2上的两点，且AB∥x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若2.解：∵AB=22∴BC=122∴点B的横坐标为2代入抛物线的解析式得y=2.∵AB∥x轴，∴点B与点C的纵坐标相同.∴OC=2，即圆的半径为2.由二次函数的对称性得，图中阴影部分的面积等于圆面积的14， 即S 阴影=14π×22=π.11.函数y=ax 2（a ≠0）的图象与直线y=2x-3交于点（1，b ）. （1）求a 和b 的值；（2）x 在什么范围时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而增大？ （3）求抛物线y=ax 2与直线y=-2的两个交点及顶点所围成的三角形的面积. 解：（1）把点（1，b ）代入y=2x-3，得b=-1. ∴交点坐标为（1，-1）. 把（1，-1）代入y=ax 2，得a=-1. ∴a=-1，b=-1；（2）由（1）得y=-x 2，当x ≤0时，y 随x 的增大而增大； （3）根据题意，得2,2.y x y ⎧=-⎨=-⎩解得2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ∴两交点坐标分别为（-2），（-2）.故S △=12×。
y=ax2的图像与性质
2、抛物线：
二次函数的图象都是抛物线。
3、抛物线 y=ax2 的图象 ：
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是__y__轴，顶 点是____原__点_. 当a > 0时，抛物线的开口向__上，顶 点是抛物线的___最__低__点_，a 越大，抛物线的开口越 ___小;当a < 0时，抛物线的开口向____下，顶点是抛 物线的最____高点，a 越大，抛物线的开口越___大_.
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
开口大小
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
a 越大,开口越小.
知识要点
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是__y__轴，顶
顶点都是原点(0,0)
顶点都是原点(0,0)
a < 0，开口都向下; 对称轴都是y轴; 增减性相同.
只是开口 大小不同
y 2x2 y x2
y = ax2
抛物线 顶点坐标
对称轴
y=ax2 (a>0) （0，0）
y轴
y= ax2 (a<0) （0，0）
y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
y
y x2
y x2
y = x2、y= - x2
y x2
抛物线 顶点坐标
对称轴
y = x2 （0，0）
y轴
y = - x2 （0，0）
二次函数y=ax2+c的图像和性质
;
编辑课件
3
x ….. -2 y=x2 …… 4
y=x2+1 …… 5
函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图象 沿y轴向上平移1 个单位长度得到.
相同
-10
-5
-1 0 10
21 y 8
12 14
25
y=x2+1
…… ……
6
函数y=x2+1的图象与y=x2的
图象的位置有什么关系?
4
函数y=x2+1的图
向 下 平移 |c|个单位得到编。辑课件 上加下减
6
y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上
a<0 向下
(0 ,c) y轴 (x=0)
(0 ,c) y轴 (x=0)
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就编越辑课小件 .
2
1、函数y=2x2的图象的开口 向上
,
对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0)
;
2、函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称
轴 y轴 ,顶点是 (0,0)
（5）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是 y轴 ，
顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
二次函数的图像和性质(共48张PPT)
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
3
问题思考
（1） y a x 2的图像及性质
4
（1） y a x 2的图像及性质
5
由以上图形知：
• a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 • 函数图象顶点坐标（0,0）
6
（2）y ax2 c 的图像及性质
7
（2）y ax2 c 的图像及性质
函数图象顶点坐标（0,c） 注意：c为y轴截距
A．
B．
C．
D．
26
解析
A、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，对称轴 x= ＞0，应在 y 轴的右侧，故不合题意，图形错误；
B、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，对称轴 x= ＜0，应在 y 轴的左侧，故不合题意，图形错误；
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 b
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
18
c＝0
经过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c
c＜0
与y轴负半轴相交
19
b2－4ac
b2－4ac＝0 与 x 轴有唯一交 点(顶点)
b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
与 x 轴有两个交 点 与 x 轴没有交点
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质一、列举4组典型二次函数的图像1、y=ax2型，如：。
2、y=ax2+c型，如：。
3、y=a(x-h)2型，如：4、y=a(x-h)2+k型，如：。
二、y=ax2型的图像性质三、y=ax2+c型的图像性质注意：这一型的二次函数形式，揭示了函数图像的“上加下减”的规律。
如：向下平移2格。
四、y=a(x-h)2型的图像性质五、y=a(x-h)2+k型的图像性质五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c（如：）化为顶点式y=a(x-h)2+k（如：），确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0,c)、以及(0,c)关于对称轴对称的点(2h,c)、与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。
七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），如：；2. 顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k为常数，a≠0），如：；3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标），如：.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。
八、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较从解析式上看，y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中。
比如说：和九、二次函数y=ax2+bx+c的性质1. 当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为。
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值。
2. 当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为。
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
《第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质2》教案 (公开课)2022年北师大版数学
2.2 二次函数的图象与性质第2课时二次函数y=ax2+c的图象与性质教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
重点难点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。
正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。
教学过程：一、提出问题1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?二、分析问题，解决问题问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比拟)问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。
教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。
九年级数学第二章二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系.【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点进阶：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点进阶：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >j xOy()20y ax c c =+>cjyxOc()20y ax c c =+<（2）0a <2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值3.二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系j yxOc()20y ax c c =+>j y xOc()20y ax c c =+<()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象. 要点进阶：抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同．函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质例1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax c =+与二次函数2y ax c =+的图象大致为（ ）．例2.根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a-2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a-2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同； (4)函数2a ay ax +=的图象是开口向上的抛物线．举一反三：【变式】二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________．例3. 二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2013在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2013在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2012B 2013A 2013都为等边三角形，求△A 2012B 2013A 2013的边长．类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质例4.关于二次函数y=2x 2+3，下列说法中正确的是（ ）A. 它的开口方向是向下；B. 当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y 有最大值是3.举一反三：【变式】如图所示，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．例5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．【巩固练习】一、选择题1.若抛物线210(2)m y m x-=+的开口向下，则m 的值为( )．A ．3B ．-3C ．23D ．23-2.抛物线24y x =--的顶点坐标，对称轴分别是( )． A ．(2，0)，直线x ＝-4 B ．(-2，0)，直线x ＝4 C ．(1，3)，直线x ＝0 D ．(0，-4)，直线x ＝03.两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值4.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同5．在同一直角坐标系中，函数y=kx 2﹣k 和y=kx+k （k ≠0）的图象大致是（ ）.A. B. C. D.6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ， 水面宽4 m ．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =-D ．212y x =二、填空题7.抛物线23y x =-的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．8.将抛物线2y x =-向上平移5个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____．9.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线2y ax =(a ≠0)上的两点．当210x x <<时，21y y <，则a 的取值范围是________．10. 对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ．11.抛物线2y ax c =+与23y x =的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．12．如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，则阴影部分的面积是 .三、解答题13．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？14.已知直线1y x =+与x 轴交于点A ，抛物线22y x =-的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；(2)若点B(1x ，1y )，C(2x ，2y )在抛物线C 上，且1212x x -<<，试比较1y ，2y 的大小．15. 已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．。
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y
位置不同; 最大值不同: 分别是1和0.. y=-2x2+1 y=-2x2
二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象和性质?
议一议
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² -1的图象与二次函数y=3x² 的图象.
3.当a>0时,在对称轴的左 侧,y随着x的增大而减小； 在对称轴右侧,y随着x的增 大而增大.当x=0时函数y的 值最小.当a<0时，在对称轴
且向下无限伸展.
的左侧,y随着x的增大而增
大；在对称轴的右侧,y随着 x增大而减小,当x=0时,函数 y的值最大. 4. |a| 越大,开口越小, |a| 越小,开口越大.
(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象．
(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它 与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是 什么?
抛物线.
只是开口 大小不同.
二次项系数a>0,开口都向上;对 称轴都是y轴;增减性也相同. 顶点都是 原点(0,0).
(y=ax2与y=ax2+c图象和性质)
想一想
刹车距离与二次函数
•你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗? •汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因素有关?
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系
数.有研究表明, 速度为v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公 式确定: 晴天行驶时: 雨天行驶时:
请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.
二次函数y=ax2+c的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置
y=ax2 +c(a>0)
y=ax2 +c(a<0) （0，c）
y轴
（0，c）
y轴
当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限); 当c<0时,与x轴相交(经过一,二三四象限). 当c>0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线
顶点坐标 对称轴
y=ax2 (a>0)
（0，0） y轴 在x轴的上方(除顶点外) 向上
y= ax2 (a<0)
（0，0）
y轴
位置
开口方向
在x轴的下方( 除顶点外)
向下
增减性
最值 开口大小
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
1 v2 S= 100
1 v2 S= 50
想一想
S = 1 v2 与 S = 1 v2 的图象 比较函数 100 50
在同一直角坐标系中作出函数(1)(2)的图象 (先想一想,v可以取任何值吗?为什么?)． 完成下表： v 0 0 0 20 4 8 40 16 32 60 36 72 80 64 128 100 100 200 120 144 288 140 196 392
么?作图看一看．
?
二次函数y=2x2+1的图象是什么形状?它
y=2x2+1 y=2x2
与二次函数y=2x2的图象有什么相同和不
同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分 别是什么?
二次函数y=2x2+1的 图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物线.
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).
位置不同; 最小值不同: 分别是1和0.
开口方向
增减性
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x=0时,最小值为c.
当x=0时,最大值为c.
知识的升华
祝你成功！
驶向胜利的彼 岸
小结
拓展
回味无穷
二次函数y=ax² +c与=ax² 的关系
二次项系数a<0,开口都向下;对 称轴都是y轴;增减性与也相同.
请你总结二次函数y=ax2的图象和性质.
二次函数y=ax2的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原 点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线
y=ax2在x轴的上方(除 顶点外),它的开口向 上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2 在x轴的下方(除顶点 外),它的开口向下,并
当x=0时,最小值为Leabharlann .当x=0时,最大值为0.
a
越大,开口越小.
a
越小,开口越大.
议一议
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=2x² +1的图象与二次函数y=2x² 的图象. 二次函数y=2x² +1的图象与二次函数y=2x² 的图象有什么关系?它 们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什
与二次函数y=-3x2的图象有什么相同和不 同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别
y=-3x2-1
是什么?
二次函数y=3x2+1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).
y=-3x2
位置不同; 最大值不同: 分别是0和-1.
二次项系数为-3,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.
80 100 120 140 V/(km/h)
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象．
(1)完成下表： x y=x2 y=2x2 … … … -3 9 18 -2 4 8 -1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 4 8 3 9 18 … … …
2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0).
(2)最值不同:分别是c和0. 3.联系: y=ax² +c(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象沿y轴整体平移|c|个单位得
到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).
下课了!
结束寄语
•
一个人只要坚持不懈地 追求,他就能达到目的.
二次项系数为2,开口向上; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-2x2+1和 y=-2x2的图象,会是什么样?
二次函数y=-2x2+1的图象是什么形状? 它与二次函数y=-2x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标 分别是什么? 二次函数y=-2x2+1的 图象形状与y=-2x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).
1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同.
(2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. (3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y都随 x的增
大而增大. a<0时,开口向下,在y轴左侧,y都随x的增大而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
二次函数y=3x²-l的图象与二次函数y=3x² 的图象有什么关系?它们是轴对称
图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
二次函数y=3x2-1的图象是什么形状?它与
y=3x2-1 y=3x2
二次函数y=3x2的图象有什么相同和不同?
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是 什么?
二次函数y=3x2+1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图
象,会是什么样?
(4)二次函数y=-2x2的图象是什么
形状?它与二次函数y=-x2的图象有
什么相同和不同?它的开口方向、 对称轴和顶点坐标分别是什么?
y x
2
y 2x 2
抛物线.
顶点都是 原点(0,0).
只是开口 大小不同.
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1). 位置不同; 最大值不同: 分别是1和0.
二次项系数为正数3,开口 向上;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和y=-3x2的图象,会 是什么样?
二次函数y=-3x2-1的图象是什么形状?它
S = 1 v2 100 S = 1 v2 50
做一做
s 288 200 144 128 100 72 64 36 32
S= 1 2 v 50
描点,连线
两个图象有什么相同与不同?
S= 1 2 v 100
?
16
0 20 40 60 80 100
相同点： (1)它们都是抛物线的一部分； (2)二者都位于y轴的右侧. (3)函数值y都随x值的增大而增大 . 不同点： (2)的图像在(1)的图象的内侧. (2)的S比(1)中的S增长速度快 . 120 140 V/(km/h)
做一做
s 288 200 144 128 100 72 64 36 32
S= 1 2 v 50 S= 1 2 v 100
(2)如果行车速度是60km／h， 那么在雨天行驶和在晴天行驶 相比，刹车距离相差多少米?你
是怎么知道的?
?
16