优秀教案16-抛物线及其标准方程

2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程教材分析本节课进一步学习探讨圆锥曲线中的另一种曲线——抛物线，让学生全面掌握圆锥曲线的三种类型的曲线，整体把握在解析几何中用坐标法研究曲线的方法. 圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位是相同的.本章对抛物线的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉了，这里精简介绍，学生是完全可以接受的.本节课是高二数学§2.4的第一课时，它是学习抛物线的性质及其应用的基础. 本节课的重点是抛物线的定义，抛物线的标准方程及其应用，难点是抛物线标准方程推导中坐标系方案的选择及利用类比的方法由抛物线的一种标准方程类比得出其它的三种形式的方程.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解抛物线定义、标准方程的推导及其简单应用.教学目标重点: 抛物线定义的探究过程及标准方程的推导.难点：抛物线标准方程22(0)y px p =>推导过程的组织和引导，以及如何类比发现另三种形式的标准方程．知识点：抛物线定义及其标准方程.能力点：如何探求抛物线定义及标准方程，用类比的思想寻求另三种形式的标准方程． 教育点：亲自体验由具体的演示实验而探寻出一般的数学结论，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何运用类比的思想探寻另三种标准方程.考试点：抛物线标准方程22(0)y px p =>推导及应用定义、方程解决简单的数学问题.易错易混点：由于方程形式较多，因此焦点坐标、准线方程易混，2(0)y ax a =≠焦点坐标、准线方程易错.拓展点：如何利用定义求抛物线上的点到焦点的距离.教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课问题一：已知抛物线214y x =上任一点(,)M x y ，点(0,1)F ，直线:1l y =-，设点M 到直线l 的距离为d ，问||MF 与d 有何大小关系？【师生活动】由学生自己求解||MF 及d 的大小并回答结果，教师分析、纠正出现的问题，如||1|MF y =+，1d y =+等.教师给出结论：由||1|MF y ====+，|1|d y =+得||MF =d .师生共同分析：（1）抛物线214y x =上任一点M 到点F 与点M 到直线l 的距离相等吗？ （2）到点F 与到直线l 的距离相等的点都在抛物线214y x =上吗？【设计说明】利用学生熟悉的学过的知识让学生感性认识一下抛物线的特征. 问题二：（演示实验）如图，把一根直尺固定在画图板内直尺l 的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A ，截取绳子的长等于A 到直线l 的距离AC ，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F ；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出一条曲线. 反复演示几遍后，请同学们思考：师：点M 到点F 与点M 到直线l 的距离相等吗？ 生：相等. 师：为什么？师生：由||||||,||||||AC MC AM AC MF AM =+=+得||||MC MF =.二、探究新知（一）归纳抛物线的定义由上述问题一、二教师提出问题：动点M 的轨迹是抛物线吗？ 生：是.师：能否归纳出抛物线的定义呢？生：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 师：点F 、直线l 又有什么名称？生：点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 师：是否还要加上“定点F 在定直线l 外”这个条件呢？ 生：需要，不要都有.师：应该加上“定点F 在定直线l 外”这个条件.师：若定点F 在定直线 l 上，则动点的轨迹又是什么图形呢？ 师生一起分析：为过F 点且与直线 l 垂直的一条直线.【设计意图】由上述直观性问题及实验引出了抛物线定义，顺理成章. 通过让学生动口、动手、动脑参与教学活动，培养了学生自然观察的能力和数学语言的表达能力.（二）抛物线的标准方程下面我们来求抛物线的方程，先由学生根据自己的思考建立坐标系，求出抛物线的方程，教师巡视，从学生的求法中归纳出以下三种方案：过点F 作垂直于直线l 的直线，垂足为K ，设||(0)KF p p =>，1.以K 为原点，定直线l 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系(如图1)，此时可得曲线方程为：222(0)y px p p =->.2. 以F 为原点，过F 且垂直于定直线l 的直线为x 轴建立平面直角坐标系(如图2)，此时可得方程：222(0)y px p p =+>.3. 以垂线段KF 的中点O 为原点，KF 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系(如图3)，此时可得方程：22(0)y px p =>.以图3为例师生共同推导：设点(,)M x y 是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d ，焦点(,0)2p F ，准线l 的方程2p x =-．由抛物线的定义，抛物线就是集合{|||}P M MF d ==.因为||MF =||2pd x =+||2p x =+.将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>.师：哪个才是最恰当的建系方案呢？哪个方程更简洁？ 生：显然方案3的建系最恰当，所得出的方程更简洁.师：方程22(0)y px p =>是抛物线的方程吗？上面的抛物线是方程22(0)y px p =>的曲线吗？如何判断呢？生：用曲线的方程和方程的曲线的概念判断. 方程22(0)y px p =>是抛物线的方程. 师：我们把方程22(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点坐标是(,0)2p，准线方程是2p x =-. 师：p 有怎样的几何意义呢？ 生：焦点到准线的距离.[设计意图]让学生亲自动手建系求解方程，各种建系的方法都有，所得方程形式不同，才能让学生真正体会到坐标系对方程的影响.同时，通过师生的对话交流、密切合作和信息的互动，让学生体验合作交流探究的学习过程，并自觉地建构起抛物线标准方程的知识系统.师：在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.那么抛物线还可以怎样建立坐标系，得出抛物线的标准方程呢？可以让学生分组求出其它三种形式的标准方程，师生协作，填充抛物线标准方程的分类表格（上课时下面的表格设计成空白的，由学生回答完成后再一一填上）.(0,)p[设计意图]让学生自己动手，进一步从具体的学习探究中更容易挖掘出规律性知识，更规范地掌握抛物线的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程这四者之间的内在联系，从而在实践中灵活地应用.同时，渗透数形结合的思想，也使本节的知识系统化.三、理解新知图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆，通过四种标准方程对比，总结出:（1）从抛物线的标准方程出发，x 和y 哪一个为一次项，焦点就在哪一个轴上，坐标中非零的坐标值是一次项系数的14倍，一次项系数的正负，决定着焦点在这个轴的正半轴上，还是在负半轴上；而准线垂直于一次项对应的坐标轴，其方程就是一次项对应的字母等于一次项系数的14-倍；（2）从图形出发，抛物线的开口方向，决定着抛物线标准方程的一次项及其系数的正负.[设计意图] 寻找“抛物线的图形”、“抛物线的标准方程”、“抛物线的焦点坐标”及“抛物线的准线方程”之间的联系，能够知一求三，同时强化基础知识，为准确地运用新知，作好准备.四、运用新知例1（1）已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点坐标是(0,2)F -，求它的标准方程.解：（1）因为3p =，所以抛物线的焦点坐标是3(,0)2F ,准线方程是32x =-. （2）因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且22p=, 4p =，所以，所求抛物线的标准方程是 28x y =- .[设计意图] 检查学生对抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程和图像之间的内在联系的认识，巩固知一求三的应用意识.思考1：抛物线24x y =的焦点坐标为___________，准线方程为___________.答案：11(0,),1616y =-. 思考2：已知抛物线的焦点F 到准线l 的距离为4,则此抛物线的标准方程为________________________． 答案：228,8x y y x =±=±.[设计意图] 由非标准形式的方程或改变条件的形式如何再解决类似问题，才能真正反映出学生处理问题的能力和灵活性，进一步加深对抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程和图像之间内在联系的理解. 思考3：抛物线22(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离是(2)a a p >，则点M 到准线的距离是 ____,点M 的横坐标是__________.答案：a ，2p a -.[设计意图] 灵活地利用抛物线的定义，把二元问题等价转化为一元问题.师：能说明二次函数()20y ax a =≠的图象为什么是抛物线吗？如何才能正确地求出它的焦点坐标、准线方程？生：化成标准形式，讨论a 的取值符号，确定焦点位置，再写焦点坐标、准线方程. 师：不讨论是否可以直接写呢？师生共同分析：可化为()210x y a a =≠，为抛物线的标准方程，因此是抛物线，焦点坐标为1(0,)4a，准线方程为14y a=-. [设计意图] 改变方程中参数的条件，进一步提升学生对抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程和图像之间内在联系的认识，把看似需要分类讨论的问题一般化.例2一种卫星接收天线的轴截面如图（1）所示.卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径为4.8m ，深度为0.5m .试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标． 解：如图2，在接收天线的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>.由已知条件可得，点A 的坐标是(0.5,2.4)，代入方程，得 22.420.5p =⨯， 即 5.76p =.所以，所求抛物线的标准方程为211.52y x =， 焦点坐标是(2.88,0).师：为什么抛物线的标准方程有四种形式，本题只写出一个能对吗？思考后回答. 生：是对的，因为只建立了一种坐标系，所以方程只能写一个. 变式：如果将接收天线的轴截面上下放，又如何求解？[设计意图]一方面加深学生的数学应用意识，让学生感受数学的价值，体会数学来自生活，又应用于生活，服务于生活.另一方面还是加深对抛物线的标准方程等方面知识的理解和掌握.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想和方法？学生作答后，教师再总结： 1．知识与技能：（1）抛物线的定义；（2）抛物线的四种形式的标准方程及相应的焦点坐标、准线方程； （3）标准方程中p 的几何意义；（4）求抛物线标准方程的基本方法：待定系数法.关键是：定焦点位置——确定标准方程形式——求p 的值——写方程.2．思想与方法：类比的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想，待定系数法.[设计意图] 引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华，使知识系统化.让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进学习目标的完成.六、布置作业书面作业必做题： P73 习题2.4 A 组 1.（1）、（3），2，3.选做题：1.已知抛物线的标准方程为2(0)y ax a =≠，求此抛物线的焦点坐标和准线方程. 2.求抛物线22y x =的焦点坐标和准线方程. 3.已知抛物线经过点(4,2)--，求它的标准方程.4.课后探究：p 的几何意义是焦点到准线的距离，其实也是抛物线的定形条件.你能说出p 的大小对抛物线的开口大小有什么影响吗？[设计意图]设计作业的必做题1.（1）、（3），2，3，是引导学生先复习，再作业，它们基本上就是基础知识的再现，能够培养学生良好的学习习惯.课后探究的安排，是本节课有关内容的延伸、拓展，又是为下继内容作些铺垫、畜势，让学生有“意尤未尽”之感.同时形成开放性学习环境，满足了不同学生的需要，目的是努力使每一位学生都能得到成功的体验，有效地促进不同层次学生的发展.七、教后反思1. 本教案从初中学过的抛物线入手，由学生探究出抛物线上的点所满足的条件，又通过演示实验验证了这一点，很容易地突破本节课的重点与难点——抛物线概念的形成，有助于对定义的理解和应用.2.教学过程中，为学生提供思考及合作的探究性活动，让学生充分发挥他们的聪明才智，通过恰当的问题设置，启发学生参与到问题中进行思考探究，学生在轻松、愉悦的气氛中发现问题、解决问题，从而培养学生的创新精神和实践能力.3.由于整堂课需要解决的问题较多，没能留给学生太多的时间进行思考探究，展现他们的思维过程，这也正是今后教学过程中需要改进的地方.八、板书设计。