高中数学北师大版高二必修5_第一章4_数列在日常经济生活中的应用_作业_word版含解析
【提高练习】《数列在日常经济生活中的应用》(数学北师大版必修5).doc
《数列在日常经济生活中的应用》提高练习1. 从二楼到三楼共有11级台阶，如果一步可上一级台阶，也可上两级台阶，那么小华 从二楼上到三楼，可以有（）种不同上楼梯的方法A. 34B. 55C. 89D. 1442. 夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 就会降低0.7 °C,已知山顶气温为14.1 °C, 山脚气温是26 °C,那么此山相对于山脚的高度是（）•A. 1 500 mB. 1 600 mC. 1 700 mD. 1 800 m 3. 某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死 去1个，3小时后分裂成10个死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活数是（）・A. 33B. 64C. 65D. 1274. 某企业在2013年年初贷款M 万元，年利率为in,从该年年末开始，每年偿还的金额 都是a 万元，并恰好在10年间还清，则a 的值等于（）M 1 +m 10Mm A ，1+m 10-11+m 10C '佃 l+“ 1°D 血 * 1+m 10-11+m 10+1 经全国中小学教材审定委灵会2004年初审通过 普通高中课程标淮卖验诵弔5.某工厂去年产值为a,计划今后5年内每年比上年产值增加10%,则从今年起到第5 年，这个厂的总产值为（）A. 1. 14aB. 1. 15aC. 11X (1. 15-l)aD. 10(1. 16-l)a6.某工厂2012年生产某种机器零件100万件，计划到2014年把产量提高到每年生产121万件.如果每一年比上一年增长的百分率相同，2013年生产这种零件()万件A. 90B. 100C. 110D. 1207.某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2,所有人的不满意度之和为S,为使S最小，电梯应当停在__________________ 层.A. 12B. 13C. 14D. 158.某工厂生产总值的月平均增比率为p,则年平均增长率为___________ .9.某工厂的月生产总值平均增长率为P，则年平均生产总值的平均增长率为 ________ ・10.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存5年定期储蓄，年利率为2.88%,乙存一年定期储蓄，年利率为2.25%,并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄，按规定每次计息时，储户须交纳20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行屮取出存款, 则甲、乙所得利息之差为______________ 元.答案和解析1.【答案】D解：设上n级台阶有务种方法.当第一步上一级台阶时，则余下的n-1级台阶有乩-种不同的上法：当笫一步上两级台阶时，则余下的n —2级台阶有Sn_2种不同的上.*.an=an-i + a n-2(n M3),显然31=1, C L2=2.所以a*=3,心=5, a,5=8» 36=13, 37=21, — 34, a.g — 55, Hio—89, al 1 —144.所以共有144种不同的上楼梯方法.2.【答案】C解析由题意知气温值的变化构成了以26 °C为首项，公差为一0.7 °C的等差数列，记此数列为{an}, 31=26 °C, d=-0. 7 °C, A14. 1=26+(n~l) X (-0. 7),解得n = 18,・•・此山相对于山脚的高度为100X(18-l)=l 700 (m).3.【答案】C解析 由 an = 2an —l — l=2(2an —2—l)—l = ・・・ = 2n — 12ao —(l+2 + 22 + ・・・ + 2n —l) = 2n+l —2n+ 1,亦=27 — 26+1 = 65.4. 【答案】C［解析］由己知条件和分期付款公式可得,a[(l +m)9+ (1 +m)8 ---------- 卜(1 +m) +1] =M(1 +m) 10,5. 【答案】C [解析]S=a(l + 10%)+a(l + 10%)2+-+a(l + 10%)5=llX (1. 15-1)A.6. 【答案】C[解析]设每一年比上一年增长的百分率为x,则从2012年起，连续3年的产量依次 为 ai = 100, a2=al(1+x), a 3 = a2(1+x),即 a 】 = 100, a 2=100(1 + x), a 3=100(l + x)2,成等比数列. 由 100(1+x) 2 = 121 得(1+x) 2 = 1.21,l+x = l. 1 或 l+x= —1. 1,/.x=0. 1 或 x = —2. 1 (舍去),a 2=100(l+x) =110(万件),所以每年增长的百分率为10%, 2013年生产这种零件110万件.7. 【答案】C[解析]设停在第x 层,贝l 」S=[l+2 + ・・・+(20—x)]X2+[l+2 + ・・・+(x —2)] = 3x2—85x .Ax=—时取最小值，而xE {2,3,…，20}, 6/.x=14时取最小值.8. 【答案】(l+p)12-l［解析］设年平均增长率为x,原来总产值为a,由题意得肛1 + x)=a(l + p)12, /. x= (1+p) 12—1.9. 【答案】(l+p)12-l10. 【答案】219.01解析 由己知甲所得本息和a=10 000 + 10 000X2. 88%X5X80%,而乙实际上年利率 去掉利息税后为#X2.25%,故乙所得本息和应为：b=10 000XH +|x2. 25%k 经计_ Mni 1 +m 10 =~1+m 10一1 •-b~219.01（元）.答案219.01。
高中数学第一章数列 数列在日常经济生活中的应用学案含解析北师大版必修5
§4数列在日常经济生活中的应用知识点一零存整取模型[填一填](1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.[答一答]1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝r(1＋r)n a (1＋r)n－1.知识点二数列知识的实际应用及解决问题的步骤[填一填](1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案．[答一答]2．数列应用题中常见模型是哪些？ 提示：等差模型和等比模型．1．数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．2．处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．类型一 单利计算问题【例1】 有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同的金额,这是零存；到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取．它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×⎣⎡⎦⎤存期＋12存期×(存期＋1)×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元,月利率5.1‰,到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2 000元,那么每月应存入多少金额？【思路探究】 存款储蓄是单利计息,若存入金额为A ,月利率为P ,则n 个月后的利息是nAP .【解】 (1)设每期存入金额A ,每期利率P ,存入期数为n ,则各期利息之和为 AP ＋2AP ＋3AP ＋…＋nAP ＝12n (n ＋1)AP .连同本金,就得：本利和＝nA ＋12n (n ＋1)AP ＝A ⎣⎡⎦⎤n ＋12n (n ＋1)P . (2)当A ＝100,P ＝5.1‰,n ＝12时,本利和＝100×⎝⎛⎭⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形得 A ＝本利和n ＋12n (n ＋1)P＝ 2 00012＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)．即每月应存入161.32元．规律方法 单利的计算问题,是等差数列模型的应用．王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元？(2)若教育储蓄存款总额不超过2万元,零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元)解：(1)设王先生每月存入A 元,则有A (1＋2.7‰)＋A (1＋2×2.7‰)＋…＋A (1＋36×2.7‰)＝20 000,利用等差数列前n 项和公式,得A ⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰＝20 000,解得A ≈529元．(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多存入20 00036≈555(元),这样,3年后的本息和为：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰)＝555⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰≈20 978(元)．类型二 关于复利模型问题【例2】 小张为实现“去上海,看世博”的梦想,于2005年起,每年2月1日到银行新存入a 元(一年定期),若年利率r 保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2010年2月1日,将所有存款及利息全部取回,试求他可以得到的总钱数．【思路探究】 由题意知,本题为定期自动转存问题,应为等比数列前n 项和的模型． 【解】 依题意每一年的本息和构成数列{a n },则2005年2月1日存入的a 元钱到2006年1月31日所得本息和为a 1＝a (1＋r )．同理,到2007年1月31日所得本息和为 a 2＝[a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2008年1月31日所得本息和为[a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2009年1月31日所得本息和为[a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2010年1月31日所得本息和为[a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ),所以2010年2月1日他可取回的钱数为a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＝a ·(1＋r )[1－(1＋r )5]1－(1＋r )＝ar [(1＋r )6－(1＋r )](元)．规律方法 本例主要考查阅读理解能力,这里关键是每年2月1日又新存入a 元,因此每年到期时所得钱的本息和组成一个等比数列前n 项和模型．某牛奶厂2013年初有资金1 000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后,余下的资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金,才能实现经过5年资金达到2 000万元的目标？解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金． 2013年底剩余资金是1 000(1＋50%)－x ；2014年底剩余资金是[1 000(1＋50%)－x ]·(1＋50%)－x ＝1 000(1＋50%)2－(1＋50%)x －x ；……5年后达到资金1 000(1＋50%)5－(1＋50%)4x －(1＋50%)3x －(1＋50%)2x －(1＋50%)x ＝2 000, 解得x ＝459(万元)． 类型三 分期付款模型【例3】 用分期付款的方式购买一件家用电器,其价格为1 150元．购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完．若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱？【思路探究】 构建等差数列模型,利用等差数列的前n 项和公式求解．【解】 购买时付款150元,欠1 000元,以后每月付款50元,分20次付清．设每月付款数顺次构成数列{a n },则a 1＝50＋1 000×1%＝60,a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1, a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2, ……a 10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝60－0.5×9, 则a n ＝60－0.5(n －1)＝－0.5n ＋60.5(1≤n ≤20)． 所以数列{a n }是以60为首项,－0.5为公差的等差数列,所以付款总数为S 20＋150＝20×60＋20×192×(－0.5)＋150＝1 255(元)．所以第10个月需交55.5元,全部付清实际花了1 255元．规律方法 解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息,而不是950元的利息,而最后一次付款的利息是50元欠款的利息．某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利率为3.375‰,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清,那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28)解：方法一：由题意知借款总额a ＝200 000(元),还款次数n ＝12×10＝120, 还款期限m ＝10(年)＝120(个月), 月利率r ＝3.375‰ .代入公式得,每月还款数额为： 200 000×0.003 375×(1＋0.003 375)120(1＋0.003 375)120－1≈2 029.66.故如果10年还清,每月应还贷约2 029.66元．方法二：设每月应还贷x 元,共付款12×10＝120(次),则有x [1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000×(1＋0.003 375)120,解方程得x ≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元． 类型四 增长率问题【例4】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业．根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【思路探究】 (1)由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列,利用等比数列的前n 项和公式易得a n 与b n ；(2)建立a n 与b n 的不等关系,解不等式即得．【解】 (1)第一年投入为800万元,第二年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15万元,…,第n 年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元,各年投入依次构成以800为首项,1－15＝45为公比的等比数列,所以n 年内的总投入为a n ＝800⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝4 000－4 000·⎝⎛⎭⎫45n . 第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14万元,…,第n 年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元,各年旅游业收入依次构成以400为首项,1＋14＝54为公比的等比数列,所以n 年内的旅游业总收入为b n ＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎝⎛⎭⎫54n －1 600. (2)设经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,则b n －a n >0,即1 600⎝⎛⎭⎫54n－1 600－4 000＋4 000⎝⎛⎭⎫45n>0,化简得2⎝⎛⎭⎫54n ＋5⎝⎛⎭⎫45n－7>0.设⎝⎛⎭⎫45n＝x ,代入上式得5x 2－7x ＋2>0,根据二次函数y ＝5x 2－7x ＋2的图像解此不等式, 得x <25或x >1(舍去),即⎝⎛⎭⎫45n <25,由此得n ≥5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．规律方法 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时,则考虑构建等比数列模型．其解题步骤为：(1)由题意构建等比数列模型(有时需要从特殊情况入手,归纳总结出一般规律,进而构建等比数列模型)；(2)确定其首项a 1与公比q ,分清是求第n 项a n ,还是求前n 项和S n ； (3)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解； (4)经过检验得出实际问题的答案．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑,其中甲商品因供不应求,连续两次提价10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价10%,最后甲、乙两种电脑均以9 801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台,与价格不升不降比较,商场赢利情况是少赚598元．解析：设甲原价是m 元,则m (1＋10%)2＝9 801⇒m ＝9 8011.21,设乙原价是n 元,则n (1－10%)2＝9 801⇒n ＝9 8010.81.(m ＋n )－2×9 801＝9 801×⎝⎛⎭⎫11.21＋10.81－19 602＝9 801× 2.021.21×0.81－19 602＝20 200－19 602＝598.——多维探究系列——数列中的探索性问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己去探索,结合已知条件,进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力,而且给考生提供了创新思维的空间,所以备受高考的青睐,是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．【例5】 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ,使得S n ≥2 013？若存在,求出符合条件的所有n 的集合；若不存在,说明理由．【思路分析】 (1)根据已知条件得出关于a 1,q 的方程组,求解即可；(2)只需表示出前n 项和,解指数不等式．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则a 1≠0,q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ,使得S n ≥2 013,则1－(－2)n ≥2 013, 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时,(－2)n >0,上式不成立；当n 为奇数时,(－2)n ＝－2n ≤－2 012,即2n ≥2 012,则n ≥11.综上,存在符合条件的正整数n ,且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1,k ∈N ,k ≥5}．【名师点评】 求解此类题需要同学们熟练运用公式和相关概念来构建方程(组),进而求得数列的通项．本例题的难点在于对不等式2n ≥2 012的求解及对n 的奇偶性的讨论．建议熟记2的1～10次幂的值．已知数列{a n }中,a 1＝1,且点P (a n ,a n ＋1)(n ∈N ＋)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n,S n 表示数列{b n }的前n 项和,试问：是否存在关于n 的关系式g (n ),使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在,写出g (n )的解析式,并加以证明；若不存在,试说明理由．解：(1)由点P (a n ,a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上, 即a n ＋1－a n ＝1,且a 1＝1,即数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列． 则a n ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在满足条件的g (n ), 由b n ＝1n ,可得S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ,S n －S n －1＝1n (n ≥2),nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1, (n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1, …2S 2－S 1＝S 1＋1.以上(n －1)个等式等号两端分别相加得 nS n －S 1＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＋n －1,即S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝nS n －n ＝n (S n －1),n ≥2.令g (n )＝n ,故存在关于n 的关系式g (n )＝n ,使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立．一、选择题1．有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：依题意,得1＋21＋22＋…＋2n －1≥100, ∴1－2n 1－2≥100,∴2n ≥101,∴n ≥7, 则所求为7秒钟．2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年末都砍伐固定的木材量x 立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x 的值是( C )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ； 二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%),解得x ＝S 36. 3．某工厂2013年年底制订生产计划,要使工厂的年总产值到2023年年底在原有基础上翻两番,则年总产值的平均增长率为( A )A ．4110－1B ．5110－1C ．3110－1D ．4111－1二、填空题4．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ,那么年平均增长率为(1＋p )12－1.解析：一年12个月,故1月至12月产值构成公比为1＋p 的等比数列,设去年年底产值为a ,∴a 12＝a (1＋p )12,∴年平均增长率为a (1＋p )12－aa＝(1＋p )12－1.5．今年,某公司投入资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年投入资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金5 0003(1.37－1)万元．解析：设第n 年投入的资金为a n 万元, 则a n ＋1＝a n ＋a n ×30%＝1.3a n ,则a n ＋1a n＝1.3,所以数列{a n }是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司共投入资金S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝500×(1－1.37)1－1.3＝5 0003(1.37－1)(万元)．。
高中数学的必修五(北师大版)第1章§4数列在日常经济生活中的应用
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第1章 数列
因 此 有 x(1 ＋ 1.075 ＋ 1.075 ＋ … ＋ 1.075 ) ＝ 48800×1.075 (元)， 所 以 x ＝ 48800×1.075 ×
10 10
2
9
课 前 自 主 学 案
an＝a1＋(n－1)d 等差数列的通项公式为：___________________ ；
课 堂 互 动 讲 练
na1＋an nn－1 ＝na1＋ d 前 n 项和公式为 Sn＝_________________________. 2 2
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第1章 数列
an＋1 ＝q(q≠0，n∈N＋) a n 2．数列{an}为等比数列⇔______________________ ；
第1章 数列
§4
数列 在日 常经 济生 活中 的应 用
课前自主学案
课 前 自 主 学 案
课堂互动讲练
课 堂 互 动 讲 练
知能优化训练
知 能 优 化 训 练
第1章 数列
课前自主学案
温故夯基
课 前 自 主 学 案
an＋1－an＝d(n∈N＋) ； 1．数列{an}为等差数列⇔____________________
1.075－1 1.07510－1
≈48800×2.061×0.071≈7141(元)． ∴每年需付款 7 141 元．
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第1章 数列
【名师点评】
复利分期付款中的有关计算方法既
是重点，也是难点，突破难点的关键在于：(1)准
高二数学北师大版必修5教学教案1-4数列在日常经济生活中的应用(1)Word版含解析(1)
数列在日常经济生活中的作用——分期付款教学设计◆教材分析《数列在日常经济生活中的作用》选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修5）》（北师大版）第一章第四节。
等差数列和等比数列是日常经济生活中重要的数学模型，有着广泛的应用。
例如存款、贷款和购物分期付款等问题都与之相关。
教材以实例出发，调动学生学习，体会到数学在解决实际问题中的作用，体验数学与日常生活的联系。
在日常生活中学会运用数学知识和方法建立数学模型、解决实际问题。
购物是每个人经济生活中最基本的活动，分期付款也是越来越多人的选择。
因此，理解和掌握分期付款中的相关计算十分重要。
◆学情分析在此堂课前学生已经学习了等差数列和等比数列，会求其前n项和。
大部分学生在日常生活中已经接触过分期付款，但没有将其与数列知识简历联系。
高一学生有一定的建立数学模型能力，但应用的意识淡薄，不能根据实际问题的特征，正确地建立数学模型并解决问题。
◆教学目标➢知识与技能（1）掌握每期等额分期付款与到期一次性付款间的关系；（2）会应用等比数列的知识体系解决分期付款中的有关计算。
➢过程与方法（1）通过探究“分期付款”这一日常经济生活中的实际问题，体会数列知识在现实生活中的应用；（2）感知应用数学知识建立数学模型解决实际问题的方法。
➢情感、态度与价值观（1）体会数列与日常经济生活紧密相关；（2）体会生活中处处有数学，从而激发学生学习的积极性，提高数学学习兴趣和信心。
◆教学重点（1）建立分期付款数学模型，并用于解决实际问题；（2）理解分期付款的优、缺点。
◆教学难点在实际情境中发现并建立“分期付款”数学模型◆主要教学方法启发式教学法◆授课类型新授课◆教具多媒体◆教学过程✧创设情景、引入新课淘宝“花呗”分期付款问题从购买手机入手，给学生展示淘宝购物页面“分期付款（可选）”一栏。
【师生互动】:教师引出购买手机和其他价格较高物品的问题，学生讨论如何购买，展示淘宝购物页面截图。
2018年高中数学北师大版必修五课件：第1章 §4 数列在日常经济生活中的应用
1 000＋36＝1 036.
据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为 b，2013 年产生的垃圾量为 a t，由此预测，该区 2014 年的垃圾量为 ________t，2018 年的垃圾量为________t. 解析：由于 2013 年的垃圾量为 a t，年增长率为 b，故下一年 的垃圾量为 a＋ab＝a(1＋b) t， 同理可知 2015 年的垃圾量为 a(1＋b)2 t，…， 2018 年的垃圾量为 a(1＋b)5 t. 答案：a(1＋b) a(1＋b)5
解：(1)选 A.存款利息是以 5 为首项，5 为公差的等差数列，12 个月的存款利息之和为 5(1＋2＋3＋…＋12)元，故选 A. (2)设某单位需购买影碟机 n 台，在甲商场购买每台售价不低于 440 元时，售价依台数 n 成等差数列，设该数列为{an}， an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n， 解不等式 an≥440，即 800－20n≥440，得 n≤18， 当购买台数小于 18 时，每台售价为(800－20n)元， 当台数大于或等于 18 时，每台售价为 440 元．
利用等比数列模型解题 某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式，对 购买一辆 10 万元的轿车在 1 年内将款全部付清的前提下，可 分 3 次付清，购买 4 个月第 1 次付款，再过 4 个月第 2 次付款， 再过 4 个月第 3 次付款，规定分期付款中，每期付款额相同， 月利率为 0.8%，每月利息按复利计算，即指上月利息要记入 下月本金，问付款总额是多少？
到乙商场购买，每台售价为 800×75%＝600 元， 作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)， 所以，当 n<10 时，600n<(800－20n)n； 当 n＝10 时，600n＝(800－20n)n； 当 10<n<18 时，(800－20n)n<600n； 当 n≥18 时，440n≤600n. 所以当购买台数少于 10 台时，购买到乙商场花费较少；当购 买 10 台时，到两商场购买花费相同；当购买多于 10 台时，到 甲商场购买花费较少．
北师大版高中数学必修第一章数列数列在日常经济生活中的应用习题
差数列.
所以数列｛an}的前ｎ项和 Sn＝
=256
，ห้องสมุดไป่ตู้
数列｛ｂn}的前 n 项和Ｔn=400n+ a. 所以经过ｎ年,该市更换的公交车总数
Ｓ(n)=Sn＋Tn=2５６
+40０n＋ a.
（2)若用 7 年的时间完成全部更换， 则Ｓ(７)≥10 000,
解析:由题意可得每 3 分病毒占的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据 64 MB 时自身复制
了ｎ次,即２×2n=64×2１0＝216,解得 n＝１5,从而复制的时间为 15×3＝45(分）.
答案:45
７．甲、乙两人于同一天分别携款 1 万元到银行储蓄,甲存 5 年定期储蓄,年利率为２.88%,乙
存一年定期储蓄,年利率为 2.２５%,并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄，按规定每次
9.
导学号３319402６为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益,长沙市计
划用若干年更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力 型车和混合动力型车．今年年初投入了电力型公交车 128 辆，混合动力型公交车 400 辆,计划 以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%,混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆. (１）求经过 n 年,该市被更换的公交车总数 S(n）； (2)若该市计划用 7 年的时间完成全部更换,求 a 的最小值. 解(１)设ａn,bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意知，数
Ａ.９ﻩB.10 C．19
D.29
解析：∵ <20０,而满足 <200 时,n 可取的最大值为 19.当 n=19 时,
2021-2022学年高中数学北师大版必修5作业：1.4 数列在日常经济生活中的应用
课时分层作业(十) 数列在日常经济生活中的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( )A ．pB ．12pC ．(1＋p )12D ．(1＋p )12－1D [设原有总产值为a ，年平均增长率为r ，则a (1＋p )12＝a (1＋r )，解得r ＝(1＋p )12－1，故选D ．]2．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁？( )A ．38B ．35C ．32D ．29B [由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄a 1为首项，公差为－3的等差数列，所以9a 1＋9×82×(－3)＝207，解得a 1＝35.]3．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为a n ，数列{}a n 的前n 项和为S n ，则使得不等式S n >2 0202 021成立的正整数n 的最小值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12C [记第n 天后剩余木棍的长度为a n ，则{}a n 是首项为12，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n ，S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ，S n 是关于n 的增函数，而S 10＝1－1210＝1 0231 024<2 0202 021，S 11＝1－1211＝2 0472 048>2 0202 021，所以使得不等式S n >2 0202 021成立的正整数n 的最小值为11.]4．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )A ．3n 22B ．n (n ＋1)2C ．3n (n －1)2D ．n (n －1)2C [由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12，所以a n ＝3n －3，n ≥2， 所以a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n＝(n －1)(3＋3n －3)2＝3n (n －1)2．] 5．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13 958，则出版这套书的年份是( )A ．1994B ．1996C ．1998D ．2000D [设出齐这套书的年份是x ，则(x －12)＋(x －10)＋(x －8)＋…＋x ＝13 958， ∴7x －7(12＋0)2＝13 958，解得x ＝2 000．] 二、填空题6．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成________．512 [由题意知a 1＝1，公比q ＝2，经过3小时分裂9次，∴末项为a 10，则a 10＝a 1·29＝512．]7．根据市场调查预测，某商场在未来10年，计算机销售量从a 台开始，每年以10%的速度增长，则该商场在未来10年大约可以销售计算机总量为________．10a (1．110－1) [由题意知，该商场在未来10年内每年计算机的销售量成等比数列，在未来10年大约可以销售计算机总量为S 10＝a (1－1.110)1－1.1＝10a (1．110－1)台．]8．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10 000元，用于自己开设的农产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为________元．(取1.211＝7.5，1.212＝9)40 000 [设一月月底小王手中有现款为a 1＝(1＋20%)×10 000－1 000＝11 000元，n 月月底小王手中有现款为a n ，n ＋1月月底小王手中有现款为a n ＋1，则a n ＋1＝1.2a n －1 000，即a n ＋1－5 000＝1.2()a n －5 000，所以数列{}a n －5 000是以6 000为首项，1.2为公比的等比数列，a 12－5 000＝6 000×1.211，即a 12＝6 000×1.211＋5 000＝50 000元．年利润为50 000－10 000＝40 000元．]三、解答题9．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%．(1)以2018年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0．910≈0．35．[解] (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0．9，∴a n ＝a ·0．9n －1(n ≥1)．(2)10年的出口总量S10＝a(1－0.910) 1－0.9＝10a(1－0．910)．∵S10≤80，∴10a(1－0．910)≤80，即a≤81－0.910，∴a≤12．3，故2018年最多出口12．3吨．10．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%的学生改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%的学生改选A种菜．用a n，b n分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数，如果a1＝300，求a10和b10．[解]依题意，a n＝0．8a n－1＋0．3b n－1，a n＋b n＝500，∴a n＝0．8a n－1＋0．3(500－a n－1)＝0．5a n－1＋150，∴a n－300＝0．5(a n－1－300)，∴a n－300＝(a1－300)×0．5n－1，又a1－300＝0，则a n－300＝0，即a n＝300，∴a10＝300，b10＝200．1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n个月内累计的需求量S n(万件)近似地满足S n＝n90(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是()A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．8月、9月C[S n＝n90(21n－n 2－5)＝190(21n2－n3－5n)，∴由a n＝S n－S n－1，得a n＝S n－S n－1＝190(21n 2－n3－5n)－190[21(n－1)2－(n－1)3－5(n－1)]＝190[21(2n －1)－(3n 2－3n ＋1)－5]＝190(－3n 2＋45n －27)，令a n >1．5，解得6<n <9，所以n ＝7,8．]2．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 就会降低0．7 ℃，已知山顶气温为14．1 ℃，山脚气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是( )A ．1 500 mB ．1 600 mC ．1 700 mD ．1 800 mC [由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，公差为－0．7 ℃的等差数列，记此数列为{a n }，a 1＝26 ℃，d ＝－0．7 ℃，∴14．1＝26＋(n －1)×(－0．7)，解得n ＝18，∴此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1 700(m)．]3．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金________万元．126 [设全部资金和每次发放后资金的剩余额组成一个数列{a n }，则a 1为全部资金，第一名领走资金后剩a 2，a 2＝12a 1－1，…，依次类推，a n ＋1＝12a n －1，∴a n ＋1＋2＝12(a n ＋2)．∴{a n ＋2}是一个等比数列，公比为12，首项为a 1＋2．∴a n ＋2＝(a 1＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1， ∴a n ＝(a 1＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1－2． ∴第6名领走资金后剩余为a 7＝(a 1＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫126－2＝0．∴a 1＝126，即全部资金为126万元．]4．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，以复利计算，则每年应偿还________万元．aγ(1＋γ)5(1＋r)5－1[设每年偿还x万元，第一年的年末偿还x万元后剩余的贷款为a(1＋γ)－x，第二年的年末偿还x万元后剩余的贷款为[a(1＋γ)－x](1＋r)－x＝a(1＋γ)2－x(1＋γ)－x，…，第五年的年末偿还x万元后剩余的贷款为a(1＋γ)5－x(1＋γ)4－x(1＋γ)3－…－x，由于第5年还清，所以x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x＝aγ(1＋γ)5(1＋r)5－1．]5．在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出了工资标准：经过一番思考，他选择了A公司，你知道为什么吗？[解]。
北师大版数学高二作业 1.4 数列在日常经济生活中的应用
一、选择题1．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4，∴P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴S △OP 1P 2＝1.2．某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p %，q %，则这两年的平均增长率是( ) A.p %＋q %2B ．p %·q % C.(1＋p %)(1＋q %) D.(1＋p %)(1＋q %)－1 答案 D解析 设该工厂最初的产值为1，经过两年的平均增长率为r ，则(1＋p %)(1＋q %)＝(1＋r )2. 于是r ＝(1＋p %)(1＋q %)－1. 3．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13958，则出版这套书的年份是( )A ．1994B ．1996C ．1998D ．2000答案 D解析 设出齐这套书的年份是x ，则(x －12)＋(x －10)＋(x －8)＋…＋x ＝13958，∴7x －7(12＋0)2＝13958， 解得x ＝2000.4．现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是( )A ．8×1.0253B ．8×1.0254C ．8×1.0255D ．8×1.0256答案 C解析 定期自动转存属于复利计算问题，5年末的本利和为8×(1＋2.50%)5＝8×1.0255.5．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n 个月内累计的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n 90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月 答案 C解析 S n ＝n 90(21n －n 2－5)＝190(21n 2－n 3－5n )， ∴由a n ＝S n －S n －1，得a n ＝S n －S n －1＝190(21n 2－n 3－5n )－190[21(n －1)2－(n －1)3－5(n －1)] ＝190[21(2n －1)－(n 2＋n 2－n ＋n 2－2n ＋1)－5] ＝190(－3n 2＋45n －27) ＝－390(n －152)2＋6340， ∴当n ＝7或8时，超过1.5万件．6．夏季高山上气温从山脚起每升高100m 就会降低0.7℃，已知山顶气温为14.1℃，山脚气温是26℃，那么此山相对于山脚的高度是( )A ．1500mB ．1600mC ．1700mD ．1800m 答案 C解析 由题意知气温值的变化构成了以26℃为首项，公差为－0.7℃的等差数列，记此数列为{a n }，a 1＝26℃，d ＝－0.7℃，∴14.1＝26＋(n －1)×(－0.7)，解得n ＝18，∴此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1700(m)．二、填空题7．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成______．答案 512解析 由题意知a 1＝1，公比q ＝2，经过3小时分裂9次，∴末项为a 10，则a 10＝a 1·29＝512.8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2010年产生的垃圾量为a 吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2015年的垃圾量为________吨．答案 a (1＋b ) a (1＋b )5解析 2010年产生的垃圾量为a 吨，下一年的垃圾量在2010年的垃圾量的基础之上增长了ab 吨，所以下一年的垃圾量为a (1＋b )吨；2015年是从2010年起再过5年，所以2015年的垃圾量是a (1＋b )5吨．9．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金______万元．答案 126解析 设全部资金和每次发放后资金的剩余额组成一个数列{a n }，则a 1为全部资金，第一名领走资金后剩a 2，a 2＝12a 1－1， 依次类推，a n ＋1＝12a n －1，∴a n ＋1＋2＝12(a n ＋2) ∴{a n ＋2}是一个等比数列，公比为12，首项为a 1＋2. ∴a n ＋2＝(a 1＋2)·(12)n －1， ∴a n ＝(a 1＋2)·(12)n －1－2.∴第6名领走资金后剩余为a 7＝(a 1＋2)×(12)6－2＝0.∴a 1＝126，即全部资金为126万元． 10．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，以复利计算，则每年应偿还________万元．答案 aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1解析 设每年偿还x 万元，第一年的年末偿还x 万元后剩余的贷款为a (1＋γ)－x ，第二年的年末偿还x 万元后剩余的贷款为[a (1＋γ)－x ](1＋γ)－x ＝a (1＋γ)2－x (1＋γ)－x …第五年的年末偿还x 万元后剩余的贷款为a (1＋γ)5－x (1＋γ)4－x (1＋γ)3－…－x ，由于第5年还清，所以x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，∴x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1. 11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2017年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2017年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2017年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9， ∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)． ∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910， ∴a ≤12.3.故2017年最多出口12.3吨．12．某林区由于各种原因林地面积不断减少，已知2002年年底的林地面积为100万公顷，从2003年起该林区进行开荒造林，每年年底的统计结果如下：(1)若不进行从2003年开始的开荒造林，那么到2016年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为多少万公顷？(2)如果从2003年开始一直坚持开荒造林，那么到哪一年年底该林区的林地总面积达102万公顷？解 (1)记2003年该林区原有林地面积为a 1到2016年年底该林区原有林地减少后的面积大约变为a 14，从表中看出{a n }是等差数列，公差d 约为－0.2，故a 14＝a 1＋(14－1)d ＝99.8＋(14－1)×(－0.2)＝97.2，所以到2016年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为97.2万公顷．(2)根据表中所给数据，该林区每年开荒造林面积基本是常数0.3万公顷，设2003年起，n 年后林地总面积达102万公顷，结合(1)可知：99．8＋(n －1)×(－0.2)＋n ×0.3≥102，解得n ≥20，即2022年年底，该林区的林地总面积达102万公顷．13．某城市决定对城区住房进行改造，在新建住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房a m 2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少a m 2；已知旧住房总面积为32a m 2，每年拆除的数量相同．(1)若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m 2?(2)求前n (1≤n ≤10且，n ∈N )年新建住房总面积S n .解 (1)10年后新建住房总面积为a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋5a ＋4a ＋3a ＋2a ＝42a . 设每年拆除的旧住房为x m 2，则42a ＋(32a －10x )＝2×32a ，解得x ＝a ，即每年拆除的旧住房面积是a m 2.(2)设第n 年新建住房面积为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1a ，1≤n ≤4，(12－n )a ，5≤n ≤10. 所以当1≤n ≤4时，S n ＝(2n －1)a ；当5≤n ≤10时，S n ＝a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋…＋(12－n )a＝15a ＋(n －4)(19－n )a 2＝(23n －n 2－46)a 2. 故S n ＝⎩⎨⎧ (2n －1)a ，1≤n ≤4且n ∈N ，(23n －n 2－46)a 2，5≤n ≤10且n ∈N .。
高中数学北师大版高二必修5第一章4数列在日常经济生活中的应用作业2word版含解析
,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( ) A ．p B ．12pC ．(1＋p )12D ．(1＋p )12－1解析：选D.设原有总产值为a ，年平均增长率为r ，则a (1＋p )12＝a (1＋r )，解得r ＝(1＋p )12－1，故选D.2．某种产品计划每年降低成本q %，若三年后的成本是a 元，则现在的成本是( ) A ．a 3q % B ．a ·(q %)3C ．a (1－q %)3 D.a（1－q %）3解析：选D.设现在的成本为x 元，则x (1－q %)3＝a ，所以x ＝a（1－q %）3，故选D.3．某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2020年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为( )A ．214－1 B ．215－1 C ．314－1D ．315－1解析：选A.设2012年年底总产值为a ，年平均增长率为x ，则a (1＋x )8＝4a ，得x ＝214－1，故选A. 4．某企业2014年12月份产值是这年1月份产值的p 倍，则该企业2014年度的产值月平均的增长率为( )A.12pB.12p －1 C.11p －1 D.11p解析：选C.设2014年1月份产值为a ，则12月份的产值为pa ，假设月平均增长率为r ，则a (1＋r )11＝pa ，所以r ＝11p －1.故选C.5．某人为了观看2014世界杯，从2007年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2014年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )A ．a (1＋p )7B ．a (1＋p )8 C.a p [(1＋p )7－(1＋p )] D.ap[(1＋p )8－(1＋p )] 解析：选D.2007年存入的a 元到2014年所得的本息和为a (1＋p )7，2008年存入的a 元到2014年所得的本息和为a (1＋p )6，依次类推，则2013年存入的a 元到2014年的本息和为a (1＋p )，每年所得的本息和构成一个以a (1＋p )为首项，1＋p 为公比的等比数列，则到2014年取回的总额为a (1＋p )＋a (1＋p )2＋…＋a (1＋p )7＝a （1＋p ）[1－（1＋p ）7]1－（1＋p ）＝a p [(1＋p )8－(1＋p )]．6．小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋2ar ＋ar ＝12（12＋1）2ar ＝78ar .答案：78ar7．某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，n 年后这辆车的价值为a n 元，则a n ＝________，若他打算用满4年时卖掉这辆车，他大约能得到________元．解析：n 年后这辆车的价值构成等比数列{a n }，其中，a 1＝100 000×(1－10%)，q ＝1－10%，所以a n ＝100 000×(1－10%)n ，所以a 4＝100 000×(1－10%)4＝65 610(元)．答案：100 000×(1－10%)n 65 610 8．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书约34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了________字．解析：设第一日读的字数为a ，由“每日添增一倍多”得此数列是以a 为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为a （1－23）1－2＝7a ＝34 685，解得a ＝4 955，则2a ＝9 910，即该君第二日读的字数为9 910.答案：9 910 9．某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果贷款10 000元，两年还清，月利率为0.457 5%，那么每月应还多少钱呢？解：贷款10 000元两年到期时本金与利息之和为：10 000×(1＋0.457 5%)24＝10 000×1.004 57524(元)．设每月还x 元，则到期时总共还x ＋1.004 575x ＋…＋1.004 57523x ＝x ·1－1.004 575241－1.004 575.于是x ·1－1.004 575241－1.004 575＝10 000×1.004 57524.所以x ≈440.91(元)．即每月应还440.91元．10．用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？解：购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n }， 则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)； a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)； a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)， …，a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝(4－n －15)(万元)(n ＝1，2，…，10)．因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列． a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×（10－1）×（－15）2＝31(万元)．因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．[B.能力提升]1．某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约多少年可以使总销售量达到30 000台？(结果保留到个位)(参考数据：lg 1.1≈0.041，lg 1.6≈0.204)( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年解析：选C.设大约n 年可使总销售量达到30 000台，由题意知：每年销售量构成一个等比数列，首项为a 1＝5 000台，公比q ＝1.1，S n ＝30 000，所以由30 000＝5 000（1－1.1n ）1－1.1⇒1.1n ＝1.6⇒n ＝lg 1.6lg 1.1≈5，故选C.2．某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2015年1月的产值相等．若甲企业每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等，乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分数相等，到2016年1月两个企业的产值又相等，那么2015年7月，甲、乙两个企业的产值的大小关系是( )A ．甲大B ．乙大C ．相等D ．无法确定解析：选A.设从2015年1月到2016年1月，甲企业每个月的产值分别是a 1，a 2，…，a 13，乙企业每个月的产值分别是b 1，b 2，…，b 13.依题意{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，所以a 7＝a 1＋a 132，b 7＝b 1b 13.又因为a 1＝b 1，a 13＝b 13，a 13>a 1，所以a 7＝a 1＋a 132>a 1a 13＝b 1b 13＝b 7，即2015年7月甲企业的产值大，故选A.3．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________．(参考数据：lg 2≈0.301 0)解析：设原杂质数为1，各次过滤后水中的杂质数构成等比数列{a n }，则a 1＝1－20%，公比q ＝1－20%，所以a n ＝(1－20%)n ，由题意可知(1－20%)n ＜5%，即0.8n ＜0.05.两边取对数得n lg 0.8＜lg 0.05，因为lg 0.8＜0，所以n ＞lg 0.05lg 0.8，即n ＞lg 5－2lg 8－1＝1－lg 2－23lg 2－1＝－lg 2－13lg 2－1≈－0.301 0－13×0.301 0－1≈13.41，又n ∈N ＋，故n ＝14，即至少需要过滤14次．答案：14 4．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．解析：由已知(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项，即(c －a )2＝(b －c )(b －a )，把c ＝a ＋x (b －a )代入上式，得x 2(b －a )2＝[b －a －x (b －a )](b －a )，即x 2(b －a )2＝(1－x )(b －a )2，因为b >a ，b －a ≠0，所以x 2＝1－x ，即x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52，因为0<x <1，所以最佳乐观系数x 的值等于 －1＋52.答案： －1＋525．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f (n )表示前n 年的纯收入．求从第几年开始获取纯利润？(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)解：由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f (n )， 则f (n )＝50n －[12n ＋n （n －1）2×4]－72＝－2n 2＋40n －72.获取纯利润就是要求f (n )>0，故有－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18.又n ∈N ＋，知从第三年开始获利．6．某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a 亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a 亩．(1)求该林场第六年植树的面积；(2)设前n (1≤n ≤10且n ∈N ＋)年林场植树的总面积为S n 亩，求S n 的表达式．解：(1)该林场前五年的植树面积分别为16a ，24a ，36a ，54a ，81a .所以该林场第六年植树面积为80a 亩． (2)设第n 年林场植树的面积为a n 亩，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（32）n －1×16a ，1≤n ≤5，n ∈N ＋，（86－n ）a ，6≤n ≤10，n ∈N ＋.所以当1≤n ≤5时，S n ＝16a ＋24a ＋…＋(32)n －1×16a＝16a [1－（32）n ]1－32＝32a [(32)n －1]．当6≤n ≤10时，S n ＝16a ＋24a ＋36a ＋54a ＋81a ＋80a ＋…＋(86－n )a ＝211a ＋80a ＋…＋(86－n )a ＝211a ＋[80a ＋（86－n ）a ]（n －5）2＝211a ＋（166a －na ）（n －5）2.所以所求S n 的表达式为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎡⎦⎤（32）n －1×32a ，1≤n ≤5，n ∈N ＋，211a ＋（166a －na ）（n －5）2，6≤n ≤10，n ∈N ＋.。
高中数学 1.4 数列在日常经济生活中的应用课时作业 北
§4 数列在日常经济生活中的应用课时目标 1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．1．有关储蓄的计算储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率．根据国家规定，个人所得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率．(1)整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A ，存期为n ，每期利率为p ，税率为q ，则到期时，所得利息为：________，应纳税为________，实际取出金额为：________________. (2)定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A ，连存n 次，每期利率为p ，税率为q ，则到第n 期末时，应得到全部利息为： _________.应纳税为：______________，实际受益金额为__________________． 2．分期付款问题贷款a 元，分m 个月将款全部付清，月利率为r ，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为： _______________________.一、选择题 1．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的17是较少的两份之和，则最小的一份的量为( ) A.53 B.103 C.56 D.1162．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．10a (1.15－1)D ．11a (1.15－1)3．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元 C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元 D.aγ(1＋γ)5万元 4．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( ) A ．p B ．12pC ．(1＋p )12D ．(1＋p )12－15．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最大的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年二、填空题6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2010年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区2015年的垃圾量为________吨．7．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了______支铅笔．8．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________．三、解答题9．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)．10．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)能力提升11．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月 12．某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2＝0.3)从实际问题转化为数列问题，极易出现弄错数列的项数，因此一定要仔细审题，弄清楚数列中的项与实际问题中的时间(例如年份)之间的对应关应．尤其是首项a 1代表的实际含义一定要弄清楚．§4 数列在日常经济生活中的应用答案知识梳理1．(1)nAp nApq nAp (1－q )＋A (2)12n (n ＋1)Ap 12n (n ＋1)Apq 12n (n ＋1)Ap (1－q )2.ar (1＋r )m (1＋r )m－1 作业设计1．A [设公差为d (d >0)，则5份分别为20－2d,20－d,20,20＋d,20＋2d ， 则7(20－2d ＋20－d )＝20＋(20＋d )＋(20＋2d )，解得d ＝556，最小的一份为20－553＝53.]2．D [注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1．12a,1.13a,1.14a,1.15a .∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．]3．B [设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，∴x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1.] 4．D [设1月份产值为1，年平均增长率为x ，依题意得(1＋p )12[1－(1＋p )12]1－(1＋p )＝1－(1＋p )121－(1＋p )(1＋x )，∴x ＝(1＋p )12－1.]5．C [由题意知第一年年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年年产量为a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2，∴a n ＝3n 2 (n ∈N ＋)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52， ∴1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．]6．a (1＋b )57．7 260解析 从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔， ∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)． 8.13[(1＋r )3－1] 解析 设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存收益最大，三年总收益为(1＋r )3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q ，为鼓励储户三年定期存款，应使3q >(1＋r )3－1. 即q >13[(1＋r )3－1]．9．解 方法一 设每期应付款x 元．第1期付款与到最后一次付款所生利息之和为x (1＋0.008)11(元)．第2期付款与到最后一次付款所生利息之和为x (1＋0.008)10(元)，… 第12期付款没有利息．所以各期付款连同利息之和为x (1＋1.008＋…＋1.00811)＝1.00812－11.008－1x ，又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，于是有1.00812－11.008－1x ＝2 000×1.00812.解得x ＝16×1.008121.00812－1＝176(元)． 即每期应付款176元．方法二 设每期应付款x 元，则第1期还款后欠款2 000×(1＋0.008)－x第2期还款后欠款(2 000×1.008－x )×1.008－x ＝2 000×1.0082－1.008x －x ， …第12期还款后欠款2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ，第12期还款后欠款应为0，所以有2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0.∴x ＝2 000×1.008121.00812－11.008－1＝176(元)．即每期应还款176元． 10．解 (1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列．其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列．其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×1.08n －1. 由题意可知a n >0.85b n ，有250＋(n －1)·50>400×1.08n －1×0.85.由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n ＝6，∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 11．C解析 n 个月累积的需求量为S n ，∴第n 个月的需求量为a n ＝S n －S n －1＝n 90(21n －n 2－5)－n －190[21(n －1)－(n －1)2－5]＝130(－n 2＋15n －9)．a n >1.5，即满足条件，∴130(－n 2＋15n －9)>1.5，6<n <9(n ＝1,2,3，…，12)，∴n ＝7或n ＝8.(可直接代入各个选项进行验证得出答案)12．解 设该项目逐年的项目资金数依次为a 1，a 2，a 3，…，a n . 则由已知a n ＋1＝a n (1＋25%)－200(n ∈N ＋)．即a n ＋1＝54a n －200.令a n ＋1－x ＝54(a n －x )，即a n ＋1＝54a n －x4，由x4＝200，∴x ＝800.∴a n ＋1－800＝54(a n －800)(n ∈N ＋)故数列{a n －800}是以a 1－800为首项，54为公比的等比数列．∵a 1＝1 000(1＋25%)－200＝1 050.∴a 1－800＝250，∴a n －800＝250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.∴a n ＝800＋250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1(n ∈N ＋)．由题意a n ≥4 000.∴800＋250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1≥4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54n≥16.两边取常用对数得n lg 54≥lg 16，即n (1－3lg 2)≥4lg 2.∵lg 2＝0.3，∴0.1n ≥1.2，∴n ≥12.即经过12年后，该项目资金可以达到或超过翻两番的目标．。
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[学业水平训练]1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是( )A ．5(1＋2＋3＋…＋12)元B ．5(1＋2＋3＋…＋11)元C ．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元D ．1 000＋[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元解析：选A.存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元，故选A.2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：选C.一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ；二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%)，解得x ＝S 36. 3．某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2020年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为( )A ．214－1B ．215－1C ．314－1D ．315－1解析：选A.设2012年年底总产值为a ，年平均增长率为x ，则a (1＋x )8＝4a ，得x ＝214－1，故选A.4．某工厂购买一台机器价格为a 万元，实行分期付款，每期付款b 万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a ，b 满足( )A ．b ＝a 12B ．b ＝a （1＋5‰）1212C ．b ＝a （1＋5‰）12 D.a 12<b <a （1＋5‰）1212解析：选D.∵b (1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511)＝a (1＋0.005)12，∴12b <a (1＋0.005)12，∴b <a （1＋5‰）1212，显然12b >a ， 即a 12<b <a （1＋5‰）1212. 5．某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )A ．a (1＋p )7B ．a (1＋p )8C.a p [(1＋p )7－(1＋p )]D.a p[(1＋p )8－(1＋p )] 解析：选D.2005年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )7，2006年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )6，依此类推，则2011年存入的a 元到2012年的本息和为a (1＋p )，每年所得的本息和构成一个以a (1＋p )为首项，1＋p 为公比的等比数列，则到2012年取回的总额为a (1＋p )＋a (1＋p )2＋…＋a (1＋p )7＝a （1＋p ）[1－（1＋p ）7]1－（1＋p ）＝a p [(1＋p )8－(1＋p )]． 6．某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，n 年后这辆车的价值为a n 元，则a n ＝________，若他打算用满4年时卖掉这辆车，他大约能得到________元．解析：n 年后这辆车的价值构成等比数列{a n }，其中，a 1＝100 000×(1－10%)，q ＝1－10%，∴a n ＝100000×(1－10%)n ，∴a 4＝100 000×(1－10%)4＝65 610(元)．答案：100 000×(1－10%)n 65 6107．已知一个正方形的边长为1 cm ，以它的对角线为边作一个新的正方形，再以新的正方形的对角线为边作正方形，这样继续下去，共作了6个正方形，那么第六个正方形(包括已知正方形)的边长是________，这6个正方形的面积和是________．解析：由题意知所作正方形的边长依次构成一个等比数列，首项为1 (cm )，公比为2，故a 6＝a 1q 5＝1×(2)5＝4 2 (cm )，则第六个正方形的边长为4 2 cm .这6个正方形的面积依次也构成一个等比数列，首项为1 cm 2，公比为2 cm 2，则S 6＝1（1－26）1－2＝63(cm 2)． 答案：4 2 cm 63 cm 28．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书约34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了________字．解析：设第一日读的字数为a ，由“每日添增一倍多”得此数列是以a 为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为a （1－23）1－2＝7a ＝34 685，解得a ＝4 955，则2a ＝9 910，即该君第二日读的字数为9 910.答案：9 9109．工薪阶层的张某欲从银行贷款，购买一套自己满意的住房．按规定，政策性住房贷款的年息为9.6%，最长年限为10年，可以分期付款．张某根据自己的实际情况估计每年最多可偿还5 000元，打算10年还清．如果银行贷款利率按单利计算，那么张某最大限额的贷款是多少？如果银行贷款利率按复利计算呢？(参考数据：(1.096)－10＝0.399 85)解：按单利计算，由于一年后偿还的5 000元相当于贷款时的 5 0001＋0.096元；两年后偿还的5 000元相当于贷款时的 5 0001＋0.096×2元，…，所以，张某的最大限额贷款为： 5 000×(11＋0.096＋11＋0.096×2＋11＋0.096×3＋…＋11＋0.096×10) ≈33 854(元)．如果银行贷款利率按复利计息，则最大限额贷款应为：5 000×[11＋0.096＋1（1＋0.096）2＋1（1＋0.096）3＋…＋1（1＋0.096）10] ＝5 000×1－（1.096）－100.096≈31 258(元)． 所以如果银行贷款利率按单利计算，张某最大限额的贷款是33 854元，如果按复利计算，张某最大限额的贷款是31 258元．10．某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式，对购买一辆10万元的轿车在1年内将款全部付清的前提下，可以选择以下两种分期付款的方案购车：方案1：分3次付清，购买4个月后第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款； 方案2：分12次付清，购买1个月后第1次付款，再过1个月第2次付款，…，购买12个月后第12次付款．规定分期付款中，每期付款额相同，月利率为0.8%，每月利息按复利计算，即指上月利息要计入下月本金，试比较以上两种方案的哪一种方案付款总额较少？解：对于方案1，设每次付款额为x 1万元，那么4个月后，第1次付款的本息和为1.0088x 1万元， 第2次付款的本息和为1.0084x 1万元，第3次付款的本息和为x 1万元，则1．0088x 1＋1.0084x 1＋x 1＝10×1.00812.x 1·（1.0084）3－11.0084－1＝10×1.00812. ∴x 1＝10×1.00812·（1.0084－1）1.00812－1≈10×1.1×0.03240.1＝3.564(万元)． 付款总额约为3×3.564＝10.692(万元)对于方案2，设每次付款额为x 2万元，那么1月后，第1次付款的本息和为1.00811x 2万元，第2次付款的本息和为1.00810x 2万元，…第12次付款的本息和为x 2万元，则1．00811x 2＋…＋1.008x 2＋x 2＝10×1.00812.x 2＝10×1.00812×0.0081.00812－1≈10×1.1×0.0080.1＝0.88(万元)． 付款总额约为12×0.88＝10.56(万元)．所以方案2付款总额较少．[高考水平训练]1．某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约多少年可以使总销售量达到30 000台？(结果保留到个位)(参考数据：lg 1.1≈0.041，lg 1.6≈0.204)( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.设大约n 年可使总销售量达到30 000台，由题意知：每年销售量构成一个等比数列，首项为a 1＝5 000台，公比q ＝1.1，S n ＝30 000，∴由30 000＝5 000（1－1.1n ）1－1.1⇒1.1n ＝1.6⇒n ＝lg 1.6lg 1.1≈5，故选C.2．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________．(参考数据：lg 2≈0.301 0)解析：设原杂质数为1，各次过滤后水中的杂质数构成等比数列{a n }，则a 1＝1－20%，公比q ＝1－20%，∴a n ＝(1－20%)n ，由题意可知(1－20%)n ＜5%，即0.8n ＜0.05.两边取对数得n lg 0.8＜lg 0.05，∵lg 0.8＜0，∴n ＞lg 0.05lg 0.8，即n ＞lg 5－2lg 8－1＝1－lg 2－23lg 2－1＝－lg 2－13lg 2－1≈－0.301 0－13×0.301 0－1≈13.41，又n ∈N ＋，故n ＝14，即至少需要过滤14次．答案：143．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存5年期定期储蓄，年利率4.75%，乙存一年期定期储蓄，年利率3%，并在每年到期时自动转存，即将本息续存一年定期储蓄．按规定每次计息时，储户需要交纳利息的20%作为利息税，若存满5年后两人同时取出存款，则他们的本息和各是多少？哪种存款方式利息要高些？解：甲存满5年后所得本息和为：10 000＋10 000×5×4.75%×80%＝11 900(元)．乙存满1年后所得本息和为：10 000＋10 000×3%×(1－20%)＝10 000(1＋3%×80%)，2年后所得本息和为：10 000(1＋3%×80%)2，…各年的本息和构成公比为1＋3%×80%的等比数列，所以乙存满5年后所得本息和为：10 000(1＋3%×80%)5≈11 259(元)．显然甲存款方式利息更高些．4．某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币)．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍)．游戏规定：闯关者需要在闯关前任选一种奖励方案．(1)设闯过n (n ∈N ，且n ≤12)关后三种奖励方案获得的慧币数依次为A n ，B n ，C n ，试求出A n ，B n ，C n 的表达式；(2)如果你能闯过10关，你会选择哪种奖励方案？解：(1)第一种奖励方案：闯过各关所得慧币数构成常数列，所以A n ＝40n ；第二种奖励方案：闯过各关所得慧币数构成首项为4，公差为4的等差数列，所以B n ＝4n ＋n （n －1）2×4＝2n 2＋2n ；第三种奖励方案：闯过各关所得慧币数构成首项为0.5，公比为2的等比数列，所以C n ＝0.5（1－2n ）1－2＝2n －1－12. (2)当n ＝10时，A 10＝400，B 10＝2×102＋2×10＝220，C 10＝29－12＝511.5＞400＞220， 所以选择第三种奖励方案．。