工力03节扭转

将如何变化？
1-1
2-2
mB
mC
n T1
mB
1210
-1590
n T2
x
x
-2800
-1590
§3-3 薄壁圆筒的扭转
横截面上的应力:
直观判断：每点的τ垂直半径，方向顺着T 的转向。Τ沿截面均布。合力矩为T:
2
T R0 ds 2 R02 •
0
R0 10
T
2tR2
A
C
A' C'
B
D
B' D'
GIp
Ip
D4
32
T 180o
G
,D
4
32
T 180
G
49mm
D=59 或60mm
作业
3-9,3-14 3-17,3-20,
作业
3-1, 3-4, 3-5, 3-6,
第三章 扭 转
3-1 与 3-2 概述与内力计算
1. 扭转的概念
受扭转杆件的力学模型为:
m
m
模型的特征：1) 构件多为等直圆截面；
2) 外力偶的作用面与杆件轴线垂直；
3) 横截面之间绕杆件的轴线产生相对角位移。 具有上述特征的变形称为扭转变形。 工程上，把承受扭转变形的杆件称为“轴”。 横截面之间的相对角位移，称为扭转角。
τ = G. γ
剪切虎克定律
• 通过实验得到，单元体受剪后，也将发生 变形，这一变形叫剪切变形。用 表示。
• 剪应力和剪应变之间的关系 —— 剪切虎克 定律
• = G G：剪切弹性模量，量纲同E。
G E ,
2(1 )
由进一步的理论 分析可得上式.
3-4 圆轴扭转时横截面上的剪应力
（1） 实验观察:
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
请判断哪一杆件 将发生扭转
当两只手用力相等 时，拧紧罗母的工具杆 将产生扭转
请判断哪一杆件 将发生扭转
拧紧螺母的工具 杆不仅产生扭转，而 且产生弯曲
请判断哪一部件 将发生扭转
连接汽轮机和 发电机的传动轴将 产生扭转
2 . 外力偶的计算
m 9549 P(kW ) (N m) n(r pm)
（4）剪应力分析：
剪应力沿半径分布是变化的（未知）因此， 以剪应变入手分析。
（i）几何关系：（确定剪应变的分布）
T
o
1
4
d
2 o’
2’
3 3’
T
dx
讨论距0-0’轴为的lmnp面
R
l
1p
4
o
d
m
2
m’
n
2’ n’ 3
o’
mm' dx
d （剪切角）
dx
( mm' d )
令 d — 扭转角沿杆 dx 长的变化率
G.
T Ip
Tl GI P
G E2(1ຫໍສະໝຸດ )d T dx GIP
Tl 180
GIP
极惯性矩
T Ip
I p 2dA
Ip
D 4
32
I p 32
D4 d4
D4
32
14
d D
剪应力互等定律
T
y
z ①单元体平衡：
y
dz
,, x
a
,,
y
, x
b
x dy
o,
y
x
c
z
dx d
求:作图示传动轴的扭矩图 mA
解: 1. 求外力偶
mA= 9549 19 =1210Nm
150
mA
同样 mB=2800Nm, mC=1590Nm
2.截面法求内力( 设正法)
mA
T1-mA=0 T1 = 1210 Nm
T
T2- mA+ mB=0 T2 = -1590 Nm
3.作内力图
T
讨论：交换AB轮的位置扭矩
单元abcd面位于圆截面上
Moz 0 : "ydxdz dy 'xdydz dx 0
' x
" y
y
dz
,, x
a
,,
y
, x
b
dy
o,
y
x c
z
dx d
②定律： 在相互垂直的两个面上，剪应力必然成对出现，
而且大小相等方向指向（或背离）两面的交线。
3-5 圆轴扭转的強度与刚度计算
1、強度计算
d T dx GI P
d
l
T GI
p
dx
单位：(弧度)
G I p : 抗扭刚度
对于两端作用力偶的等直轴: Tl GI p
单位长度扭转角
l
d dx
T G Ip
180
(
m)
刚度条件：
d T 180o
dx G I p
0.25～0.5 / m 精密轴 0.50～1.0 / m 一般轴 1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
A. 各纵向线倾斜角度相同； X B. 各圆周线的形状、大小和间距
不变，只是绕轴线作相对转动；
l
C. 正方形网格,加外力偶后变成同
样大小的平行四边形。
m （2）假设：圆杆的横截面变形后
X
仍保持为平面，
（3）推理：
l
由现象A、 C 存在剪应力；
R
由现象B 横截面上无正应力；
由现象B 横截面上任意点的剪 应力的方向和半径垂直。
dA
A
G
d
dx
2dA
dx A 若令IP 2dA，则
d T
dx GIP
A
T
d
T
dx
T IP
T Ip
极惯性矩,
实心圆轴 空心圆轴
D 4
I p 32
I p 32
D4 d 4
D 4
32
1 4
d D
圆轴扭转时最大剪应力:
max
T Ip
R T Wp
Wp抗扭截面模量
作业
3-9,3-14 3-17,3-20,
3 . 扭转内力：
m
扭矩 T m
扭转内力正负号规则 : 将右手的四指沿扭矩
的旋转方向弯曲,若大拇 指指向与横截面 外法线方向一致时为正 m 。反之,则为负。
4 . 扭转内力：
（n+）T
（n-） T
m
T（+）
n m
T （-）n
m
例.已知:PA=19kW,PB=44kW, PC=25kW, n=150rpm
max
T Ip
R T Wp
Wp抗扭截面模量
max
T Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm,
[ ] 60MPa, m = 1.5 kNm。 校核轴的强度。
m
m
解：T = m = 1.5 kNm , d D 0.944
D3
Wp 16
1 4
29 106 m3
dx 3’
— 几何方程 (1)
结论：剪应变与到0-0’轴的距离成正比，杆轴上
剪应变为零，表面应变最大。
（i）变形几何关系：
表面 dx dR 内部 dx d
d
dx
（ii）物理条件：
G
G
d
dx
（iii）平衡条件：dT dA
T
T dT dA dA
G
A
d
例 已知： [ ] 40MPa, G 80GPa,
2o / m, 确定圆轴的直径.
1210 N.m 2800 N.m 1590 N.m 解：| T |max=1590（N.m) 一、按强度条件：
T
12100
x
max
T Wp
,Wp
D3
16
T
[ ]
-1590
D
3
16T
58.7mm
二、刚度条件： T 180o
max T Wp 51.7MPa＜
强度满足。
讨论：（1）改用实心轴，在最大应力不变时确定轴的直径；
由 Wp D3 16 T max 得D 53mm
（2）比较实心轴和空心轴的重量。 空心优于实心
Q Q A A D2 D2 d 2 3.2
为什么相同强度条件下空心轴比实心轴省材料？