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湖南省湘西市2020年中考数学试题(原卷版)

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2023年湖南省湘西州中考数学试卷(含解析)

2023年湖南省湘西州中考数学试卷(含解析)

2023年湖南省湘西州中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. −2023的相反数是( )A. −2023B. 2023C. −12023D. 120232. 今年五一假期，湘西州接待游客160.3万人次，实现旅游收入1673000000元，旅游复苏形势喜人将1673000000用科学记数法表示为( )A. 16.73×108B. 1.673×108C. 1.673×109D. 1.673×10103. 下列运算正确的是( )A. (−3)2=3B. (3a)2=6a2C. 3+2=32D. (a+b)2=a2+b24. 已知直线a//b，将一块直角三角板按如图所示的方式摆放.若∠1=40°，则∠2的度数是( )A. 40°B. 50°C. 140°D. 150°5. 某校九年级科技创新兴趣小组的7个成员体重(单位：kg)如下：38，42，35，40，36，42，75，则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 42，36B. 42，42C. 40，40D. 42，406. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是( )A.B.C.D.7. 不等式组{x −1<21−x <4的解集在数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.8. 七边形的内角和是( )A. 1080°B. 900°C. 720°D. 540°9. 如图，点A 在函数y =2x(x >0)的图象上，点B 在函数y =3x(x >0)的图象上，且AB //x 轴，BC ⊥x 轴于点C ，则四边形ABCO 的面积为( )A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图，AB 为⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为C ，D .若AB =10，PC =12，则sin ∠CAD 等于( )A. 125B.1312C. 135D. 1213二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 在实数3，−2，1，2中，最小的实数是______ ．212. 若二次根式2x−10在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．13. 分解因式：2x2−2=______ ．14. 在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是______ ．15. 在平面直角坐标系中，已知点P(a,1)与点Q(2,b)关于x轴对称，则a+b=______ ．16. 已知一元二次方程x2−4x+m=0的一个根为x1=1.则另一个根x2=______ ．17. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB=8，AD=DE=10，则B F的长为______ ．18. 如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点(点P不与B，E重合)，则CP+12BP的最小值为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。

2020年湖南省湘西州中考数学试卷-解析版

2020年湖南省湘西州中考数学试卷-解析版

2020年湖南省湘西州中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列各数中，比−2小的数是()A. 0B. −1C. −3D. 32.2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元，用科学记数法表示92700是()A. 0.927×105B. 9.27×104C. 92.7×103D. 927×1023.下列运算正确的是()A. √(−2)2=−2B. (x−y)2=x2−y2C. √2+√3=√5D. (−3a)2=9a24.如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是()A. B. C.D.5.从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 346.已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O、C为圆心，大于12OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F.画直线EF，分别交OA于D，交OB于G.那么△ODG一定是()A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形7.已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(−2,4)，下列说法正确的是()A. 正比例函数y1的解析式是y1=2xB. 两个函数图象的另一交点坐标为(4,−2)C. 正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大D. 当x<−2或0<x<2时，y2<y18.如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是()A. △BPA为等腰三角形B. AB与PD相互垂直平分C. 点A、B都在以PO为直径的圆上D. PC为△BPA的边AB上的中线9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边AB =a ，BC =b ，∠DAO =x ，则点C 到x 轴的距离等于( )A. acosx +bsinxB. acosx +bcosxC. asinx +bcosxD. asinx +bsinx10. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴为x =1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc >0，②b −2a <0，③a −b +c >0，④a +b >n(an +b)，(n ≠1)，⑤2c <3b ．正确的是( )A. ①③B. ②⑤C. ③④D. ④⑤二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. −13的绝对值是______．12. 分解因式：2x 2−2=______．13. 若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是______．14. 不等式组{x 3≥−11+2x ≥−1的解集为______． 15. 如图，直线AE//BC ，BA ⊥AC ，若∠ABC =54°，则∠EAC =______度．16. 从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量(单位：t)的数据，这两组数据的平均数分别是x −甲≈7.5，x −乙≈7.5，方差分别是S 甲2=0.010，S 乙2=0.002，你认为应该选择的玉米种子是______．17. 在平面直角坐标系中，O 为原点，点A(6,0)，点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO =30°，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD =2.将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与△ABO 重叠部分的面积为6√3时，则矩形CODE向右平移的距离为______．18.观察下列结论：(1)如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=CM，∠NOC=60°；(2)如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=DM，∠NOD=90°；(3)如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=EM，∠NOE=108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M=A2N，A1N与A n M相交于O.也会有类似的结论，你的结论是______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．(1)求口罩日产量的月平均增长率；(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？四、解答题（本大题共7小题，共68.0分）20.计算：2cos45°+(π−2020)0+|2−√2|.21.化简：(a2a−1−a−1)÷2aa2−1．22.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．(1)求证：△BAE≌△CDE；(2)求∠AEB的度数．23.为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析．部分信息如下：a.七年级参赛学生成绩频数分布直方图(数据分成五组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)如图所示b.七年级参赛学生成绩在70≤x<80这一组的具体得分是：7071737576767677777879年级平均数中位数众数七76.9m80根据以上信息，回答下列问题：(1)在这次测试中，七年级在75分以上(含75分)的有______人；(2)表中m的值为______；(3)在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第______名；(4)该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．24.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若CA=6，CE=3.6，求⊙O的半径OA的长．25.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F.探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是______；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论(直接写出“成立”或者“不成立”)，不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC= 2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°.试求此时两舰艇之间的距离．26. 已知直线y =kx −2与抛物线y =x 2−bx +c(b,c 为常数，b >0)的一个交点为A(−1,0)，点M(m,0)是x 轴正半轴上的动点．(1)当直线y =kx −2与抛物线y =x 2−bx +c(b,c 为常数，b >0)的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；(2)在(1)的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM =12S △ACE 时，求m 的值；(3)点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b +12，当√2AM +2DM 的最小值为27√24时，求b 的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：将这些数在数轴上表示出来：∴−3<−2<−1<0<3，∴比−2小的数是−3，故选：C．利用数轴表示这些数，从而比较大小．本题考查数轴表示数，比较有理数的大小，在数轴表示的数右边总比左边的大．2.【答案】B【解析】解：92700=9.27×104．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．3.【答案】D【解析】解：A．√(−2)2=2，所以A选项错误；B.(x−y)2=x2−2xy+y2，所以B选项错误；C.√2+√3≠√5，所以C选项错误；D.(−3a)2=9a2.所以D选项正确．故选：D．根据二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、二次根式的性质与化简，进行计算即可判断．本题考查了二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是综合运用以上知识．4.【答案】C【解析】解：从上边看有两层，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故选：C．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5.【答案】A【解析】解：从长度为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，共有以下4种结果(不分先后)：1cm3cm5cm，1cm3cm6cm，3cm5cm6cm，1cm5cm6cm，其中，能构成三角形的只有1种，∴P(构成三角形)=14．故选：A．列举出所有可能出现的结果情况，进而求出能构成三角形的概率．本题考查随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．6.【答案】C【解析】解：如图所示，∵OM平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC，由题可得，DG垂直平分OC，∴∠OED=∠OEG=90°，∴∠ODE=∠OGE，∴OD=OG，∴△ODG是等腰三角形，故选：C．依据已知条件即可得到∠ODE=∠OGE，即可得到OD=OG，进而得出△ODG是等腰三角形．本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．7.【答案】D【解析】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,−4)，∴正比例函数y1=−2x，反比例函数y2=−8，x∴两个函数图象的另一个交点为(−2,4)，∴A，B选项说法错误；∵正比例函数y1=−2x中，y随x的增大而减小，反比例函数y2=−8中，在每个象限内xy随x的增大而增大，∴C选项说法错误；∵当x<−2或0<x<2时，y2<y1，∴选项D说法正确．故选：D．由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，根据正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．8.【答案】B【解析】解：(A)∵PA、PB为圆O的切线，∴PA=PB，∴△BPA是等腰三角形，故A正确．(B)由圆的对称性可知：AB⊥PD，但不一定平分，故B不一定正确．(C)连接OB、OA，∵PA、PB为圆O的切线，∴∠OBP=∠OAP=90°，∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C正确．(D)∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，∴PC为△BPA的边AB上的中线，故D正确．故选：B．根据切线的性质即可求出答案．本题考查切线的性质，解题的关键是熟练运用切线的性质，本题属于中等题型．9.【答案】A【解析】解：作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=a，AD=BC=b，∠ADC=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，∵∠AOD=90°，∴∠DAO+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠DAO=x，∵sin∠DAO=ODAD ，cos∠CDE=DECD，∴OD=AD×sin∠DAO=bsinx，DE=D×cos∠CDE=acosx，∴OE=DE+OD=acosx+bsinx，∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx；故选：A．作CE⊥y轴于E，由矩形的性质得出CD=AB=a，AD=BC=b，∠ADC=90°，证出∠CDE=∠DAO=x，由三角函数定义得出OD=bsinx，DE=acosx，进而得出答案．本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：①由图象可知：a<0，b>0，c>0，abc<0，故此选项错误；②由于a<0，所以−2a>0．又b>0，所以b−2a>0，故此选项错误；③当x=−1时，y=a−b+c<0，故此选项错误；④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=n时，y=an2+bn+c，所以a+b+c>an2+bn+c，故a+b>an2+bn，即a+b>n(an+b)，故此选项正确；⑤当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且该抛物线对称轴是直线x=−b2a=1，即a=−b2，代入得9(−b2)+3b+c<0，得2c<3b，故此选项正确；故④⑤正确．故选：D．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．11.【答案】13【解析】解：根据负数的绝对值等于它的相反数可得，|−13|=13，故答案为：13．根据绝对值的意义，求出结果即可．本题考查绝对值的意义，理解负数的绝对值等于它的相反数．12.【答案】2(x+1)(x−1)【解析】解：2x2−2=2(x2−1)=2(x+1)(x−1)．故答案为：2(x+1)(x−1)．先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．13.【答案】6【解析】解：设该多边形的边数为n，根据题意，得，(n−2)⋅180°=720°，解得：n=6．故这个多边形的边数为6．故答案为：6任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°.n边形的内角和是(n−2)⋅180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．14.【答案】x≥−1【解析】解：{x3≥−1 ①1+2x≥−1 ②，∵解不等式①得：x≥−3，解不等式②得：x≥−1，∴不等式组的解集为x≥−1，故答案为：x≥−1．求出每个不等式的解集，最后求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．15.【答案】36【解析】解：∵BA⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=54°，∴∠C=90°−54°=36°，∵AE//BC，∴∠EAC=∠C=36°，故答案为：36．根据垂直的定义得到∠BAC=90°，根据三角形的内角和定理得到∠C=90°−54°=36°，根据平行线的性质即可得到结论．本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 16.【答案】乙【解析】解：∵x −甲=x −乙≈7.5，S 甲2=0.010，S 乙2=0.002，∴S 甲2>S 乙2， ∴乙玉米种子的产量比较稳定，∴应该选择的玉米种子是乙，故答案为：乙．在平均数基本相等的前提下，方差越小产量越稳定，据此求解可得．本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．17.【答案】2【解析】解：∵点A(6,0)，∴OA =6，∵OD =2，∴AD =OA −OD =6−2=4，∵四边形CODE 是矩形，∴DE//OC ，∴∠AED =∠ABO =30°， 在Rt △AED 中，AE =2AD =8，ED =√AE 2−AD 2=√82−42=4√3，∵OD =2，∴点E 的坐标为(2,4√3)；∴矩形CODE 的面积为4√3×2=8√3，∵将矩形CODE 沿x 轴向右平移，矩形CODE 与△ABO 重叠部分的面积为6√3∴矩形CODE 与△ABO 不重叠部分的面积为2√3，如图，设ME′=x ，则FE′=√3x ，依题意有x ×√3x ÷2=2√3，解得x =±2(负值舍去)．故矩形CODE 向右平移的距离为2．故答案为：2．由已知得出AD =OA −OD =4，由矩形的性质得出∠AED =∠ABO =30°，在Rt △AED 中，AE =2AD =8，由勾股定理得出ED =4√3，作出图形，根据三角形面积公式列出方程即可得出答案．考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．18.【答案】A 1N =A n M ，∠NOA n =(n−2)×180°n【解析】解：∵(1)如图①，在正三角形ABC 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM =BN ，则AN =CM ，∠NOC =(3−2)×180°3=60°；(2)如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=DM，∠NOD=(4−2)×180°4=90°；(3)如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=EM，∠NOE=(5−2)×180°5=108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M=A2N，A1N与A n M相交于O．也有类似的结论是A1N=A n M，∠NOA n=(n−2)×180°n．故答案为：A1N=A n M，∠NOA n=(n−2)×180°n．根据已知所给得到规律，进而可得在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程会有类似的结论．本题考查了正多边形和圆、规律型：图形的变化类、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正多边形的性质．19.【答案】解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000(1+x)2=24200解得x1=−2(舍去)，x2=0.1=10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%．(2)24200(1+0.1)=26620(个)．答：预计4月份平均日产量为26620个．【解析】(1)根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；(2)结合(1)按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系．20.【答案】解：原式=2×√22+1+2−√2=√2+1+2−√2=3．【解析】分别根据特殊角的三角函数值，任何非零数的零次幂定义1以及绝对值的定义计算即可．本题主要考查了实数的运算，熟记相应定义以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．21.【答案】解：原式=(a2a−1−a2−1a−1)÷2a(a+1)(a−1)=1a−1⋅(a+1)(a−1)2a=a+12a．【解析】先计算括号内分式的减法、将除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22.【答案】(1)证明：∵△ADE为等边三角形，∴∠AD=AE=DE，∠EAD=∠EDA=60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA=90°，∴∠EAB=∠EDC=150°，在△BAE和△CDE中{AB=DC∠EAB=∠EDC AE=DE，∴△BAE≌△CDE(SAS)；(2)∵AB=AD，AD=AE，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠EAB=150°，∴∠ABE=12(180°−150°)=15°．【解析】(1)利用等边三角形的性质得到∠AD=AE=DE，∠EAD=∠EDA=60°，利用正方形的性质得到AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA=90°，所以∠EAB=∠EDC=150°，然后根据“SAS”判定△BAE≌△CDE；(2)先证明AB=AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ABE的度数．本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．23.【答案】31 77.524【解析】解：(1)在这次测试中，七年级在75分以上(含75分)的有8+15+8=31(人)，故答案为：31．(2)七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，∴m=77+782=77.5，故答案为：77.5；(3)在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名，故答案为：24；(4)估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500×4+15+850=270(人)．(1)将频数分布直方图中第3、4、5组数据相加可得答案；(2)根据中位数的定义求解可得；(3)由90≤x≤100的频数为8、80≤x<90的频数为15，据此可得答案；(4)用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数占被调查人数的比例即可得．本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．24.【答案】(1)证明：连接AE，OE，∵AB是⊙O的直径，且E在⊙O上，∴∠AEB=90°，∴∠AEC=90°，∵D为AC的中点，∴AD=DE，∴∠DAE=∠AED，∵AC是⊙O的切线，∴∠CAE+∠EAO=∠CAB=90°，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠DEA+∠OEA=90°，即∠DEO=90°，∴DE是⊙O的切线；(2)解：∵∠AEC=∠CAB=90°，∠C=∠C，∴△AEC∽△BAC，∴ACBC =ECAC，∵CA=6，CE=3.6，∴6BC =3.66，∴BC=10，∵∠CAB=90°，∴AB2+AC2=BC2，∴AB=√102−62=8，∴OA=4，即⊙O的半径OA的长是4．【解析】(1)连接AE，OE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB=90°，根据直角三角形的性质得到AD=DE，求得∠DAE=∠AED，根据切线的性质得到∠CAE+∠EAO=∠CAB=90°，等量代换得到∠DEO=90°，于是得到结论；(2)证明△AEC∽△BAC，列比例式可得BC的长，最后根据勾股定理可得OA的长．本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，正确的识别图形是解题的关键．25.【答案】EF=AE+CF【解析】解：问题背景：如图1，延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF=AE+CF；故答案为：EF=AE+CF；探究延伸1：如图2，延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF=AE+CF；探究延伸2：上述结论仍然成立，即EF=AE+CF，理由：如图3，延长DC到H，使得CH=AE，连接BH，∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠BCH=∠BAE，∵BA=BC，CH=AE，∴△BCH≌△BAE(SAS)，∴BE=HB，∠ABE=∠HBC，∴∠HBE=∠ABC，又∵∠ABC=2∠MBN，∴∠EBF=∠HBF，∵BF=BF，∴△HBF≌△EBF(SAS)，∴EF=HF=HC+CF=AE+CF；实际应用：如图4，连接EF，延长BF交AE的延长线于G，因为舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，所以∠AOB=140°，因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，所以∠EOF=70°，所以∠AOB=2∠EOF．依题意得，OA=OB，∠A=60°，∠B=120°，所以∠A+∠B=180°，因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：在四边形GAOB中，OA=OB，∠A+∠B=180°，∠AOB=2∠EOF，∠EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF的长．根据探究延伸2的结论可得：EF=AE+BF，根据题意得，AE=75×1.2=90(海里)，BF=100×1.2=120(海里)，所以EF=90+120=210(海里)．答：此时两舰艇之间的距离为210海里．问题背景：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，即可得出结论：EF=AE+CF；探究延伸1：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF=AE+CF；探究延伸2：延长DC到H，使得CH=AE，连接BH，先证明△BCH≌△BAE，即可得到BE=HB，∠ABE=∠HBC，再证明△HBF≌△EBF，即可得出EF=HF=HC+CF= AE+CF；实际应用：连接EF，延长BF交AE的延长线于G，根据题意可转化为如下的数学问题：在四边形GAOB中，OA=OB，∠A+∠B=180°，∠AOB=2∠EOF，∠EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF的长．再根据探究延伸2的结论：EF=AE+BF，即可得到两舰艇之间的距离．本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用．26.【答案】解：(1)∵直线y=kx−2与抛物线y=x2−bx+c(b,c为常数，b>0)的一个交点为A(−1,0)，∴−k−2=0，1+b+c=0，∴k=−2，c=−b−1，∴直线y=kx−2的解析式为y=−2x−2，∵抛物线y=x2−bx+c的顶点坐标为E(b2,4c−b24)，∴E(b2,−4b−4−b24)，∵直线y=−2x−2与抛物线y=x2−bx+c(b,c为常数，b>0)的另一个交点为该抛物线的顶点E，∴−4b−4−b24=−2×b2−2，解得，b=2，或B=−2(舍)，当b=2时，c=−3，∴E(1,−4)，故k=−2，b=2，c=−3，E(1,−4)；(2)由(1)知，直线的解析式为y=−2x−2，抛物线的解析式为y=x2−2x−3，∴C(0,−3)，Q(2,−3)，如图1，设直线y=−2x−2与y轴交点为N，则N(0,−2)，∴CN =1，∴S △ACE =S △ACN +S △ECN =12×1×1+12×1×1=1， ∴S △EQM =12， 设直线EQ 与x 轴的交点为D ，显然点M 不能与点D 重合，设直线EQ 的解析式为y =dx +n(d ≠0)，则{2d +n =−3d +n =−4， 解得，{d =1n =−5， ∴直线EQ 的解析式为y =x −5，∴D(5,0)，∴S △EQM =S △EDM =S △QDM =12DM ×|−4|−12DM ×|−3|=12DM =12|5−m|=12， 解得，m =4，或m =6；(3)∵点D(b +12,y D )在抛物线y =x 2−bx −b −1上，∴y D =(b +12)2−b(b +12)−b −1=−b 2−34， 可知点D(b +12,−b 2−34)在第四象限，且在直线x =b 的右侧，∵√2AM +2DM =2(√22AM +DM)，∴可取点N(0,1)，则∠OAN =45°，如图2，过D 作直线AN 的垂线，垂足为G ，DG 与x 轴相交于点M ，∵∠GAM=90°−∠OAN=45°，得√22AM=GM，则此时点M满足题意，过D作DH⊥x轴于点H，则点H(b+12,0)，在Rt△MDH中，可知∠DMH=∠MDH=45°，∴DH=MH，DM=√2MH，∵点M(m,0)，∴0=(−b2−34)=(b+12)−m，解得，m=b2−34，∵√2AM+2DM=27√24，∴√2[(b2−14)−(−1)]+2√2[(b+12)−(b2−14)]=27√24，解得，Bb=3，此时，m=32−14=54>0，符合题意，∴b=3．【解析】(1)将A点坐标代入直线与抛物线的解析式中求得k的值和b与c的关系式，再将抛物线的顶点坐标代入求得的直线的解析式，便可求得b、c的值，进而求得E点的坐标；(2)先根据抛物线的解析式求得C、Q点坐标，用m表示△EQM的面积，再根据S△EQM=12S△ACE列出m的方程进行解答；(3)取点N(0,1)，则∠OAN=45°，过D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，此时√2AM+2DM=2DG的值最小，由2DG=27√24列出关于b的方程求解便可．本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，三角形面积公式，等腰直角三角形的性质，第(2)小题关键是由面积关系列出m的方程，第(3)小题关键是确定√2AM+2DM的最小值为2DG的值．。

中考数学专题15 解直角三角形-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)

中考数学专题15 解直角三角形-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)

专题15.解直角三角形一、单选题1．（2021·浙江温州市·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+2．（2021·浙江金华市·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 3．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（ ） A ．1米 B ．1.5米 C ．2米 D ．2.5米4．（2021·湖南株洲市·中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面1l 于点A ，BE 与水平线2l 的夹角为()090αα︒≤≤︒，12////EF l l ，若 1.4AB =米，2BE =米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．①当90α=︒时，h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当45α=︒时，h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当60α=︒时，h 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（ ）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米6．（2021·天津中考真题）tan30︒的值等于（ ）A B ．2 C ．1 D ．27．（2021·重庆中考真题）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19︒≈）A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米8．（2021·云南中考真题）在ABC 中，90ABC ∠=︒，若s n 3100,5i A A C ==，则AB 的长是（ ） A ．5003 B ．5035 C ．60 D ．809．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD 行走130米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B 的俯角为45°，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度1:2.4i =．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC 的高度约为（ ）1.732≈）A ．136.6米B ．86.7米C ．186.7米D ．86.6米10．（2021·重庆中考真题）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和N D ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i =1：1.25．若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（ ）（参1.73≈≈）A ．9.0mB ．12.8mC ．13.1mD ．22.7m11．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC 的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ） A ．163π B ．643π C ．16π D ．64π12．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =3，则cos B =BC AB=（ ）A ．35B ．45CD ．3413．（2020·山东济南市·中考真题）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE 的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF//BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m14．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角ADE∠为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B 之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）A．6tan551x︒=-B．1tan556x-︒=C．1sin556x-︒=D．1cos556x-︒=15．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A．100m B．C．D．m316．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y 轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（）A．35B．34-C．34D．4517．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD ＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cos B的值等于（）A ．25B ．12C ．35D ．71018．（2020·吉林长春市·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B ，塔身中心线AB 与垂直中心线AC 的夹角为A ∠，过点B 向垂直中心线AC 引垂线，垂足为点D ．通过测量可得AB 、BD 、AD 的长度，利用测量所得的数据计算A ∠的三角函数值，进而可求A ∠的大小．下列关系式正确的是（ ）A ．sin BD A AB = B ．cos AB A AD =C ．tan AD A BD = D ．sin AD A AB=19．（2020·山东威海市·中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3l ，4l ，2l ，1l 上．若直线1234//////l l l l 且间距相等，4AB =，3BC =，则tan α的值为（ ）A ．38B ．34CD ．1520．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P 、Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T 在P 的正北方向，且T 在Q 的北偏西70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（ ）A ．200tan70°米B ．200tan 70︒米C ．200sin70°米D ． 200sin 70︒米 21．（2020·湖南娄底市·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂1cos L L α=⋅，阻力臂2cos L l β=⋅，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定22．（2020·江苏扬州市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为（ ）A ．13BC ．23D ．3223．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边,,AB a BC b DAO x ==∠=．则点C 到x 轴的距离等于（ ）A ．cos sin a x b xB ．cos cos a x b xC ．sin cos a x b xD ．sin sin a x b x24．（2019·浙江中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知,,AB m BAC a =∠=∠则下列结论错误．．的是（ ） A ．BDC α∠=∠ B ．tan BC m a =⋅ C ．2sin m AO α= D ．cos m BD a= 25．（2019·山东中考真题）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）A ．11米B ．（36﹣C ．米D ．（36﹣）米26．（2019·四川绵阳市·中考真题）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2sin cos θθ-=( )A ．15BCD ．9527．（2019·重庆中考真题）如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC BC =．在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角AEF ∠为27︒（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）．斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，那么建筑物AB 的高度约为（ ） （参考数据sin 270.45︒≈，cos270.89︒≈，tan 270.51︒≈）A ．65.8米B ．71.8米C ．73.8米D ．119.8米三、填空题目28．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在44⨯的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点上，其中A 、B 、D 又在O 上，点E 是线段CD 与O 的交点．则BAE ∠的正切值为________．29．（2021·浙江衢州市·中考真题）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且OA OB =，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连杆HD ，点H 是CD 的中点，F A ，EB 均与地面垂直，测得54cm FA =，45cm EB =，48cm AB =． （1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值30时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）30．（2021·浙江绍兴市·中考真题）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O 上．若30cm AB =，则BC 长为_______cm （结果保留根号）．31．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile （3 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．32．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知点(4,3)A ，点B 为直线2y =-上的一动点，点()0,C n ，23n -<<，AC BC ⊥于点C ，连接AB ．若直线AB 与x 正半轴所夹的锐角为α，那么当sin α的值最大时，n 的值为________．33．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）34．（2021·浙江中考真题）如图，已知在Rt ABC 中，90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，则sin B 的值是______．35．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，BEC △与FEC 关于直线EC 对称，点B 的对称点F 在边AD 上，G 为CD 中点，连结BG 分别与,CE CF 交于M ，N 两点，若BM BE =，1MG =，则BN 的长为________，sin AFE ∠的值为__________．36．（2021·四川乐山市·中考真题）在Rt ABC 中，90C ∠=︒．有一个锐角为60︒，4AB =．若点P 在直线AB 上（不与点A 、B 重合），且30PCB ∠=︒，则CP 的长为________．37．（2021·浙江杭州市·中考真题）sin30°的值为_____．38．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图所示，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，2AB =，8CD =．连接AC ，AC CD ⊥，若1sin 3ACB ∠=，则AD 长度是_________． 39．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角20α=︒，两树间的坡面距离5m AB =，则这两棵树的水平距离约为_________m （结果精确到0.1m ，参考数据：sin200.342,cos200.940,tan200.364︒≈︒≈︒≈）．40．（2020·湖北荆州市·中考真题）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的Rt ABC ∆，其中90︒∠=C ，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 的正中位置，E 地与C 地相距1km ，若3tan ,454ABC DEB ︒∠=∠=，小张某天沿A C E B D A →→→→→路线跑一圈，则他跑了_______km ．41．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，海中有个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D 处，测得小岛A 在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD 为________海里．42．（2020·湖北孝感市·中考真题）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB 的长为______m ．（结果保留根号）三、解答题43．（2021·青海中考真题）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度2AD =米，且两扇门的大小相同（即AB CD =），将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向里面旋转35︒，将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转45︒，其示意图如图2，求此时B 与C 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据sin350.6︒≈，cos350.8︒≈ 1.4≈）．44．（2021·四川成都市·中考真题）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A 处安置测倾器，测得点M 的仰角33MBC ∠=︒，在与点A 相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M 的仰角45MEC ∠=︒ （点A ，D 与N 在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米；参考数据：sin330.54,cos330.84,tan330.65︒≈︒≈︒≈）45．（2021·山东聊城市·中考真题）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B 处，再从B 处向正东方向走到党史纪念馆C 处，然后从C 处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D 处，最后从D 处回到A 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）46．（2021·四川广元市·中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为75︒，测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒．已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米，小区楼房BC 的高度为（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D都在同一平面内．参考数据：tan 752︒=，tan152︒=．计算结果保留根号）47．（2021·四川资阳市·中考真题）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为1:2.4i=的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45︒，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53︒（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：434sin53,cos53,tan53553︒≈︒≈︒≈）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．48．（2021·江苏宿迁市·中考真题）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，≈1.414≈=1.732)．49．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，BCD ∆为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和EF 为导管，其示意图如图2，108DBE BEF ∠=∠=︒，6cm BD =，4cm BE =．当按压柄BCD ∆按压到底时，BD 转动到'BD ，此时'//BD EF （如图3）．（1）求点D 转动到点'D 的路径长；（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm ）． （参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）50．（2021·江苏连云港市·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB 摆成如图1所示．已知 4.8m AB =，鱼竿尾端A 离岸边0.4m ，即0.4m AD =．海面与地面AD 平行且相距1.2m ，即 1.2m DH =．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC 与海面HC 的夹角37BCH ∠=︒，海面下方的鱼线CO 与海面HC 垂直，鱼竿AB 与地面AD 的夹角22BAD ∠=︒．求点O 到岸边DH 的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角53BAD ∠=︒，此时鱼线被拉直，鱼线 5.46m BO =，点O 恰好位于海面．求点O 到岸边DH 的距离．（参考数据：3sin 37cos535︒=︒≈，4cos37sin 535=︒︒≈，3tan 374︒≈，3sin 228︒≈，15cos2216︒≈，2tan 225︒≈）51．（2021·浙江绍兴市·中考真题）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l ，底座AB 固定，高AB 为50cm ，连杆BC 长度为70cm ，手臂CD 长度为60cm ．点B ，C 是转动点，且AB ，BC 与CD 始终在同一平面内，（1）转动连杆BC ，手臂CD ，使143ABC ∠=︒，//CD l ，如图2，求手臂端点D 离操作台l 的高度DE 的长（精确到1cm ，参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈）．（2）物品在操作台l 上，距离底座A 端110cm 的点M 处，转动连杆BC ，手臂CD ，手臂端点D 能否碰到点M ？请说明理由．52．（2021·四川达州市·中考真题）2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30的河床斜坡边，斜坡BC 长为48米，在点D 处测得桥墩最高点A 的仰角为35︒，CD 平行于水平线BM ，CD 长为AB 的高（结果保留1位小数）．（sin350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70︒≈ 1.73≈）53．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB 的高度，他在点C 处测得大树顶端A 的仰角为45︒，再从C 点出发沿斜坡走D 点，在点D 处测得树顶端A 的仰角为30︒，若斜坡CF 的坡比为1:3i =（点E C H ，，在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度；（2）求大树AB 的高度（结果保留根号）．54．（2021·四川广安市·中考真题）如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB 与地面DE 平行，踏板CD 长为1.5m ，CD 与地面DE 的夹角15CDE ∠=︒，支架AC 长为1m ，75ACD ∠=︒，求跑步机手柄AB 所在直线与地面DE 之间的距离．（结果精确到0.1m .参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.73≈）55．（2021·湖南邵阳市·中考真题）计算：()020212tan 60π--︒．56．（2021·四川眉山市·中考真题）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A 处测得该建筑物顶端C 的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B 处，测得顶端C 的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：2sin 245≈°，9cos 2410︒≈，9tan 2420︒≈）57．（2021·四川眉山市·中考真题）计算：(1143tan 602-⎛⎫-︒--+ ⎪⎝⎭58．（2021·安徽中考真题）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD 为矩形，点B 、C 分别在EF 、DF 上，90ABC ∠=︒，53BAD ∠=︒，10AB cm =，6BC cm =．求零件的截面面积．参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈．59．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，A ，B 是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C 点处遇险发出求救信号，此时测得C 点位于观测点A 的北偏东45°方向上，同时位于观测点B 的北偏西60°方向上，且测得C 点与观测点A 的距离为海里．（1）求观测点B 与C 点之间的距离；（2）有一艘救援船位于观测点B 的正南方向且与观测点B 相距30海里的D 点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C 点需要的最少时间．60．（2021·四川遂宁市·中考真题）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A 处看到B 、C 处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A 处测得B 在北偏西45°方向， C 在北偏东30°方向，他从A 处走了20米到达B 处，又在B 处测得 C 在北偏东60°方向．（1）求∠C 的度数；（2）求两颗银杏树B 、C 之间的距离（结果保留根号）．61．（2021·四川自贡市·中考真题）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B 处测得办公楼底部D 处的俯角是53°，从综合楼底部A 处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan370.75︒≈，tan53 1.33︒≈ 1.73≈）62．（2020·四川广安市·中考真题）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，己知真空集热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架CD 与水平线AE 垂直，AB=154cm ，∠A=30°，另一根辅助支架DE=78cm ，∠E=60°．（1）求CD 的长度．（结果保留根号）（2）求OD 的长度．（结≈1.414）63．（2020·山东日照市·中考真题）阅读理解：如图1，Rt △ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，∠C ＝90°，其外接圆半径为R ．根据锐角三角函数的定义：sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，可得sin a A ＝sin b B ＝c ＝2R ，即：sin a A ＝sin bB ＝sin c C＝2R ，（规定sin90°＝1）．探究活动：如图2，在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，其外接圆半径为R ，那么：sin aAsin bB sin c C（用＞、＝或＜连接），并说明理由． 事实上，以上结论适用于任意三角形．初步应用：在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，∠A ＝60°，∠B ＝45°，a ＝8，求b ． 综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD 的高度，在A 处用测角仪测得塔顶C 的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m 到达B 处，此时A ，B ，D 三点在一条直线上，在B 处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD 的高度（结果保留小数点后一位）．，sin15°64．（2020·辽宁铁岭市·中考真题）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大A B C M在同一平面内）（1）求大桥主架在桥桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点,,,面以上的高度AM；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）50．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：︒=︒≈︒≈）（选择一sin670.92,cos670.39,tan67 2.36︒≈︒=︒=．sin220.37,cos220.93,tan220.40种方法解答即可）65．（2020·云南昆明市·中考真题）（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝20.43dR（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．（1）数据6400000用科学记数法表示为；（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）66．（2020·山东烟台市·中考真题）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用厘米，女性应采用厘米；（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．（参考数据表）67．（2020·海南中考真题）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图， 隧道AB 在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P 处测得点A 的俯角为30,继续飞行1500米到达点Q 处，测得点B 的俯角为45︒．（1）填空：A ∠=__________度，B ∠=_________度；（2）求隧道AB 的长度(结果精确到1米)．( 1.732≈≈)68．（2020·山西中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC 和DEF 是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC 和EF 均垂直于地面，扇形的圆心角28ABC DEF ∠=∠=︒，半径60BA ED cm ==，点A 与点D 在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm ．（1）求闸机通道的宽度，即BC 与EF 之间的距离（参考数据：sin 280.47︒≈，cos280.88︒≈，tan 280.53︒≈）； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．69．（2020·江西中考真题）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．（结果保留小数点后一位）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．（参考数据：sin 400.643,cos 400.766︒︒≈≈，tan 400.839︒≈，sin 26.60.448≈，cos 26.60.894,tan 26.60.500︒︒≈≈ 1.732≈）70．（2020·湖南衡阳市·中考真题）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线OB 与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B 、O 、C 在同一直线上，24cm OA OB ==，BC AC ⊥，30OAC ∠=︒．（1）求OC 的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB '与水平线的夹角仍保持120°，求点B '到AC 的距离．（结果保留根号）71．（2019·上海中考真题）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD E '的位置（如图2所示），已知90AD =厘米，30DE =厘米，40EC =厘米． （1）求点D 到BC 的距离；（2）求E 、E '两点的距离．72．（2019·江西中考真题）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B A O --表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE 于点O ，点B 为旋转点，BC 可转动，当BC 绕点B 顺时针旋转时，投影探头CD 始终垂直于水平桌面OE ，经测量： 6.8cm AO =，8cm CD =，30cm AB =，35cm BC =．（结果精确到0.1）（1）如图2，70ABC ︒∠=，//BC OE ．①填空：BAO ∠=_________°；②求投影探头的端点D 到桌面OE 的距离．（2）如图3，将（1）中的BC 向下旋转，当投影探头的端点D 到桌面OE 的距离为6cm 时，求ABC ∠的大小．（参考数据：sin 700.94︒≈，cos200.94︒≈，sin36.80.60︒≈，cos53.20.60︒≈）。

中考数学专题09 反比例函数-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)

中考数学专题09 反比例函数-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)

专题09.反比例函数一、单选题1．（2021·山西中考真题）已知反比例函数6y x=，则下列描述不正确的是（ ） A ．图象位于第一，第三象限 B ．图象必经过点34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．图象不可能与坐标轴相交D ．y 随x 的增大而减小2．（2021·四川达州市·中考真题）在反比例函数21k y x+=（k 为常数）上有三点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，若1230x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．321y y y <<3．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ）A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x =-和21y x =-- D ．11y x=-和21y x =-+ 4．（2021·天津中考真题）若点()()()1235,,1,,5,A y B y C y -都在反比例函数5y x=-的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<5．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，直线1l 与反比例函数3(0)y x x=>的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线2l 过原点O 和点C ．若直线2l 上存在点(,)P m n ，满足APB ADB ∠=∠，则m n +的值为（ ）A ．3B ．3或32C ．3+或3-D ．36．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥X 轴，AO ⊥AD ，AO =A D ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，DE =4CE ．反比例函数()0ky x x=>的图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF ．若118EOFS =，则k 的值为（ ） A ．73B ．214C ．7D ．2127．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点P 是函数()110,0k y k x x=>>的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数()220,0k y k x x=>>的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >，下列结论：①//CD AB ；②122OCDk kS-=；③()21212DCPk k Sk -=，其中正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①8．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，正比例函数()1110y k x k =<的图象与反比例函数()2220k y k x=<的图象相交于A ，B 两点，点B 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．2x <-或2x >B ．20x -<<或2x >C ．2x <-或02x <<D ．20x -<<或02x << 9．（2021·浙江金华市·中考真题）已知点()()1122,,,A x y B x y 在反比例函数12y x=-的图象上．若120x x <<，则（ ） A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<10．（2021·江苏连云港市·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点(1,1)-；乙：函数图像经过第四象限； 丙：当0x >时，y 随x 的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ） A ．y x =-B ．1y x=C ．2yx D ．1y x=-11．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，点A ，B 在反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ，BE y ⊥轴于点E ，连结AE ．若1OE =，23OC OD =，AC AE =，则k的值为（ ）A ．2B ．2C ．94D ．12．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知三个点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 在反比例函数2y x=的图象上，其中1230x x x <<<，下列结论中正确的是（ ） A ．2130y y y <<< B ．1230y y y <<< C ．3210y y y <<<D ．3120y y y <<<13．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象经过顶点D ，分别与对角线AC ，边BC 交于点E ，F ，连接EF ，AF ．若点E 为AC 的中点，AEF 的面积为1，则k 的值为（ ） A ．125B ．32C ．2D ．314．（2021·四川自贡市·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O （单位：A ）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A ．函数解析式为13I R=B ．蓄电池的电压是18VC ．当10A I ≤时， 3.6R ≥ΩD ．当6R =Ω时，4A I = 15．（2021·浙江丽水市·中考真题）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力 F F F F 丁乙甲丙、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若 F F F F <<<甲丁丙乙，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ） A ．甲同学B ．乙同学C ．丙同学D ．丁同学16．（2020·西藏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x 与反比例函数y ＝4x（x ＞0）的图象交于点A ，将直线y ＝x 沿y 轴向上平移b 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图象于点C ．若OA ＝2BC ，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．417．（2020·辽宁铁岭市·）如图，矩形ABCD 的顶点D 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，点(1,0)E 和点(0,1)F 在AB 边上，AE EF =，连接,//DF DF x 轴，则k 的值为（ ）A ．B ．3C ．4D ．18．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，正比例函数y 1＝mx ，一次函数y 2＝ax+b 和反比例函数y 3＝kx的图象在同一直角坐标系中，若y 3＞y 1＞y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣1B ．﹣0.5＜x ＜0或x ＞1C ．0＜x ＜1D ．x ＜﹣1或0＜x ＜119．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④20．（2020·山东威海市·中考真题）如图，点(,1)P m ，点(-2,)Q n 都在反比例函数4y x=的图象上，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M ，N ．连接OP ，OQ ，PQ ．若四边形OMPN 的面积记作1S ，POQ △的面积记作2S ，则（ ）A ．12:2:3S S =B ．12:1:1S S =C ．12:4:3S S =D ．12:5:3S S =21．（2020·广西中考真题）如图，点,A B 是直线y x =上的两点，过,A B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线()10y x x=>于点,C D．若AC =，则223OD OC -的值为（ ） A ．5B．C ．4D．22．（2020·湖南郴州市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 是双曲线11(0)k y x x=>上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线22(0)k y x x=<交于点B ，连接AB ．已知2AOBO =，则12k k =（ ） A ．4B ．4-C ．2D ．2-23．（2020·江苏徐州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数4y x=()0x >与1y x =-的图像交于点(),P a b ，则代数式11a b-的值为（ ） A ．12-B ．12C ．14-D ．1424．（2020·湖北中考真题）如图，菱形ABCD 的顶点分别在反比例函数1k y x =和2ky x=的图象上，若120BAD ∠=︒，则12k k =（ ） A ．13B ．3CD25．（2020·湖北武汉市·中考真题）若点()11,A a y -，()21,B a y +在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，且12y y >，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <-B ．11a -<<C ．1a >D ．1a <-或1a >26．（2020·湖北咸宁市·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是（ ） A ．y x =-B ．2y x =+C ．2y x=D ．22y x x =-27．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，点123,,A A A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，点123,,n B B B B 在y 轴上，且11212323B OA B B A B B A ∠=∠=∠=，直线y x =与双曲线1y x=交于点111122123322,,A B A OA B A B A B A B A ⊥⊥⊥，，则n B （n 为正整数）的坐标是（ ） A．B．C． D．28．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）已知正比例函数1y 的图象与反比例函数2y 的图象相交于点(2,4)A -，下列说法正确的是（ ）A ．正比例函数1y 的解析式是12y x =B ．两个函数图象的另一交点坐标为()4,2-C ．正比例函数1y 与反比例函数2y 都随x 的增大而增大D ．当2x <-或02x <<时，21y y < 29．（2020·天津中考真题）若点()()()123,5,,2,,5A x B x C x -都在反比例函数10y x=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．132x x x <<D ．312x x x <<30．（2020·湖南衡阳市·中考真题）反比例函数ky x=经过点(2,1)，则下列说法错误．．的是（ ） A ．2k =B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小31．（2019·湖南娄底市·中考真题）将1y x=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为( ) A ．111y x =++ B ．111y x =-+ C ．111y x =+- D ．111y x =--32．（2019·湖南娄底市·中考真题）如图，⊙O 的半径为2，双曲线的解析式分别为1y x =和1y x=-，则阴影部分的面积是( ) A ．4π B ．3πC ．2πD ．π二、填空题目33．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点B ，C 在第一象限，顶点D 的坐标5(,2)2． 反比例函数ky x=（常数0k >，0x >）的图象恰好经过正方形ABCD 的两个顶点，则k 的值是_______． 34．（2021·湖南中考真题）在反比例函数3m y x-=的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是________．35．（2021·湖北武汉市·中考真题）已知点()1,A a y ，()21,B a y +在反比例函数21m y x+=（m是常数）的图象上，且12y y <，则a 的取值范围是__________．36．（2021·湖南株洲市·中考真题）点()11,A x y 、()121,B x y +是反比例函数ky x=图像上的两点，满足：当1>0x 时，均有12y y <，则k 的取值范围是__________． 37．（2021·陕西中考真题）若()11,A y ，()23,B y 是反比例函数2112m y m x -⎛⎫=< ⎪⎝⎭图象上的两点，则1y 、2y 的大小关系是1y ______2y （填“>”、“=”或“<”）38．（2021·浙江宁波市·中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),A x y ，我们把点11,B x y ⎛⎫⎪⎝⎭称为点A 的“倒数点”．如图，矩形OCDE 的顶点C 为()3,0，顶点E 在y 轴上，函数()20=>y x x 的图象与DE 交于点A ．若点B 是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形OCDE 的一边上，则OBC 的面积为_________．39．（2021·云南中考真题）若反比例函数的图象经过点()1,2-，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为_________．40．（2020·山东日照市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD 的顶点B 位于y 轴的正半轴上，顶点C ，D 位于x 轴的负半轴上，双曲线y ＝kx（k ＜0，x ＜0）与▱ABCD 的边AB ，AD 交于点E 、F ，点A 的纵坐标为10，F （﹣12，5），把△BOC 沿着BC 所在直线翻折，使原点O 落在点G 处，连接EG ，若EG ∥y 轴，则△BOC 的面积是_____．41．（2020·湖北荆门市·中考真题）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，()2,1B -，将OAB 绕点O 顺时针旋转，点B 落在y 轴上的点D 处，得到OED ，OE 交BC 于点G ，若反比例函数(0)ky x x=<的图象经过点G ，则k 的值为______． 42．（2020·广西中考真题）反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k ＞0；②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；③该函数图象关于直线y ＝﹣x 对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．43．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为（0,3），点A 在x 轴的正半轴上．直线1y x =-分别与边,AB OA 相交于,D M 两点，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点D 并与边BC 相交于点N ，连接MN ．点P 是直线DM 上的动点，当CP MN =时，点P 的坐标是________________．44．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，点A 在反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象上，点B 在x 轴负半轴上，直线AB 交y 轴于点C ，若AC BC＝12，△AOB 的面积为6，则k 的值为_____． 45．（2020·辽宁锦州市·中考真题）如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，点B 在y 轴上，点C ，点D 在x 轴上，AD 与y 轴交于点E ，若3BCES=，则k 的值为_______．46．（2020·江苏南通市·中考真题）将双曲线y ＝3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y ＝kx ﹣2﹣k （k ＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a ，另一个点的纵坐标为b ，则（a ﹣1）（b +2）＝_____．47．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD △的面积为_________．48．（2020·山东东营市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线1y x =+和双曲线1y x=-，在直线上取一点，记为1A ，过1A 作x 轴的垂线交双曲线于点1B ，过1B 作y 轴的垂线交直线于点2A ，过2A 作x 轴的垂线交双曲线于点2B ，过2B 作y 轴的垂线交直线于点3,A ······，依次进行下去，记点n A 的横坐标为n a ，若12,a =则2020a =______．49．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO 为平行四边形，O （0，0），A （3，1），B （1，2），反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过OABC 的顶点C ，则k =___．50．（2020·广西玉林市·中考真题）已知函数1y x =与函数21y x=的部分图像如图所示，有以下结论： ①当0x <时，12,y y 都随x 的增大而增大；②当1x <-时， 12y y >；③12,y y 的图像的两个交点之间的距离是2；④函数12y y y =+的最小值为2；则所有正确的结论是_________．51．（2020·辽宁抚顺市·中考真题）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点A 在反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，点B ，C 在x 轴上，15OC OB =，延长AC 交y 轴于点D ，连接BD ，若BCD ∆的面积等于1，则k 的值为_________．52．（2020·江苏盐城市·中考真题）如图，已知点()5,2,54()(),81A B C ，，，直线l x ⊥轴，垂足为点0(),M m ，其中52m <，若A B C '''与ABC 关于直线l 对称，且A B C '''有两个顶点在函数(0)k y k x=≠的图像上，则k 的值为：_______________________．53．（2020·江苏淮安市·中考真题）如图，等腰ABC ∆的两个顶点(1,4)A --、(4,1)B --在反比例函数1k y x=（0x <）的图象上，AC BC =．过点C 作边AB 的垂线交反比例函数1k y x =（0x <）的图象于点D ，动点P 从点D 出发，沿射线CD 方向运动到达反比例函数2ky x=（0x >）图象上一点，则2k =__________．54．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，点A 是双曲线1(0)y x x=<上一动点，连接OA ，作OB OA ⊥，且使3OB OA =，当点A 在双曲线1y x =上运动时，点B 在双曲线k y x=上移动，则k 的值为___________．55．（2020·河北中考真题）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作m T （m 为1~8的整数）．函数ky x=（0x <）的图象为曲线L ．（1）若L 过点1T ，则k =_________；（2）若L 过点4T ，则它必定还过另一点m T ，则m =_________； （3）若曲线L 使得18~T T 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k 的整数值有_________个．56．（2020·四川自贡市·中考真题）如图， 直线y b =+与y 轴交于点A ，与双曲线ky x=在第三象限交于B C 、两点，且 ⋅=AB AC 16；下列等边三角形11OD E ，122E D E ，233E D E ，……的边1OE ，12E E ，23E E ，……在x 轴上，顶点123D ,D ,D ,……在该双曲线第一象限的分支上，则k = ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．57．（2019·贵州安顺市·中考真题）如图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数11k y x=（0x >）及22ky x =（0x >）的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，已知OAB ∆的面积为4，则12k k =﹣________．59．（2019·湖南长沙市·中考真题）如图，函数ky x=(k 为常数，k ＞0)的图象与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若BM⊥AM 于点M ，则∠MBA ＝30°；③若M 点的横坐标为1，△OAM 为等边三角形，则2k =+25MF MB =，则MD ＝2MA ．其中正确的结论的序号是_______．60．（2019·四川南充市·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点(3,2)A m n 在直线1y x =-+上，点(,)B m n 在双曲线ky x=上，则k 的取值范围为___________. 三、解答题61．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，一次函数1y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数2my x=（0m >）的图象交于点()1,2C ，()2,D n ． （1）分别求出两个函数的解析式；（2）连接OD ，求BOD 的面积．62．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的斜边BC 在x 轴上，坐标原点是BC 的中点，30ABC ∠=︒，4BC =，双曲线ky x=经过点A ．（1）求k ；（2）直线AC 与双曲线y =D ．求ABD △的面积．63．（2021·四川广安市·中考真题）如图，一次函数()1y kx b k 0=+≠的图象与反比例函数()2my m 0x=≠的图象交于()1,A n -，()3,2B -两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P 在x 轴上，且满足ABP △的面积等于4，请直接写出点P 的坐标．64．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数11k y x=（1k 是常数，10k >，0x >）与函数22y k x =（2k 是常数，20k ≠）的图象交于点A ，点A 关于y 轴的对称点为点B ．（1）若点B 的坐标为()1,2-，①求1k ，2k 的值．②当12y y <时，直接写出x 的取值范围． （2）若点B 在函数33k y x=（3k 是常数，30k ≠）的图象上，求13k k +的值．65．（2021·山东临沂市·中考真题）已知函数()()()31 31131x x y x x x x⎧≤-⎪⎪=-⎨⎪⎪≥⎩＜＜（1）画出函数图象；列表：描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由； （3）设1122(,),(,)x y x y 是函数图象上的点，若120x x +=，证明：120y y +=．66．（2021·安徽中考真题）已知正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （m ，2）．（1）求k ，m 的值；（2）在图中画出正比例函数y kx =的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．67．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数1(0)y x x=>图象上的一个动点，连结,AO AO 的延长线交反比例函数(0,0)ky k x x=><的图象于点B ，过点A 作AE y ⊥轴于点E ．（1）如图1，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，连结EF ．①若1k =，求证：四边形AEFO 是平行四边形； ②连结BE ，若4k =，求BOE △的面积．（2）如图2，过点E 作//EP AB ，交反比例函数(0,0)ky k x x=><的图象于点P ，连结OP ．试探究：对于确定的实数k ，动点A 在运动过程中，POE △的面积是否会发生变化？请说明理由．68．（2021·四川乐山市·中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x ≤<和1020x ≤<时，图象是线段；当2045x ≤≤时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点A 对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．69．（2021·重庆中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数|26|y x x m =+-++性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）写出函数关系式中m 及表格中a ，b 的值：m =________，a =_________，b =__________； （2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；（3）已知函数16y x=的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式16|26|x x m x+-++>的解集．70．（2021·四川自贡市·中考真题）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数28xy =-的图象，并探究其性质．列表如下：（1）直接写出表中a 、b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数284xy x =-+的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当22x -≤≤时，函数图象关于直线y x =对称；②2x =时，函数有最小值，最小值为2-；③11x -<<时，函数y 的值随x 的增大而减小．其中正确的是_________．（请写出所有正确命题的序号） （3）结合图象，请直接写出不等式284xx x >+的解集_________．71．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，一次函数1y ＝k x ＋ b （k ≠0）与反比例函数2my x=（m ≠0）的图象交于点A （1，2）和B （－2，a ），与y 轴交于点M ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在y 轴上取一点N ，当△AMN 的面积为3时，求点N 的坐标； （3）将直线1y 向下平移2个单位后得到直线y 3，当函数值123y y y >>时，求x 的取值范围．72．（2021·四川凉山州·中考真题）如图，AOB 中，90∠=︒ABO ，边OB 在x 轴上，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，912,2AOBS AN==．（1）求k的值；（2）求直线MN的解析式．73．（2021·四川泸州市·中考真题）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数myx=的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点（1）求一次函数的解析式（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求PQMN的值74．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数myx=（x＞0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2．设直线AC的解析式为y＝kx+b．（1）请结合图象，直接写出：①点A的坐标是；②不等式mkx bx+>的解集是；（2）求直线AC的解析式．75．（2020·山东济南市·中考真题）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，），反比例函数kyx=（x>0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝12．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．76．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣8x的图象交于点A(n，2)和点B．（1）n＝，k＝；（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．77．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）阅读理解：材料一：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三数组”.材料二：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)的两根分别为1x ，2x ，则有12b x x a +=-，12cx x a⋅=． 问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；（2）若1x ，2x 是关于x 的方程ax 2+bx +c = 0 (a ，b ，c 均不为0)的两根，3x 是关于x 的方程bx +c =0(b ，c 均不为0)的解．求证：x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”；（3）若A (m ，y 1) ，B (m + 1，y 2) ，C (m +3，y 3)三个点均在反比例函数4y x=的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m 的值．78．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象与反比例函数y ＝k x（k ＜0）的图象在第二象限交于A （﹣3，m ），B （n ，2）两点．（1）当m ＝1时，求一次函数的解析式； （2）若点E 在x 轴上，满足∠AEB ＝90°，且AE ＝2﹣m ，求反比例函数的解析式．79．（2020·云南昆明市·中考真题）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min ；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min ．（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y （单位：mg /m 3）与时间x （单位：min ）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y 与x 的函数关系式为y ＝2x ，药物喷洒完成后y 与x 成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A （m ，n ）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg /m 3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．80．（2020·四川眉山市·中考真题）已知一次函数y kx b =+与反比例函数my x=的图象交于(3,2)A -、(1,)B n 两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求AOB 的面积；（3）点P 在x 轴上，当PAO 为等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．81．（2020·湖北荆州市·中考真题）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数2y x=的图像与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图像，如图1①列表；下表是x 与y 的几组对应值，其中______m =；②描点：根据表中各组对应值(x ，y)在平面直角坐标系中描出了各点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；②_______________； （3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数2y x=的图像于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作BC//OA 交x 轴于点C ，则________OABC S =；②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则________OABC S =； ③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数(0)ky k x=>的图像于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作BC//OA 交x 轴于C ，则________OABC S =；82．（2020·湖南郴州市·中考真题）为了探索函数1(0)y x x x=+>的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点1122(,),(,)x y x y 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若1201x x <<≤，则1y 2y ；若121x x <<，则1y 2y ；若121x x ⋅=，则1y 2y （填“>”，“=”，“<”）． （3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元．①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内?83．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图所示，一次函数()0y mx nm =+≠的图象与反比例函数()0ky k x=≠的图象交于第二、四象限的点()2,A a -和点(),1B b -，过A 点作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC △的面积为4．（1）分别求出a 和b 的值；（2）结合图象直接写出kmx n x +>中x 的取值范围； （3）在y 轴上取点P ，使PB PA -取得最大值时，求出点P 的坐标．84．（2019·江苏泰州市·中考真题）已知一次函数()10y kx n n =+<和反比例函数()20,0my m x x=>>．（1）如图1，若2n =-，且函数1y 、2y 的图象都经过点()3,4A ． ①求m ，k 的值；②直接写出当12y y >时x 的范围；（2）如图2，过点()1,0P 作y 轴的平行线l 与函数2y 的图象相交于点B ，与反比例函数()30ny x x=>的图象相交于点C ．①若2k =，直线l 与函数1y 的图象相交点D ．当点B 、C 、D 中的一点到另外两点的距离相等时，求m n -的值；②过点B 作x 轴的平行线与函数1y 的图象相交于点E ．当m n -的值取不大于1的任意实数时，点B 、C 间的距离与点B 、E 间的距离之和d 始终是一个定值．求此时k 的值及定值d ．祝你考试成功!祝你考试成功!。

2020年湖南省湘西州中考数学试题及参考答案(word解析版)

2020年湖南省湘西州中考数学试题及参考答案(word解析版)

2020年湘西土家族苗族自治州初中学业水平考试数学试题卷（时量120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每个小题所给四个选项中有唯一正确选项）1．下列各数中，比﹣2小的数是（）A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．32．2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元，用科学记数法表示92700是（）A．0.927×105B．9.27×104C．92.7×103D．927×1023．下列运算正确的是（）A．＝﹣2 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2C．+＝D．（﹣3a）2＝9a24．如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是（）A．B．C．D．5．从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（）A．B．C．D．6．已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O、C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线EF，分别交OA于D，交OB于G．那么△ODG一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形7．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（﹣2，4），下列说法正确的是（）A．正比例函数y1的解析式是y1＝2xB．两个函数图象的另一交点坐标为（4，﹣2）C．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大D．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y2＜y18．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A、B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线9．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）A．acosx+bsinx B．acosx+bcosxC．asinx+bcosx D．asinx+bsinx10．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（）A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．﹣的绝对值是．12．分解因式：2x2﹣2＝．13．若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是．14．不等式组的解集为．15．如图，直线AE∥BC，BA⊥AC，若∠ABC＝54°，则∠EAC＝度．16．从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，这两组数据的平均数分别是甲≈7.5，乙≈7.5，方差分别是S甲2＝0.010，S2＝0.002，你认为应该选择的玉米种子是．乙17．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．将矩形CODE沿x轴向右平移，当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6时，则矩形CODE向右平移的距离为．18．观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N 是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是．三、解答题（本大題关8小题，共78分，写出计算、解答或证明的主要步骤）19．（8分）计算：2cos45°+（π﹣2020）0+|2﹣|．20．（8分）化简：（﹣a﹣1）÷．21．（8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．22．（10分）为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）如图所示b．七年级参赛学生成绩在70≤x＜80这一组的具体得分是：70 71 73 75 76 76 76 77 77 78 79c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数七76.9 m 80d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有人；（2）表中m的值为；（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第名；（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．23．（10分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（2）若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．25．（12分）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离．26．（12分）已知直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（1）当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当S△EQM＝S△ACE时，求m的值；（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b+，当AM+2DM的最小值为时，求b 的值．答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每个小题所给四个选项中有唯一正确选项）1．下列各数中，比﹣2小的数是（）A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．3【知识考点】有理数大小比较．【思路分析】利用数轴表示这些数，从而比较大小．【解题过程】解：将这些数在数轴上表示出来：∴﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜3，∴比﹣2小的数是﹣3，故选：C．【总结归纳】考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．2．2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元，用科学记数法表示92700是（）A．0.927×105B．9.27×104C．92.7×103D．927×102【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数．【解题过程】解：92700＝9.27×104．故选：B．【总结归纳】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．3．下列运算正确的是（）A．＝﹣2 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2C．+＝D．（﹣3a）2＝9a2【知识考点】幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法．【思路分析】根据二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、二次根式的性质与化简，进行计算即可判断．【解题过程】解：A.＝2，所以A选项错误；B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，所以B选项错误；C.+≠，所以C选项错误；D．（﹣3a）2＝9a2．所以D选项正确．故选：D．【总结归纳】本题考查了二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是综合运用以上知识．4．如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是（）A．B．C．D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解题过程】解：从上边看有两层，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故选：C．【总结归纳】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5．从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（）A．B．C．D．【知识考点】三角形三边关系；列表法与树状图法．【思路分析】列举出所有可能出现的结果情况，进而求出能构成三角形的概率．【解题过程】解：从长度为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，共有以下4种结果（不分先后）：1cm、3cm、5cm，1cm、3cm、6cm，3cm、5cm、6cm，1cm、5cm、6cm，其中，能构成三角形的只有1种，∴P（构成三角形）＝．故选：A．【总结归纳】本题考查随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．6．已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O、C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线EF，分别交OA于D，交OB于G．那么△ODG一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【知识考点】等腰三角形的判定；作图—基本作图．【思路分析】依据已知条件即可得到∠ODP＝∠OGP，即可得到OD＝OG，进而得出△ODG是等腰三角形．【解题过程】解：如图所示，∵OM平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，由题可得，DG垂直平分OC，∴∠OPD＝∠OPG＝90°，∴∠ODP＝∠OGP，∴OD＝OG，∴△ODG是等腰三角形，故选：C．【总结归纳】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．7．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（﹣2，4），下列说法正确的是（）A．正比例函数y1的解析式是y1＝2xB．两个函数图象的另一交点坐标为（4，﹣2）C．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大D．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y2＜y1【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，根据正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．【解题过程】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（﹣2，4），∴正比例函数y1＝﹣2x，反比例函数y2＝﹣，∴两个函数图象的另一个交点为（2，﹣4），∴A，B选项说法错误；∵正比例函数y1＝﹣2x中，y随x的增大而减小，反比例函数y2＝﹣中，在每个象限内y随x 的增大而增大，∴C选项说法错误；∵当x＜﹣2或0＜x＜2时，y2＜y1，∴选项D说法正确．故选：D．【总结归纳】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．8．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A、B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线【知识考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；切线的性质．【思路分析】根据切线的性质即可求出答案．【解题过程】解：（A）∵PA、PB为圆O的切线，∴PA＝PB，∴△BPA是等腰三角形，故A选项不符合题意．（B）由圆的对称性可知：PD垂直平分AB，但AB不一定平分PD，故B选项符合题意．（C）连接OB、OA，∵PA、PB为圆O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C选项不符合题意．（D）∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，∴PC为△BPA的边AB上的中线，故D选项不符合题意．故选：B．【总结归纳】本题考查切线的性质，解题的关键是熟练运用切线的性质，本题属于中等题型．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）A．acosx+bsinx B．acosx+bcosxC．asinx+bcosx D．asinx+bsinx【知识考点】坐标与图形性质;矩形的性质；解直角三角形．【思路分析】作CE⊥y轴于E，由矩形的性质得出CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，证出∠CDE＝∠DAO＝x，由三角函数定义得出OD＝bsinx，DE＝acosx，进而得出答案．【解题过程】解：作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，∴∠CDE+∠ADO＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠DAO＝x，∵sin∠DAO＝，cos∠CDE＝，∴OD＝AD×sin∠DAO＝bsinx，DE＝CD×cos∠CDE＝acosx，∴OE＝DE+OD＝acosx+bsinx，∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx；故选：A．【总结归纳】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（）A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤【知识考点】二次函数图象与系数的关系．【思路分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解题过程】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；②由于a＜0，所以﹣2a＞0．又b＞0，所以b﹣2a＞0，故②错误；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③错误；④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝n时，y＝an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故④正确；⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故⑤正确；故④⑤正确．故选：D．【总结归纳】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．﹣的绝对值是．【知识考点】绝对值．【思路分析】根据绝对值的意义，求出结果即可．【解题过程】解：根据负数的绝对值等于它的相反数可得，|﹣|＝，故答案为：．【总结归纳】本题考查绝对值的意义，理解负数的绝对值等于它的相反数．12．分解因式：2x2﹣2＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解题过程】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．故答案为：2（x+1）（x﹣1）．【总结归纳】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．13．若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是．【知识考点】多边形内角与外角．【思路分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解题过程】解：设该多边形的边数为n，根据题意，得，（n﹣2）•180°＝720°，解得：n＝6．故这个多边形的边数为6．故答案为：6【总结归纳】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．14．不等式组的解集为．【知识考点】解一元一次不等式组．【思路分析】求出每个不等式的解集，最后求出不等式组的解集即可．【解题过程】解：，∵解不等式①得：x≥﹣3，解不等式②得：x≥﹣1，∴不等式组的解集为x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．【总结归纳】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．15．如图，直线AE∥BC，BA⊥AC，若∠ABC＝54°，则∠EAC＝度．【知识考点】垂线；平行线的性质．【思路分析】根据垂直的定义得到∠BAC＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠C＝90°﹣54°＝36°，根据平行线的性质即可得到结论．【解题过程】解：∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝54°，∴∠C＝90°﹣54°＝36°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝36°，故答案为：36．【总结归纳】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．16．从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，这两组数据的平均数分别是甲≈7.5，乙≈7.5，方差分别是S甲2＝0.010，S乙2＝0.002，你认为应该选择的玉米种子是．【知识考点】算术平均数；方差．【思路分析】在平均数基本相等的前提下，方差越小产量越稳定，据此求解可得．【解题过程】解：∵甲＝乙≈7.5，S甲2＝0.010，S乙2＝0.002，∴S甲2＞S乙2，∴乙玉米种子的产量比较稳定，∴应该选择的玉米种子是乙，故答案为：乙．【总结归纳】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．17．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．将矩形CODE沿x轴向右平移，当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6时，则矩形CODE向右平移的距离为．【知识考点】三角形的面积；矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移．【思路分析】由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，由矩形的性质得出∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt △AED中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4，作出图形，根据三角形面积公式列出方程即可得出答案．【解题过程】解：∵点A（6，0），∴OA＝6，∵OD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，∵OD＝2，∴点E的坐标为（2，4）；∴矩形CODE的面积为4×2＝8，∵将矩形CODE沿x轴向右平移，矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6∴矩形CODE与△ABO不重叠部分的面积为2，如图，设ME′＝x，则FE′＝x，依题意有x×x÷2＝2，解得x＝±2（负值舍去）．故矩形CODE向右平移的距离为2．故答案为：2．【总结归纳】考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．18．观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N 是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是．【知识考点】规律型：图形的变化类；全等三角形的判定与性质；正多边形和圆．【思路分析】根据已知所给得到规律，进而可得在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程会有类似的结论．【解题过程】解：∵（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也有类似的结论是A1N＝A n M，∠NOA n＝．故答案为：A1N＝A n M，∠NOA n＝．【总结归纳】本题考查了正多边形和圆、规律型：图形的变化类、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正多边形的性质．三、解答题（本大題关8小题，共78分，写出计算、解答或证明的主要步骤）19．（8分）计算：2cos45°+（π﹣2020）0+|2﹣|．【知识考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】分别根据特殊角的三角函数值，任何非零数的零次幂定义以及绝对值的定义计算即可．【解题过程】解：原式＝＝＝3．【总结归纳】本题主要考查了实数的运算，熟记相应定义以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．20．（8分）化简：（﹣a﹣1）÷．【知识考点】分式的混合运算．【思路分析】先计算括号内分式的减法、将除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．【解题过程】解：原式＝（﹣）÷＝•＝．【总结归纳】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．（8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．【知识考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．【思路分析】（1）利用等边三角形的性质得到AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，利用正方形的性质得到AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，所以∠EAB＝∠EDC＝150°，然后根据“SAS”判定△BAE≌△CDE；（2）先证明AB＝AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠AEB的度数．【解题过程】（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．【总结归纳】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．22．（10分）为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）如图所示b．七年级参赛学生成绩在70≤x＜80这一组的具体得分是：70 71 73 75 76 76 7677 77 78 79c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数七76.9 m 80d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有人；（2）表中m的值为；（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第名；（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数．【思路分析】（1）将频数分布直方图中第3、4、5组数据相加可得答案；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）由90≤x≤100的频数为8、80≤x＜90的频数为15，据此可得答案；（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数占被调查人数的比例即可得．【解题过程】解：（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有8+15+8＝31（人），故答案为：31．（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，∴m＝＝77.5，故答案为：77.5；（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名，故答案为：24；（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500×＝270（人）．【总结归纳】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．23．（10分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？【知识考点】一元二次方程的应用．【思路分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．【解题过程】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000（1+x）2＝24200解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%．（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．答：预计4月份平均日产量为26620个．【总结归纳】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（2）若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．【知识考点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）连接AE，OE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB＝90°，根据直角三角形的性质得到AD＝DE，求得∠DAE＝∠AED，根据切线的性质得到∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝90°，等量代换得到∠DEO＝90°，于是得到结论；（2）证明△AEC∽△BAC，列比例式可得BC的长，最后根据勾股定理可得OA的长．【解题过程】（1）证明：连接AE，OE，∵AB是⊙O的直径，且E在⊙O上，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∵D为AC的中点，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED，∵AC是⊙O的切线，∴∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠DEA+∠OEA＝90°，即∠DEO＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠AEC＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，∴△AEC∽△BAC，∴，∵CA＝6，CE＝3.6，∴，∴BC＝10，∵∠CAB＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB＝＝8，∴OA＝4，即⊙O的半径OA的长是4．。

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题二（含答案解析）类型一与三角形有关1.（2022·天津）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x 轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．【详解】解：∵AB⊥x轴，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=12AB=3，∵OA=5，∴=4，∴点A的坐标是（4，3），故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2.（2020·宁夏中考真题）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A的坐标是_____．【答案】（4，125）【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，A 1的横坐标等于OB ，而纵坐标等于OB-OA ，即可得出答案．【详解】解：在542y x =+中，令x=0得，y=4，令y=0，得5042x =+，解得x=8-5，∴A （8-5，0），B （0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1=90°，∴∠ABO=∠A 1BO 1，∠BO 1A 1=∠AOB=90°，OA=O 1A 1=85，OB=O 1B=4，∴∠OBO 1=90°，∴O 1B ∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长，即为48-5=125；横坐标为O 1B=OB=4，故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．3.（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．【答案】(--【分析】过P 作PD ⊥OC 于D ，先求出A ，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB ≌△OPA ，从而求出BD ＝，OD ＝，进而即可求解．【详解】如图所示，过P 作PD ⊥OC 于D ，∵一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB ，∴∠ABO=∠OAB=45°，∴△BDP 是等腰直角三角形，∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，又∵PC＝OP，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，∴Rt△BDP中，BD＝PD＝2＝2，∴OD＝OB−BD＝2，∴P（2，2）．故答案是：P（2，2）．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．4.（2022·湖北黄冈）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C 匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．【答案】252+##2+25【分析】根据函数图像可得AB=4=BC ，作∠BAC 的平分线AD ，∠B ＝36°可得∠B ＝∠DAC ＝36°，进而得到ADC BAC △△，由相似求出BD 的长即可．【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，∵∠B ＝36°，∴72BCA BAC ∠∠︒＝＝，作∠BAC 的平分线AD ，∴∠BAD ＝∠DAC ＝36°＝∠B ，∴AD=BD ，72BCA DAC ∠∠︒＝＝，∴AD=BD=CD ，设AD BD CD x ===，∵∠DAC ＝∠B ＝36°，∴ADC BAC △△，∴AC DC BC AC =，∴x 4x 4x-=，解得：1225x =-+，225x =--，∴252AD BD CD ===，此时521AB BD t +==(s)，故答案为：52.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明ADC BAC △△．5.（2020·四川内江?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线33:33l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边112A B A ∆，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边223A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是______________【答案】20203(21)2-【解析】【分析】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），且与x 轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A 1、A 2、A 3、的纵坐标，进而得到A n 的纵坐标，据此可得A 2020的纵坐标，即可解答．【详解】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），与y 轴交于点D （0，33），∴OB=1,OD=33,∴∠DBO=30º由题意可得：∠A 1B 1B=∠A 2B 2B 1=30º,∠B 1A 1B=∠B 2A 2B 1=60º∴∠A 1BB 1=∠A 2B 1B 2=90º，∴AB=1，A 1B 1=2A 1B=21，A 2B 2=2A 2B 1=22，A 3B 3=2A 3B 2=23，…A n B n =2n∴A 1C=2AB=2×1，A 1纵坐标为32×1=13(21)2-；A 2C 1=32A 1B 1=1322⨯，A2的纵坐标为32×1+1322⨯=013(22)2+=332⨯=23(21)2-；A 3C 2=32A 2B 2=2322⨯,A 3的纵坐标为32×1+1322⨯+2322⨯=0123(222)2++=372⨯=33(21)2-；…由此规律可得：A n C n-1=1322n -⨯,A n 的纵坐标为01213(2222)2n -++++ =3(21)2n -，∴A 2020=20203(21)2-，故答案为：20203(21)2-【点睛】本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．6.（2022·陕西）如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C '''V ，且点A 的对应点是(23)A '，，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．(1)点A 、A '之间的距离是__________；(2)请在图中画出A B C '''V ．【答案】(1)4(2)见解析【分析】（1）由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4；（2）根据题意找出平移规律，求出103-1B C ''（，），（，），进而画图即可．(1)解：由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4．故答案为：4．(2)解：由题意，得103-1B C ''（，），（，），如图，A B C '''V 即为所求．【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图，题目相对较简单，掌握平移规律是解决问题的关键．7.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON ∠=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.8.（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为时，则矩形CODE 向右平移的距离为___________．【答案】2【解析】【分析】先求出点B 的坐标（0，3），得到直线AB 的解析式为：33y =+，根据点D 的坐标求出OC 的长度，利用矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为63列出关系式求出3D G '=，再利用一次函数关系式求出OD '=4，即可得到平移的距离.【详解】∵(6,0)A ，∴OA=6，在Rt △AOB 中，30ABO ∠=︒，∴63tan 30OA OB ==∴B （0，63），∴直线AB 的解析式为：33y =+，当x=2时，y=43∴E （2，3，即DE=3∵四边形CODE 是矩形，∴OC=DE=43设矩形CODE 沿x 轴向右平移后得到矩形C O D E ''''，D E ''交AB 于点G ，∴D E ''∥OB ，∴△AD G '∽△AOB ，∴∠AGD '=∠AOB=30°，∴∠EGE '=∠AGD '=30°，∴GE ''=,∵平移后的矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为，∴五边形C O D GE '''的面积为∴12O D O C EE GE ''''''⋅-⋅=,∴122EE ''⨯-⨯=,∴2EE '=,∴矩形CODE 向右平移的距离DD '=2EE '=，故答案为：2.【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.9.（2021·浙江金华市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ．（1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ．①若BA BO =，求证：CD CO =．②若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①见解析；②552；（2）存在，44+-4，9，1【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则BAD AOB ∠=∠，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到CDO COD ∠=∠，根据等角对等边，即可证明CD CO =；②添加辅助线，过点A 作AH OB ⊥于点H ，根据直线l 的解析式和角的关系，分别求出线段AB 、BC 、OB 、OC 的长，则11+22ABC CBO ABOC S S S AB BC OB OC =+=⨯⨯ 四边形；（2）分多钟情况进行讨论：①当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时；②当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时；③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时．【详解】解：（1）①证明：如图1，∵BA BO =，∴12∠=∠．∴BA BC ⊥，∴2590∠+∠=︒．而45∠=∠，∴2490∠+∠=︒．∵OB OC ⊥，∴1390∠+∠=︒．∴34∠=∠，∴CD CO =．②如图1，过点A 作AH OB ⊥于点H ．由题意可知3tan 18∠=，在Rt AHO 中，3tan 18AH OH ∠==．设3m AH =，8m OH =．∵222AH OH OA +=，∴()()22238m m +=，解得1m =．∴38AH OH ==，．∵4590CBO ABC ∠=︒∠=︒，，∴45ABH ∠=︒，∴3,tan 45sin 45AH AH BH AB ====︒︒∴5OB OH BH =-=．∵45OB OC CBO ⊥∠=︒，，∴tan 455,cos 45OB OC OB BC =⨯︒===︒，∴111522ABC S AB BC =⨯=⨯= ，112555222CBO S OB OC =⨯=⨯⨯= ：∴552ABC CBO ABOC S S S =+= 四边形．（2）过点A 作AH OB ⊥于点H ，则有38AH OH ==，．①如图2，当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时，设OB t=∵ACB CBO ∠=∠，∴//AC OB ．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴3AH OC ==．∵AH OB AB BC ⊥⊥，，∴12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，∴AHB BOC ∽，∴AH HB BO OC=，∴383t t -=，整理得2890t t -+=，解得4t =±∴4OB =±②如图3，当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时，延长AB CO ，交于点G ，则ACB GCB ≌，∴AB GB =．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴90AHB GOB ∠=∠=︒，而ABH GBO ∠=∠，∴ABH GBO ≌，∴142OB HB OH ===③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时，AC 与OB 相交于点E ，则有BE CE =．(a)如图4，点B 在第三象限内．在Rt ABC 中，1290,90ACB CAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴2CAB∠=∠∴AE BE CE ==，又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒，而AEH CEO∠=∠∴AHE COE ≌，∴142HE OE OH ===∴225AE AH HE =+=，∴5BE =，∴9OB BE OE =+=(b)如图5，点B 在第一象限内．在Rt ABC 中90,90ACB CAB CBO ABE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴CAB ABE ∠=∠，∴AE BE CE ==．又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒而AEH CEO ∠=∠，∴AHE COE≌∴142HE OE OH ===∴5AE ==，∴5BE =，∴1OB BE OE =-=综上所述，OB 的长为44+4，9，1．【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑．10.（2020·河南中考真题）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D 是弧BC 上一动点，线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点，过点C 作//CF BD ，交DA 的延长线于点F ．当DCF ∆为等腰三角形时，求线段BD 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：()1根据点D 在弧BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段,,BD CD FD 的长度，得到下表的几组对应值．操作中发现：①"当点D 为弧BC 的中点时， 5.0BD cm ="．则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数，分别记为CD y 和FD y ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象；()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值．(结果保留一位小数)．【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ；【解析】【分析】（1）①点D 为弧BC 的中点时，△ABD ≌△ACD ，即可得到CD=BD ；②由题意得△ACF ≌△ABD ，即可得到CF=BD ；（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；（3）画出CF y 的图象，当DCF ∆为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD 的近似值．【详解】解：（1）①点D 为弧BC 的中点时，由圆的性质可得：AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴CD=BD=5.0，∴ 5.0a =；②∵//CF BD ，∴BDA CFA ∠=∠，∵BDA CFA BAD CAF AD AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABD ，∴CF=BD ，∴线段CF 的长度无需测量即可得到；（2）函数CD y的图象如图所示：（3）由（1）知=CF BD x =，画出CF y 的图象，如上图所示，当DCF ∆为等腰三角形时，①CF CD =，BD 为CF y 与CD y 函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm ；②CF DF =，BD 为CF y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm ；③CD DF =，BD 为CD y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm ；综上：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ．【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．11.（2020·河北中考真题）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN-匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQ B∠=∠．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当03x≤≤及39x≤≤时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ∠扫描APQ∆区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若94AK=，请直接．．写出点K被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP=；（3）当03x≤≤时，24482525d x=+；当39x≤≤时，33355d x=-+；（4）23t s=【解析】【分析】（1）根据当点P在BC上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得2APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据SS上下=45可得24=9APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23APAB=，求出AB=5，即可解出MP；（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形，∴PA min =tanC·2BC =34×4=3；（2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E，S 上=S △APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，∵APQ B ∠=∠，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AP AD PQ AB AC BC==，∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23AP AB =，AE=2BC ·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5，∴2253AP MP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2，∴25AP x PQ AB BC+==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（4）AM=2<AQ=94，移动的速度=936=14，①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒，②P 在BC 上时，K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114，∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-，整理得y 2-8y=554-，（y-4）2=94，解得y 1=52，y 2=112，52÷14=10秒，112÷14=22秒，∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．12.（2020·湖南衡阳?中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+，当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得：11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4，设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =+，当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)，当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得：13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5，如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-，∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -，211(7)24BET S BE ET t ∆==- ,21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-，由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)，∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4．∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=,易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇；当12﹤t ﹤1时，12+12÷（1+4）=35秒，∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当t=3时，点E 运动返回到点O 处,当t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．13.（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为,9M OM =．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过P 点作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PE OD的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若,DHE DPH GQ FG ∠=∠-=，求点P 的坐标．【答案】（1）12y x =-；（2）94；（3）1236(,)55P ．【解析】【分析】（1）根据题意求出A ，B 的坐标即可求出直线AB 的解析式；（2）求出N （3,9），以及ON 的解析式为y=3x ，设P （a ，3a ），表达出PE 及OD 即可解答；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，先证明四边形OSRA 为矩形，再通过边角关系证明△OFS ≌△FQR ，得到SF=QR ，进而证明△BSG ≌△QRG ，得到SG=RG=6，设FR=m ，根据GQ FG -=，以及在Rt △GQR 中利用勾股定理求出m 的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT 为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH ，利用正切函数的定义得到DE DH DH PD=，从而得到DH=32a ，根据∠PHD=∠FHT ，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT ，列出关于a 的方程即可求出a 的值，从而得到点P 的坐标．【详解】解：（1）∵CM ⊥y 轴，OM=9，∴当y=9时，394x =，解得：x=12，∴C （12,9），∵CA ⊥x 轴，则A （12,0），∴OB=OA=12，则B （0，-12），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，∴12012k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：112k b =⎧⎨=-⎩，∴12y x =-；（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，∴四边形MOAC 为矩形，∴MC=OA=12，∵NC=OM ，∴NC=9，则MN=MC-NC=3，∴N （3,9）设直线ON 的解析式为1y k x =，将N （3，9）代入得：193k =，解得：13k =，∴y=3x ，设P （a ，3a ）∵PD ⊥x 轴交OC 于点E ，交x 轴于点D ，∴3(,)4E a a ，(a,0)D ，∴PE=39344a a a -=，OD=a ，∴9944a PE OD a ==；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，∵GF ∥x 轴，∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR ，∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，则四边形OSRA为矩形，∴OS=AR，SR=OA=12，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，∴∠FAR=∠AFR，∴FR=AR=OS，∵QF⊥OF，∴∠OFQ=90°，∴∠OFS+∠QFR=90°，∵∠SOF+∠OFS=90°，∴∠SOF=∠QFR，∴△OFS≌△FQR，∴SF=QR，∵∠SFB=∠AFR=45°，∴∠SBF=∠SFB，∴BS=SF=QR，∵∠SGB=∠RGQ，∴△BSG≌△QRG，∴SG=RG=6，设FR=m，则AR=m，∴QR=SF=12-m，∴=，-=，∵GQ FG∴66m m +-=+，∵QG 2=GR 2+QR 2，即222(6)6(12)m m +=+-，解得：m=4，∴FS=8，AR=4，∵∠OAB=∠FAR ，FT ⊥OA ，FR ⊥AR ，∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，∴四边形OSFT 为矩形，∴OT=FS=8，∵∠DHE=∠DPH ，∴tan ∠DHE=tan ∠DPH ，∴DE DH DH PD=，由（2）可知，DE=34a ，PD=3a ，∴343a DH DH a=，解得：DH=32a ，∴tan ∠PHD=3232PD a DH a ==，∵∠PHD=∠FHT ，∴tan ∠FHT=2TF HT =，∴HT=2，∵OT=OD+DH+HT ，∴3282a a ++=，∴a=125，∴1236(,)55P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答．类型二与平行四边形有关14.（2022·山东泰安）如图，四边形ABCD 为平行四边形，则点B 的坐标为________．【答案】()2,1--【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．【详解】解： 四边形ABCD 为平行四边形，∴DA CB ∥，即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致，将D 点平移到A 的过程是：:134x --=-（向左平移4各单位长度）；:220y -=（上下无平移）；∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --，即()2,1B --，故答案为：()2,1--．【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．15.（2022·甘肃武威）如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为【详解】解：在菱形ABCD 中，∠A=60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB=a ，由图2可知，△ABD 的面积为∴△ABD 的面积24a ==解得：a=故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．16.（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数k y x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （9，0），B （0，92）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.【解析】【分析】（1）解一元二次方程，得到点A 的坐标，再根据12OB OA =可得点B 坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB 的表达式，根据点C 是EF 的中点，得到点C 横坐标，代入可得点C 坐标，根据点C 在反比例函数图像上求出k 值；（3）画出图形，可得点P 共有5个位置，分别求解即可.【详解】解：（1）∵线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，解得：x=9或-2（舍），而点A 在x 轴正半轴，∴A （9，0），∵12OB OA =，∴B （0，92）；（2）∵6OE =，∴E （-6，0），设直线AB 的表达式为y=kx+b ，将A 和B 代入，得：0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB 的表达式为：1922y x =-+，∵点C 是EF 的中点，∴点C 的横坐标为-3，代入AB 中，y=6，则C （-3，6），∵反比例函数k y x=经过点C ，则k=-3×6=-18；（3）存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM 1P 1N 1中，M 1和点A 重合，∴M 1（9，0），此时P 1（9，12）；在四边形DP 3BN 3中，点B 和M 重合，可知M 在直线y=x+3上，联立：31922y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：14x y =⎧⎨=⎩，∴M （1，4），∴P 3（1，0），同理可得：P 2（9，-12），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.故存在点P 使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，点P 的坐标为P 1（9，12），P 2（9，-12），P 3（1，0），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.类型三最值问题17.（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为()A．455B C．523D．655【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(m，122m-+)，则PM=1m﹣，QM=122m-+，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N ，在△PQM 和△Q′PN 中，'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PQM ≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=122m -+，Q′N=PM=1m ﹣，∴ON=1+PN=132m -，∴Q′(132m -，1m ﹣)，∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键18.（2020·湖南永州?中考真题）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是（）A ．355B ．3515-C ．6515-D ．2【答案】B 【解析】【分析】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，利用公式计算即可.【详解】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，如图，∵点C 到直线l 的距离()00222116355112kx y b d k -+-⨯-+==++-，C 半径为1，∴PQ 的最小值是3515-，故选：B.【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.A B-，在x19.（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)CD=，线段CD在x轴上平移，当轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持1+的值最小时，点C的坐标为________．AD BC【答案】（-1，0）【解析】【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形20.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．【解析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC=12OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD ＝4，OE ＝3，∴DE =32+42=5，∵∠MDN ＝∠ODE ，∠MND ＝∠DOE ，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE=DM DE，∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2，故答案为2．21.（2020·江苏连云港?中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．【答案】2【解析】【分析】如图，连接OB ，取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN ⊥DE 于N ．首先证明点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的⊙M ，设⊙M 交MN 于C′．求出MN ，当点C 与C′重合时，△C′DE的面积最小．【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=12OB=1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴5 DE===，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴MN DM OE DE=，∴3 35 MN=，∴95 MN=，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，△C′DE 的面积最小值1951225⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．22.（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤。

二次函数与几何综合压轴题(原卷版)-2024年中考数学

二次函数与几何综合压轴题(原卷版)-2024年中考数学

二次函数与几何综合压轴题几乎所有的地方都把二次函数与几何综合压轴题作为中考压轴题。

1．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =−++的图象与x 轴相交于点A 和点()1,0C ，交y 轴于点()0,3B ．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为P ，对称轴与x 轴交于点Q ，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M ，使得△AMB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴的交点分别为A 和()10B ,（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,3C ，点P 是直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P 作x 轴平行线交AC 于点E ，过点P 作y 轴平行线交x 轴于点D ，求PE PD +的最大值及点P 的坐标；(3)如图2，设点M 为抛物线对称轴上一动点，当点P ，点M 运动时，在坐标轴上确定点N ，使四边形PMCN 为矩形，求出所有符合条件的点N 的坐标．3．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，()3,0B 两点，交y 轴于点()0,3C −．点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为()1,4−时，求四边形BACP 的面积；(3)当动点P 在直线BC 上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q ，使得以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点D 是抛物线的顶点，过点D 作直线DH y ∥轴，交x 轴于点H ，当点P 在第二象限时，作直线PA ，PB 分别与直线DH 交于点G 和点I ，求证：点D 是线段IG 的中点．4．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()30A −,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y 轴上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；(3)如图乙，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在P 、Q 两点使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于()10A −，，B 两点，与y 轴相交于点()03C −，．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，PBC 的面积与ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在（2）的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ′，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P ′恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P ′的坐标；如果不存在，请说明理由．6．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c ++过点()()()1,0,3,,00,3A B C −．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a ++≠经过点(1,0)A −和(0,3)B ，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线x m =与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当m 取何值时，使得AN MN +有最大值，并求出最大值．(3)若点P 为抛物线2(0)y ax bx c a ++≠的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M ，是否能与A 、P 、Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．8．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B −两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时，求点P 的坐标及PD DB 的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．9．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C −两点．与y 轴交于点()0,2A −．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知抛物线212y x bx c =−++与x 轴交于,(4,0)A B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ，点P 为第一象限抛物线上的点，连接,,,CA CB PB PC ．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标； (3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=°，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE QF +的最小值为m ． ①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =−，请直接写出k 的取值范围．11．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线21:28=−−C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．12．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线24y ax bx ++与x 轴相交于点 1,0A ，()4,0B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求PAPC的值； (3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点Q ，使1tan 2QDB ∠=若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．且与直线:1l y x =−−交于D E 、两点（点D 在点E 的右侧），点M 为直线l 上的一动点，设点M 的横坐标为t ．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．(3)当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m −=时，直接写出m 的值．15．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点()6,0A ，与y 轴交于点()0,6B −，抛物线经过点A ，B ，且对称轴是直线1x =．(1)求直线l 的解析式； (2)求抛物线的解析式；(3)点P 是直线l 下方抛物线上的一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，交直线l 于点D ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ．求PM 的最大值及此时P 点的坐标．16．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．17．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线()210y ax bx a +−≠与x 轴交于点 1,0A 和点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点()3,0D ，过点B 作直线l x ⊥轴，过点D 作DE CD ⊥，交直线l 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 为第三象限内抛物线上的点，连接CE 和BP 交于点Q ，当57BQ PQ =时．求点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，连接AC ，在直线BP 上是否存在点F ，使得DEF ACD BED ∠=∠+∠？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数25y ax x c =−+的图像与x 轴交于()4,0A −，(),0B b 两点，与y 轴交于点()0,4C −．(1)求二次函数的解析式和b 的值．(2)在二次函数位于x 轴上方的图像上是否存在点M ，使13BOM ABC S S =△△？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点A 关于原点O 的对称点E ，连接CE ，作以CE 为直径的圆．点E ′是圆在x 轴上方圆弧上的动点（点E ′不与圆弧的端点E 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE ，使点E 移动到点E ′，线段AE 的对应线段为A E ′′，连接E C ′，A A ′，A A ′的延长线交直线E C ′于点N ，求AA CN′的值．19．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线23y ax bx ++与x 轴交于点()10A −，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点Q 是x 轴上方抛物线上一点，射线QM x ⊥轴于点N ，若QM BM =，且4tan 3MBN ∠=，请直接写出点Q 的坐标．(3)如图2，点E 是第一象限内一点，连接AE 交y 轴于点D ，AE 的延长线交抛物线于点P ，点F 在线段CD 上，且CF OD =，连接FA FE BE BP ，，，，若AFE ABE S S =△△，求PAB 面积．20．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx ++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A −，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．21．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x −，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线28y ax bx ++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．23．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx ++的图象与x 轴交于点()2,0A −，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°，求出点F 的坐标； (3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．24．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线21y ax bx c =++的图象经过(6,0)A −，(2,0)B −，(0,6)C 三点，且一次函数6y kx =+的图象经过点B ．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与x 轴交于M ，N 两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为m ．过点P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？25．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点(4,0)A −，(2,0)B ，与y 轴交于点(0,4)C −．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线6y kx =+与新图象有三个公共点时，求k 的值； (3)如图2，如果把直线AB 沿y 轴向上平移至经过点D ，与抛物线的交点分别是E ，F ，直线BC 交EF 于点H ，过点F 作FG CH ⊥于点G ，若DF HG=F 的坐标．26．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线2y bx c ++交x 轴于点()1,0A −和B ，交y 轴于点(C ，顶点为D ．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为E 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且60EFG ∠=°，如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．27．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线253y ax x c =++经过点()3,1，与y 轴交于点()0,5B ，点E 为第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式．(2)直线243y x =−与x 轴交于点A ，与y 轴交于点D ，过点E 作直线EF x ⊥轴，交AD 于点F ，连接BE ．当BE DF =时，求点E 的横坐标．(3)如图2，点N 为x 轴正半轴上一点，OE 与BN 交于点M ．若OE BN =，3tan 4BME ∠=，求点E 的坐标．28．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线24y ax bx +−与x 轴交于点()4,0A −，()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标是()42m m −<<，过点D 作直线DE x ⊥轴，垂足为点E ，交直线AC 于点F ．当D ，E ，F 三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段DF 的长；(3)若点P 是抛物线上的一个动点（点P 不与顶点重合），点M 是抛物线对称轴上的一个点，点N 在坐标平面内，当四边形CMPN 是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点P 的横坐标．。

2020年湖南省湘西州中考数学试卷(含详细解析)

2020年湖南省湘西州中考数学试卷(含详细解析)
A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤
评卷人
得分
二、填空题
11．— 的绝对值是______________。
12．分解因式： =_________________________．
13．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是_____边形．
14．不等式组 的解集为______________．
保密★启用前
2020年湖南省湘西州中考数学试卷
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、单选题
1．下列各数中，比 小的数是（）
A．0B． C． D．3
2．2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元．用科学记数法表示92700是（）
A． 为等腰三角形B． 与 相互垂直平分
C．点A、B都在以 为直径的圆上D． 为 的边 上的中线
9．如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边 ．则点C到x轴的距离等于（）
A． B． C． D．
10．已知二次函数 图象的对称轴为 ，其图象如图所示，现有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．正确的是（）
探究延伸1：如图2，在四边形 中， ， ， ， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形 中， ， ， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
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一、选择题（本大题共10小题，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）
1.下列各数中，比小的数是（
）2-A. 0 B. C. D. 3
1-3-2.2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元．用科学记数法表示92700是（ ）
A. B. C. D. 50.92710⨯4
9.2710⨯392.710⨯292710⨯3.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D. 2=-222()x y x y -=-=22
(3)9a a -=4.如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5.从长度分别为、、、四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（
）1cm 3cm 5cm 6cm A. B. C. D. 1413123
4
6.已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O 、C 为圆心，大于
AOB ∠AOB ∠OM OM OC 12OC 的长为半径画弧，两弧相交于E ，F ．画直线，分别交于D ，交于G ．那么，一定是EF OA OB ODG A （ ）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 等腰三角形
D. 直角三角形
7.已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（
）1y 2y (2,4)A -A. 正比例函数的解析式是1y 12y x
=B. 两个函数图象的另一交点坐标为()
4,2-
C. 正比例函数与反比例函数都随x 的增大而增大
1y 2y D. 当或时，2x <-02x <<21
y y <8.如图，、为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，交于点C ，的延长线交⊙O 于点D ．下PA PB PO AB PO 列结论不一定成立的是（ ）
A. 为等腰三角形
B. 与相互垂直平分BPA △AB PD
C. 点A 、B 都在以为直径的圆上
D. 为的边上的中线
PO PC BPA △AB 9.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴xOy ABCD 的正半轴上，矩形的边．则点C 到x 轴的距离等于（ ）
,,AB a BC b DAO x ==∠=
A. B. C. D. cos sin a x b x +cos cos a x b x +sin cos a x b x +sin sin a x b x +10.已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：
①；②2y ax bx c =++1x =0abc >；③；④；⑤．正确的是（ ）
20b a -<0a b c -+>(),(1)a b n an b n +>+≠23c b <
A. ①③
B. ②⑤
C. ③④
D. ④⑤
二、填空题（本大题共8小题，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）11.—的绝对值是______________．13
12.分解因式：=_________________________．
222m -13.若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是_____边形.
14.不等式组的解集为______________．
13121
x x ⎧-⎪⎨⎪+≥-⎩…15.如图，直线∥，，若，则___________度．
AE BC BA AC ⊥54ABC ∠=︒EAC ∠
=16.从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心，选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试
验，得到各试验田每公顷产量（单位：
t ）的数据，这两组数据的平均数分别是甲，乙，方差x 7.5≈x 7.5≈分别是2甲2乙，你认为应该选择的玉米种子是_________．
S 0.010,S ≈0.002≈17.在平面直角坐标系中，O 为原点，点，点B 在y 轴的正半轴上，．矩形的(6,0)A 30ABO ∠=︒CODE 顶点D ，E ，C 分别在上，．将矩形沿x 轴向右平移，当矩形与,,OA AB OB 2OD =CODE CODE ABO A 重叠部分的面积为时，则矩形
向右平移的距离为___________
．
CODE 18.观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形中，点M ，N 是上的点，且，则，；
ABC ,AB BC AM BN =AN CM =60NOC ∠=︒（2）如图②，在正方形中，点M ，N 是上的点，且，则，ABCD ,AB BC AM BN =AN DM =90NOD ∠=︒
；
（3）如图③，在正五边形中，点M ，N 是上的点，且，则，ABCDE ,AB BC AM BN =AN EM =；……
108NOE ∠=︒
根据以上规律，在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M ，N 是1234n A A A A A 上的点，且，与相交于O ．也会有类似的结论．你的结论是
1223,A A A A 12A M A N =1A N n A M _________________．
三、解答题（本大题共8小题，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）
19.计算：．
2cos45(2020)|2|π︒︒+-+-20.化简：．222111
a a a a a ⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭21.如图，在正方形的外侧，作等边角形，连接、．
ABCD ADE BE CE
（1）求证：；
BAE CDE △≌△（2）求的度数．
AEB ∠22.为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况．现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a ．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：，，，5060x ≤<6070x ≤<7080x ≤<，）如图所示
8090x ≤<90100x ≤≤
b ．七年级参赛学生成绩在这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，7080x ≤<78 ，79
c ．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：年级
平均数中位数众数七76.9m 80
d ．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有______人；
（2）表中m 的值为__________；
（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第______名；
（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．23.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
24.如图，是⊙O 的直径，是⊙O 的切线，交⊙O 于点E ．
AB AC BC
（1）若D 为的中点，证明：是⊙O 的切线；
AC DE （2）若，，求⊙O 的半径的长．
6CA = 3.6CE =OA 25.问题背景：如图1，在四边形中，，，，，
ABCD 90BAD ∠=︒90BCD ∠=︒BA BC =120ABC ∠=︒
，绕B 点旋转，它的两边分别交、于E 、F ．探究图中线段，，60MBN ∠=︒MBN ∠AD DC AE CF EF 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G ，使，连接，先证明FC CG AE =BG ，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________；BCG BAE △≌△BFC BFE △≌△探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，
ABCD 90BAD ∠=︒90BCD ∠=︒BA BC =，绕B 点旋转，它的两边分别交、于E 、F ．上述结论是否仍然成立？2ABC MBN ∠=∠MBN ∠AD DC 请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，ABCD BA BC =180BAD BCD ∠+∠=︒2ABC MBN ∠=∠绕B 点旋转，它的两边分别交、于E 、F ．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
MBN ∠AD DC 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西的A 处舰艇乙在指挥中心南30°偏东的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的70︒速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、50︒乙两舰艇分别到达E 、F 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．70︒
26.已知直线与抛物线（b ，c 为常数，）的一个交点为，点2y kx =-2y x bx c =-+0b >(1,0)A -(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．
（1）当直线与抛物线（b ，c 为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E 2y kx =-2y x bx c =-+0b >时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当时，求m 的值；12
EQM ACE S S =△△
（3）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为时，求b 的值．12b +2DM +。

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