小波分析笔记

过去10年来，小波变换在图像压缩领域取得了巨大的成功。

它在处理具有点状奇异性的一维信号时远胜于傅立叶分析，在应用中，大多数的二维小波变换使用的可分离滤波器组是一维小波变换在行和列方向的张量积。

由于小波基函数仅能表示水平、垂直、对角三个方向，因此在表示高维奇异信号如图像的几何边界等就显得无能为力。

因此小波变换在捕捉0维奇异性或处理分片光滑区域时是最优工具，但是在处理高维信号时就不是最优的。

小波分析在一维时所具有的优异特性并不能简单的推广到二维或更高维，由一维小波张成的可分离小波(Separable wavelet)只具有有限的方向，不能“最优”地表示含线或者面奇异的高维函数，但事实上具有线或面奇异的函数在高维空间中非常普遍，例如，自然物体光滑边界使得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点奇异。

实现函数的稀疏表示是信号处理、计算机视觉等很多领域中一个非常核心的问题。

对于模型(7)(焦李成谭山图像的多尺度几何分析：回顾和展望)，正交基所能达到的最优逼近误差应该具有sM-的衰减级[D L Donoho: Sparse component analysis and optimal atomic decomposition[j]. Constructive Approximation, 1998, 17:353-382]，然而小波变换的非线性逼近误差只能达到1M-的衰减级。

其中重要的原因是二维可分离小波基只具有有限的方向，即水平、垂直、对角，方向性的缺乏使小波变换不能充分利用图像本身的几何正则性。

据生理学家对人类视觉系统的研究结果和自然图像统计模型，一种“最优”的图像表示法应具有如下特征：(1)多分辨：能够对图像从粗分辨率到细分辨率进行连续逼近，即“带通”性；(2)局域性：在空域和频域，这种表示方法的“基”应该是“局部”的；(3)方向性：其“基”应该具有“方向”性，不仅仅局限于二维可分离小波的3个方向。

上图表示了分别用傅立叶分析、二维可分离小波变换以及Bandelet变换来逼近图像中奇异曲线的过程。

由一维小波张成的二维小波基具有正方形的支撑区间，不同的分辨率下，其支撑区间为不同尺寸大小的正方形。

二维小波逼近奇异曲线的过程，最终表现为用“点”来逼近线的过程。

在尺度j ，小波支撑区间的边长近似为2j -，幅值超过2j -的小波系数的个数至少为(2)j O 阶，当尺度变细时，非零小波系数的数目以指数形式增长，出现了大量不可忽略的小波系数，最终表现为不能“稀疏”表示原函数。

Bandelets 变换能充分利用原函数的几何正则性，其基的支撑区间表现为“长条形”，以达到用最少的系数来逼近奇异曲线。

基的“长条形”支撑区间实际上是“方向”性的一种体现，也称这种基具有“各向异性”。

2000年，E Le Pennec 和St éphane Mallat 在文献[4]中提出Bandelet 变换。

Bandelet 变换是一种基于边缘的图像表示方法，能自适应地跟踪图像的几何正则方向。

Pennec 和Mallat 认为：在图像处理任务中，若是能够预先知道图像的几何正则性，Bandelets 的优点：基函数具有各向异性(anisotropy)和多方向性(multi-directional, M-DIR)等良好特性，能有效处理高维函数。

Bandelets 和第二代Bandelets 是新的基于边缘的几何多尺度分析工具，能捕获图像中的几何正则性，并自适应地给出最优表示。

第一代Bandelets 由于要对原始图像重采样，并要把任意几何方向弯曲至水平或垂直方向，从而借助二维可分离标准小波变换来处理，实现复杂度较高，对于含2N 个像素的图像，计算复杂度为222((log ))N O N ；第二代Bandelets 巧妙地借助多尺度分析和几何方向分析，既保留了第一代Bandelets 的优点，计算复杂度为32()O N ；近乎线性。

二维可分离小波变换可把图像中的能量集中在少量的小波系数上，但对图像中奇异点附近产生的大系数却无能为力。

现代图像处理技术希望挖掘并充分利用图像内在的几何正则性，bandelets 和第二代bandelets 是在离散小波域对含有几何正则性的数字图像给出最优表示的多尺度几何分析新工具，它旨在利用图像自身的几何正则性并去除标准小波变换所不可避免的各向异性几何冗余，并对所要表示的函数自适应地给出最优表示。

自然图像由于光学散射等效应在边缘造成不连续性，这种沿着边缘的模糊效应可以建模为模糊核h 和原函数的卷积f fh =* ，这里f C α∈ 称为C α几何正则函数，对此类函数，第二代bandelets 能自适应给出最优表示：20,M M f f CM α-∀>-≤其中M f 是由M 个参数得到的原函数的逼近重构，C 是不依赖于模糊核h 的常数。

在图像处理的实际应用中，几何正则性一般要从离散图像信息中估计出来。

为了使这个问题更易于处理，bandelets 引入几何矢量流，用来刻画图像空间结构灰度值变化的局部正则方向。

第一代bandelets 先采用类似于Donoho 构造Wedgelet 基函数时采用的四叉树(quadtree)剖分，对原始图像作二进连续剖分，终止准则为每个剖分子块中只含唯一的一个边界，并把相应的子区域分别表示为水平区域、垂直区域、正则(或光滑)区域或角点区域，再通过弯曲(warping)算子的作用把相应区域内对应于实际几何方向的边界弯曲至水平或垂直方向，最后再借助二维可分离标准小波来处理这种水平和垂直奇异性。

此外bandelets的实现中还需要进行重采样操作，为避免二进剖分时带来块状效应，在块与块相接的边界处又引入仿射函数并采用改进的提升程序。

信号的表示方法：在设计信号编码系统时，我们考虑如下三个信号表示策略：(1)信号表示要匹配于输入信号；(2)信号表示要匹配于编码任务；(3)信号表示要匹配于用户。

第一点表明信号表示系统要能够有效地适应于输入信号的特性，不能要完成信号的稀疏表示，而且能够对变换的信号进行完全重建。

第二点表明信号表示系统的复杂度要适应于当前的编码任务，通常是在实现复杂度与性能之间的折中。

第三点表示重建信号要适应于人眼视觉系统。

多描述编码(Multiple description coding, MDC)方法是一种典型的抗误码技术，它能够有效地获得最佳的服务质量。

多描述图像编码通常将一幅图像划分成几个描述，然后独立地编码各个描述，这些被编码的图像描述根据其到达接收端的实际情况做联合解码或独立解码。

多描述编码方法最重要的一个特点是：当任何一个或几个描述被接收就能重建一个视觉上可接受的图像。

而在目前比较流行的分层或可伸缩编码中，只有当基本层被可靠接收时才可以解码完整的图像，如果在任意一层的码流遭到损坏，则导致后续码流的不可使用。

因此，多描述编码比可伸缩编码在抗误码方面具有更多的优势。

多描述的概念最早出现在20世纪70年代末期，由Bell实验室在解决电话信道中语音编码问题时提出，90年代末期将其应用到图像编码中。

在近十年中，各种各样的图像多描述方法得到了广泛研究和发展，主要包括空间下采样方法[]、相关变换方法[]、标量及矢量量化方法、运动补偿方法等。

早期的空间下采样方法是直接在空域对图像进行下采样实现多描述方案的，这种方法难以有效去除相邻像素间的相关性，因而编码效率较低。

在变换域中，多描述标量量化(Multiple description scalar quantizer, MDSQ)、多描述相关变换编码(Multiple description transform coding, MDTC)方法是最具代表性的方法，但MDSQ中的索引分配和MDTC中的相关变换的设计有很复杂，且不能与现有的图像编码标准兼容，同时整个的编码性能也不如所料的那样能很多地平衡边缘和中央信道的编码效率。

本文提出一种基于方向提升小波变换的多描述图像编码方法，基本思想是在空域将一幅图像按梅花形下采样为两个描述，然后利用方向提升小波变换对每个描述进行独立编码。

为解决空域多描述技术编码效率低的问题，利用方向提升小波变换来进一步有效消除相邻像素间的冗余，借此提高编码性能。

提升小波方向的选择满足了率失真优化模型。

另外再结合插值恢复技术和数据融合算法来提高边缘和中央信道的图像质量。

该方法在实现高压缩效率的同时具备了抗误码功能，是一种简单有效且实用的方法。

Chuo-Ling Chang and Bernd Girod, Direction-adaptive discrete wavelet transform for image compression. IEEE Trans. On Image Processing. 2007,16(5): 1289-1302.摘要：基于方向提升，提出了一种方向自适应DWT(DA-DWT)，可以局部地使滤波方向适应于图像内容。

由于自适应变换，对于尖锐图像特征区域的能量聚集有所提高。

基于各向异性统计图像模型的数学分析也在本文中给出，以量化采用方向滤波所能达到的理论增益。

分析表明，提出的DA-DWT方法比其它基于提升的方法更加有效。

实验结果表明：与传统小波变换相比较，PSNR增益可提高2.5dB。

且重建图像结构有较好的主观图像质量。

引言：二维离散小波变换(DWT)是过去十年来最重要的图像压缩技术。

通常，可分离的2-D DWT是由1-D变换在行和列方向上张成的。

因此，高通小波滤波器的消失距仅仅存在于这两个方向上。

这种可分离变换不能够提供对具有方向特征的图像信号的高效表示，例如图像中不是平行于行或列方向上的边缘和线等等，因为它扩散了这些特征的能量到其它子带。

早期的使变换方向适应于图像内容的自适应小波变换在文献[4]中提出。

首先将图像分块，每一块通过可逆重采样滤波器进行弯曲(shear)，使得弯曲块内的图像边缘对应于垂直或水平方向；之后，传统二维可分离小波变换应用于弯曲块上，因此小波基函数可提供沿着图像边缘方向的消失距。

在最近的工作中所提出的方向波(directionlets)也具有这一特点，它使小波滤波方向和下采样网格适应于图像特征方向，但是没有重采样操作[5]。

这两种方法具有相同的局限性：首先，对每一图像块的独立处理不能利用相邻块边界之间的相关性，而且会导致重建时的分块效应；第二，图像分解尺度的可扩展性受到限制，因为下采样低通图像不再位于一规则的正交网格中。

Bandelets方法[6-7]没有上述限制。

首先对图像执行2-D DWT，之后有一个bandeletization 的过程以进一步去除高频子带系数之间的方向相关性。