小波分析简述(第五章)
第五章 函数的小波分解及应用
ψ (t)eitz dt.
ˆ (z )在区域{z : |Imz | < a}内解析。 显然，ψ 由定理3和（2），得
+∞ −∞
tl ψ (t) dt = 0, ∀l ∈ Z+ ,
ˆ(l) (0) = 0, ∀l ∈ Z+ . 所 以 解 析 函 ˆ(l) (ω ) = (iω )l +∞ ψ (t)tl dt, ω ∈ R, 得ψ 故 由ψ −∞ ˆ (z )在z = 0的 某 邻 域 内 为 零 ， 从 而 恒 为 零 。 这 推 出ψ (t) = 0。 这 与{ψj,k } 生 数ψ j,k 成L2 (R)矛盾。 对于给定的滤波函数m0 (ω )以及尺度函数ϕ(t)，我们构造了小波ψ (t)，它们的联系是 ˆ(ω ) = e−iω/2 m0 (ω/2 + π )ϕ ψ ˆ(ω/2), ϕ ˆ(0) = 1. 由于m0 (π ) = 0, m0 (ω )在ω = π 处有零点。当要求ψ 有更高的光滑性时有
(8)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003
7
定 理 4：对L ∈ Z . 若m0 ∈ C (R),且 ˆ ∈ C L , ψ (l) (t) 有界, ∀l ∈ L. ψ 和对某 > 0, |ψ (t)| ≤ C (1 + |t|)−L−1− 则m0 (ω )在ω = π 有L + 1重零点。 证 ：由定理3,
f (l) (2j0 k0 ) l!
+∞ −∞
˜ (t)dt + J 2(l+1)j tl f
f (l) (2j0 t0 ) l! 故有 f (l) (2j0 t0 ) l!
(完整word版)小波分析-经典
时间序列—小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中,时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换)虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析.然而，地学中许多现象(如河川径流、地震波、暴雨、洪水等)随时间的变化往往受到多种因素的综合影响,大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度"结构，具有多层次演变规律.对于这类非平稳时间序列的研究,通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息.显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时—频多分辨功能的小波分析(Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能,它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势,并能对系统未来发展趋势进行定性估计.目前,小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足:⎰+∞∞-=0dt )t (ψ (1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中,0a R,b a,≠∈ (2） 式中,)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
小波分析的原理和应用
小波分析的原理和应用1. 小波分析的基本概念小波分析是一种用于信号处理和数据分析的数学工具。
它的核心思想是将信号分解成不同频率的小波成分，以便更好地理解和处理信号。
小波是一种局部化的基函数，具有时频局部化的特点，因此可以更好地描述非平稳和非周期性信号。
2. 小波分析的原理小波分析的原理可以归结为两个关键步骤：小波变换和逆小波变换。
2.1 小波变换小波变换是将信号分解成不同尺度和频率的小波成分的过程。
它通过将信号与小波基函数进行内积运算来完成。
小波基函数可以用于描述信号中不同频率和时间域的特征。
小波变换的计算过程可以通过连续小波变换（CWT）或离散小波变换（DWT）来实现。
CWT适用于连续信号，DWT适用于离散信号。
2.2 逆小波变换逆小波变换是将小波表示的信号重构回原始信号的过程。
逆小波变换可以基于小波系数和小波基函数进行计算。
3. 小波分析的应用领域小波分析在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个主要的应用领域。
3.1 信号处理小波分析在信号处理领域中被广泛应用。
它可以用于信号压缩、滤波器设计、特征提取等方面。
由于小波具有时频局部化的特点，因此可以更好地处理非平稳和非周期信号。
3.2 图像处理小波分析在图像处理中也有重要的应用。
它可以用于图像压缩、图像增强、纹理分析等方面。
小波变换可以提取图像中的局部特征，并通过逆小波变换将处理后的图像重构回原始图像。
3.3 生物医学信号处理小波分析在生物医学信号处理领域起着重要的作用。
例如，可以将小波分析应用于心电信号分析、脑电信号分析等方面。
通过对生物医学信号进行小波变换，可以提取信号中的特征，并用于疾病诊断和监测等应用。
3.4 金融数据分析小波分析在金融数据分析中也有广泛的应用。
它可以用于金融时间序列数据的分析和预测。
通过对金融数据进行小波变换，可以识别出数据中的周期性和趋势性成分，从而帮助分析师做出更准确的预测。
4. 小结小波分析是一种重要的信号处理和数据分析工具。
《小波分析》PPT课件
二进离散点
2k,2kj
(20)
上的取值，因此，小波系数 k , j 实际上是 信号f(x)的离散小波变换。其实，这也是 小波变换迷人的风采之一：
连续变换和离散变换形式统一； 连续变换和离散变换都适合全体信号；
§2. 小波分析和时-频分析
(Time-Frequency Analysis )
2.1 窗口Fourier变换和Gabor变换
§1.小波和小波变换
(Wavelet and Wavelet Transform)
几点约定:
我们的讨论范围只是函数空间 L2（R）；
小写x是时间信号，大写是其Fourier变换；
尺度函数总是写成 x（时间域）和 （频率
域）；
小波函数总是写成 x （时间域）和 （ 频率
域）。
1.1 小波(Wavelet)
的，那么公式(2)说明 00，
于是
Rxdx 0
这说明函数 x 有波动的特点，公式(1) 又说明函数 x 有衰减的特点，因此， 称函数 x 为“小波”。
1.2 小波变换(Wavelet Transform)
对于任意的函数或者信号 fxL2R，其
小波变换为
Wf a,bR fxa,bxdx
1 fx xbdx （4）
aR
a
性质
这样定义的小波变换具有下列性质：
Plancherel恒等式：
C Rfxgxd xR 2W fa,bW ga,bda2ad
小波变换的逆变换公式：
（5）
fx1 C
R2Wfa,ba,bxdaa2 db
（6）
性质
吸收公式：当吸收条件
0 2d0 2d （7）
成立时，有吸收的Plancherel恒等式
《小波分析》课件
小波变换与其他数学方法的结合
小波变换与傅里叶分析的结合
小波变换作为傅里叶分析的扩展，能够提供更灵活的时频分析能力，适用于非平稳信号 的处理。
小波变换与数值分析的结合
小波变换在数值分析中可用于函数逼近、数值积分、微分方程求解等领域，提高计算效 率和精度。
小波变换在大数据分析中的应用
特征提取
小波变换能够提取大数据中隐藏的时间或频 率特征，用于分类、聚类和预测等任务。
正则性
小波基的正则性是指其在时频域的连续性和光滑 性，影响信号重构的精度和稳定性。
01
小波变换在信号处 理中的应用
信号的降噪处理
总结词
通过小波变换，可以将信号中的噪声成 分与有用信号分离，从而实现降噪处理 。
VS
详细描述
小波变换具有多尺度分析的特点，能够将 信号在不同尺度上进行分解，从而将噪声 与有用信号分离。在降噪处理中，可以选 择合适的小波基和阈值处理方法，对噪声 进行抑制，保留有用信号。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
图像的压缩编码
01
通用性强
02
小波变换的通用性强，可以广泛 应用于各种类型的图像压缩，包 括灰度图像、彩色图像、静态图 像和动态图像等。
图像的边缘检测
精确检测
小波变换具有多尺度分析的特性，能 够检测到图像在不同尺度下的边缘信 息，实现更精确的边缘检测。
图像的边缘检测
抗噪能力强
小波变换能够有效地抑制噪声对边缘 检测的影响，提高边缘检测的准确性 和稳定性。
信号的压缩编码
总结词
小波变换可以将信号进行压缩编码，减小存储和传输所需的带宽和空间。
详细描述
小波分析简述第五章
可编辑ppt
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
高频 “滤波系24 数
5、小波基与滤波器系数
有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的 小波基是对称的，有的是非对称的。 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过给定 滤波系数生成。 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数 直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这 是 I. Daubechies 等的重要发现，使计算简 化，是快速小波分解和重建的基础。
的。小波变换既看到了森林（信号概貌），又看 到了树木（信号细节），能精确地在时间-频率 （时间-尺度）平面内刻画非平稳信号的特征，被 誉为“数学显微镜”。小波变换是迄今为止最优 秀的非平稳信号处理方法。
小波基的形状、紧支性、衰减性、对称性、光滑
性及正交性的不同决定了小波的千差万别，在小
波变换时，基函数的选择非常关键,在信号分解时，
可编辑ppt
11
CWT & DWT
CWT
1. Scale
At any scale
2. Translation At any point
3. Wavelet
Any wavelet that satisfies minimum criteria
4. Computation Large
5. Detection
第三阶段：全面应用时期。
从1992年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。 MATLAB中，特意把小波分析作为其“ToolBox” 的单独一个工具箱。
可编辑ppt
4
二、小波定义
可编辑ppt
5
因为小波 (t)只有在原点附近才会存在明显的起伏，在
远离原点的地方函数值将迅速“衰减”为零，所以我 们 (t)称 为“小波”
小波分析
小波学习总结小波分析理论和方法是从傅立叶分析分析演变而来的。
傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反应了信号在“整个”时间范围内的“全部”频谱成分，是研究周期现象不可缺少的工具。
傅立叶变换虽然有很强的频域局域化能力，但并不具有时间局域化能力，而后一点，对于很多信号处理工作而言，特别是对于涉及非平稳信号处理的任务而言，是至关重要的。
小波变换以牺牲部分频域定位性能来取得时-频局部性的折衷，其不仅能提供较精确的时域定位，也能提供较精确的频域定位。
我们所面对的真实物理信号，更多的表现出非平稳的特性，而小波变换恰恰是处理非平稳信号的有力工具。
从Fourier变换到小波变换，目的是要找到一组时频局域化特性都良好的正交基，即小波基它的伸缩和平移将形成一系列灵活窗，最终满足时频分析要求。
由Fourier变换、STFT和小波分析的基函数及相应的时间-频率窗可知，Fourier分析的基函数在时域上具有全局性，没有任何时间分辨特性，但在频域上是完全局部化的；短时Fourier 变换的基函数对信号进行等带宽分解，时频带宽恒定；小波分析的基函数由小波基伸缩而成，其时频窗宽度随信号自适应变化，高频时窗自动变窄，低频时窗自动变宽。
小波变换的基本思想是用一组小波函数或者基函数表示一个函数或者信号，例如图像信号。
其核心就是对图像对应的像素值或者叫做图像位置的系数进行均值和差值的操作计算，产生新的由像素值的平均值和细节系数表示的图像，进一步去除一些微不足道的细节系数，从而提高小波图像的编码效率，达到取得较好的图像压缩率的目的。
小波分析中常用的三个基本概念是：连续小波变换、离散小波变换和小波重构。
（1）连续小波变换傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波，因此正弦波是傅立叶变换的基函数。
同样，小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波，因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数。
可以说，凡是能够用傅立叶分析的函数都可以用小波分析，因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换的正弦波。
小波分析
一、小波分析基础知识
一、小波分析基础知识
以下是对一个含有噪声信号进行小波 分析的结果：
一、小波分析基础知识
小波变换在分析信号时，其分析窗口大 小固定不变但窗口形状可以变化，是时间窗 和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。
一、小波分析基础知识
小波分析在低频部分具有较高的频率分 辨率和较低的时间分辨率；在高频部分具有 较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，这 正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅 速的特点，所以被誉为是信号分析的数字显 速的特点，所以被誉为是信号分析的数字显 微镜。 微镜。
小波分析 在脉诊研究中的应用
王明三
基础医学院中医诊断教研室
主要内容
一、小波分析基础知识 二、脉象信号的特征 三、运用小波分析研究中医脉象
一、小波分析基础知识
小波分析( 小波分析(Wavelet Analysis )又称小波变 换(Wavelet transform )，是1950年代开始应用， ，是1950年代开始应用， 1980年代发展形成理论体系，1990年代在我 1980年代发展形成理论体系，1990年代在我 国得以广泛研究与应用。所以小波分析是目 前国际前沿领域。
三、运用小波分析研究中医脉象
利用小波分析对紧脉的信号特征进行分 析和提取，并与其相类脉——弦脉的时频特 析和提取，并与其相类脉——弦脉的时频特 征进行了比对，经统计学处理，在精确分类 及与弦弦鉴别方面，结果满意。
三、运用小波分析研究中医脉象
设信号Ｓ的最低频率为０，最高频率为１，则提取的8个频率 成份所代表的频率范围如表所示。
一、小波分析基础知识
进行小波分析时，根据信号的特征和要 提取的信息，选择不同的小波函数和相应的 提取的信息，选择不同的小波函数和相应的 分析尺度，把原始信号变换成不同时频下的 分解信号，进行识别和分析，然后作出精确 的结论。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
五、离散小波变换(Discret Wavelet Transform，简称DWT)
离散小波变换就是在尺度与位移均做离 散化。最通常的离散方法就是将尺度按 幂级数进行离散化（一般取2），从而得 到二进小波。再将位移按二进整数倍的 方式离散化，得到正交小波。
CWT & DWT
CWT DWT
1. Scale
第三阶段：全面应用时期。
二、小波定义
因为小波 (t ) 只有在原点附近才会存在明显的起伏，在 远离原点的地方函数值将迅速“衰减”为零，所以我 们 (t )称 为“小波”
三、连续小波变换 （Continue Wavelet Transform，简记CWT）
傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波， 因此正弦波是傅立叶变换的基函数。同样，小波分析是 把一个信号分解成由原始小波经过移位和缩放后的一系 列小波，因此小波是小波变换的基函数，即小波可用作 表示一些函数的基函数。
[cA,cD] = dwt(X,' db1 ') 与以下写法等价： [Lo_D,Hi_D] = wfilters('db1','d'); [cA,cD] = dwt(X,Lo_D,Hi_D)
七、Mallat算法
一种计算离散栅格上小波变换的快速算法，即 Mallat算法。
小波分解和小波基
小波基D 原始信号 小波细节系 数wd
有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的 小波基是对称的，有的是非对称的。 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过给定 滤波系数生成。 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数 直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这 是 I. Daubechies 等的重要发现，使计算简 化，是快速小波分解和重建的基础。
x( 7 )
A3 x D3 x
x(8) x( 9 ) x(10 ) x(11) x(12 ) x(13) x(14 ) x(15)
八、小波应用
小波去噪声 小波用于图像配准 小波图像压缩 小波数字水印 信号奇异性检测
九、小波进展
第二代小波，称提升算法，可用于整数 小波。 小波神经网络
小波压缩
细节系数大多数接近0， 只有很少一部分对应于 图像边缘和纹理信息的 系数具有较大的峰值， 含有显著能量。
4. Computation Large 5. Detection
6. Application
六、多分辨率分析（Multi-resolution Analysis ，MRA），又称为多尺度分析
若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺 度由大到小变化时，就相当于将照相机镜头由 远及近地接近目标。在大尺度空间里，对应远 镜头下观察到的目标，只能看到目标大致的概 貌。在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标， 可观测到目标的细微部分。因此，随着尺度由 大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精地观 察目标，这就是多尺度（即多分辨率）的思想。
1807年 Fourier 提出傅里叶分析 1822年 发表 “热传导解析理论”论文 1910年 Haar 提出最简单的小波 1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式， 用于地质勘探。 1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正 交小波基”，此后形成小波研究的高潮。
Dyadic scales
Integer point Orthogonal, biorthogonal, … Small Cannot detect minute object if not finely tuned Compression De-noising Transmission Characterization
•
小波变换的反演公式
1 xt c
0
da WTx a, a , t d 2 a
•
小波基必须满足的条件—允许条件
c
ˆ
2
d
ˆ 0 0
t dt 0
四、小波变换的特点
WTx a, 1 t xt dt xt , a , t a a
小波变换（Wavelet Transform）
西安交通大学 机械工程及自动化研究所
主要内容
一、小波的发展历史 二、小波定义 三、连续小波变换 四、小波变换的特点 五、离散小波变换 六、多分辨率分析 七、Mallat算法 八、小波的应用 九、小波的进展
一、小波的发展历史
第一阶段：孤立应用时期
1、多分辨率分析定义
2、尺度函数和小波函数
尺度函数和小波函数
3、尺度方程与小波方程
4、滤波器系数性质
小波基函数和滤波系数(Haar--正交，对称)
Haar小波
“近似”基函 数
“细节”基 函数
“正变换” 低频 和 高频 “滤波系数 “反变换” 低频 ” 和 高频 “滤波系数
5、小波基与滤波器系数
2. Translation 3. Wavelet
At any scale
At any point Any wavelet that satisfies minimum criteria Easily detects direction, orientation Pattern Recognition Feature extraction Detection
小波变换用于图象特征抽取
第1级
近似
图象
水平细节
水平细节
垂直细节
第1级 垂直细节
第1级 斜线细节 斜线细节
采用小波神经网络指导传递函数设计
与多层感知器神经网络比，具有训练需 要较少计算量的优势；与径向基函数 RBF和小波框架神经网络比，参数（隐 节点数和权值）较容易确定。另外有较 好的收敛速度。 在同样的逼近质量下，小波神经网络的 节点数减少。
好的小波使能量更集中 采用好的编码方法
各高频子图在视觉上具 有相似的轮郭，即相似 性。可以用来设计压缩 算法。 能否引入分形？Biblioteka 边缘特征提取用于传递函数设计
细节系数较大的位置对应于灰度突变， 即对应于边缘、线和区域边界等明显特 征 小波变换矢量（W1f，W2f）的模（梯度矢 量的模）极大值对应于信号的奇异点 （边缘点）
第二阶段：国际性研究热潮和统一构造时期
小波的发展历史
1987年 法国信号处理专家Mallet巧妙地将计算机 视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中， 并给出了想应的算法——现今称之为Mallat算法， 并应用于图像分解和重构。Mallet算法在小波分析 中的地位就相当于快速Fourier（FFT）变换在经 典Fourier中的地位。 从1992年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。 MATLAB中，特意把小波分析作为其“ToolBox” 的单独一个工具箱。
a0
(2.1)
伸缩
xt
平移
t
镜头 推进 方向
以较高频 率作分析
平移方向
以较低频 率作分析
小波多分辨分析原理
时频分析对比
苏轼名句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同” 蕴涵了信号处理的本质。只有观测位置得当，才 能看到信号的庐山真面目。适当的观测位置是由 及函数决定的。 小波基的伸缩和平移，决定了小波变换是多分辨 的。小波变换既看到了森林（信号概貌），又看 到了树木（信号细节），能精确地在时间-频率 （时间-尺度）平面内刻画非平稳信号的特征，被 誉为“数学显微镜”。小波变换是迄今为止最优 秀的非平稳信号处理方法。 小波基的形状、紧支性、衰减性、对称性、光滑 性及正交性的不同决定了小波的千差万别，在小 波变换时，基函数的选择非常关键,在信号分解时， 若采用了不适宜的小波基函数，则会由于特征信 息被冲淡，反而给故障信号特征的检测和识别造 成困难
小波基函数和滤波系数(db 2--正交，不对称 )
db小波
“近似”基函 数
“细节”基 函数
“正变换” 低频 和 高频 “滤波系数 “反变换” 低频 ” 和 高频 “滤波系数
小波基函数和滤波系数(sym 4--正交，近似对称)
小波基函数和滤波系数(bior 2.4 –双正交，对称)
Matlab中的体现
小波基A 小波近似系 数wa
正变换：原始信号在小波基上，获得 “小波系数”分量 反变换：所有“小波分解” 合成原始信号
•小波变换和小波包变换(课堂演示Matlab小波分析软件)
x (t ) x (1)
x(t )
A1 x
D1 x
x( 2 )
x ( 3)
A2 x
D2 x
x( 4 )
x( 5 )
x( 6)