小波分析考试题(附答案)
近代数学 小波 简答题+答案
1什么是小波函数？（或小波函数满足什么条件？）答：设)()(2R L t ∈ϕ,且其Fourier 变换)(ωϕ满足可允许性（admissibility ）条件+∞<⎰∞+∞-ωωϕd w |||)(|2，则称)(t ϕ为小波函数。
2 Fourier 变换的不足？Fourier 分析的不足，主要表现在以下两点：1） Fourier 分析不能刻画时域信号的局部特性；（只知道信号所含有的频率信息，但不能知道各种不同频率信息在什么时候/位置出现） 2） Fourier 分析对非平稳信号的处理效果不好。
（如音乐、语言、地震、电脉冲等）3 什么是加窗Fourier 变换？用一个时间函数g(t)做窗口函数，该时间函数在有限区间外恒等于零，或很快趋近与零。
用g(t –τ)与待分析函数f(t)相乘，然后对乘积进行Fourier 变换，乘积作用相当与在 t =τ处开了个“窗口”。
即),(τωf G =dt e t g t f Rt i ⎰--ωτ)()(其反演公式为：ττωτωπωd G t g e d t f f R Rti ),()(21)(-=⎰⎰),(τωf G ),(+∞<<-∞+∞<<-∞τω确实包含了f(t)的全部信息。
4.什么是分数傅里叶变换？分数傅里叶变换是傅里叶变换的广义化，傅里叶变换通常指变换整数次，而分数傅里叶变换的变换次数不一定是整数，而是分数，其定义式为 ，当a=1时，分数傅里叶变换就变成了傅里叶变换。
一、写出离散小波、二进小波的表达式 答：（1）离散小波：)2(22,k t j jk j -=--ψψ（2）二进小波：))2(2(2)(2,2τψψτjj j t t j -=--三、二进小波满足什么样的条件时，它的小波变换及其逆变换是存在的？ 设小波函数)(2R L t ∈）（ψ,若存在两个常数A,B,满足0<+∞<≤B A ,使得B A j Z≤∑≤∈2j )2(ωψ成立，则称)(,2t j τψ小波是)(2R L 上的二进小波，称上式为二进小波的稳定条件，当A=B 时称为最稳定条件。
小波分析考试题(附答案)
《小波分析》试题适用范围：硕士研究生时 间：2013年6月一、名词解释（30分）1、线性空间与线性子空间解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合V ；设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y V1，则x ＋y V1； （2） 如果x V1，k K ，则kx V1， 则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。
2、基与坐标解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量，称为 V 的一组n 21...εεε，，，基；设是中任一向量，于是 线性相关，因此可以被基αn 21...εεε，，，线性表出：，其中系数 αεεε，，，，n 21...n 21...εεε，，，n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，an ...a a 11，，，αn 21...εεε，，，记为 （）。
an ...a a 11，，，3、内积解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。
，()T n x x x x ,...,,21=，令，称为x 与y 的内积。
()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间解释：线性 完备的内积空间称为Hilbert 空间。
线性（linearity ）：对任意f ，g ∈H ，a ，b ∈R ，a*f+b*g 仍然∈H 。
完备（completeness ）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。
内积（innerproduct ）：<f ，g>，它满足：，()T n f f f f ,...,,21=时。
()T n g g g g ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,22115、双尺度方程解释：所以都可以用空间的一个1010,V W t V V t ⊂∈⊂∈）（）（ψϕ）（）和（t t ψϕ1V从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高以考虑。
小波分析考试题及答案
一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。
这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。
这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。
在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。
如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。
这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。
为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。
其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。
短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。
但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。
小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，使一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。
浙江大学小波分析及其工程应用考试试卷
浙江大学小波分析及其工程应用考试试卷
1、简述傅里叶变换、短时傅里叶变换以及小波变换之间的异同，并
说明小波变换的必要性。
（10分）
2、小波变换堪称数学显微镜，且二维小波变换除了有显微能力之外，还有极化能力，请说明为什么？（10分）
3、说明小波变换的多分辨率分析和时-频局部化能力，请问该变换为
什么能够随着视野的变化自动调整分辨率以及如何调整？（10分）
4、请结合数学推导进行说明：当小波母函数满足正规性条件时，小
波变换能够凸显被分析的细节信息。
（10分）
5、为什么说小波变换的信息是冗余的？为减少其信息冗余度，可采
用离散栅格的方法予以改善，但会带来信息的失真的弊端，请问该如何尽
量避免这种失真？（10分）
6、请问利用函数空间剖分理论说明从第j-1级到j级分辨率的信号
分解过程，并建立同小波变换之间的关系。
（10分）
7、Mallat算法在小波变换中的地位，如同FFT算法在傅里叶变换中
的地位，具有十分重要的应用。
请结合论文说明信号分解时这种算法的基
本过程，以及如何在论文中实施应用，并列举应用时需要注意的事项。
（10分）
8、基于美林变换的算法，基于CZT的算法和Mallat算法分别适合什
么场合下应用？请结合基于CZT的算法和Mallat算法，谈谈任意尺度密
度下快速小波变换的策略。
（10分）
9、列举双通道多采样滤波器的理想重建条件，请问为什么？（10分）
10、小波变换是信号消噪处理的有效手段，请画出基于小波多分辨率
的信号消噪技术方案框图，并列举两类用于该方案的多尺度信噪分离规则。
（10分）。
小波分析作业
( )
2
d
满足容许性条件的小波变换一定存在着相应的逆变换。
5
对应的小波逆变换公式为：
f (t )
其中
1 C
1 [ W ( a , b ) ( t ) db ] da f ab R R a
（2-5）
C
( )
2
d
（2-6）
上式中 ( ) 为 (t ) 的傅里叶变换。 把满足 C 条件的函数 (t ) L 2.3 离散小波变换 在实际应用中,为了计算的简便,小波窗函数 ab (t ) 中的连续的 a、b 值通常取为一系列离散的整数值,这样 ab (t ) 可表示为:
3
第二章 小波分析的基础知识
小波分析是 20 世纪 80 年代中期发展起来的一门数学理论和方 法， 由法国科学家 Grossman 和 Morlet 在进行地震信号分析时提出 的，随后迅速发展。1985 年 Meyer 在一维情形下证明了小波函数的 存在性 , 并在理论上作了深入研究。 Mallat 基于多分辨分析思想， 提出了对小波应用起重要作用的 Mallat 算法，它在小波分析中的地 位相当于 FFT 在经典 Fourier 变换中的地位。小波分析理论的重要 性及应用的广泛性引起了科技界的高度重视。如今，小波分析已经广 泛地应用于数学理论、信号分析、图像处理和分析、模式识别和通信 系统等领域。 2.1 傅里叶变换 傅里叶变换在实际信号领域广泛应用， 可以将一个非周期的函数 f(t)进行傅里叶变换。傅里叶积分变换公式：
平移得到的小波函数，其中 a 为尺度因子，b 为平移因子，它们分别 代表时频局部窗中的频率参数和时间参数。 小波变换是用来进行时间-尺度分析的积分变换,需要在处理后 利用其逆变换来恢复原信号,也就是说这样的小波变换一定要存在相 应的逆变换。 要使小波变换存在逆变换需要满足的条件为： 该条件称为容许性条件。
小波理论期末试题
我个人的理解：小波分析是傅立叶分析思想的发展与延拓，它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关，他的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，二者是相辅相成的，两者主要的不同点：1、傅立叶变换实质是把能量有限信号f(t)分解到以{exp(jωt)}为正交基的空间上去；小 波变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到W-j 和V-j 所构成的空间上去的。
2、傅立叶变换用到的基本函数只有sin(ωt),cos(ωt),exp(jωt)，具有唯一性；小波分 析用到的函数（即小波函数）则具有多样性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。
小波函数的选用是小波分析运用到实际中的一个难点问题（也是小波分析研究的一个热点问题），目前往往是通过经验或不断地试验（对结果进行对照分析）来选择小波函数。
3、在频域分析中，傅立叶变换具有良好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，如sin(ω1t)+0.345sin(ω2t)+4.23cos(ω3t)，但在时域中傅立叶变换没有局部化能力，即无法从f(t)的傅立叶变换中看出f(t)在任一时间点附近的性态。
事实上，F(w)dw 是关于频率为w 的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由f(t)的整体性态所决定的。
4、在小波分析中，尺度a 的值越大相当于傅立叶变换中w 的值越小。
5、在短时傅立叶变换中，变换系数S(ω，τ)主要依赖于信号在[τ-δ，τ+δ]片段中的情况，时间宽度是2δ（因为δ是由窗函数g(t)唯一确定的，所以2δ是一个定值）。
在小波变换中，变换系数Wf （a,b ）主要依赖于信号在[b-aΔφ，b+aΔφ）片断中的情况，时间宽度是2aΔφ，该时间的宽度是随尺度a 变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。
6、若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不容之处在于：对短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽Δf 与中心频率f 无关；相反小波变换带通滤波器的带宽Δf 则正比于中心频率f 。
浙江大学小波变换及工程应用复习题
小波分析复习题1、简述傅里叶变换、短时傅里叶变换和以及小波变换之间的异同。
答：三者之间的异同见表2、小波变换堪称“数学显微镜”，为什么？ 答：这主要因为小波变换具有以下特点：1）具有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以由粗及精地逐步观察信号；2）也可以看成用基本频率特性为)(ωψ的带通滤波器在不同尺度a 下对信号作滤波；如果)(t ϕ的傅里叶变换是)(ωψ，则)(at ϕ的傅里叶变换为)(||aa ωψ，因此这组滤波器具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。
a 越大相当于频率越低。
3）适当的选择基本小波，使)(t ϕ在时域上位有限支撑，)(ωψ在频域上也比较集中，便可以使WT 在时、频两域都具有表征信号局部特征能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。
4）如)(t x 的CWT 是),(τa WT x ，则)(λtx 的CWT 是),(λτλλa WT x ；0>λ此定理表明：当信号)(t x 作某一倍数伸缩时，其小波变换将在τ,a 两轴上作同一比例的伸缩，但是不发生失真变形。
基于上述特性，小波变换被誉为分析信号的数学显微镜。
3、在小波变换的应用过程中，小波函数的选取是其应用成功与否的关键所在，请列举一些选择原则。
答：选择原则列举如下：（也即需满足的一些条件和特性） 1）容许条件当⎰∞+∞-∞<=ωωωψϕd c 2)(时才能由小波变换),(τa WT x 反演原函数)(t x ，ϕc 便是对)(t ϕ提出的容许条件，若∞→ϕc ，)(t x 不存在，由容许条件可以推论出：能用作基本小波)(t ϕ的函数至少必须满足0)(0==ωωψ，也就是说)(ωψ必须具有带通性质，且基本小波)(t ϕ必须是正负交替的振荡波形，使得其平均值为零。
2）能量的比例性小波变换幅度平方的积分和信号的能量成正比。
3）正规性条件为了在频域上有较好局域性，要求),(τa WT x 随a 的减小而迅速减小。
《水文小波分析原理及其应用》带答案
《水文小波分析原理及其应用》考试试题课程编号：7.637 学分：3.0 任课教师：刘东考试形式：开卷（1）小波分析：wavelet analysis ；（2）小波变换：wavelet transformation ；（3）小波函数：wavelet function ；（4）小波消噪:Wavelet denoising;（5）小波方差：Wavelet varianee ；（6）连续小波变换：Continuous wavelet transform（7）离散小波变换：Discrete wavelet tran sform ；（8）小波人工神经网络模型：Wavelet artificial neural network model；（9）小波随机耦合模型：Wavelet stochastic coupling model（10）快速小波变换算法：Fast wavelet tra nsform algorithm。
答：水文学是研究地球上水分分布、循环、运动等变化规律及水-环境相互作用的一门科学，属于地球科学的一个分支。
水文时间序列在各种因素影响下具有确定性成分、随机成分）。
水文学的一个重要研究途径就是利用现有分析技术对水文时间序列进行描述，探讨水文系统的演变规律。
小波变换克服了Fourier变换的不足，能够反映出水文时间序列在时频域上的总体特征以及时频局部化信息，被誉为数学显微镜”。
利用小波分析的多分辨率功能，可以充分挖掘水文时间序列所包含的信息，展现水文时间序列的精细结构，从而使我们更好地掌握水文时间序列的多时间尺度变化特征及突变特征。
可以说，在水文学领域引入小波分析，为揭示水文时间序列变化规律提供了一条新的研究途径，极大地丰富了水文学的内容。
由此可见，小波分析技术受到了国内外多数学者的青睐。
我们作为农业水土工程专业的研究生，如果能够成功地将小波分析技术与我们的研究内容相结合，必然会使我们的毕业论文增色不少，而且也会发表一批高水平的学术论文。
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似，因此系数c 可以反映这种波形的相关程度；步骤3: 把小波向右移，距离为 ，得到的小波函数为 ，然后重复步骤1和2。
再把小波向右移，得到小波 ，重复步骤1和2。
按上述步骤一直进行下去，直到信号 结束；步骤4: 扩展小波 ，例如扩展一倍，得到的小波函数为 ；步骤5: 重复步骤1~4。
五、阐述多分辨分析的思想并给出MALLAT 算法的表达式。
（10分）
答：Meyer 于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平
移构成L2 (R )的规范正交基，才使小波得到真正的发展。
1988年S.Mallat 在构造正交小波基时提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis ）的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性， 将此之前的所有正交小波基的 构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变化的快速算法，即Mallat 算法。
Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位。
定义：空间 L2 ( R) 中的多分辨分析是指 L2 ( R) 满足如下性质的一个空间序列
Z ∈j j }{V ：（1）单调性： ⊂⊂⊂⊂-101V V V ；（2）逼近性：)(},0{2R L V V j Z
j j Z
j ==∈∈ ；
（3）伸缩性：1)2()(+∈⇔∈j j V t f V t f ；（4）平移不变性：j j V t f V t f ∈-⇒∈)1()(，
Z k ∈∀；（5）存在函数0)(V t g ∈，使得Z k k)}-{g(t ∈构成0V 的Riesz 基。
满足上述个条件
的函数空间集合成为一个多分辨分析， 如果)(t g 生成一个多 分辨分析，那么称)(t g 为一个尺度函数。
关于多分辨分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图所示。
从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高 频部分则不予
以考虑。
分解的关系为 112}0{)(+-+++++=j j j V V V R L 。
另外强调一点这 里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分，以下再分解以此类推。
在理解多分解分析时，我们必须牢牢把握一点：其分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近)(2R L 空间的正交小波基，这些频率分辨率不 同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。
从上面的多分辨分析树型结 构图可以看出，多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解，使频率的分辨率变得越来越高。
Mallat 算法：通过下面公式(1)和(2)，可以很快计算出尺度系数和小波系数{cj,k,dj,k}，
因此，只要确定J V 空间的初始序列Z ∈k k J,}{C ，就可以算出任意空间j V (j<J)的所有尺度系数和小波系数。
公式（1）和（2）称为离散小波变换的分解公式。
这就是Mallat 重构算法：
六、（10分）基于MATLAB ，请自行选择一个一维信号，采用DB3小波函数，进行3尺度的分解与重构。
要求 （1）附上源程序；
（2）绘出原始信号以及分解、重构的结果图。
答：（1）源程序 Load leleccum; S=leleccum(1:100); W=’db3’; Subplot(621);
Plot(s);
Title(‘原始程序‘)；
Dwtmode;
[cazpd,cdzpd]=dwt(s,w);
Lxtzpd=2*length(cazpd) Xzpd=idwt(cazpd,cazpd,w,lx); Subplot(622);
plot(xzpd);
Title(‘zpd 模式重构图’);
Dwtmode（‘sym’）;
[casym,cdsym]=dwt(s,w);
Lxtzpd=2*length(caspd) Xsym=idwt(casym,cdsym,w,lx); Subplot(625);
plot(xsym);
Title(‘sym 模式重构图’);
Dwtmode（‘spd’）;
Lxtzpd=2*length(caspd) Xsym=idwt(caspd,cdspd,w,lx); Subplot(626);plot(xspd);
（2）原始信号以及分解、重构的结果图。