浙江大学小波变换及工程应用复习题
小波分析考试题(附答案)
《小波分析》试题适用范围：硕士研究生时 间：2013年6月一、名词解释（30分）1、线性空间与线性子空间解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合V ；设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y V1，则x ＋y V1； （2） 如果x V1，k K ，则kx V1， 则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。
2、基与坐标解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量，称为 V 的一组n 21...εεε，，，基；设是中任一向量，于是 线性相关，因此可以被基αn 21...εεε，，，线性表出：，其中系数 αεεε，，，，n 21...n 21...εεε，，，n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，an ...a a 11，，，αn 21...εεε，，，记为 （）。
an ...a a 11，，，3、内积解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。
，()T n x x x x ,...,,21=，令，称为x 与y 的内积。
()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间解释：线性 完备的内积空间称为Hilbert 空间。
线性（linearity ）：对任意f ，g ∈H ，a ，b ∈R ，a*f+b*g 仍然∈H 。
完备（completeness ）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。
内积（innerproduct ）：<f ，g>，它满足：，()T n f f f f ,...,,21=时。
()T n g g g g ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,22115、双尺度方程解释：所以都可以用空间的一个1010,V W t V V t ⊂∈⊂∈）（）（ψϕ）（）和（t t ψϕ1V从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高以考虑。
小波分析考试题及答案
一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。
这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。
这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。
在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。
如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。
这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。
为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。
其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。
短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。
但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。
小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，使一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。
小波理论期末试题
我个人的理解：小波分析是傅立叶分析思想的发展与延拓，它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关，他的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，二者是相辅相成的，两者主要的不同点：1、傅立叶变换实质是把能量有限信号f(t)分解到以{exp(jωt)}为正交基的空间上去；小 波变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到W-j 和V-j 所构成的空间上去的。
2、傅立叶变换用到的基本函数只有sin(ωt),cos(ωt),exp(jωt)，具有唯一性；小波分 析用到的函数（即小波函数）则具有多样性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。
小波函数的选用是小波分析运用到实际中的一个难点问题（也是小波分析研究的一个热点问题），目前往往是通过经验或不断地试验（对结果进行对照分析）来选择小波函数。
3、在频域分析中，傅立叶变换具有良好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，如sin(ω1t)+0.345sin(ω2t)+4.23cos(ω3t)，但在时域中傅立叶变换没有局部化能力，即无法从f(t)的傅立叶变换中看出f(t)在任一时间点附近的性态。
事实上，F(w)dw 是关于频率为w 的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由f(t)的整体性态所决定的。
4、在小波分析中，尺度a 的值越大相当于傅立叶变换中w 的值越小。
5、在短时傅立叶变换中，变换系数S(ω，τ)主要依赖于信号在[τ-δ，τ+δ]片段中的情况，时间宽度是2δ（因为δ是由窗函数g(t)唯一确定的，所以2δ是一个定值）。
在小波变换中，变换系数Wf （a,b ）主要依赖于信号在[b-aΔφ，b+aΔφ）片断中的情况，时间宽度是2aΔφ，该时间的宽度是随尺度a 变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。
6、若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不容之处在于：对短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽Δf 与中心频率f 无关；相反小波变换带通滤波器的带宽Δf 则正比于中心频率f 。
研究生《小波理论及应用》复习题.doc
2005年研究生《小波理论及应用》复习题1.利用正交小波基建立的采样定理适合于：紧支集且有奇性（函数本身或其导数不连续）的函数（频谱无限的函数）。
Shannon采样定理适合于频谱有限的信号o2.信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。
并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。
只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰，可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。
3.信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，。
越大，该点的光滑性越小，。
越小，该点的奇异性越大。
光滑点（可导）时，它的cr >1 ；如果是脉冲函数，白噪声时« <0 o4.做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图，小波包分解过程？说明小波基与小波包基的区别？5.最优小波包基的概念：给定一个序列的代价函数，然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基一一最优基。
6・双通道多采样率滤波器组的传递函数为:［人人 1 A ArU) = y.U)+y2U) = - H(Z)H(Z)+G G)G G) H(Z)H(Z)+G(—Z)G(J X(-J请根据此式给出理想重建条件:为了消除映象X（-z）引起的混迭：//（-Z）//（Z）+G（-Z）G（Z）=0为了使y（z）成为x（z）的延迟，要求：H（z）育（z） + G（z）G（z）= CZ・k（C，K为任一常数）7・正交镜像对称滤波器/z（77）的）与H（e jw）以“彳为轴左右对称。
如果知道QMF的/2（/7）,能否确定gS）=（T）"〃S）, 細=-（-1）乜（司g（“）=（-i）w）8・试列出几种常用的连续的小波基函数Morlet 小波，Marr 小波，Difference of Gaussian (DOG),紧支集样条小波9・试简述海森堡测不准原理，说明应用意义?10. 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架一双正交小波变换一正交变换、紧支集正交小波变换，其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小，含有的信息量越集中。
小波分析考试题(附答案)
定义：空间 L2 ( R) 中的多分辨分析是指 L2 ( R) 满足如下性质的一个空间序列Z ∈j j }{V ：
（1）单调性： ⊂⊂⊂⊂-101V V V ；（2）逼近性：)(},0{2R L V V j Z
j j Z
j ==∈∈ ；（3）伸缩性：1)2()(+∈⇔∈j j V t f V t f ；（4）平移不变性：j j V t f V t f ∈-⇒∈)1()(，
Z k ∈∀；（5）存在函数0)(V t g ∈，使得Z k k)}-{g(t ∈构成0V 的Riesz 基。
满足上述个条件
的函数空间集合成为一个多分辨分析， 如果)(t g 生成一个多 分辨分析，那么称)(t g 为一个尺度函数。
关于多分辨分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图所示。
从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高 频部分则不予以考虑。
分解的关系为 112}0{)(+-+++++=j j j V V V R L 。
另外强调一点这 里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分，以下再分解以此类推。
在理解多分解分析时，我们必须牢牢把握一点：其分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近)(2R L 空间的正交小波基，这些频率分辨率不 同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。
从上面的多分辨分析树型结 构图可以看出，多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解，使频率的分辨率变得越来越高。
Mallat 算法：通过下面公式(1)和(2)，可以很快计算出尺度系数和小波系数{cj,k,dj,k}，。
《水文小波分析原理及其应用》带答案
《水文小波分析原理及其应用》考试试题课程编号：7.637 学分：3.0 任课教师：刘东考试形式：开卷（1）小波分析：wavelet analysis ；（2）小波变换：wavelet transformation ；（3）小波函数：wavelet function ；（4）小波消噪:Wavelet denoising;（5）小波方差：Wavelet varianee ；（6）连续小波变换：Continuous wavelet transform（7）离散小波变换：Discrete wavelet tran sform ；（8）小波人工神经网络模型：Wavelet artificial neural network model；（9）小波随机耦合模型：Wavelet stochastic coupling model（10）快速小波变换算法：Fast wavelet tra nsform algorithm。
答：水文学是研究地球上水分分布、循环、运动等变化规律及水-环境相互作用的一门科学，属于地球科学的一个分支。
水文时间序列在各种因素影响下具有确定性成分、随机成分）。
水文学的一个重要研究途径就是利用现有分析技术对水文时间序列进行描述，探讨水文系统的演变规律。
小波变换克服了Fourier变换的不足，能够反映出水文时间序列在时频域上的总体特征以及时频局部化信息，被誉为数学显微镜”。
利用小波分析的多分辨率功能，可以充分挖掘水文时间序列所包含的信息，展现水文时间序列的精细结构，从而使我们更好地掌握水文时间序列的多时间尺度变化特征及突变特征。
可以说，在水文学领域引入小波分析，为揭示水文时间序列变化规律提供了一条新的研究途径，极大地丰富了水文学的内容。
由此可见，小波分析技术受到了国内外多数学者的青睐。
我们作为农业水土工程专业的研究生，如果能够成功地将小波分析技术与我们的研究内容相结合，必然会使我们的毕业论文增色不少，而且也会发表一批高水平的学术论文。
小波与滤波器 习题答案 sol3
ϕ(t − m)ϕ(t − n) dt = δm,n .
−∞
Hence
∞
f 2 (t) dt =
−∞ n∈Z
f 2 [n].
Therefore if f (t) ∈ L2 then f [n] ∈
2
and vice-versa.
(b) P ROBLEM 5. Since V0 ⊂ V1 and f ∈ V0 and g ∈ V1 , g − f ∈ V1 . Clearly, g − f ∈ / W1 in general since V1 ⊕ W1 = V2 which means that the only element common between V1 and W1 is the 0 function. However, it is also true in general that g − f ∈ / W0 . This is because any element g ∈ V1 can be uniquely written as g = g1 + g2 ⇒ g − f = g1 − f + g2 .
18.327/1.130: Wavelets, Filter Banks and Applications Solutions to Problem Set 3
M ARK D ISTRIBUTION P ROBLEM 6.1.3 6.1.5 6.2.7 6.2.8 6.3.2 6.3.3 6.4.4 6.5.4 6.5.7 6.5.9 7.1.8 7.2.2 7.3.7 7.3.8 7.5.4 T OTAL G RADING P OLICY • A reasonable attempt to answer a one-mark question fetched half-marks • Problems not attempted fetched no marks. • Since lifting was not covered before the problem set was due, Problem 6.5.7 was converted into a one-mark bonus question. M ARKS 1.0 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 B ONUS 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 10.0
小波变换期末大作业
研究生“小波变换”课程期末大作业2010/06/17说明：下述四道题中可任选两道一、结合MATLAB中的数据文件leleccum (1－D)，研究小波去噪的原理和方法。
1．综述用小波去除噪声的原理。
包括：（1）去噪阈值的种类，各种阈值形成的原理，阈值风险函数；（2）阈值使用的方法；2．MATLAB 6.5中与1－D信号去噪相关的m 文件有14个，结合所给数据的去噪，讨论这些文件的应用；3．对上述数据实现去噪；参考文献：1．M Jansen, Noise Reduction by Wavelet Threshold, 2001.2. D L Donoho. De-noiseing by soft-thresholding. IEEE Tran on Info Theory 1995（见附件）请自己在EI 或IEEE全文库上给定相应的关键词，查找其他去噪相关文献。
二、研究利用小波变换检测信号中的奇异点及由模最大重建信号的原理与方法。
内容包括：1．信号中的突变点在小波变换中的行为；2．由模最大重建信号的原理与方法；3．下载ecg文件（见附件），用open_ecg打开该文件实现对该信号的峰值(R波)检测。
该信号的抽样频率为360Hz；4．令j=1~6, 试用各尺度下的模最大重建原信号；参考文献：1．S Mallat. Singularity Detection and Processing with Wavelet. IEEE Tran on IF, 1992（见附件）2．S Mallat. Signal Characterization from Multiscale Edges. 1990（见附件）请自己在EI 或IEEE全文库上给定相应的关键词，查找其他相关文献。
三、结合MATLAB W A VELET TOOLBOX 中有关小波包的文件（不包括两个2－D文件），研究：1．小波包最佳分解层（即尺度j）的选择原理；2．最佳小波包选择的原理；3．上述13个文件的功能及相关关系；4．利用MATLAB中的数据文件leleccum(1－D)，按最佳分解层及最佳小波包进行分解。
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小波分析复习题1、简述傅里叶变换、短时傅里叶变换和以及小波变换之间的异同。
答：三者之间的异同见表2、小波变换堪称“数学显微镜”，为什么？ 答：这主要因为小波变换具有以下特点：1）具有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以由粗及精地逐步观察信号；2）也可以看成用基本频率特性为)(ωψ的带通滤波器在不同尺度a 下对信号作滤波；如果)(t ϕ的傅里叶变换是)(ωψ，则)(at ϕ的傅里叶变换为)(||aa ωψ，因此这组滤波器具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。
a 越大相当于频率越低。
3）适当的选择基本小波，使)(t ϕ在时域上位有限支撑，)(ωψ在频域上也比较集中，便可以使WT 在时、频两域都具有表征信号局部特征能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。
4）如)(t x 的CWT 是),(τa WT x ，则)(λtx 的CWT 是),(λτλλa WT x ；0>λ此定理表明：当信号)(t x 作某一倍数伸缩时，其小波变换将在τ,a 两轴上作同一比例的伸缩，但是不发生失真变形。
基于上述特性，小波变换被誉为分析信号的数学显微镜。
3、在小波变换的应用过程中，小波函数的选取是其应用成功与否的关键所在，请列举一些选择原则。
答：选择原则列举如下：（也即需满足的一些条件和特性） 1）容许条件当⎰∞+∞-∞<=ωωωψϕd c 2)(时才能由小波变换),(τa WT x 反演原函数)(t x ，ϕc 便是对)(t ϕ提出的容许条件，若∞→ϕc ，)(t x 不存在，由容许条件可以推论出：能用作基本小波)(t ϕ的函数至少必须满足0)(0==ωωψ，也就是说)(ωψ必须具有带通性质，且基本小波)(t ϕ必须是正负交替的振荡波形，使得其平均值为零。
2）能量的比例性小波变换幅度平方的积分和信号的能量成正比。
3）正规性条件为了在频域上有较好局域性，要求),(τa WT x 随a 的减小而迅速减小。
这就要求)(t ϕ的前n 阶原点矩为0，且n 值越大越好。
也就是要求⎰=0)(dt t t p ϕ，n p ~1:，且n 值越大越好，此要求的相应频域表示是：)(ωψ在0=ω处有高阶零点，且阶次越高越好（一阶零点就是容许条件），即)()(01ωψωωψ+=n ，0)(00≠=ωωψ，n 越大越好。
4）重建核和重建核方程重建核方程说明小波变换的冗余性，即在τ-a 半平面上各点小波变换的值是相关的。
重建核方程：τττττϕ⎰⎰∞+∞∞-=000200),,,(),(),(a a K a WT ada a WT x x ；重建核：><==⎰)(),(1)()(1),,,(0000*00t t c dt t t c a a K a a a a ττϕττϕϕϕϕϕϕττ 4、连续小波变换的计算机快速算法较常用的有基于调频Z 变换和基于梅林变换两种，请用框图分别简述之，并说明分别适合于什么情况下应用。
答：1）基于调频Z 变换),(2a j a nje A eW ππ--==运算说明：a ．原始数据及初始化：原始数据是)(k ϕ（1~0-=N k ）和a 值，初始化计算包括a j e A π-=和a njeW π2-=。
ϕ ---12)(2N k r )2(am N π 12~2--NN对应于：1~0-=N rb ．计算)(k g 和)(k h ：22)()(k k WA k k g -⋅=ϕ，1~0-=N k ；22)(k Wk h -=，1~1-+-=N N k 。
c ．为了调用FFT 程序把)(k g ，)(k h 改成L 点（L 是2的整幂，L>2N-1）的数组)('k g ，)('k h ：⎩⎨⎧-+-=-==1~1 ,01~0),()('N N k N k k g k g⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=-==1~1),(~ ,01~0 ),()('L N L k k L h N L N k N k k h k h延长到L 点并补零是为了使DFT 的圆周卷积计算结果等于所需要的线性卷积。
d ．调用L 点FFT 程序：由)('k g 得到1~0),(-=L m m G ； 由)('k h 得到1~0),(-=L m m H ； e ．求1~0),()()(-==L m m G m G m Y ；f ．将)(m Y 作反演FFT ，且只取1~0-=L r 各点：)()(r y m Y IFFT −−→−，只取1~0-=N rg ．2),(222N r m r y W am N r -==⎪⎭⎫⎝⎛πψ⎪⎭⎫⎝⎛am N πψ2求得后，取共轭，与⎪⎭⎫⎝⎛m N X π2逐点对应相乘，再作N 点IFFT 并乘以a 便得到所需要的1~0),(-=N k k a WT x ，。
2）基于梅林变换),(τa x分别计算)(τ+bex ，）（b b e e ϕ对b 的IFT ，得到)(1βM 和)(*2βM ，将两者相乘后再对)()(*21ββM M 作FT ，便可求得),(τa WT x ，即)]()([),(*21ββτM M FT a a WT x ⋅=适用范围：1）基于调频Z 变换：当需要对尺度a 作更细致的划分，此时a 又不是2的整幂，它可能是分数或无理数，这种情况下按2的整幂离散求和计算WT 是困难的，此时可以通过调频Z 变换来快速进行这一计算，所需原始数据只是原始采样序列)(),(n n x ϕ，无需插补新值。
2）基于梅林变换：在一段较短的时间内，通过比较x WT 多个尺度下的表现来表征)(t x 中持续时间较短的瞬态或信号某些奇异点，这主要由于梅林变换的算法，能一次算出某一固定时刻0τ下一组不同尺度的),(0τnx q a WT =，q 为某一常数，n=0，1，2，……5、为什么说连续小波变换的信息是冗余的？为减小其信息的冗余度，可采用离散栅格的方法予以改善，但会带来信息失真的弊端，请问如何尽量避免这种失真？答:这是因为对于任何一个尺度因子和平移因子τ的小波，与原信号内积，所得到的小波系数都可以表示成在a ，τ附近生成的小波投影后小波系数的线性组合，所以说连续小波变换的信息是冗余的。
可以通过标架进行原函数x 的重建：1）小波标架的定义：当由基本小波)(t ϕ经伸缩与位移引出的函数族],),2(2[2Z k Z j k t t j jjk ∈∈-=+--ϕϕ）（具有下述性质时，便称],|[Z k Z j t jk ∈∈+）（ϕ构成一个标架：∑∑≤><≤jkjk x B x x A 222,ϕ，且∞<<<B A 02）信号的重建，对于紧标架：∑∑=><jkjk x A x 22,ϕ，则∑∑∑∑=><=j kk j x kj j k k j t k j WT A t x A t x )(),(1)(,1)(,,,ϕϕϕ 又因为在),(00k j 处的WT 为dt t t x k j WT k j x ⎰=)()(),(*0000ϕ将上一式代入下一式子，得：∑∑∑∑⎰⎰∑∑===j kx j k k j j x j k jk x x k j WT k j k j K A dt t t k j WT A dt t t k j WT A k j WT k j ),(),;(1)()(),(1)(])(),([1),(0,0**0000000ϕϕϕϕϕ式中，⎰>=<=)(),()()(),;(0000*0,0t t dt t t k j k j K k j jk k j jk ϕϕϕϕϕ当),(),;,(0000k k j j k j k j K --=δ时，信息没有冗余，此时各)(t jk ϕ互相正交。
6、请利用函数空间剖分理论说明从第j-1级到j 级分辨率的信号分解过程，并建立同小波变换之间的关系。
答：1）函数空间逐级剖分：把空间做逐级二分解，产生一组逐级包含的子空间：……，110W V V ⊕=，221W V V ⊕=，……，11++⊕=j j j W V V ，j 是从∞-到∞+的整数，j 值越小空间越大，而且剖分是完整的。
当-∞→j 时，)(2R L V j →，包含整个平方可积的实变函数空间。
在逐级包含的条件下，上式等效于：zj jR L V∈=)(2当+∞→j 时，〉〈→0j V ，即空间剖分最终到空集为止。
在逐级包含的条件下，上式等效于：zj jV∈〉〈=0上述剖分方式显然保证了空间j V 与空间j W 正交，且各j W 之间也正交：j j W V ⊥进一步要求剖分还具有以下两项特性：（1）位移不变性：函数的时移不改变其所属空间。
即：j V t x ∈)(，则j V k t x ∈-仍)(（2）二尺度伸缩性：如j V t x ∈)(，则1)2(+∈j V tx ，1)2(-∈j V t x 。
2）对各子空间内的结构做进一步分析（1）子空间0V ：设0V 中有低通的平滑函数)(t φ，他的整数位移集合>∈-<z k k t );(φ是0V 中的正交归一基。
称)(t φ为尺度函数，正交归一性可记为：)'()'(),(k k k t k t -=〉--〈δφφ或)'()(),('00k k t t k k -=〉〈δφφ。
式中)(0t k φ是)2(21)(2/k t t j j jk -=-φφ在0=j 时的退化形式，也就是)(k t -φ。
0V 中的任意函数必可表示为>∈<z k t k );(0φ的线性组合，设)(0t x P 代表)(t x 在0V 上的投影，则必有：∑=kkk t xt x P )()(0)0(0φ，由此可得〉〈=〉〈=)(),()(),(000)0(t t x t t x P x k k k φφ子空间1V ：)'()(),('11k k t t k k -=〉〈δφφ，∑=kkk t xt x P )()(1)1(1φ，那么〉〈=〉〈=)(),()(),(111)1(t t x t t x P x k k k φφ子空间1W ：1W 中任意函数可表示为>∈<z k t k );(1φ的线性组合。
设)(1t x D 代表)(t x 在1W 中的投影则必有：∑=kk k t dt x )()(1)1(ϕ，且权重〉〈=〉〈=)(),()(),(111)1(t t x t t x D d k k k φφ。
3）以上讨论可以推广到1-j V 与j V ，j W 之间，即：〉∈-=〈-z k k t t j j jk );2(21)(2/φφ必是j V 中的正交归一基。