小波分析基础及应用期末习题
小波分析考试题(附答案)
《小波分析》试题适用范围：硕士研究生时 间：2013年6月一、名词解释（30分）1、线性空间与线性子空间解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合V ；设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y V1，则x ＋y V1； （2） 如果x V1，k K ，则kx V1， 则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。
2、基与坐标解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量，称为 V 的一组n 21...εεε，，，基；设是中任一向量，于是 线性相关，因此可以被基αn 21...εεε，，，线性表出：，其中系数 αεεε，，，，n 21...n 21...εεε，，，n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，an ...a a 11，，，αn 21...εεε，，，记为 （）。
an ...a a 11，，，3、内积解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。
，()T n x x x x ,...,,21=，令，称为x 与y 的内积。
()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间解释：线性 完备的内积空间称为Hilbert 空间。
线性（linearity ）：对任意f ，g ∈H ，a ，b ∈R ，a*f+b*g 仍然∈H 。
完备（completeness ）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。
内积（innerproduct ）：<f ，g>，它满足：，()T n f f f f ,...,,21=时。
()T n g g g g ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,22115、双尺度方程解释：所以都可以用空间的一个1010,V W t V V t ⊂∈⊂∈）（）（ψϕ）（）和（t t ψϕ1V从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高以考虑。
小波分析作业
学号：2009202056 姓名：孟云霞小波分析与应用作业----五个名词Riesz 基：在无穷维Hilbert 空间中，称向量族{e n }n ∈N 是H 的一个Riesz 基，如果他是线性无关的，且存在A ＞0，B ＞0使得对任意的f ∈H,总可以找到u n 满足:0n n n f u e +∞==∑，且 22211n n f u f B A ≤≤∑.由Riesz 表示定理可以证明存在ˆn e ，使得ˆ,n n u f e =, 且有 00ˆˆ,,n n n n n n f f e e f e e +∞+∞====∑∑. 注意这里Riesz 基没有正交性的要求。
框架：在Hilbert 空间里的一族函数}{jj J φ∈成为一个框架，如果存在0,A B 〈〈∞ ，使得对于所有的f ∈H 有： 222,jj J A f f B f φ∈≤≤∑称A 与B 是框架界。
如果两个框架界相等，还称框架是紧框架。
但是框架，甚至是紧框架也不是正交基。
只有在紧框架条件下，框架界A=1，并且如果1j φ=对于所有的j J ∈成立，那么}{j φ才能构成H 的一个正交基。
：尺度函数：尺度函数又称为小波父函数。
根据双尺度方程，可以由尺度函数生成小波。
进行信号处理时，先要对信号进行副近。
也就是用尺度函数对信号进行分解。
尺度函数的频带与待分析信号的频带相同，然后将逼近函数分别在尺度空间和小波空间中进行分解，就得到了信号的低频粗略部分和高频细节部分，此时新的尺度函数频带是原信号频带的一半，小波函数的频带是另一半(高频部分)，由此实现了对原信号的按频带分解！尺度函数和小波函数分别是尺度空间（近似空间）和细节空间的基函数，两者通过双尺度方程联系，但是，并不是说每一种小波函数都有相应的尺度函数，有的小波是没有对应的尺度函数的。
以多尺度分析或者多分辨分析为例。
尺度函数一般是整个框架的生成元，它生成整个框架，也生成小波函数，另外，尺度函数的傅立叶变换一般可做低通滤波器，而小波函数的傅立叶变换一般是用作带通或高通滤波器！利用相互正交的简单函数，构建一个表达信号的空间“坐标系”，然后就可以用这些系数和正交函数来表示f(t),这就是小波的核心思想，在小波分析中这个构建坐标系的函数，就是小波函数，但是在小波函数来表示一个信号的时候，它其实是将信号映射在了时频平面内的，这里面就有一个问题，在实现过程中需要对需要一个频域的底座和平台，来让信号f(t)与之做映射后是在一定的频率分辨率上进行的，这个起到底座的函数就是尺度函数，在尺度函数的平台下对频率的分析，或者说对信号的f(t)的表达就是在小波函数的作用了。
小波分析与信号处理作业
题目组员：马区一拨人 一、 db8小波分解与重构根据构造具有p 阶消失矩紧支撑正交小波的Daubechies 充分条件：则db8小波满足的条件为：200011521015114015115140151342312021523222120=++++⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+++=+++=+++++h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+-+-015320153201573727115321153210h h h h h h h h h h h h h解得：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=====204891287474266.0739120004724845.0615822840155429.063820582910525.0542155853546836.0973196756307362.0143163128715909.0431070544158422.076543210h h h h h h h h⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-==-=-===-=-=841240001174767.0064500006754494.0733770003917403.034520487035299.074060874609404.0174000139810279.0307970440882539.0018090173963010.015141312111098h h h h h h h h代码：根据mallat 算法：可以求得db8小波对应的分解系数*h 、*g 以及重构系数h 、g 。
db8小波分解与重构算法：卷积函数：juanji （） 下抽样函数：D （） 上抽样函数：U （）juanji.mD.mU.m分解与重构函数：wavelet（）w avel et.m二、信号f(x)=8cos(2x)-6sin(2x)+12cos(x)-sin(5x) (x∈[-2π,2π])的压缩与重构压缩函数：compress（）compress.m信号f(x)压缩与重构代码：f(x)压缩与重构运行结果：附录：讲义中的问题（加分）1.二元一次方程只有一族解2.除(6-8)，(5-8)序号标误外，用matlab solve()很难求出例5.1这两个特解[h0,h1,h2,h3]=solve('h0^2+h1^2+h2^2+h3^2==1','h0*h2+h1*h3==0','h0+h1+h2+h3==sqrt(2)','h0','h1','h2','h3')3.0h h h 540=-1h 应该为0h h h 540=+1h。
《小波分析及其应用》word版
现代数字信号处理作业小波分析及其应用电研111梁帅小波分析及其应用1.小波分析的概念和特点1.1小波理论的发展概况20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。
小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。
它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。
而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。
它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。
另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。
小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。
在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。
在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。
然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。
首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。
小波分析考试题及答案
一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。
这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。
这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。
在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。
如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。
这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。
为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。
其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。
短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。
但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。
小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，使一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。
浙江大学小波分析及其工程应用考试试卷
浙江大学小波分析及其工程应用考试试卷
1、简述傅里叶变换、短时傅里叶变换以及小波变换之间的异同，并
说明小波变换的必要性。
（10分）
2、小波变换堪称数学显微镜，且二维小波变换除了有显微能力之外，还有极化能力，请说明为什么？（10分）
3、说明小波变换的多分辨率分析和时-频局部化能力，请问该变换为
什么能够随着视野的变化自动调整分辨率以及如何调整？（10分）
4、请结合数学推导进行说明：当小波母函数满足正规性条件时，小
波变换能够凸显被分析的细节信息。
（10分）
5、为什么说小波变换的信息是冗余的？为减少其信息冗余度，可采
用离散栅格的方法予以改善，但会带来信息的失真的弊端，请问该如何尽
量避免这种失真？（10分）
6、请问利用函数空间剖分理论说明从第j-1级到j级分辨率的信号
分解过程，并建立同小波变换之间的关系。
（10分）
7、Mallat算法在小波变换中的地位，如同FFT算法在傅里叶变换中
的地位，具有十分重要的应用。
请结合论文说明信号分解时这种算法的基
本过程，以及如何在论文中实施应用，并列举应用时需要注意的事项。
（10分）
8、基于美林变换的算法，基于CZT的算法和Mallat算法分别适合什
么场合下应用？请结合基于CZT的算法和Mallat算法，谈谈任意尺度密
度下快速小波变换的策略。
（10分）
9、列举双通道多采样滤波器的理想重建条件，请问为什么？（10分）
10、小波变换是信号消噪处理的有效手段，请画出基于小波多分辨率
的信号消噪技术方案框图，并列举两类用于该方案的多尺度信噪分离规则。
（10分）。
小波理论期末试题
我个人的理解：小波分析是傅立叶分析思想的发展与延拓，它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关，他的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，二者是相辅相成的，两者主要的不同点：1、傅立叶变换实质是把能量有限信号f(t)分解到以{exp(jωt)}为正交基的空间上去；小 波变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到W-j 和V-j 所构成的空间上去的。
2、傅立叶变换用到的基本函数只有sin(ωt),cos(ωt),exp(jωt)，具有唯一性；小波分 析用到的函数（即小波函数）则具有多样性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。
小波函数的选用是小波分析运用到实际中的一个难点问题（也是小波分析研究的一个热点问题），目前往往是通过经验或不断地试验（对结果进行对照分析）来选择小波函数。
3、在频域分析中，傅立叶变换具有良好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，如sin(ω1t)+0.345sin(ω2t)+4.23cos(ω3t)，但在时域中傅立叶变换没有局部化能力，即无法从f(t)的傅立叶变换中看出f(t)在任一时间点附近的性态。
事实上，F(w)dw 是关于频率为w 的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由f(t)的整体性态所决定的。
4、在小波分析中，尺度a 的值越大相当于傅立叶变换中w 的值越小。
5、在短时傅立叶变换中，变换系数S(ω，τ)主要依赖于信号在[τ-δ，τ+δ]片段中的情况，时间宽度是2δ（因为δ是由窗函数g(t)唯一确定的，所以2δ是一个定值）。
在小波变换中，变换系数Wf （a,b ）主要依赖于信号在[b-aΔφ，b+aΔφ）片断中的情况，时间宽度是2aΔφ，该时间的宽度是随尺度a 变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。
6、若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不容之处在于：对短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽Δf 与中心频率f 无关；相反小波变换带通滤波器的带宽Δf 则正比于中心频率f 。
小波分析基础及应用期末习题
题1：设{},j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的多分辨率分析，101()0x x φ≤<⎧=⎨⎩其它，请利用Haar 尺度关系式将信号()(4)2(41)2(42)(43)f x x x x x φφφφ=+-+---分解为10,0,w w v 分量。
题2：简述信号分解和重构的Mallat 算法（要求写出算法步骤并列出分解重构公式。
）题3：设{},,,φφψψ构成双正交多分辨分析：（1） 写出双正交条件；（2） 写出4个双尺度方程（尺度系数分别为,,,k k k k h h g g ）；（3） 写出尺度系数间的对应关系。
题4：设{},j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的正交多分辨率分析，k p 是尺度系数，证明：（1）202k l k l k Z p p δ-∈=∑（2）2||2k k Zp ∈=∑（3）2k k Zp ∈=∑题5：令2C H =,),(),,(),1,0(21233212321-=--==e e e ,H v v v ∈=∀),(21 验证},,{321e e e 是一紧框架,指出其框架界并求出其对偶框架. 题6：列出二维可分离小波的4个变换基。
题3：0()k h k p =已知为低通分解滤波器，11()3.kk h k p -=为高通分解滤波器,写出个双倍平移正交关系等式题6：列出二维可分离小波的4个变换基。
题8：要得到“好”的小波，除要求滤波器0()h n 满足规范、双正交平移性、低通等最小条件外，还可以对0()h n 加消失矩条件来得到性能更优良的小波。
（1） 请写出小波函数()t ψ具有p 阶消失矩的定义条件：（2） 小波函数()t ψ具有p 阶消失矩，要求0()h n 满足等式：（3） 在长度为4的滤波器0()h n 设计中，将下面等式补充完整：222200000000(0)(1)(2)(3)1 (0)(2)(1)(3)0,1 2h h h h h h h h n ⎧+++=⎪⎪⎨+==⎪⎪⎩规范性低通双平移正交阶消失矩。
研究生《小波理论及应用》复习题.doc
2005年研究生《小波理论及应用》复习题1.利用正交小波基建立的采样定理适合于：紧支集且有奇性（函数本身或其导数不连续）的函数（频谱无限的函数）。
Shannon采样定理适合于频谱有限的信号o2.信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。
并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。
只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰，可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。
3.信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，。
越大，该点的光滑性越小，。
越小，该点的奇异性越大。
光滑点（可导）时，它的cr >1 ；如果是脉冲函数，白噪声时« <0 o4.做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图，小波包分解过程？说明小波基与小波包基的区别？5.最优小波包基的概念：给定一个序列的代价函数，然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基一一最优基。
6・双通道多采样率滤波器组的传递函数为:［人人 1 A ArU) = y.U)+y2U) = - H(Z)H(Z)+G G)G G) H(Z)H(Z)+G(—Z)G(J X(-J请根据此式给出理想重建条件:为了消除映象X（-z）引起的混迭：//（-Z）//（Z）+G（-Z）G（Z）=0为了使y（z）成为x（z）的延迟，要求：H（z）育（z） + G（z）G（z）= CZ・k（C，K为任一常数）7・正交镜像对称滤波器/z（77）的）与H（e jw）以“彳为轴左右对称。
如果知道QMF的/2（/7）,能否确定gS）=（T）"〃S）, 細=-（-1）乜（司g（“）=（-i）w）8・试列出几种常用的连续的小波基函数Morlet 小波，Marr 小波，Difference of Gaussian (DOG),紧支集样条小波9・试简述海森堡测不准原理，说明应用意义?10. 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架一双正交小波变换一正交变换、紧支集正交小波变换，其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小，含有的信息量越集中。
小波分析考试题(附答案)
定义：空间 L2 ( R) 中的多分辨分析是指 L2 ( R) 满足如下性质的一个空间序列Z ∈j j }{V ：
（1）单调性： ⊂⊂⊂⊂-101V V V ；（2）逼近性：)(},0{2R L V V j Z
j j Z
j ==∈∈ ；（3）伸缩性：1)2()(+∈⇔∈j j V t f V t f ；（4）平移不变性：j j V t f V t f ∈-⇒∈)1()(，
Z k ∈∀；（5）存在函数0)(V t g ∈，使得Z k k)}-{g(t ∈构成0V 的Riesz 基。
满足上述个条件
的函数空间集合成为一个多分辨分析， 如果)(t g 生成一个多 分辨分析，那么称)(t g 为一个尺度函数。
关于多分辨分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图所示。
从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高 频部分则不予以考虑。
分解的关系为 112}0{)(+-+++++=j j j V V V R L 。
另外强调一点这 里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分，以下再分解以此类推。
在理解多分解分析时，我们必须牢牢把握一点：其分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近)(2R L 空间的正交小波基，这些频率分辨率不 同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。
从上面的多分辨分析树型结 构图可以看出，多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解，使频率的分辨率变得越来越高。
Mallat 算法：通过下面公式(1)和(2)，可以很快计算出尺度系数和小波系数{cj,k,dj,k}，。
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题1：设{},j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的多分辨率分析，101()0x x φ≤<⎧=⎨⎩其它，请利用Haar 尺度关系式将信号
()(4)2(41)2(42)(43)f x x x x x φφφφ=+-+---分解为10,0
,w w v 分量。
题2：简述信号分解和重构的Mallat 算法（要求写出算法步骤并列出分解重构公式。
）
题3：设{},,,φφψψ构成双正交多分辨分析：
（1） 写出双正交条件；
（2） 写出4个双尺度方程（尺度系数分别为
,,,k k k k h h g g ）；
（3） 写出尺度系数间的对应关系。
题4：设{}
,j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的正交多分辨率分析，k p 是尺度系数，证明：
（1）202k l k l k Z p p δ-∈=∑
（2）2||2k k Z
p ∈=∑
（3）2k k Z
p ∈=∑
题5：令
2C H =,),(),,(),1,0(212332123
21-=--==e e e ,
H v v v ∈=∀),(21 验证},,{321e e e 是一紧框架,指出其框架界并求出其对偶框架. 题6：列出二维可分离小波的4个变换基。
题3：
0()k h k p =已知为低通分解滤波器，
11()3.k
k h k p -=为高通分解滤波器,写出个双倍平移正交关系等式
题6：列出二维可分离小波的4个变换基。
题8：要得到“好”的小波，除要求滤波器0()h n 满足规范、双正交平移性、低通等最小条件外，还可以对0()h n 加消失矩条件来得到性能更优良的小波。
（1） 请写出小波函数()t ψ具有p 阶消失矩的定义条件：
（2） 小波函数()t ψ具有p 阶消失矩，要求0()h n 满足等式：
（3） 在长度为4的滤波器0()h n 设计中，将下面等式补充完整：
222200000000(0)(1)(2)(3)1 (0)(2)(1)(3)0
,1 2h h h h h h h h n ⎧+++=⎪⎪⎨+==⎪⎪⎩
规范性低通双平移正交阶消失矩。