例讲三角形中与向量有关的问题
向量三角形求三角比-概述说明以及解释
向量三角形求三角比-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以按照以下方式来进行撰写：引言是文章的开端，通过对研究领域进行简要介绍和背景说明，引起读者的兴趣并明确文章的主题和目的。
本文将介绍向量三角形的概念以及如何利用向量三角形求解三角比的方法。
在现实生活中，向量是一种常用的数学工具，广泛应用于各个学科领域，如物理学、计算机图形学等。
向量可以用来表示具有大小和方向的物理量，其在几何上的应用尤为重要。
通过将向量应用于三角形的研究中，我们可以得到有关三角形各边和角度之间关系的重要结论。
而这些结论可以帮助我们在解决实际问题时快速计算三角形的各种属性，包括边长比例、角度大小等。
本文将按照以下结构进行介绍：首先，我们将对向量的基本概念进行讲解，包括向量的表示方法、向量的运算规则等内容。
然后，我们将引入向量三角形的定义，解释三角形的各边在向量形式下的表示方法，并探讨向量三角形的性质和特点。
接着，我们将介绍如何利用向量三角形求解三角比的方法，包括计算三角形的边长比例、角度大小等。
最后，我们将总结所得结论，并提出一些进一步研究的方向。
通过对向量三角形的研究和应用，我们可以更加深入地理解三角形的几何性质，同时也能够更加灵活地运用向量的概念和方法来解决实际问题。
希望通过本文的介绍，读者能够对向量三角形的求解方法有所了解，并能够在实际应用中灵活运用。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织和安排方式，它可以帮助读者更好地理解和消化文章的内容。
在本文中，我们将采用以下结构来组织文章：1. 引言1.1 概述：介绍向量三角形求三角比的背景和重要性，说明本文的研究目的和意义。
1.2 文章结构：概述本文的组织结构，说明各个部分的内容和目的。
1.3 目的：明确本文的研究目的和预期结果。
2. 正文2.1 向量的基本概念：介绍向量的定义、性质和运算法则，为后续的向量三角比的计算打下基础。
2.2 向量三角形的定义：详细阐述向量三角形的概念和性质，包括向量三角比的定义和计算方法，以及向量三角比在几何推理和计算中的应用。
与三角形的外心有关的向量数量积运算问题
与三角形的外心有关的向量数量积运算问题向量数量积又称为内积，是两个向量相乘之后对应分量相加的结果。
它有很多重要的应用，其中包括与三角形的外心有关的一些运算问题。
在本文中，我们将讨论向量数量积和外心的关系，并通过具体的例子来解释这一关系。
首先，让我们先了解一下外心的概念。
外心是指一个三角形的三条中线的交点，它是三角形外接圆的圆心。
外心具有很多有趣的性质和应用，其中包括与向量数量积的关系。
假设有一个三角形ABC，其外心为O，三角形的顶点分别为A、B、C。
我们将向量表示法引入，假设向量OA为a，向量OB为b，向量OC为c。
那么我们可以用向量a、b、c来表示向量AO、BO、CO，也可以用向量a、b、c来表示向量AB、BC、CA。
接下来，我们将探讨向量数量积和外心的关系。
在三角形ABC中，外心O到顶点A的向量为AO，它的向量表示为a。
同理，我们可以得到外心O到顶点B的向量为BO，它的向量表示为b，外心O到顶点C的向量为CO，它的向量表示为c。
根据向量数量积的定义，我们可以得到以下关系：1.向量a与向量b的数量积为a·b = |a|·|b|·cos∠AOB。
2.向量b与向量c的数量积为b·c = |b|·|c|·cos∠BOC。
3.向量c与向量a的数量积为c·a = |c|·|a|·cos∠COA。
通过上述关系，我们可以看出外心O与顶点A、B、C之间的关系与向量数量积有着密切的联系。
具体来说，外心O可以表示为三个顶点向量的线性组合，即O = k1A + k2B + k3C，其中k1、k2、k3为常数，满足k1 + k2 + k3 = 1。
这个性质可以帮助我们在解决三角形问题时运用向量数量积来简化计算。
下面，我们通过一个具体的例子来说明外心与向量数量积的应用。
假设三角形ABC的外心为O，我们需要求解外心的坐标。
我们已知顶点A、B、C的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。
向量与三角形四心的一些结论
【一些结论】：以下皆是向量之邯郸勺丸创作1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=02 若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²（AP就暗示AP向量|AP|就是它的模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC 内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,延长CO交AB于D,按照向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,所以只能有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线.需要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,∵O是内心∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO 的延长线相交于M,所以四边形OMAN是平行四边形按照平行四边形法例,得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},按照正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC∴-|BC|/ (|AB|*2sinB )+|BC|/(|AC|*2sinC )=0,即AP•BC=0,P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC)) OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/ (|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线按照正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D,所以P点的轨迹也过中点D,∴点P 过三角形重心.4.OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)OP=OA+λ(ABcosC/|AB |+ACcosB/|AC|)AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)AP•BC=λ(AB•B C cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]=0,所以向量AP与向量BC垂直,P 点的轨迹过垂心.5.OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|) OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|) OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC标的目的上的单位长度向量,向量AB与AC的单位向量的和向量,因为是单位向量,模长都相等,组成菱形,向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线,易知是角平分线,所以P点的轨迹经过内心。
向量三角形不等式
向量三角形不等式嘿，你们知道吗？我觉得向量三角形不等式这个东西可有意思啦！有一天呀，我在数学课上听到老师讲向量三角形不等式。
一开始我还不太懂呢，但是老师给我们举了个很有趣的例子。
就像我们玩拼图游戏一样，假设有三个小拼图块，分别代表三个向量。
我们把它们拼在一起，要拼成一个三角形哦。
老师说呀，这个向量三角形不等式就是告诉我们，三角形的两边之和一定是大于第三边的哦。
比如说，有个向量 A 就像一个小箭头，从这里指向那里，它的长度是 3 厘米。
还有个向量 B 呢，它的长度是 4 厘米。
那么当我们把这两个向量首尾相接的时候，它们组成的这条边和另外一个向量 C 相比，就有个规律啦。
向量 A 和向量 B 组成的这条边的长度肯定要比向量 C 的长度大哦，不然这个三角形就拼不起来啦，就像我们拼图的时候，如果一块太大，另外两块太小，就没法拼成一个完整的三角形啦。
我就想呀，这个向量三角形不等式在生活中也有很多例子呢。
比如说我们走路去学校，从家到商店是一段路，就像一个向量，从商店到学校又是一段路，也是一个向量。
那么我们从家直接到学校的这条路，就相当于三角形的第三条边。
我们都知道，我们走家到商店再到学校的路程肯定是要比直接从家到学校的路程长的呀，这就是向量三角形不等式在生活中的体现呢。
还有哦，我们搭积木的时候也能发现。
假如有三根小木棍，我们把它们当成向量。
当我们把两根小木棍接起来和第三根小木棍比较的时候，也会发现接起来的那两根加起来要比第三根长，不然就搭不成一个三角形的架子啦。
我觉得学习向量三角形不等式虽然一开始有点难理解，但是通过这些有趣的例子，我就慢慢明白啦。
它就像一个小秘密，等着我们去发现它在生活中的各种用处呢。
我以后还要继续学习更多关于向量的知识，看看它还能给我带来哪些惊喜。
你们说，向量是不是很有趣呀？说不定我们以后还能发现更多它的好玩之处呢！怎么样，大家有没有对向量三角形不等式有点了解啦？我们可以一起讨论哦，看看谁还能找到更多关于它的例子呢！嘻嘻。
例谈向量的三角形法则的运用
例谈向量的三角形法则的运用（萧山中学 311201 崔继国）向量是现代数学的基本概念之一，作为新教材的特色内容之一.向量兼具了数和形的两方面特征，它既反映数量关系，又体现位置关系. 向量的三角形法则是向量学习的基础，在向量问题中必须充分重视三角形法则.这里，通过几个例题的求解来作一说明. 一、三角形法则在向量问题中的几何图示功能明了所解问题的几何意义是代数问题几何化的根本，向量问题也不例外，在向量中，各种运算都有着明确的几何意义，三角形法则正是向量加、减的几何表示.例1、已知a 、b-==，求b a +与a 的夹角.法一：-==-=∴，即2222b b a a b+⋅-=,b a =⋅∴,即有222bb a a =+⋅+=+.若设b a +与a 的夹角为θ，则23cos 2===θ，︒=∴30θ法二：如图1，作b AD a AB ==,，则b a DB -=，以AD AB ,为两邻边做平行四边形ABCD ，则b a AC +=，-== ，∴平行四边形ABCD 为菱形，︒=∠∴30BAC ，即b a +与a 的夹角为︒30CA （图1）例2、已知a 、b 为两不共线的向量，+取最小值时，b x a +与b 的夹角为 . 解法一：2222)2()()(a x b a x b b x a +⋅+=+=+2222bb a bb a x ⋅-=⋅-=∴++取最小值此时，0])([)(222=⋅-⋅=⋅-⋅=⋅⋅-+=⋅+b a b a bbb a b a b b bb a a b b x ab x a +∴与b 夹角为︒90解法二：按题设作图2如下：图中，b AB a OA ==,，b x AH =+的几何意义即为点O 与点H 之距，O 为定点，H 为直线AB 上任意一点，显然，垂线段最短，即此时b x a +与b 垂直.O Ba NQ M（图2） C AA b x H bB (图3)点评：法一为向量中的常规方法，体现了向量问题代数方法的基本方向，即运用2a =，进行数量与向量的相互转化.例2中问题最终化为关于x 的二次函数的最值问题.思路清晰，但运算稍嫌繁琐，且要求对向量的数量积的运算性质掌握非常透彻，否则难以回答正确. 而这两例中的法二均运用了向量加法几何意义，解题过程形象、直观，一击中的. 例3、已知P 为ABC ∆内部一点，且满足条件0432=++PC PB PA ，则PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积比为 .分析：本例中条件如何图形化？很容易想到重心的性质.因此，记PM PA =2，PNPB =3，PQ PC =4，则0=++PQ PN PM ，即P 为MNQ∆的重心.PQM PNQ PMN S S S ∆∆∆==∴，有正弦定理，易得PMN PMN PAB S S S ∆∆∆=⋅=61321，同理PNQ PBC S S ∆∆=121，PQM PCA S S ∆∆=81，即面积比为4:3:2.二、三角形法则在向量运算中的转化功能例4、如图，在三棱锥ABC D -中，3,2,1,60===︒=∠=∠AD AB AC BAC DAC ，求BD AC ⋅.D 分析：常规策略即通过建系设点，运用公式212121z z y y x x b a ++=⋅求解，但设点的坐标比较繁琐.C 但是，注意到所给条件中，与AC 相关的角均已知，与BD相A （图4）B 关的角未知，因此考虑转化. 即：AD BA BD +=，代入，有2160cos 120)(=︒+︒=+⋅=⋅AD BA AC BD AC .点评：AD BA BD +=是关键一步，体现了三角形法则的转化功能.例5、已知ABC ∆中，32,4,23===c b a . PQ 是以A 为圆心，2为半径的圆的直径，求CQ BP ⋅的最大值、最小值.（这里，本例不做详解，不妨自己体会一下） 事实上，只要细心观察就会发现向量的很多问题都是以三角形法则为基础的. 但总的来说，还是要数与形并重，会运算也要会识图、做图、用图 ，真正用好三角形法则.。
三角形向量定理
三角形向量定理三角形向量定理是解决三角形中各种问题的重要工具。
它将三角形的边和角与向量的数量关系结合起来，使得我们可以通过向量的运算来推导和解决与三角形有关的各种问题。
本文将从三角形向量定理的定义、推导和应用几个方面进行介绍。
我们来看一下三角形向量定理的定义。
三角形向量定理是说，对于任意一个三角形ABC，如果我们以一个点O为原点建立一个坐标系，那么三角形的三个顶点A、B、C对应的向量a、b、c满足以下关系：c = a + b。
也就是说，三角形的一条边的向量等于另外两条边的向量之和。
接下来，我们来推导一下三角形向量定理。
假设三角形ABC的顶点A、B、C对应的向量分别是a、b、c。
我们以点O为原点建立坐标系，那么向量a、b、c的坐标分别是(a1, a2)、(b1, b2)、(c1, c2)。
根据向量的加法规则，我们可以得到：c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2。
这就是三角形向量定理的推导过程。
三角形向量定理可以应用于解决各种与三角形有关的问题。
例如，我们可以利用三角形向量定理来求解三角形的面积。
假设三角形ABC的顶点A、B、C对应的向量分别是a、b、c。
根据三角形的面积公式，我们可以得到三角形的面积S等于底边BC的长度与高h的乘积的一半。
而底边BC的长度可以通过向量c的模长来计算，即|c| = √(c1^2 + c2^2)。
而高h可以通过点A到直线BC的距离来计算，即h = |Proj_AB(c)| = |c| * sin(angle(AB, c))，其中Proj_AB(c)表示向量c在向量AB上的投影，angle(AB, c)表示向量AB与向量c之间的夹角。
因此，三角形的面积S可以表示为：S = 0.5 * |c| * |c| * sin(angle(AB, c)) = 0.5 * |c|^2 * sin(angle(AB, c))。
除了求解三角形的面积，三角形向量定理还可以用于判断三角形的形状。
三角形重心外心垂心的向量关系表达式
三角形重心、外心、垂心向量关系表达式1. 介绍三角形是初中和高中数学课程中重要的几何图形之一。
三角形的重心、外心、垂心是三角形内部重要的点，它们的向量关系表达式对于解决三角形相关问题具有重要意义。
2. 重心、外心、垂心的定义（1）重心：三角形的三条中线交于一点G，称为三角形的重心。
（2）外心：三角形每个外角的平分线交于一点O，称为三角形的外心。
（3）垂心：三角形的三条垂直平分线交于一点H，称为三角形的垂心。
3. 重心、外心、垂心的定位3.1 重心的定位设A、B、C为三角形的三个顶点，重心G到顶点A、B、C的向量分别为\(\overrightarrow{GA}\)、\(\overrightarrow{GB}\)、\(\overrightarrow{GC}\)。
重心G到三角形各顶点的向量关系表达式为：\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC }=0\)3.2 外心的定位假设在三角形ABC的外面，以AB、BC、CA的中线分别为直径画圆，交点为外心O。
外心O到三角形各顶点的向量关系表达式为：\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O C}\)3.3 垂心的定位在三角形ABC中，设H为垂心。
垂心H到三角形各顶点的向量关系表达式为：\(\overrightarrow{HA}=2\overrightarrow{DA}\)\(\overrightarrow{HB}=2\overrightarrow{DB}\)\(\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{DC}\)4. 重心、外心、垂心向量关系表达式的应用4.1 证明三角形重心、外心、垂心共线通过向量的加法与减法可以得出，重心、外心、垂心在一条直线上。
假设向量\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC }=0\)，向量\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O C}\)，以及向量\(\overrightarrow{HA}=2\overrightarrow{DA}\)，在证明过程中展现了向量加法与减法的运用。
三角形“四心”问题与向量的关系
＂ ｘ
．
／
＾
＝
，
）
／１
ｊ
；
，
■
？
二
？
，
；
［
，
）
，
）
＿
的 中 线 仙 上 的 任意 向 量 其所 在直线 必 过重 心
，
？
，
ＨＡ ＾Ａ Ｂ
，
，
，
，
＿
＿
，
，
＾ ＨＡ
；
，
－
＿ ＿
ＨＢ
＞
＿
－
Ｈ Ｂ
，
？
例
１
已知
＝
＜
９
是 △ 从Ｃ 所 在 平 面 内 的
０
一
点 若
ｎｎ
外 心 是 三 角 形 三 条 边 的 中 垂 线 的 交 点 也 是 三 Ｄ
，
图
？ ？
角 形 外接 圆 的 圆 心 它 到 三 角 形 三个 顶 点 的 距 离 相
，
等 在向 量 表达 形 式 中 若 点
．
，
０
是 Ｍ ＢＣ 的 外 心 则
，
＇
（
ｏａ
＋
Ｗ
－
）
ｉ ｆ
＝
Ａ
（
＋ ４Ｂ
｜
ｌ
＝
）
Ａ
．
在
向
量表 达形 式 中
｜
，
若点
．
０
是Ａ
／１
ＢＣ
＝
的 内 心
；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法
2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
4、数形结合
教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程：
1、课前练习
1.1已知O 是△ABC 内的一点，若222OC OB OA ==，则O 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
1.2在△ABC 中，有命题①=-；②=++；③若()()0=-∙+AC AB AC AB ，则△ABC 为等腰三角形；④若0>∙，则△ABC 为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
A 、①②
B 、①④
C 、②③
D 、②③④
2、知识回顾
2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
2.2 向量的有关性质
2.3 上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
例1、已知△ABC
中，有0=∙⎫⎛+BC
21=,试判断△ABC 的形状。
练习1、已知△ABC 中，=，=，B 是△ABC 中的最大角，若0<∙，试判断△ABC 的形状。
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，满
足+=+=+，则O 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P 是△ABC 所在平面内的一动点，且点P 满
足
()+∞∈⎪⎫ ⎛++=,0,λλOA OP ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
练习2、已知O 为平面内一点，A 、B 、C 平面上不共线的三点，动点P 满足
()+∞∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=,0,21λλ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心
例4、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P 满
足
()+∞∈⎪⎫ ⎛++=,0,λλ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心
练习3、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P 满
足
()+∞∈⎪⎫ ⎛+++=,0,2λλOP ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
例5、已知点G 是的重心，过G 作直线与AB 、AC 分别相交于M 、N 两点，且
y x ∙=∙=,，求证：311=+y
x 6、小结
处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。
7、作业
1、已知O 是△ABC 内的一点，若=++，则O 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
2、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，且=++，则∙等于
〔 〕
A 、21
B 、0
C 、1
D 、2
1- 3、已知O 是△ABC 所在平面上的一点，A 、B 、C 、所对的过分别是a 、b 、c 若=∙+∙+∙c b a ，则O 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
4、已知P 是△ABC 所在平面内与A 不重合的一点，满足3=+，则P 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
5、平面上的三个向量、、满足=++，
1===，求证：△ABC 为正三角形。
6、在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，求)(+⋅的最小值．。