矩阵可逆性总结

矩阵的可逆性摘要：本文通过由矩阵的除法引出可逆矩阵，介绍了可逆矩阵的定义，性质，算法及其判定方法等等，之后对可逆矩阵进行了推广，还有关于广义逆的介绍。

关键词：可逆矩阵；伴随矩阵；三角矩阵；广义逆矩阵 正文：一、逆矩阵的定义：因为数的除法a ÷b 是：已知两数的乘积b 及其中一个因数a 求另外一个因数x ，也就是解方程ax =b 。

只要能求出除数a 的倒数a −1使aa −1=1，则除法b ÷a 可以转化为乘法b ×a −1。

而我们联想到矩阵的运算上，对矩阵A , B ,用B “除以”A 也就是要求一矩阵X 使AX =B 。

在之前的学习过程中已经了解了矩阵的乘法不满足交换律，还应考虑求另一矩阵Y 满足YA =B 。

如果能找到一个A −1满足条件A −1A =I ，在矩阵方程AX =B 两边左乘A −1就得到A −1AX =A −1B 从而X =A −1B 。

如果这个A −1还满足条件AA −1=I ,则A(A −1B)=B ,X =A −1B 就是AX =B 的唯一解。

类似地，如果上述A −1存在，可知YA =B 有唯一解Y =BA −1。

所以给逆矩阵下一个定义：对于矩阵Ａ，如果存在矩阵Ｂ满足条件ＡＢ＝且ＢＡ＝I （表示单位矩阵），就称Ａ可逆，并且称Ｂ是Ａ的逆。

表示成B=A 1-二、矩阵可逆的等价条件:1、A 可逆⇔F ∈∃B ,使得I AB =;（定义法）2、若A 可逆，则A 是方阵且0≠A ;3、若0≠A ，则方阵A 可逆;4、n 级矩阵A 可逆⇔矩阵A 的秩为n,即r(A )=n ；5、n 级矩阵A 可逆⇔A 的行向量组线性无关;6、n 级矩阵A 可逆⇔A 的列向量组线性无关;7、n 级矩阵A 可逆⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积； 8、n 级矩阵A 可逆⇔A 可以经过一系列初等行变换化为I ; 9、n 级矩阵A 可逆⇔A 可以经过一系列初等列变换化为I ； 10、n 级矩阵A 可逆⇔齐次线性方程组A x=0只有唯一零解.三、逆矩阵的性质：1、 逆的唯一性： 假如A 可逆，那么A 的逆B 是唯一的。

证明： 设B ,B 1都是A 的逆，则AB =I (n)AB 1.因而B (AB )=B(AB 1)⇒ (BA )B =(BA )B 1⇒IB =IB 1⇒B =B 1. 这就证明了A 的逆的唯一性。

由A 所满足的条件AA −1=I ,A −1A =I 知道： 引理 A 可逆→A −1可逆。

且(A −1)−1=A 。

2、 n 阶方阵A,B 可逆→它们的乘积可逆，且(AB )−1=B −1A −1. 一般地，如果A 1,A 2,⋯,A k 可逆→则它们的乘积A 1A 2⋯A K 可逆，且(A 1A 2⋯A k )−1=A k −1⋯A 2−1A 1−1.交换律对矩阵乘法不成立，因此AB ∙A −1B −1不一定等于单位矩阵，A −1B −1不一定是AB 的逆。

而AB ∙B −1A −1=AIA −1=I ,B −1A −1∙AB =B −1IB −1=I 当AB ≠BA 时也能成立，因此(AB)−1=B −1A −1. 3、 设0≠k ∈F ，A 可逆，则(kA )−1=k −1A −1. 4、 设A 可逆，则它的转置A T 可逆，且(A T )−1=(A −1)T .5、 设m 阶方阵A 与n 阶方阵B 可逆，则准对角阵(A B)可逆，且(AB )−1=(A −1B −1).6、 设A 可逆，则有|A −1|=|A |−1.7、 在这里我们要引入一个新的定义：设A ij 是矩阵A =(a 11a 12a 21a 22⋯a 1na 2n ⋮⋮⋱⋮a n1a n2⋯a nn )中元素a ij 的代数余子式，矩阵A ∗=(A 11A 21A 12A 22⋯A n1A n2⋮⋮⋱⋮A 1nA 2n⋯A nn)称为A 的伴随矩阵。

由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：AA ∗=A ∗A =(d 00d⋯00⋮⋮⋱⋮00⋯d)=dE , (1)其中d =|A |.如果d =|A |≠0，那么由（1）得A (1d A ∗)=(1d A ∗)A =I .则，A 与(1d A ∗)互为可逆矩阵。

8、 A 是一个s ×n 矩阵，如果P 是s ×s 可逆矩阵，Q 是n ×n 可逆矩阵，那么秩(A )=秩(PA )=秩(AQ ).9、A 可逆⇒A 的逆A 1-也可逆，且（A 1-）1-=A . 10、()()k1kA A --=1，记为k A -.四、逆矩阵的求法:1、初等变换法1）初等行变换设A 可逆，故存在初等矩阵E 1,E 2,⋯,E k 使得E k E k−1⋯E 1A =I ，即A −1=E k E k−1⋯E 1=E k E k−1⋯E 1I .因此，如果用一系列初等行变换将A 化为I ，则用同样的初等行变换就将I 化为A −1，这就给我们提供了一个计算A −1的有效方法：若对(A,I )施以行初等变换将A 变为I ，则I 变为A −1，即(A,I )→(I,A −1) (初等行变换)例如：求A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012411210的逆矩阵。

解：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21123100124010112001123200124010112001123200124010236011123200124010010411123200001210010411120830001210010411000012001210010411100012010411001210所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-211231241121A2）列初等变换同上，对矩阵(AI),可对其进行初等列变换，化为(I C ),即可求出A −1=C .例如：求A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111的逆矩阵。

解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111210011011110110012111所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11121A3）行、列初等变换对矩阵(A I I0)进行行列初等变换，化为(I CB)，即可求出A −1=BC （B 、C 并不唯一）2、伴随矩阵法根据上述伴随矩阵的定义，我们可知，当|A |≠0时，A −1=1|A |A ∗，其中A ∗的第(i,j )元为A 的第(j,i )元的代数余子式A ji 。

3、恒等变形法有些计算问题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有通过求出有关矩阵的逆矩阵才能算出来。

而这个逆矩阵的求出常须对所给矩阵等式恒等变形，且变形为两矩阵乘积等于单位矩阵的形式。

例：已知A 6=I ，试求A 11，其中A =(12⁄−√32⁄√32⁄12⁄). 解：对矩阵等式恒等变形得到A 6=IA 6=A 6A 6=AA 11=I ，故，A 11=A −1，而A 又为正交矩阵，A −1=A T ， 从而A 11=A −1=A T =(12⁄√32⁄−√32⁄12⁄).4、分块法求逆矩阵1）用分块对角矩阵求逆矩阵若A 1,A 2,⋯,A s 均为可逆方阵（级数不一定相同），则分块对角阵A =(A 1⋯0⋮⋱⋮0⋯A s )和B =(0⋯A 1⋮⋰⋮A s ⋯0)，均可逆，且A −1=(A 1−1⋯0⋮⋱⋮0⋯A s −1)，B −1=(0⋯A 1−1⋮⋰⋮A s −1⋯0).2）用分块三角矩阵求逆矩阵例：设A 1，A 4分别为m ，n 级可逆矩阵，证明A =(A 1A 3A 4)可逆，并求A −1。

证：因为A 1，A 4可逆，所以|A 1|≠0，|A 4|≠0，故根据拉普拉斯定理|A |=|A 1||A 4|≠0，即A 可逆。

因A 为分块下三角阵，则其逆仍为下三角阵，且其主对角线上得分块矩阵为A 的主对角线上相应分块矩阵的逆阵，故可设A −1=(A 1−10X A 4−1),于是有(A 10A 3A 4)(A 1−10X A 4−1)=(E m 00E n ),将上式两端乘开，比较对应元素，得A 3A −1+A 4X =0，X =−A 4−1A 3A 1−1，所以 A −1=(A 1−1−A 4−1A 3A 1−1A 4−1)。

5、利用哈密顿——凯莱定理求逆矩阵哈密顿——凯莱（Hamilton--Caylay ）定理：对于n 级方阵A 特征多项式f (λ)=|A −λI |=C 0+C 1λ+⋯⋯+C n λn 而言，A 的多项式f (A )=C 0I +C 1A +⋯⋯+C n A n 是一个n 级零矩阵，即f (A )=0。

例：若A =(1121−10−110)，利用哈密顿——凯莱定理求A −1。

解：由f (λ)=|A −λI |=|1−λ121−λ−101 1−λ|=−3+2λ+2λ2−λ3又由哈密顿——凯莱定理有−3I +2A +2A 2−A 3=0,即13A (2I +2A −A 2)=I ，则A−1=13(2I +2A −A2)=23I +23A +13A 2=23(100100001)+23(1121−101−10)−13(1121−101−10)=13(0101−12−321). 利用哈密顿——凯莱定理还可以这样求：设n 级方阵A 的特征为f (λ)=|A −λI |=C 0+C 1λ+⋯⋯+C n λn ，令λ=0，得|A |=0,可见A 可逆的充要条件是C 0≠0，当A 可逆时，由f (A )=C 0I +C 1A +⋯⋯+C n A n =0，得A [−1C 0(C 1I +C 2A +⋯+C n A n−1)]=I .可见，A −1=−1C 0(C 1I +C 2A +⋯+C n A n−1).五、逆矩阵的应用1、用在密码破解方面 例：信息编码与解码先在26个英文字母与数字间建立一一对应的关系，例如可以是： A B … Y Z1 2 … 25 26若要发出信息“SEND MONEY ”，使用上述代码，则此信息的编码是19,5,14,4,13,15,14,5,25，其中5表示字母E ，不幸的是，这种编码很容易被别人破译。

矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是基于利用可逆矩阵的方法，我们利用矩阵乘法来对“明文”SEND MONEY 进行加密，让其变成“密文”后再行传送，以增加非法用户破译的难度，而让合法用户轻松解密。

如果一个矩阵A 的元素均为整数，而且其行列式A ，那么由AA A1*=- 即知，1A - 的元素均为整数，我们可以利用这样的A 来对明文加密，使加密之后的密文很难破译。

现在取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232352121A 明文SEND MONEY 对应的9个数值按3列排成以下矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=251514513514419B =AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛232352121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛251514513514419=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛937781128118105494543对应着将发出去的密文编码：43、105、81、45、118、77、49、128、93 现在用1A -去左乘上述矩阵即可解密得到明文：1A -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛937781128118105494543=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---114102111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛251514513514419 为了构造“密钥矩阵”A ，我们可以从单位阵I 开始，有限次的使用第三类初等行变换，而且只用某行的整数倍加到另一行，当然，第一类初等行变换也能用，这样得到的矩阵A ，其元素均为整数，而且由A =1±可知，1A -的元素必然均为整数.2、乘车路线问题每两个城市之间若有一条不经过其他大城市的路，则在这两个城市代表的点之间连一条线，设中国的大城市有n 个，分别记为：n v v v ,,,21 ，其中i v 代表第i 个大城市。