第三章随机过程的功率谱密度PPT课件
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《功率谱密度》课件
功率谱密度的定义
用来反映随机信号法雷氏中各频率成分功率大小关 系的统计量。
功率谱密度的计算方法
Welch方法
将信号分段，通过FFT计算每个片段的功率谱，最后求平均得到总功率谱。
Burg方法
基于自回归模型的估计方法，具有高分辨能力和良好的拟合性，适合于对非平稳信号的分析。
Blackman-Tukey方法
功率谱密度提供了一种对 信号分析的定量方法，有 助于进行精确的信号识别 和判别。
3 方法选择
在实际应用中，不同领域 对功率谱密度的选择方法 和计算方式也不尽相同， 需要根据具体需求进行选 择。
2
性质
功率谱密度是非负的实数函数，具有对称性、线性性和可加性。
3
宽度功率谱密度的宽Fra bibliotek反映了信号持续时间的长短，宽度越窄说明信号持续时间越短。
功率谱密度的优缺点
优点
提供了信号的频率分布信息，有助于对信号进行定 性分析和判断。
缺点
需要缩小测量范围，降低噪声干扰，且测量值精确 度高。
功率谱密度的实际案例
《功率谱密度》PPT课件
欢迎来到本节课程。本节课我们将会学习功率谱密度的定义、计算方法和应 用领域等。希望大家能够认真听讲，掌握这一重要的电子工程概念。
功率谱密度的定义
谱的概念
将随时间变化的信号，即时域信号拆分成一系列不 同频率的正弦波成分，这些正弦波的振幅、频率和 相位都可以唯一确定，这种方法称为"频域分析"。
直接估计信号的自相关函数，然后将其FFT得到功率谱，计算比较方便。
功率谱密度的应用领域
通信 信号处理 机械 地震学
频谱分析，调制识别，通信安全 降噪，滤波，自适应控制 振动分析，故障诊断，结构健康监测 地震波处理和分析
随机过程的功率谱密度 ppt课件
GX ( ) GX (cos )ppt课件
17
三、互功率谱密度及其性质
GXY ()
E{lim T
1 2T
XT ()YT()}
其中： XT ()
T X (t)e jt dt
T
YT ()
T
Y
(t
)e
jt
dt
T
若X(t)及Y(t)联合平稳，有
GXY ()
GX
( )e
j
d
物理谱定义：
FX () 2GX0()
0 0
ppt课件
12
5
0
-5
0
200
400
600
800
1000
1200
30
频谱
20
10
0 0
40 20
0 -20 -40
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
功率谱
200
400
广义联合平稳的定义：
mX (t) mX , mY (t) mY , R (t , XpYpt课件1 t2 ) RXY ( ), t1 t221
随机过程的功率谱密度 作业：2.31, 2.36, 2.39
功率谱定义：GX
(
)
E[lim T
1 2T
XT () 2 ]
2 0
RX ( ) cos d
实平稳随机过程的功率谱是实的、非负的偶函数。
RX
(0 )
1
2
GX
随机信号的功率谱密度课件
出端信噪比之比。即：
F
( Si / N i )
( So / N o )
四、白序列（RND伪随机序列）
设随机序列Zn的自相关函数满足：
2 Z , RZ (k ) 0,
k 0 k 0
2 Z
或
RZ (k ) (k )
对于白序列其功率谱：
GZ ()
2 Z ,
jt
d
将上式代入信号平均功率表达式中得:
1 W lim T 2T lim 1 T 2T
T T T
f T (t , ) dt 1 2
jt F ( , ) e d ]dt T
2
T T
f T (t , )[
1 lim T 2T 1 lim T 2T 1 2
GN(), FN()
RN()
N0 N0/2
N0/2
0 (a) 功率谱密度
0 (b) 自相关函数
白噪声的自相关函数：
1 RN ( ) 2 N 0 j N0 2 e d 2 ( )
白噪声的相关系数 N ( )为:
C N ( ) RN ( ) RN () RN ( ) N ( ) C N (0) RN (0) RN () RN (0)
2/
低通限带白噪声
W , G N ( ) 0,
0 | | 0
otherwise
sin RN ( ) W cos 0
4.6 功率谱估值的经典法
谱估值的基本问题是已知随机过程X(t)或Xj某个 实现： , x
2 , x1 , x0 , x1 , x2 ,, xN 1 ,
功率谱分析ppt课件
以模下拟是信库号G利自x(-f谱杜) 的T开2 |X估法( 值f的)|计2估算值式计：算式：
功率谱的计算
数字信S x号(k自) 谱N1的| X估(值k)计|2算式：
G
(k
x
)
2 N
|X
(k )|2
其中k
0,1,2..... N 1
模拟信Sx号y( f互) 谱T1的X估 ( f值)Y计( f 算) 式：
为
S R e (f)
( ) j 2f d
xy
xy
（2.36）
R S e
( )
( f ) j 2 f df
其逆变换xy 为 xy
功由S率于( f )谱R()密与 度函的数傅里的叶定变换义对的S关( f )
系，两R()者是唯一对R应X (的) 。 S中x( f包) 含
dt
S x
T T 0
Sx( f )
（2.40）x2(t)
x2(t) T x2(t) T
上式表明： T 2(t)
x lim
dt
T T 0
曲线下的总面积与
曲线下的总面积相等，如图2.17所示
从物理意义讲， 是信号x（t）的能量，
这功一总率S功x(f) 率谱密度函数的物理意义
塞均法功P尔率av 定为Tlim理T1 ，0T x2在(t)d整t 个Tlim时 T1间|X轴( f )上|2df的信号平
（2.41）
S
x
lim
T
1 T
|
X
(
f
)|2
再由式（2.38）、（2.3(9,）) 、（2.41）得：
(,0)
功率谱的计算
数字信S x号(k自) 谱N1的| X估(值k)计|2算式：
G
(k
x
)
2 N
|X
(k )|2
其中k
0,1,2..... N 1
模拟信Sx号y( f互) 谱T1的X估 ( f值)Y计( f 算) 式：
为
S R e (f)
( ) j 2f d
xy
xy
（2.36）
R S e
( )
( f ) j 2 f df
其逆变换xy 为 xy
功由S率于( f )谱R()密与 度函的数傅里的叶定变换义对的S关( f )
系，两R()者是唯一对R应X (的) 。 S中x( f包) 含
dt
S x
T T 0
Sx( f )
（2.40）x2(t)
x2(t) T x2(t) T
上式表明： T 2(t)
x lim
dt
T T 0
曲线下的总面积与
曲线下的总面积相等，如图2.17所示
从物理意义讲， 是信号x（t）的能量，
这功一总率S功x(f) 率谱密度函数的物理意义
塞均法功P尔率av 定为Tlim理T1 ，0T x2在(t)d整t 个Tlim时 T1间|X轴( f )上|2df的信号平
（2.41）
S
x
lim
T
1 T
|
X
(
f
)|2
再由式（2.38）、（2.3(9,）) 、（2.41）得：
(,0)
通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
第三章 随机过程表示法ppt课件
9
随机过程表示法
正定性：
T
f(t)Kx(t,u)f(u)dtdu0
证明见P.177
0
f (t) 为任意非0有限能量函数，满足上式>0， 称Kx为正定的
协方差平稳：K x(t,u ) K x(u ,t) K x() Kx(t,u) 只取决于 | t u |
相关平稳： R x(t,u ) R x(u ,t) R x() Rx(t,u) 只取决于 | t u |
随机过程表示法
第三章 随机过程表示法
1
随机过程表示法
3.1 引言
信号表示方法：时域表示法 频域表示法 正交级数表示法
例：对检测问题，利用归一化正交函数族：
H0 s1(t)s11(t) H0 s2(t)s22(t)
n(t) n11(t)n22(t)
T
0 i(t)f (t)dtif
1、完备的表示法
应能确定联合密度 pxt1xt2 xtn(X 1,X2, ,Xn)
确定此n阶密度困难，且不能解决所有问题
7
随机过程表示法
2、常用的两种方法
构造过程
比如马尔可夫过程
p ( X |X X ) p ( X |X ) x t n |x t n 1 x t 1 t n t n 1
2
随机过程表示法
3
随机过程表示法
r (t) (s 1 n 1 )1 (t) n 22 (t),
0tT;H1
r(t)
r (t) n 11 (t) (s 2 n 2 )2 (t),
0tT;H0
1 (t )
()dt
()dt
2 (t)
r1 r(t)1(t)dt r2 r(t)2 (t)dt
随机过程表示法
正定性：
T
f(t)Kx(t,u)f(u)dtdu0
证明见P.177
0
f (t) 为任意非0有限能量函数，满足上式>0， 称Kx为正定的
协方差平稳：K x(t,u ) K x(u ,t) K x() Kx(t,u) 只取决于 | t u |
相关平稳： R x(t,u ) R x(u ,t) R x() Rx(t,u) 只取决于 | t u |
随机过程表示法
第三章 随机过程表示法
1
随机过程表示法
3.1 引言
信号表示方法：时域表示法 频域表示法 正交级数表示法
例：对检测问题，利用归一化正交函数族：
H0 s1(t)s11(t) H0 s2(t)s22(t)
n(t) n11(t)n22(t)
T
0 i(t)f (t)dtif
1、完备的表示法
应能确定联合密度 pxt1xt2 xtn(X 1,X2, ,Xn)
确定此n阶密度困难，且不能解决所有问题
7
随机过程表示法
2、常用的两种方法
构造过程
比如马尔可夫过程
p ( X |X X ) p ( X |X ) x t n |x t n 1 x t 1 t n t n 1
2
随机过程表示法
3
随机过程表示法
r (t) (s 1 n 1 )1 (t) n 22 (t),
0tT;H1
r(t)
r (t) n 11 (t) (s 2 n 2 )2 (t),
0tT;H0
1 (t )
()dt
()dt
2 (t)
r1 r(t)1(t)dt r2 r(t)2 (t)dt
第3章随机过程的谱分析123精品PPT课件
E[ X 2 (t)] 1
2j
j
j S X (s)ds
（3.2.11）
第3章 平稳随机过程的谱分析
随机信号分析
3 SX ()为有理函数时的均方值求法
（1）利用 RX ( )
E X [ X 2 (t)] RX ( ) 0 RX (0)
（2）直接利用积分公式
EX[X
2 (t)]
1
2
S
X
( )d
（3.1.17）
E{a2 [1 2
a2 a2 22
cos(20t 2)]}
2 0
2
cos(20t
2
)d
a2 2
a2
2
sin(20t
2)
2 0
a2 2
a2
sin
20t
X (t)不是宽平稳的
第3章 平稳随机过程的谱分析
随机信号分析
Q A E[ X 2 (t)]
（3.1.18）
lim T
随机信号分析
第三章 平稳随机过程的 谱分析
第3章 平稳随机过程的谱分析
随机信号分析
3.1 随机过程的谱分析 3.2 平稳随机过程功率谱密度的性质 3.3 功率谱密度与自相关函数之间的
关系 3.4 离散时间随机过程的功率谱密度 3.5 联合平稳随机过程的互谱密度 3.6 白噪声
第3章 平稳随机过程的谱分析
2
Q 1
2
S X ()d
（3.1.15）
第3章 平稳随机过程的谱分析
随机信号分析
对于平稳随机过程，则有
E[ X 2 (t)] 1
2
S X ()d
（3.1.16）
注意： （1）Q为确定性值，不是随机变量 （2）SX () 为确定性实函数。
随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析
A RX (t , t ) e j d
说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0
j
d
0
Ae e
j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：
S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e
jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2
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xt
t
0
图 3-1 样本函数
• 采取截断函数 xT t规范化随机信号，使之满 足傅立叶变换条件。
xt 保留有限区
间的数据
置其它区 间为0
T
0
t
T
图 3-2 xt 及截断函数
截断函数定义为：
xT
t
xt
0,
,
t T others
当T为有限值时，截断函数满足傅立叶变换 条件，傅立叶变换为
Fx jw,T
SX w dw
SX 称为随机过程X t的功率谱密度。
如随机过程是宽平稳过程时，则
lim 1
T 2T
E
X
t 2
dt
E
X
t 2
1
2
S X w dw
§3.2 功率谱密度与自相关函数之间 的关系及其性质
• 自相关函数是从时间域上描述随机过程统 计特性的重要特征。
• 功率谱密度是从频率域上描述随机过程统 计特性的重要特征。
xT
t
e jwt dt
T x t e jwt dt T
傅立叶反变换为
xT
t
1
2
Fx
jw,T e jwt dt
由巴塞伐定理得
xT
t
2dt
T
T xT
t
2 dt
1
2
2
Fx jw,T dw
对上式两边除2T
1
2T
xT
t 2dt
T
T xT
t 2dt
E
1 2T
T T
X
t
2
dt
E
1 2
Fx
jw,T
2
dw
2T
两边取极限
lim 1
E
X t2
dt
1
E lim
Fx jw,T 2
dw
T 2T
2 T
2T
若设
S
X
w
lim
T
E
FX jw,T 2
2T
上式表示为
lim
1 2
第三章 随机过程的功率谱密度
主要内容： • 随机过程的功率谱密度函数 • 平稳随机过程功率谱密度函数的性质 • 功率谱密度函数与自相关函数的关系 • 平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱
带宽 • 联合平稳随机过程的互功率谱密度 • 白噪声与色噪声
§3.1 功率谱密度函数
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度
T
T dt2
T
EX
T
t2
X
t1
e jt2 t1 dt1
T
2T
在区间 T ,T 定义
则有
EX EX
t1 t1
X X
t2 t2
BX 0
t1
,
t
2
t1 , t2 T others
SX
lim T
T T
T
T BX
t1,t2 e jt2 t1 dt1dt2 2T
令 则 t2 t1
S X BX t,t cos d
SX SX
3. 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即
SX d
证明: 对于平稳随机过程有
平稳E随X 机2 t过 2程1 的SX 均d方 值有限
平稳随机过程的功率谱密度可积,即
S
X
d
4. 功率谱与相关函数
随机过程
~~~~~~~~~~~~~
S
X
lim
T
E
FX j,T 2
2T
2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即 SX SX
证明 : 由功率谱与自相关函数的关系
S X ~B~~X~~~t~,~t~~~~~~e j d
~~~~~~~~~~~~
BX t, t cos
j sin
d
~~~~~~~~~~~~
1
X
j
B e d ~~~~~~~ 1 X
j
平稳随机过程
B 1 X
e j d
得证。 BX
1 2
S X
e j d
各态历经性
功率谱密度与自相关函数时间 平均值是傅立叶变换对
3.2.2 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度为非负实函数，即
SX 0
证明: 根据功率谱密度定义
1 Fx jw,T 2 dw
2 2T
1
2T
xT
t 2dt
T
T xT
t 2dt
1 Fx jw,T 2 dw
2 2T
• 样本函数在时间区间 T,T 的平均功率。
• 由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数， 取决于随机试验，平均功率具有随机性。
• 可采用集合平均消除样本函数的随机性，即
• 自相关函数 功率谱密度？
自相关函数
?
功率谱密度
time 随机过程
frequency
图3-3 功率谱密度与自相关函数
3.2.1 维纳—辛钦定理
平稳各态历经随机过程X t的自相关函数 BX 和功率谱密度 SX 有如下关系：
SX
BX
e j d
BX
1 2
SX
e j d
功率谱密度与自相关 函数是傅立叶变换对
§3.1 功率谱密度函数
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度
确定信号xt是在 t 的非周期实函数， xt的傅立叶变换存在的充要条件是：
(1). 满足狄利赫利条件 xtdt
(2). 总能量有限，即
xt
2
dt
则信号xt的傅立叶变换为
Fx jw
x
t
e jwt dt
傅立叶反变换为
xt 1
2
Fx
jw e jwt dt
根据巴塞伐(Parseval)定理(总能量的谱表达式)
xt 2dt 1
2
2
Fx jw dw
Fx jw2 称为信号的能量谱密度。
3.1.2 随机过程的功率谱密度 • 随机过程的样本函数 xt不满足傅立叶存在的
绝对可积和能量可积条件，傅立叶不存在。
dt2 d
lim
T T
T
T BX
t1,t2 e jt2 t1 dt1dt2
T
2T
SX
lim T
T t1 T t1
T
T BX
t1, t1 e j dt1d
2T
lim
1
2T 1 T
T
T BX
t, t e j dtd
令t1 t
B t, t e d ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~
BX t,t cos d BX t,t sin d
BX t,t BX t,t cos cos sin sin
~~~~~~~~~~~~
S X BX t,t cos d
同理
~~~~~~~~~~~~
证明：由功率谱密度函数定义
S
X
lim
T
E
FX j,T 2
2T
lim EFX j,T FX j,T
T
2T
lim
E
T T
X
t1
e jt1 dt1
T
X
T
t2
e
jt2
dt
2
T
2T
lim
E
T
T dt2
T T
X
t2
X
t1
e
j
t2
t1
dt1
T
2T
lim
t
0
图 3-1 样本函数
• 采取截断函数 xT t规范化随机信号，使之满 足傅立叶变换条件。
xt 保留有限区
间的数据
置其它区 间为0
T
0
t
T
图 3-2 xt 及截断函数
截断函数定义为：
xT
t
xt
0,
,
t T others
当T为有限值时，截断函数满足傅立叶变换 条件，傅立叶变换为
Fx jw,T
SX w dw
SX 称为随机过程X t的功率谱密度。
如随机过程是宽平稳过程时，则
lim 1
T 2T
E
X
t 2
dt
E
X
t 2
1
2
S X w dw
§3.2 功率谱密度与自相关函数之间 的关系及其性质
• 自相关函数是从时间域上描述随机过程统 计特性的重要特征。
• 功率谱密度是从频率域上描述随机过程统 计特性的重要特征。
xT
t
e jwt dt
T x t e jwt dt T
傅立叶反变换为
xT
t
1
2
Fx
jw,T e jwt dt
由巴塞伐定理得
xT
t
2dt
T
T xT
t
2 dt
1
2
2
Fx jw,T dw
对上式两边除2T
1
2T
xT
t 2dt
T
T xT
t 2dt
E
1 2T
T T
X
t
2
dt
E
1 2
Fx
jw,T
2
dw
2T
两边取极限
lim 1
E
X t2
dt
1
E lim
Fx jw,T 2
dw
T 2T
2 T
2T
若设
S
X
w
lim
T
E
FX jw,T 2
2T
上式表示为
lim
1 2
第三章 随机过程的功率谱密度
主要内容： • 随机过程的功率谱密度函数 • 平稳随机过程功率谱密度函数的性质 • 功率谱密度函数与自相关函数的关系 • 平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱
带宽 • 联合平稳随机过程的互功率谱密度 • 白噪声与色噪声
§3.1 功率谱密度函数
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度
T
T dt2
T
EX
T
t2
X
t1
e jt2 t1 dt1
T
2T
在区间 T ,T 定义
则有
EX EX
t1 t1
X X
t2 t2
BX 0
t1
,
t
2
t1 , t2 T others
SX
lim T
T T
T
T BX
t1,t2 e jt2 t1 dt1dt2 2T
令 则 t2 t1
S X BX t,t cos d
SX SX
3. 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即
SX d
证明: 对于平稳随机过程有
平稳E随X 机2 t过 2程1 的SX 均d方 值有限
平稳随机过程的功率谱密度可积,即
S
X
d
4. 功率谱与相关函数
随机过程
~~~~~~~~~~~~~
S
X
lim
T
E
FX j,T 2
2T
2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即 SX SX
证明 : 由功率谱与自相关函数的关系
S X ~B~~X~~~t~,~t~~~~~~e j d
~~~~~~~~~~~~
BX t, t cos
j sin
d
~~~~~~~~~~~~
1
X
j
B e d ~~~~~~~ 1 X
j
平稳随机过程
B 1 X
e j d
得证。 BX
1 2
S X
e j d
各态历经性
功率谱密度与自相关函数时间 平均值是傅立叶变换对
3.2.2 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度为非负实函数，即
SX 0
证明: 根据功率谱密度定义
1 Fx jw,T 2 dw
2 2T
1
2T
xT
t 2dt
T
T xT
t 2dt
1 Fx jw,T 2 dw
2 2T
• 样本函数在时间区间 T,T 的平均功率。
• 由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数， 取决于随机试验，平均功率具有随机性。
• 可采用集合平均消除样本函数的随机性，即
• 自相关函数 功率谱密度？
自相关函数
?
功率谱密度
time 随机过程
frequency
图3-3 功率谱密度与自相关函数
3.2.1 维纳—辛钦定理
平稳各态历经随机过程X t的自相关函数 BX 和功率谱密度 SX 有如下关系：
SX
BX
e j d
BX
1 2
SX
e j d
功率谱密度与自相关 函数是傅立叶变换对
§3.1 功率谱密度函数
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度
确定信号xt是在 t 的非周期实函数， xt的傅立叶变换存在的充要条件是：
(1). 满足狄利赫利条件 xtdt
(2). 总能量有限，即
xt
2
dt
则信号xt的傅立叶变换为
Fx jw
x
t
e jwt dt
傅立叶反变换为
xt 1
2
Fx
jw e jwt dt
根据巴塞伐(Parseval)定理(总能量的谱表达式)
xt 2dt 1
2
2
Fx jw dw
Fx jw2 称为信号的能量谱密度。
3.1.2 随机过程的功率谱密度 • 随机过程的样本函数 xt不满足傅立叶存在的
绝对可积和能量可积条件，傅立叶不存在。
dt2 d
lim
T T
T
T BX
t1,t2 e jt2 t1 dt1dt2
T
2T
SX
lim T
T t1 T t1
T
T BX
t1, t1 e j dt1d
2T
lim
1
2T 1 T
T
T BX
t, t e j dtd
令t1 t
B t, t e d ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~
BX t,t cos d BX t,t sin d
BX t,t BX t,t cos cos sin sin
~~~~~~~~~~~~
S X BX t,t cos d
同理
~~~~~~~~~~~~
证明：由功率谱密度函数定义
S
X
lim
T
E
FX j,T 2
2T
lim EFX j,T FX j,T
T
2T
lim
E
T T
X
t1
e jt1 dt1
T
X
T
t2
e
jt2
dt
2
T
2T
lim
E
T
T dt2
T T
X
t2
X
t1
e
j
t2
t1
dt1
T
2T
lim