概率论第一章习题课

i 1
(i 1, 2 , , n )
例1
如图：
K1 K2
K1 合上的概率为 0.8 K 2 合上的概率为 0.7
B
K1 K 2 同时合上的概率为 0.5
求灯亮的概率。
解 设
pA1 0.8
A1 : K1 合上
pA2 0.7
A 2 : K 2 合上 B: 灯亮。
pA1 A2 0.5
例 10 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打破的
概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率
为 7/10 ,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为
9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。
解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”， 以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”， 由题意, 可知
pB pA1 A2 p A1 p A2 P A1 A2 1

例2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分 管道 1，2，3 组成。 每个水源都可以供应城市的用水。 设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。
B表示“城市断水”。 B 表示“城市能正常供水”， 甲
第一章 习题课
（一）、事件的关系
1、运算关系
包含： A 则 B
相等： A = B
A B A B 且 B A
A B S 和：至少有一个发 生 A+B AB A、B不相容 积：同时发生 AB
AB

A、B 对立 记为
差： A－B B =S－A
2、运算法则 除与一般代数式运算相同的法则以外，注意
B A1 A2 A3
7 P( A2 A1 ) 10 9 P( A3 A1 A2 ) 10
1 P( A1 ) , 2
P( B) P( A 1 A 2 A 3) P( A 3 | A 1 A 2) P( A 2 | A 1) P( A 1)
9 7 1 3 (1 )(1 )(1 ) . 10 10 2 200
6 C 74 C 7 4 1 [ P( A | C )] P( B | C ) P( A B | C )] 1 [ 4 6 ] 5 C10 C10
（2）
8 4 32 P( ABC ) P(C ) P( AB | C ) 11 5 55
例13 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射 手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级 射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为 0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛， 试求该小组在比赛中射中目标的概率． 解： 设 B 该小组在比赛中射中目 标
它的对立事件
A 为“4只鞋子均不成双”
故第一只鞋子是从5双（10只）中任取一只，有10种 取法，第二只鞋子从剩下的4双（8只）中任取一只，有 8种取法种取法，第三只鞋子从再剩下的3双（6只）中取
一只，有6种取法，
第四只鞋子有4种取法，
可知 A 的样本点数为
10 8 6 4
故所求概率为
Baidu Nhomakorabea
10 8 6 4 13 P( A) 1 P( A ) 1 10 9 8 7 21
有2只成双的情形；
若成双则与5双中任取的一双就出现4只恰有2双的情形， 后者多算了
C 种 ，因此有利于A的基本事件总数
1 5 2 8 2 5
2 5
C C C
1 5 2 8
2 5
故所求概率为 P( A) C C C 13 4 21 C10
方法一： A=表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”
2、 A、B 有包含关系
解
P A PB

A B
P( A B) P( ) 0
PB A PB P A 0.3
有放回地抽取 例4 袋中有红、黄、白色的球各一个。
两次，每次抽取一个球。 求下列事件的概率
1、A: 全红。 2、B:无红。 3、 D :白出现。
方法二：
A
中包含的样本点总数是从5双不同的鞋子中任取4双，
4 再从每双中任取一只的不同取法的种数，共有 C 5 2 4
种取法， 故
13 P( A) 1 P( A ) 1 C 2 / C 21
4 5 4 4 10
方法三： A1=表示“4只鞋子中恰有2只配成一双”
A2=表示“4只鞋子恰好配成两双” 则
1 3 城市
乙
2
解
B A1 A2 A3
B A1 A2 A3 A1 A2 A3
例3 已知 P A 0.3 求 P A B 和
1、 A、B互不相容
PB 0.6 在下列两种情形下
PB A
解 AB
A B A B A B P A B P A 0.3 PB A PB 0.6
1、一般概率 古典概型
2） 利用事件的运算
化为事件的和 一般情况
利用对立事件
化为事件的积
分解到完备组中： 全概公式
一般情况 A、B相互独立
是完备组，
2、条件概率
1） 在缩减完备组中计算，方法同 1。 2） 用乘法公式
3） 用逆概公式
P( AB) P( B / A) P( A)
P ( ABi ) P( A | Bi ) P( Bi ) n P( Bi | A) P ( A) P( A | Bi ) P( Bi )
4
例8.
设一批产品的一、二、三等品各占60％、
30％、10％，现从中任取一件，结果不是三等品, 则取得的是一等品的概率为多少？ 解: 设 Ai ＝“取出的一件产品为 等品 i 1, 2 , 3 i ” 由题意 P( A1 ) 0.6 P( A2 ) 0.3 P( A3 ) 0.1
P( A1 | A3 )
(方法二) 利用对立事件 A “三次都取到次品”
A A1 A2 A3 下利用条件概率去做 P( A) 1 P( A ) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A3 | A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 )
8 9 10 A A2 A 1 A A1 A1 A2 0.199933 98 99 100
2) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 次
内取到合格品的概率 解: 设
Ai “第 i次抽到合格品”
90 9 10 0.0083 98 99 100
1) P( A1 A2 A3 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 )
2) 设 A “三次内取到合格品”
Ai = “ 3 名优秀教师中恰有i 名女教师” 则 A A1 A2 A3 且 A1 , A2 , A3 两两互不相容 P(A) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 1 2 2 1 3 0 C 4 C7 C 4 C7 C 4 C 7 0.788 3 3 3 C11 C11 C11
例11 11只水果其中一级品8个，二级品3个，随机地分
给甲4个，乙6个，丙1个。
1) 已知丙未拿到二级品，求甲，乙均拿到二级品的概率
2) 求甲、乙均拿到二级品而丙未拿到二级品的概率。
解记 A（B，C）={甲（乙，丙）拿到二级品｝
（1） P( AB | C ) 1 P( AB | C ) 1 P( A B | C )
格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的
概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试 求机器调整得良好的概率是多少？
机器调整得良好
P( A| B) 90%
P( A| B ) 30%
能击沉潜水艇的概率。
解 记 A={击不沉}， B={4枚中都击不中}，
C={4枚中只有一枚击伤其它三枚击不中}
击沉的概率为
P( A) P( B C ) 4 3 13 1 1 1 1 P( B) P(C ) C4 4 2 6 6 6
6 13 P( A ) 1 P( A) 64
解
11 1 P( A) 33 9 22 4 P( B) 33 9 22 5 P( D) 1 33 9
例5. 某教研室共有11 名教师, 其中男教师7 人, 现 在要选 3 名优秀教师, 问其中至少有一女教师概率 解: (方法一) 设 A = “ 3 名优秀教师中至少有一名女教师”


Ai 选i级射手参加比赛 i 1， 2， 3 4
2 6 9 3 已知：PA1 , PA 2 , PA 3 , PA 4 20 20 20 20
P B A 0.45, PB A 0.32, 4 3
P B A 0.85, P B A 0.64, 1 2
则 A A1 A1 A2 A1 A2 A3 且互斥
P(A) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 )
P( A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 )
P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) 0.9993
1 从5双中任取一双有 C5 种取法，
2 然后在余下的8只中任取2只共有 C 8 种取法，
由乘法原理
可知有利于A的总数为
1 C 5 C82
1 C5 C82 14 2 故所求概率为 P( A) 4 21 3 C
（分析） C
2 8
中的两只鞋有“成双”或“不成双”两种情
若不成双，则与5双中任取的一双就出现4只鞋中恰
方法二 设 A = “ 3 名优秀教师全是男教师”
P(A ) 1 P( A)
1 C C 3 0.788 11
3 7
例6．从5双不同号码的鞋子中任取4只，求4只鞋 子中至少有2只配成一双的概率。 解：（错解）基本事件总数：5双鞋子共有10只，
任取4只的取法总数为
C
4 10
A=表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”于是有利于A 的基本事件总数可这样计算：
2
A2所包含的样本点的总数为从5双中任取2双的取法数， 2 C52 1 即有 C 5 种取法，从而 P( A )
2
故
13 P( A) P( A1 ) P( A2 ) 21
4 C10
21
例7 设有一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率的概率为 1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率为1/6，并且 击伤两次也会导致潜水艇下沉。求施放4枚深水炸弹
A B A B : AB A B A A A A AA AS 2）其他 A ( BC ) ( A B)( A C ) 3）独立性 事件的独立性是由概率定义的；
1）对偶律 n个事件的独立性要求 2n n 1 个等式成立。 （三） 解题方法
P( A1 A3 ) P ( A3 )
A1 A3 A1 A1 A3 A1
A1 A3
0 .6 2 1 P( A3 ) 0.9 3
P( A1 )
一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从 例9. 其中任取一个零件，取后不放回。试求： 1) 若依次抽取3 次, 求第3 次才抽到合格品的概率

由全概率公式，有 4 PB P An P B An n 1


0.5275
2 6 9 3 0.85 0.64 0.45 0.32 20 20 20 20
例 14 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，
产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合
A A1 A2 且 A1 A2
A1所包含的样本点总数为从5双鞋子中任取一双，再从 另外4双中取不能配对的两只，共有 种取法，从而
C (C C ) 12 P( A1 ) 4 21 C10
1 5 2 8 1 4
C (C C )
1 5
或 C C 2
2 4
2 8 1 5
1 4