MATLAB与线代基本运算
MATLAB中的线性代数运算方法详述
MATLAB中的线性代数运算方法详述导言：线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间及其线性变换、线性方程组和矩阵等概念。
在科学计算与工程实践中，线性代数的应用十分广泛。
MATLAB作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的线性代数运算方法，能够帮助用户高效地解决各种与矩阵、向量相关的问题。
本文将详细介绍MATLAB中常用的线性代数运算方法，并且从算法原理到具体函数的使用进行详细说明。
一、矩阵运算在MATLAB中，矩阵是一种重要的数据类型，它可以表示线性系统、图像等多种实际问题。
矩阵的加法和乘法是线性代数运算中最基本的运算，MATLAB提供了相应的函数来进行矩阵的加法和乘法运算。
1.1 矩阵加法MATLAB中的矩阵加法使用“+”操作符进行操作，可以直接对两个矩阵进行加法运算。
例如，给定两个矩阵A和B，可以使用"A + B"来进行矩阵加法运算。
1.2 矩阵乘法MATLAB中的矩阵乘法使用"*"操作符进行操作，可以直接对两个矩阵进行乘法运算。
需要注意的是，矩阵相乘的维度要满足匹配规则，即乘法前一个矩阵的列数要等于后一个矩阵的行数。
例如，给定两个矩阵A和B，可以使用"A * B"来进行矩阵乘法运算。
二、向量运算向量是线性代数中常用的数据结构，它可以表示方向和大小。
在MATLAB中，向量是一种特殊的矩阵，可以使用矩阵运算中的方法进行计算。
2.1 向量点乘向量的点乘是指两个向量对应位置上元素的乘积之和。
MATLAB中可以使用“.*”操作符进行向量的点乘运算。
例如，给定两个向量A和B，可以使用"A .* B"来进行向量点乘运算。
2.2 向量叉乘向量的叉乘是指两个三维向量的运算结果，它得到一个新的向量，该向量与两个原始向量都垂直。
MATLAB中可以使用叉乘函数cross()进行向量的叉乘运算。
例如，给定两个向量A和B，可以使用"cross(A, B)"来进行向量叉乘运算。
用MATLAB线性代数的基本运算
第五章线性代数的基本运算本章学习的主要目的：1 复习线性代数中有关行列式、矩阵、矩阵初等变换、向量的线性相关性、线性方程组的求解、相似矩阵和二次型的相关知识.2学会用MatLab 软件进行行列式的计算、矩阵的基本运算、矩阵初等变换、向量的线性相关性的判别、线性方程组的求解、二次型化标准形的运算.5.1 行列式5.1.1 n 阶行列式定义由2n 个元素),,2,1,(n j i a ij =组成的记号D=nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211称为n 阶行列式.其值是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n np 2p 21p 1a a a 的代数和,各项的符号由n 级排列n p p p 21决定,即D=∑-npp p n p p p 21n np 2p 21p 1)21(a a a)1(τ,其中∑np p p 21表示对所有n 级排列求和,),,,(21n p p p τ是排列n p p p 21的逆序数.5.1.2行列式的性质(1) 行列式与它的转置行列式相等.(2) 互换行列式的两行(列),行列式变号.(3) 若行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.(4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式.(5) 若行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.(6) 若行列式的某一列(行)的元素是两数的和,则此行列式等于对应两个行列式之和.即nnn n ni n n i i nn n n ni n n i i nn n n ni ni n n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a21'21'22221'112112121222211121121'21'222221'111211+=+++(7) 若行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变.(8) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即),,2,1(,0,1j k n i k i ki D A a D nj ij =⎩⎨⎧≠===∑=,或),,2,1(,0,1i n j k j kj D A a D nik ij =⎩⎨⎧≠===∑=(9) 设A,B 是n 阶方阵,则T A A =,A A n k k =,B A AB =, (10)若A 是n 阶可逆矩阵,则0≠A ,AA 11=- (11) 设n 21,,,λλλ 是n 阶方阵A 的特征值,则i nA λ1i =∏=,(12) 设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵,则2n *1≥=-n A A(13) 几种特殊行列式的计算:nn nn a a a a a a 22112211000000= , nn nnnn a a a a a a a a a 221122*********=nn nn n n a a a a a a a a a221121222111000=,112n 12)1(1222111211)1(000n n n n n na a a a a a a a a---=5.1.3 MatLab 计算行列式的命令det(var) %计算方阵var 的行列式例1 计算行列式3833262290432231----的值在MatLab 命令窗口输入:A=[1,-3,2,2;-3,4,0,9;2,-2,6,2;3,-3,8,3] det(A)执行结果:A = 1 -3 2 2 -3 4 0 9 2 -2 6 2 3 -3 8 3 ans = -50例2 计算行列式dcb 10110011001a---的值,其中a,b,c,d 是参数.在MatLab 命令窗口输入:syms a b c dA=[a,1,0,0;-1,b,1,0;0,-1,c,1;0,0,-1,d] det(A)执行结果:A =[ a, 1, 0, 0][ -1, b, 1, 0] [ 0, -1, c, 1] [ 0, 0, -1, d]ans =a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+1例3 求方程0881441221111132=--x xx的根.(1) 先求行列式的值在MatLab 命令窗口输入:syms xA=[1,1,1,1;1,-2,2,x;1,4,4,x*x;1,-8,8,x^3]y=det(A)执行结果:A =[ 1, 1, 1, 1][ 1, -2, 2, x][ 1, 4, 4, x^2][ 1, -8, 8, x^3]y =-12*x^3+48*x+12*x^2-48(2) 求3次方程的根.首先通过函数的图形确定根的大致范围,在MatLab命令窗口输入:grid onezplot(y)图1观察图1,可知3个根大致在-2,0,4附近,下面求精确值,在MatLab命令窗口输入:yf=char(y);g1=fzero(yf,-2)g2=fzero(yf,0)g3=fzero(yf,4)执行结果: g1 = -2g2 = 1.0000 g3 = 2.0000可知方程的3个根分别为-2,1,2.5.1.4用MatLab 实现克拉默法则(1)克拉默法则非齐次线性方程组方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* 当其系数行列式0212222111211≠=nnn n nna a a a a a a a a D 时,此方程组有唯一解,且可表示为DD x D D x D D x n n ===,,,2211 其中),,2,1(n j D J =是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式,即nnj n nj n n n j j j a a b a a a a b a a D1,1,111,111,111+-+-= 对于齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 当其系数行列式0212222111211≠=nnn n nn a a a a a a a a a D时,此方程组有唯一零解;当D=0时,方程组有非零解.(2) 编写函数klm.m 实现用克拉默法则求解非齐次线性方程组.function x=klm(a,b) %参数a 代表方程组的系数矩阵,列矩阵b 代表方程组的常数列,%返回方程组的解[m,n]=size(a); if (m~=n)disp('克拉默法则不适用此方程组的求解!') elsed=det(a); if (d==0)disp('该方程组没有唯一解!') elsedisp('该方程组有唯一解!') for i=1:m e=a; e(:,i)=b; f=det(e); x(i)=f/d; end end end例4 用克拉默法则解下列方程组:12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩ 操作步骤:在MatLab 命令窗口输入:D=[1,1,1,1;1,2,-1,4;2,-3,-1,-5;3,1,2,11]; A=[5;-2;-2;0]; klm(D,A) 执行结果:该方程组有唯一解!ans = 1 2 3 -1方程组的解为1,3,2,1x 4321-====x x x例5 问a 取何值时,齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(3121321x a x x a x x x x a 有非零解? 根据齐次方程组有非零解,系数行列式为零,用MatLab 操作步骤如下:在MatLab 命令窗口输入:syms xA=[5-x,2,2;2,6-x,0;2,0,4-x]; yy=det(A)ezplot(yy,[0,10]) grid on 执行结果:行列式的值为:yy =80-66*x+15*x^2-x^3 作函数yy 的图形,如图2观察图2,可知根大致在附近,再输入命令:yf=char(yy); x1=fzero(yf,2) x2=fzero(yf,5) x3=fzero(yf,8) 执行结果: x1 = 2 x2 = 5 x3 = 8即a 取2，5，或8时,齐次方程组有非零解。
matlab中的线性代数求解
ans =
19 -16 -18 36 48 -24
4
4、求矩阵的逆阵 指令inv(A)给出方阵A的逆矩阵，如果A不可逆，则inv(A)给出的矩阵的元素都是 inf.
例6
1 2 3 A 0 4 3 , 6 4 9
求A -1.
解 输入命令 ： >> A=[1 2 3;0 -4 3;6 4 9]; >> inv(A) ans = -0.8000 -0.1000 0.3000 0.3000 -0.1500 -0.0500 0.4000 0.1333 -0.0667
3
例2
1 2 3 1 2 A 0 4 3 , B 6 9 6 4 9 2 0
求A*B.
解 输入命令 ： >> A=[1 2 3;0 -4 3;6 4 9]; >> B=[1 2;6 -9; 2 0]; >> A*B
16
求A, A B, 2 A 3B.
解 输入命令 ： >> A=[1 2 3;0 -4 3;6 4 9]; >> B=[9 4 2;5 8 -4;0 3 1]; >> A'
ans =
1 0 2 -4 3 3 6 4 9
2
>> A+B ans = 10 6 5 5 4 -1 6 7 10 >> 2*A-3*B ans = -25 -8 0 -15 -32 18 12 -1 15
第三章
3.1内容提要
MATLAB在线性代数中的应用
矩阵是人们用数学方法解决实际问题的重要工具，而MATLAB具有强大的矩阵运 算功能，本章的目的是学会用MATLAB软件进行线性代数中一些运算，包括矩阵的基 本运算、计算矩阵行列式、线性方程组求解、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分 解和化二次型为标准型等。
matlab中的基本运算
matlab中的基本运算基本运算是MATLAB中最基础的操作之一，它涵盖了数值计算、数据处理和绘图等各个方面。
本文将详细介绍MATLAB中的基本运算，包括算术运算、矩阵运算、逻辑运算和位运算等。
一、算术运算算术运算是最基本的运算之一，MATLAB中支持的算术运算包括加法、减法、乘法和除法等。
例如，可以使用"+"符号进行两个数的加法运算，用"-"符号进行减法运算，用"*"符号进行乘法运算，用"/"符号进行除法运算。
此外，还可以使用"^"符号进行幂运算，使用"sqrt"函数进行开方运算。
二、矩阵运算MATLAB中的矩阵运算是其强大功能之一。
可以使用矩阵进行加法、减法、乘法和除法等运算。
例如，可以使用"+"符号进行矩阵的逐元素加法运算，用"-"符号进行逐元素减法运算，用"*"符号进行矩阵的乘法运算，用"./"符号进行矩阵的逐元素除法运算。
三、逻辑运算逻辑运算在MATLAB中广泛应用于判断条件和控制流程。
MATLAB 支持的逻辑运算有与、或、非和异或等。
例如，可以使用"&&"符号进行逻辑与运算，用"||"符号进行逻辑或运算，用"~"符号进行逻辑非运算，用"xor"函数进行逻辑异或运算。
四、位运算位运算是对二进制数进行逐位操作的运算。
MATLAB支持的位运算有与、或、非、异或、左移和右移等。
例如，可以使用"&"符号进行位与运算，用"|"符号进行位或运算，用"~"符号进行位非运算，用"xor"函数进行位异或运算，用"<<"符号进行左移运算，用">>"符号进行右移运算。
MATLAB及基本运算
矩阵运算
矩阵加法
执行矩阵加法运算，要求两个矩阵的 维度必须相同。
矩阵减法
执行矩阵减法运算，要求两个矩阵的 维度必须相同。
矩阵乘法
通过使用"*"运算符执行矩阵乘法运 算，要求第一个矩阵的列数必须与第 二个矩阵的行数相等。
矩阵转置
通过使用"'"运算符执行矩阵转置运算， 将矩阵的行转换为列，将列转换为行。
图像增强
使用Matlab的图像处理工具箱进行图像的 对比度增强、直方图均衡化等增强操作。
图像变换
使用Matlab的图像处理工具箱进行图像的 缩放、旋转、剪切等几何变换。
图像分割和识别
使用Matlab的图像处理工具箱进行图像分 割、边缘检测、特征提取和识别等操作。
THANKS
感谢观看
数值分析
数值积分
使用Matlab的`integral`函数进行数值积 分。
最优化问题求解
使用Matlab的`fminbnd`函数求解无约束 最优化问题，使用`fmincon`函数求解约束
最优化问题。
微分方程求解
使用Matlab的`ode45`函数求解常微分方 程。
插值和拟合
使用Matlab的`polyfit`函数进行多项式插 值，使用`lsqcurvefit`函数进行非线性曲 线拟合。
03
02
1984年
Matlab 1.0版本发布，标志着 Matlab的诞生。
2000年代至今
Matlab不断更新迭代，功能日益强 大。
04
Matlab的主要特点
数值计算
Matlab以数值计算为核心，提 供了大量的数学函数库，方便
用户进行各种数值计算。
Matlab中的线性代数计算技巧指南
Matlab中的线性代数计算技巧指南线性代数是数学中一门重要的学科，它在许多领域中都有着广泛的应用，包括工程、科学和金融等。
而Matlab是一种功能强大的数值计算软件，其中包含了许多用于线性代数计算的工具和函数。
本文将为读者介绍一些在Matlab中进行线性代数计算时常用的技巧和方法。
1. 矩阵的创建与操作在Matlab中，我们可以使用矩阵来表示向量、矩阵和张量等对象。
创建一个矩阵可以使用以下命令：```matlabA = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];```这样就创建了一个3×3的矩阵A，其中的分号用于分隔行。
我们也可以使用函数来创建特殊的矩阵，比如单位矩阵、零矩阵等：```matlabeye(3); % 创建3×3的单位矩阵zeros(2, 3); % 创建2×3的零矩阵```对于矩阵的操作，Matlab提供了许多常用的函数，比如矩阵的转置、矩阵的相乘等：```matlabA'; % 矩阵的转置A*B; % 矩阵的乘法```2. 矩阵的求逆与解线性方程组在线性代数中，求逆矩阵和解线性方程组是两个常见的问题。
在Matlab中，可以使用`inv`函数来求逆矩阵：```matlabinv(A); % 求矩阵A的逆矩阵```如果要解一个线性方程组，我们可以使用线性方程组求解器`linsolve`函数：```matlabX = linsolve(A, B); % 解线性方程组AX=B```其中，A是系数矩阵，B是常数向量。
这样，X就是线性方程组的解向量。
3. 特征值和特征向量特征值和特征向量在线性代数中有着重要的意义，它们在许多应用中扮演着重要的角色。
在Matlab中，我们可以使用`eig`函数来计算矩阵的特征值和特征向量：```matlab[V, D] = eig(A); % 计算矩阵A的特征向量和特征值```其中，V是包含特征向量的矩阵，D是包含特征值的对角矩阵。
MATLAB与线性代数基本运算数学建模 ppt课件
六、求线性方程组的通解
问题：求方程组Ax＝b的通解 方法一：U＝rref（[A,b])
方法二：Ax=b的特解：x0=A\b Ax=0的通解：
x=null(A,’r’)
例：求非齐次线性方程组的通解。
2、矩阵的乘法：*
3、矩阵的转置：'
4、方阵的幂运算：^ 5、方阵的逆：inv
6、方阵的行列式：det 7、矩阵的秩：rank
五、求线性方程组的唯一解
问题：设A为n阶可逆矩阵，求方程组Ax＝b的解。 方法一：x=inv(A)* b 或：x=A^-1* b 方法二：U＝rref（[A，b]） U为矩阵[A，b]的行最简形
特征值和特征向量的求解 [P,D]=eig(A)
二次型的标准化
[P,D]=eig(A)
例：求非齐次线性方程组的唯一解。
2x1 x2 2x3 4x4 5
174xx11
17x2 12 7x2 6x3
x3
7 6x4
x4
5
8
2x1 9x2 21x3 7x4 10
解：在MATLAB命令窗口输入： A=[2,1,2,4;-14,17,-12,7;7,7,6,6;-2,-
输出：ans=
789
矩阵的剪裁
键入：B=A(2:3, :) %A的2，3行 输出：B=
456 789 键入：A(:, 1) %A的第一列 输出：ans=
1 4 7
矩阵的剪裁
键入： A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; C=A(1:2, [1 3])
输出：C= 13 46
还有A(1:2:3, 3:-1:1),
如何在Matlab中进行矩阵运算和线性代数计算
如何在Matlab中进行矩阵运算和线性代数计算矩阵运算和线性代数计算在科学计算中起着至关重要的作用。
Matlab是一种强大的科学计算软件，其中内置了丰富的矩阵运算和线性代数函数，使得我们能够轻松地进行各种复杂的数学计算。
本文将介绍如何在Matlab中进行矩阵运算和线性代数计算。
一、矩阵的表示与生成在Matlab中，我们可以使用一对方括号来表示矩阵。
例如，下面的代码可以生成一个3×3的矩阵A：```A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];```我们也可以使用内置函数来生成一些特殊矩阵，如零矩阵、单位矩阵和对角矩阵。
下面的代码分别生成一个3×3的零矩阵B、一个3×3的单位矩阵C和一个对角元素为1、2、3的对角矩阵D：```B = zeros(3);C = eye(3);D = diag([1, 2, 3]);```二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法和减法在Matlab中，我们可以使用运算符"+"和"-"对矩阵进行加法和减法运算。
下面的代码演示了如何对两个3×3的矩阵A和B进行加法和减法运算：```A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];B = [9, 8, 7; 6, 5, 4; 3, 2, 1];C = A + B; % 矩阵相加D = A - B; % 矩阵相减```2. 矩阵的乘法矩阵的乘法在Matlab中使用运算符"*"表示。
下面的代码演示了如何对两个矩阵A和B进行乘法运算：```A = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; % 2×3 矩阵B = [7, 8; 9, 10; 11, 12]; % 3×2 矩阵C = A * B; % 矩阵相乘```需要注意的是，矩阵的乘法是满足结合律的，但不满足交换律。
也就是说，如果A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么A*B是m×p的矩阵，而B*A是n×n 的矩阵。
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3 -2 1 0 0
2 8 6 1
2 3 1 2
2
0 0 0 0
在MATLAB命令窗口输入：
a1=[1;1;0;2;2]; a2=[3;4;0;8;3]; a3=[2;3;0;6;1]; a4=[9;3;2;1;2]; a5=[6;-2;2;-9;2]; A=[a1,a2,a3,a4,a5]; [R,s]=rref(A) % 输入5个列向量
例： 已知向量组
1 1 1 0 2 2
3 4 2 0 ， 8 3
， ，
2 3 3 0 6 1
9 3 4 2 1 2
r=eig(A)
r为矩阵A的所有特征值所构成的列向量
[P,D]=eig(A)
D为对角矩阵，对角线上元素为A的所有特征值；
P的列向量是A的属于对应特征值的单位特征向量。
九、化二次型为标准形
例 用正交变换法将以下二次型化为标准形。
f x1 , x2 , x3 x1 2x2 2x3 4x2 x3
解：在MATLAB命令窗口输入： A=[2,1,2,4;-14,17,-12,7;7,7,6,6;-2,9,21,-7] b=[5;8;5;10] x=inv(A)*b x=A^-1*b U=rref([A,b])
六、求线性方程组的通解
问题：求方程组Ax＝b的通解 方法一：U＝rref（[A,b]) 方法二：Ax=b的特解：x0=A\b
MATLAB与 线性代数的基本运算
西安电子科技大学 2011.12
一、矩阵的基本输入Hale Waihona Puke 在MATLAB命令窗口输入：
A＝[1，2，3；2，3，4]
或 A＝[ 1 2 3 2 3 4 ]
二、产生特殊矩阵的函数
zeros eye 创建零矩阵 创建单位矩阵 创建随机矩阵 ones 创建全1矩阵
rand（randn） round
解：在MATLAB命令窗口输入：
A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19] b=[-2;7;-23;43] U=rref([A,b]) ; x0=A\b x=null(A,'r')
七、分析向量组的线性相关性
把向量以列的形式放入矩阵A中： A＝[a1,a2,a3,…，am] [R,s]＝rref（A) R 为矩阵 A 的行最简形 s 为矩阵R的基准元素所在列数所构成的行向量
2 2 2
解：在MATLAB命令窗口输入：
A=[1,0,0;0,2,2;0,2,2]; % 输入二次型的矩阵 [P,D]=eig(A)
十、小结
矩阵的输入 = [ ] , ; ^ round inv rand rank randn det 矩阵的基本运算 + - * ‘ 求解方程组
rref([A,b]) null(A,’r’) x=A\b [U,r]=rref(A) [P,D]=eig(A)
Ax=0的通解：x=null(A,’r’)
例：求非齐次线性方程组的通解。
2 x1 4 x 2 x3 4 x 4 16x5 2 3x 6 x 2 x 6 x 23x 7 1 2 3 4 5 3 x1 6 x 2 4 x3 6 x 4 19x5 23 x1 2 x 2 5 x3 2 x 4 19x5 43
四舍五入运算 size(A) 矩阵的尺寸
length(A) 矩阵的长度
三、矩阵的函数输入
A=rand(2,3) B=randn(2,3) C=round(10*randn(2,3)) D=eye(5)
四、矩阵的基本运算
1、矩阵的加、减与数乘：+， -， * 2、矩阵的乘法：* 4、方阵的幂运算：^ 6、方阵的行列式：det 3、矩阵的转置：' 5、方阵的逆：inv 7、矩阵的秩：rank
向量组的线性相关性 特征值和特征向量的求解
二次型的标准化
[P,D]=eig(A)
五、求线性方程组的唯一解
问题：设A为n阶可逆矩阵，求方程组Ax＝b的解。 方法一：x=inv(A)* b 或：x=A^-1* b
方法二：U＝rref（[A，b]）
U为矩阵[A，b]的行最简形
例：求非齐次线性方程组的唯一解。
2 x1 x2 2 x3 4 x4 5 14 x 17 x 12 x 7 x 8 1 2 3 4 7 x1 7 x2 6 x3 6 x4 5 2 x1 9 x2 21x3 7 x4 10
% 构造矩阵A
r=length(s);
% 将A的最简阶梯型赋给R, 同时将R的基准 % 元素所在的列号做成列向量赋给s.
fprintf(‘最大线性无关组为: ’) %打印字符串 for i=1:r fprintf(‘a%d ’, s(i)) end
for i=1:r % 输出极大无关组 A0(:,i)=A(:,s(i)); end A0 s0=[1,2,3,4,5]; % 提出极大无关组之外的向量组的列号 for i=1:r s0(s(i))=0; end s0=find(s0); %删除s0中的0元素
for i=1:5-r fprintf(‘a%d= ’, s0(i)) % 打印出需要线性表示的向量 for j=1:r fprintf(‘%3d*a%d+ ’, R(j,s0(i)),s(j)); % 用无关组表示其它向量 end fprintf(‘\b\b\n’); end
八、求方阵的特征值和特征向量
6 2 5 2 9 2
求出它的最大无关组，并用该最大无关组
来线性表示其它向量。
，
分析
a1 a2 a3 a4 a5
1 3 2 9 1 4 3 3 A= 0 0 0 2
6
-2 2 -9
1 0 -1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0