高中高考数学公式大全

高考基础知识（公式）一、集合元素与集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.A A ∅⇔≠∅子集：一般地，,A A A ∅⊆⊆,若,A B B C ⊆⊆则A C ⊆ 真子集：一般地，A ∅⊂,若,A B B C ⊂⊂ 则A C ⊂ 交集：一般地，A A A =,A B B A =,A A ∅=∅=∅ 并集：一般地，A A A =,A B B A =,A A A ∅=∅= 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个子集（包括空集）；非空子集有21n -个；即真子集有21n -个；非空的真子集有22n -个.充要条件：1、p q ⇒，则p 是q 的充分条件；反之（若q p ⇒），q 是p 的必要条件； 2、p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；3、p q ⇒，且q ≠>p ，则p 是的q 充分不必要条件；4、p ≠>q ，且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；5、p ≠>q ，且q ≠>p ，则是p 是q 的既不充分又不必要条件。

二、指数与对数指数性质：(1)1、1ppa a-=； （2）、01a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)rsr sa a a a r s Q +⋅=>∈ ；(5)、n a =（0,,a m n N *>∈，1n >）(6)、m n a=0,,a m n N *>∈，且1n >）(7)当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩对数性质：若0,1,0,0,a a M N n N +>≠>>∈且2n ≥则(1)、log ()log log a a a MN M N =+; (2)、 log log log aa a MM N N=- (3)、log log ()n a a M n M n R =∈; (4) 、log log m na a n N N m=(5)、 log 10a = (6)、 log a bab = (7)、 log 1a a = （8）、换底：log log log m a m NN a= (0,1,0,1,0)a a m m N >≠>≠>(9)、推论：log log 1a b b a •=; 22log log a a N N ==指数与对数的关系: log b a N b a N =⇔= (0,1,0)a a N >≠>三、数列：等差数列：通项公式：（1）1(1)n a a n d =+-；（2）()n k a a n k d =+- （其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 末项）；（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用） 前n 项和：（1）1()2n n n a a S +=；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。

（2）1(1)2n n n S na d -=+（3）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）常用性质：（1）、若m n p q +=+，则有 m n p q a a a a +=+（2）、,,0p q p q a q a p a +===则 ；（3）、若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。

（4）、{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。

（5）、若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+⇔n 、m 、p 成等差。

注意：已知S n 求a 1和公差d ：S 1=a 1 求出a 1再S 2=a 1+a 2 求出a 2然后d=a 2-a 1等比数列：通项公式：（1） 1*11()n n n a a a qq n N q-==⋅∈ ；（2）n kn k a a q -=⋅（其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比）； （3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用） 前n 项和：（1）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）（2）11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩常用性质：（1）、若m n p q +=+，则有 m n p q a a a a ⋅=⋅ ；（2）、若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n a b ⋅为等比数列。

（3）、若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2m n p a a a =⋅⇔n 、m 、p 成等比。

四、三角公式：诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）公式一： 公式二：sin （π+α）=－sin α sin （－α）=－sin α cos （π+α）=－cos α cos （－α）=cos α公式三： 公式四：sin （π－α）=sin sin （2π－α）=－sin α cos （π－α）=－cos α cos （2π－α）=cos α 公式六： 公式七：sin （π/2+α）=cos α sin （π/2－α）=cos αcos （π/2+α）=—sin α cos （π/2－α）=sin α 公式七： 公式八：sin （3π/2+α）=－cos α sin （3π/2－α）=－cos α cos （3π/2+α）=sin α cos （3π/2－α）=－sin α 上面这些诱导公式可以概括为：对于k π/2±α(k ∈Z)的三角函数值，①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin →cos; cos →sin; （奇变偶不变） （符号看象限）例如：sin(2π－α)=sin(4·π/2－α)，k=4为偶数，所以取sin ；令α为锐角，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)<0，符号为“－”。

所以sin(2π－α)=－sin α 总结记忆：将α看成是锐角，奇变偶不变，符号看象限。

奇偶是针对2k而言的，变与不变是针对三角函数名而言。

和差公式：22sin cos 1θθ+=； sin cos 45)45)o o a a a a +=+=-sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=sin cos a b αα+)αϕ+； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).sin sin 2sin cos 22a a a βββ+-+=sin sin 2cos sin22a a a βββ+--= cos cos 2cos cos 22a a a βββ+-+= cos cos 2sin sin22a a a βββ+--= 二倍角公式：sin 22sin cos a a a =22tan 1tan αα=+2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+ 22tan tan 21tan ααα=- sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+21cos 2sin 2αα-= 21cos 2cos 2αα+=解斜三角形： 正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=余弦定理：2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-面积定理：（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高） （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===内角和定理 ：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+ sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；sin()cos 22A B C +=；cos()sin 22A B C+=五、向量：实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .（4）a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ 平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y , 则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈， 则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212()x x y y +是一个数值 两向量的夹角：121cos ||||x a ba b x θ⋅==⋅+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).平面两点间的距离：,A B d =||AB AB AB =⋅=1(x (A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则：a ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.（交叉相乘差为零）a ⊥b (a ≠0)⇔ a ·b =012120x x y y ⇔+=.（对应相乘和为零）线段定比分点：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,12PP PP λ= 则121x x x λλ+=+121y y y λλ+=+六、不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（4）b a b a b a +≤+≤-（5）22ab a b a b +≤≤≤+当且仅当a ＝b 时取“=”号) （6）a =(0)0(0)(0)a a a a a a a a =>⎧⎪==⎨⎪=-<⎩不等式解法：一元二次不等式2ax bx c ++的解○1当2(0,40)a b ac >∆=->时 20ax bx c ++<的解12x x x << 12()x x <20ax bx c ++>的解12,x x x x <>或 12()x x <○2当2(0,40)a b ac >∆=->时 20ax bx c ++<的解∅（无解）20ax bx c ++>的解2bx a≠-○3当2(0,40)a b ac >∆=->时 20ax bx c ++<的解∅（无解） 20ax bx c ++>的解全体实数注：当0a <时，两边乘以-1即可。