变形及胡克定律
13-2广义胡克定律与变形能-材料力学
1 m 形状改变
3 m
②形状改变比能：
证明在：
' 1
1
m
,
' 2
2
m
,
' 3
3
m
作用下，体积没有变化 。
3(1
2)
1'
' 2
' 3
E
3
1 2
E
(1'
' 2
' 3
)
1 2
E
[(1
m
)
(
2
1
该单元体所储存的应变
能为：
3
U
1 2
(
1e1
2
e
2
3e
3
)dxdydz
②比能：
u
U V
1 2
(
1e1
2e2
3e
3
)
③代入虎克定律：
u
1 2E
[12
2 2
2 3
2
(1
2
2
3
31
)]
（二）、体积改变比能 ut 与形状改变比能 u x
1.有关概念：
三、复杂应力状态下的变形比能 （一）、总应变比能
1.有关概念： ①应变能(变形能)：伴随弹性体的变 形而储存在弹性体的能量。用U表示；
力学基本定律之一胡克定律
力学基本定律之一胡克定律胡克定律是力学基本定律之一。
适用于一切固体材料的弹性定律，它指出：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。
这个定律是英国科学家胡克发现的，所以叫做胡克定律。
胡克定律的表达式为F＝-kx或△F=-kΔx，其中k是常数，是物体的劲度（倔强）系数。
在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛／米。
倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。
弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。
在现代，仍然是物理学的重要基本理论。
胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -kx。
k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。
为了证实这一定律，胡克还做了大量实验，制作了各种材料构成的各种形状的弹性体。
胡克定律Hook's law材料力学和弹性力学的基本规律之一。
由R.胡克于1678年提出而得名。
胡克定律的内容为：在材料的线弹性范围内，固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ＝Εε，式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。
把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。
胡克定律为弹性力学的发展奠定了基础。
各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：σ11＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε11，σ23＝2Gε23，σ22＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε22，σ31＝2Gε31，(1)σ33＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε33，σ12＝2Gε12，及式中σij为应力分量；εij为应变分量（i，j＝1，2，3）；λ和G为拉梅常量，G又称剪切模量；E为弹性模量（或杨氏模量）；v为泊松比。
λ、G、E和v之间存在下列联系：式（1）适用于已知应变求应力的问题，式（2）适用于已知应力求应变的问题。
胡克定律与拉压杆的变形
1.分段解法
FN1 = F2 − F1
FN2 = F2
(∆l )分段解法
=
FN1l1 EA
+
FN2l2 EA
=
(F2
− F1 )l1 EA
+
F2l2 EA
(∆l )分段解法
=
F2(l1 + EA
l2 )
−
F1l1 EA
2. 分解载荷法
(∆l
)分段解法
=
F2
( l1 + EA
l2
)
−
F1l1 EA
3. 比较
§9 连接部分的强度计算
连接实例 剪切与剪切强度条件 挤压与挤压强度条件 例题
单辉祖:工程力学(材料力学)
73
连接实例
单辉祖:工程力学(材料力学)
销钉
螺栓
耳片
74
单辉祖:工程力学(材料力学)
75
剪切与剪切强度条件
以耳片销钉为例介绍分析方法
单辉祖:工程力学(材料力学)
76
解：1. 破坏形式分析
单辉祖:工程力学(材料力学)
81
2. 许用载荷 [F]
n
τ
=
4F πd 2
≤ [τ
]
F ≤ πd 2[τ ] = 1.257 kN
4
o
σ bs
=
F
δd
≤ [σ bs ]
F ≤ δd[σ bs ] = 2.40 kN
p
σ max
=
F
(b − d )δ
≤ [σ ]
F ≤ (b − d )δ [σ ] = 3.52 kN
FN1 = FN1,F1 + FN1,F2 = −F1 + F2
胡克定律发现的时间和背景
胡克定律发现的时间和背景
胡克定律是由英籍物理学家罗伯特·胡克（Robert Hooke）于17世纪发现的。
胡克生活在英国科学发展的黄金时期，他是一位多产的科学家和工程师，对于力学和光学领域做出了重要贡献。
胡克定律的发现可以追溯到1660年代。
当时，胡克开始了对弹簧的研究。
他发现，当他拉伸或压缩弹簧时，弹簧的形状会发生变化，但变形与外力之间会有一定的关系。
胡克将这种关系表达为一个公式，即弹簧的变形与外力成正比。
胡克定律的具体表述为：弹簧的变形与外力的大小成正比，且方向与外力相反。
这可以用数学公式表示为F = kx，其中F 表示外力的大小，k 是弹簧的劲度系数（也被称为弹性系数或胡克系数），x 表示弹簧的变形。
胡克定律的发现对于理解和应用弹簧、弹簧系统等有很大的意义。
它不仅在力学和工程学中有广泛应用，还对于其他领域的研究有启发作用，如弹性体的研究、材料力学等。
胡克定律也被认为是弹性力学的基石之一。
总的来说，胡克定律的发现时间可追溯到17世纪，它是胡克在对弹簧的研究中发现的。
胡克定律的发现为力学和工程学领域的发展做出了重要贡献。
拉伸变形的胡克定律
拉伸过程中材料行为分析
弹性阶段
材料在拉伸初期，应力与应变 成正比，符合胡克定律。
屈服阶段
当应力达到一定值时，材料开 始发生塑性变形，应力不再增 加，而应变继续增大。
强化阶段
经过屈服阶段后，材料重新呈 现弹性，应力随应变增加而增 大，直至达到最大应力。
颈缩与断裂阶段
在最大应力后，材料局部发生 颈缩现象，最终断裂。
韧性评估
通过计算材料的断裂韧性、冲击韧性 等指标来评估材料的抵抗断裂的能力 。这些指标通常与材料的微观结构、 化学成分、加工工艺等因素有关。
03
胡克定律在拉量是描述材料在弹性阶段应力和应变关系的比例系数，也称为杨氏模量。
弹性模量测量方法
静态法、动态法、纳米压痕法等，其中静态法是最常用的方法之一，通过测量材 料在拉伸或压缩过程中的应力和应变来计算弹性模量。
结构优化设计考虑因素
载荷与边界条件
结构优化设计需要考虑实际工程中的 载荷和边界条件，以确保优化结果符 合实际需求。
材料性能与制造成本
在选择材料和制定制造方案时，需要 综合考虑材料性能和制造成本，以实 现经济性和可行性的平衡。
安全性与可靠性要求
结构优化设计需要满足安全性和可靠 性要求，确保结构在正常使用条件下 不发生破坏或失效。
04
影响拉伸变形因素探 讨
材料类型及微观结构影响
材料类型
金属、塑料、橡胶、复合材料等不同类型的材料具有不同的拉伸性能。
微观结构
材料的晶粒大小、相组成、缺陷分布等微观结构特征对其拉伸性能产生显著影响。
温度和加载速率对拉伸性能影响
要点一
温度
要点二
加载速率
随着温度的升高，材料的拉伸强度通常会降低，而塑性则 会增加。
胡克定律,弹力与物体的变形成正比,而与物体的质量成反比
胡克定律,弹力与物体的变形成正比,而与物体的质量成反比胡克定律是物理学中的一个基本定律，它描述了弹性物体在受到外力作用时，其形变与外力之间的关系。
这个定律是由英国物理学家罗伯特·胡克在17世纪提出的，它对于理解弹性物体的力学行为具有重要意义。
胡克定律的内容是：在弹性限度内，弹簧的伸长或压缩量与作用在其上的外力成正比，而与物体的质量无关。
也就是说，当一个物体受到的力越大，它所发生的形变也就越大。
这个定律可以用一个简单的数学公式来表示：F=k×Δx其中，F代表作用在物体上的力，k是弹簧的劲度系数，Δx是弹簧的伸长或压缩量。
这个公式告诉我们，当外力增加时，弹簧的形变也会增加，而且这种增加是线性的，也就是说，形变和外力之间存在着一种正比关系。
这个正比关系意味着，当一个物体受到的力越大，它所发生的形变也就越大。
这是因为物体在受到外力作用时，其内部的分子或原子之间的相互作用力会发生变化，导致物体形状的改变。
而这种改变的大小与外力的大小成正比。
另外，胡克定律还告诉我们，弹簧的劲度系数k是一个常数，它与物体的质量无关。
这意味着无论物体的质量大小如何，只要它受到的力相同，它所发生的形变也是相同的。
这是因为物体的质量不会影响其内部的分子或原子之间的相互作用力，因此也不会影响其形变的大小。
这个结论在工程学和物理学中具有重要意义。
在工程设计中，工程师们经常需要使用弹性材料来制造各种机械和结构。
胡克定律可以帮助他们了解弹性材料在不同外力作用下的形变情况，从而优化设计，提高产品的稳定性和安全性。
在物理学中，胡克定律也是研究弹性物体力学行为的基础。
通过研究不同弹性材料在不同外力作用下的形变情况，物理学家们可以进一步探索弹性材料的内部结构和性质，为材料科学和工程学的发展提供重要的理论支持。
总之，胡克定律是物理学中的一个基本定律，它描述了弹性物体在受到外力作用时其形变与外力之间的关系。
这个定律告诉我们，当一个物体受到的力越大，它所发生的形变也就越大；而弹簧的劲度系数k是一个常数，它与物体的质量无关。
工程力学胡克定律
工程力学胡克定律一、定律定义胡克定律是工程力学中的一个基本定律，它指出在弹性限度内，物体的形变与作用力成正比。
换句话说，材料在受到外力作用时会产生形变，形变的大小与作用力的大小成正比。
二、符号表示胡克定律通常用符号F=kx 表示，其中 F 代表作用力，x 代表形变量，k 代表弹簧常数，也称为弹性系数。
三、公式及变形胡克定律的公式为F=kx，其中k 的单位为N/m 或N-m/m，表示每单位形变量所受的作用力。
根据需要，公式可以变形为x=F/k 或F=kx。
四、适用范围胡克定律适用于弹性形变范围内，即材料在受到外力作用后能够恢复到原来的状态。
如果形变量过大，材料可能会进入塑性形变范围，此时胡克定律不再适用。
五、弹簧常数弹簧常数k 是指弹簧在单位形变量下所受的作用力，其大小取决于弹簧的材料、形状和尺寸等因素。
可以通过实验方法测定弹簧常数k 的值。
六、单位换算在应用胡克定律时，需要注意单位的换算。
常见的单位有国际单位制中的N、m、kg 等，需要根据具体情况进行换算。
七、实验装置实验装置包括一个弹簧、一个测量尺、一个测量台和一个测量支架等。
弹簧的一端固定在测量支架上，另一端连接测量尺，测量尺可以移动并指示形变量的大小。
八、实验原理实验时，先测定弹簧未受到外力作用时的自由长度L0，然后将弹簧一端固定在支架上，另一端连接测量尺。
通过逐渐增加外力 F 的大小，记录相应的形变量x 的值。
根据胡克定律公式F=kx，绘制F-x 曲线，可以得出弹簧常数k 的值。
九、实验步骤1. 准备实验装置，确保测量尺和测量支架安装牢固；2. 测量弹簧未受外力作用的自由长度L0；3. 设定初始外力F 的值，记录相应的形变量x1；4. 逐次增加外力F 的值，记录相应的形变量xi；5. 绘制F-x 曲线；6. 根据曲线求出弹簧常数k 的值。
胡克定律
胡克定律胡克定律是力学基本定律之一。
适用于一切固体材料的弹性定律，它指出：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。
这个定律是英国科学家胡克发现的，所以叫做胡克定律。
胡克定律的表达式为f＝kx，其中k是常数，是物体的倔强系数。
在国际单位制中，f的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛／米。
倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。
在现代，仍然是物理学的重要基本理论。
胡克的弹性定律指出：在弹性限度内，弹簧的弹力f和弹簧的长度x成正比，即f= -kx。
k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。
为了证实这一定律，胡克还做了大量实验，制作了各种材料构成的各种形状的弹性体。
prison break里面说的是力学的胡克定律，这个是材料力学里面的知识点，具体计算起来比较复杂。
记得以前看过一个记录片，关于爆破的方法，在一个实心的大块混凝土结构上，通过计算得出关键的受力点，然后在这几个受力点上打孔，接着放入引爆所需要的最少量的炸药，进行引爆，引爆的结果就是会导致混凝土爆炸影响范围最小，这种爆破方法就是通过精确的计算来决定爆破最好的效果，从而不会影响其他的附近的建筑物。
胡克定律Hook's law材料力学和弹性力学的基本规律之一。
由R.胡克于1678年提出而得名。
胡克定律的内容为：在材料的线弹性范围内，固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ＝Εε，式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。
把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。
胡克定律为弹性力学的发展奠定了基础。
各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：σ11＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε11，σ23＝2Gε23，σ22＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε22，σ31＝2Gε31，(1)σ33＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε33，σ12＝2Gε12，及式中σij为应力分量；εij为应变分量（i，j＝1，2，3）；λ和G为拉梅常量，G又称剪切模量；E为弹性模量（或杨氏模量）；v为泊松比。
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A L
F
F
B
LAB
FL EA
B
C
L
C
B
FL EA
图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆， B点受荷载F作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位 移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
§4 拉（压）杆的变形.胡克定律`
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
L
L
L L L 绝对变形
L 相对变形 L
表示轴向变形的程度
线应变: 描述弹性体在各点处线变
形程度的量
当杆沿长度均匀变形时
L
L
纵向线应变 (无量纲)
L
图式平板，两端受均布载荷q作用，若变形前在板面划上两条平行
线段AB和CD，则变形后（ A ）。
A.AB∥CD，α角减小；B. AB∥CD，α角不变； C.AB∥CD，α角增大；D.AB不平行于CD。
AC
q
q
BD
图示单向均匀拉伸的板条。若受力前在其表面画上两个正方形
a和b，则受力后正方形a、b分别变为（ C ）。
伸变形后，圆a、b分别为（ A ）。
A.圆形和圆形；B.圆形和椭圆形； C.椭圆形和圆形；D. 椭圆形和椭圆形。
a
b
A AL
在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。
当杆沿长度非均匀变形时
FN x
F
x
dx
L
x
dx dx
FN xdx EAx
dx
FN x EAx
x
E
无论变形均匀还是不 均匀，正应力与正应变的 关系都是相同的。
2、横向变形
△b=b1－b
b1 b
b
b
横向线应变
泊松比
图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆
A.正方形、正方形；B.正方形、菱形；
C.矩形、菱形；D.矩形、正方形。
q
a
b
q
图示结构，刚性杆AB由三根材料、横截面面积均相
同的杆支承。在结构中（ B ）为零。
A. 杆1的轴力； B. 杆2的轴力； C. C点的水平位移；D. C点的铅垂位移。
a
12
3
A b
C
B
b F
等直圆截面杆，若变形前在横截面上画 出两个圆a和b（如图示），则在轴向拉
α＝300，杆长L＝2m，杆的直径d=25mm，材
料的弹性模量E＝2.1×105MPa，设在结点A处悬
挂一重物F＝100kN，试求结点A的位移δA。
X 0
FNAC sin FNAB sFin 0
B1
2
C Y 0
FNAC
FNAC cos
FNFANBAB c2ocsos F
0
FNAB FNAC
αα
LAB
LAC
FNAC L EA
FL
2 EA cos
A
A
A
AA
LAC
cos
FL
2EAcos2
F
LAC
A
LA1105 106 252 106
4
cos 300
A
图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水 平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点 处受荷载F作用，试求B点的位移δB。
L
实验表明：在材料的线弹性范围内，△L与外力F
和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。
L FN L EA
胡克定律 EA ：拉抗（压）刚度
当拉（压）杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后 分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量。
EA L L
L
i
FNi Li
EAi
FN EA L E
F
3L
aB
2 2L a 刚 1L a 杆
a A1
F
L2 2L1
B L3 3L1
L1 1 L1
A1
2
L2 L2
2L1 L2
21 L
2L
1
3
L3 L3
3L1 L3
31 L
3L
1
结果:图示三杆虽然变形量各不
相同,但应变却是相同的.说明变形 和应变是两个有关系,但又不完全 相同的概念.
图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知
C.既有变形，又有位移； D.既无变形，又无位移。
FB
C
A
l
l2
一等直拉杆在两端承受拉力作用，若其一半为钢，另
一半为铝，则两段的（ B ）。
A.应力相同，变形相同；B.应力相同，变形不同； C.应力不同，变形相同；D.应力不同，变形不同。
在下列结论中，（ A ）是错误的。
A.若物体产生位移，则必定同时产生变形； B.若物体各点均无位移，则必定无变形； C.物体的变形与位移取决于外力的大小和方向； D.位移的大小取决于物体的变形与约束。
a
LCD a
D
FNCD
Fa
A
C 刚杆
B
L C1
L
2
2
B1
B 2LCD 2a
2. 已知EA
LCD
FNCD a EA
mA 0
FNCD 2F
B
2L2LCFDNCD
4FFa L EA
0
3
图示刚性杆上连接有三根杆子,其长度分别为 L,2L和3L,位置如图示.若已知力F及杆1的应变值 ε1,求:2,3两杆的应变值.
αD
BB1 B 2CC1
FNCD
F
A
C
a
CC1
CLCCD
ccooss
C
C1
L/2
L/2
B
mA 0
FNCD
2F
cos
B1
LCFDLFNC12DELAcLoCsD FCD
2F a
EA cos2
B
4Fa
EAcos3
图示产生弯曲的梁，BC梁段（ B ）。
A.有变形，无位移；
B.有位移，无变形；