三维空间连续系统的目标轨迹预见跟踪控制2
基于卡尔曼预测算法的云台三维空间目标跟踪
０ 引 言
图像监 控 系统广泛 应用 于银 行 、 通 、 交 智能小 区等 场合 ， 而现 有 的监 控 系统 尚不 能满 足许 多应 用 场合
的需要 ， 主要 体现 在智 能化程 度不 够高 ， 多场合 还需 要人 工 的干预 ． 很 由于人工 操作具 有滞 后性 ， 使很 多重 要 的场 景信息 丢失 ， 而无 法抓 证取 证． 云台控 制是 监控 系统 的重要 组成 部分 ， 主要 负 责控制 摄像 机 的转 动 、 变焦 等操 作． 近年来 ， 用 图像 进行 目标 跟踪 与识 别 已成 为 十 分 活跃 的研 究 方 向之一 ．文 献 （ ３ 于移 动 利 １基 车辆 图像 进行 轮廓 提取 ， 可将 目标从 背景 中提 取 出来 ， 文献 （ ］ 过对 图像 的边缘 检测 和 图像 中心点 的处 ２通 理， 实现 了 目标 图像 的定 位 ， 献 （３ 述 了国 内外 各 种 被 动测 距 的方 法 和原 理 ． 文 ３综 当对 某 一 目标进 行 观 察 时， 总是存 在各 种干 扰 ， 如系统 噪声 、 测量 噪声 等． 者提 出利 用 Ｋ ｌ ｎ滤波 方程 递 推 预估计 能 力对 运 动 作 ａｍａ 目标 的位 置进行 跟踪 ， 时调整 云 台偏转 角度 ， 及 解决 了云 台运 动滞后 所带 来 的跟踪 失效 问题． １ 目标状 态卡 尔曼预 测算 法
１ １ 目标 状 态 最 优 估 计 ．
卡尔曼 滤波器 常 用于对 动态 系统 的状 态进行 线性 最小 方 差误 差 估计 ， 而 对 下一 个 目标运 动 状态 做 从 最 优估计 ， 测时具 有稳 定 和最优 的特 点Ｈ ． 预 卡尔曼 滤波 器算 法主 要包 含状 态方程 和观 测方程 ， 别如 下 ： 分
《2024年六自由度串联机器人运动优化与轨迹跟踪控制研究》范文
《六自由度串联机器人运动优化与轨迹跟踪控制研究》篇一一、引言随着科技的不断发展，六自由度串联机器人在工业自动化、医疗康复、军事航天等领域的应用越来越广泛。
而如何提高机器人的运动性能，使其在复杂的任务环境中实现高精度的轨迹跟踪控制，成为当前研究的热点问题。
本文将针对六自由度串联机器人的运动优化与轨迹跟踪控制进行研究，旨在提高机器人的运动性能和作业精度。
二、六自由度串联机器人概述六自由度串联机器人是一种多关节机器人，具有六个独立的运动轴，能够实现空间三维运动。
其结构紧凑、灵活度高、适应性强，在许多领域得到广泛应用。
然而，由于其复杂的运动学和动力学特性，使得其运动控制和轨迹跟踪成为一大挑战。
三、运动优化研究（一）优化算法研究针对六自由度串联机器人的运动优化问题，本文采用基于遗传算法的优化方法。
遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法，能够快速寻找到全局最优解。
通过对机器人运动学模型进行建模，将机器人的运动轨迹优化问题转化为一个求解最优解的问题，运用遗传算法进行求解。
（二）运动学模型建立为了实现机器人的运动优化，需要建立精确的运动学模型。
本文采用D-H（Denavit-Hartenberg）法建立机器人的运动学模型，通过求解机器人各关节之间的变换矩阵，得到机器人末端执行器的位置和姿态。
在此基础上，进一步分析机器人的工作空间、奇异形态等问题，为后续的轨迹规划和控制提供依据。
四、轨迹跟踪控制研究（一）控制器设计为了实现六自由度串联机器人的高精度轨迹跟踪控制，本文采用基于PID（比例-积分-微分）控制器的控制策略。
通过对机器人运动过程中的速度、加速度等参数进行实时调整，使机器人能够快速、准确地跟踪设定的轨迹。
同时，针对机器人系统的非线性和不确定性，引入自适应控制算法，提高系统的鲁棒性。
（二）轨迹规划与实现轨迹规划是轨迹跟踪控制的关键环节。
本文采用基于时间最优的轨迹规划方法，根据机器人的运动学模型和任务要求，生成平滑、连续的轨迹。
轨迹控制有关概念和计算
轨迹控制有关概念和计算轨迹控制是指在机器人或移动机械系统中，通过控制系统使其能够按照所预定的轨迹运动。
轨迹控制涉及到轨迹的描述和计算、路径规划以及控制算法等多个方面。
在机器人领域，轨迹控制可以应用于各种任务，如自动驾驶、工业机械臂、机器人手和腿的运动等。
轨迹的描述可以采用多种形式，包括直角坐标系、极坐标系和参数方程等。
在直角坐标系中，轨迹可以简单地由一系列离散的点或者由连续的函数描述。
在极坐标系中，轨迹可以由极坐标的弧长和角度来描述。
在参数方程中，轨迹可以通过参数t的变化来描述物体在时间上的运动。
轨迹的计算可以通过数学公式、几何算法和仿真模拟等方法来进行。
数学公式可以根据具体的物体形状和运动规律来求解轨迹。
几何算法可以利用几何学的原理和规则来计算轨迹。
仿真模拟可以通过计算机模拟来获取预期的轨迹，然后根据实际情况进行调整和优化。
路径规划是轨迹控制中的一个重要环节，主要涉及到自动生成机器人移动的路径。
路径规划的目标是在给定约束条件下找到一条最优路径，使得机器人能够以最短的时间、最小的能量消耗或者其他指标移动到目标位置。
路径规划算法可以分为离线规划和在线规划两种类型。
离线规划是在机器人开始移动之前，提前计算好一条完整的路径。
在线规划是机器人在移动过程中不断更新路径。
在轨迹控制中，控制算法扮演着重要的角色。
控制算法可以根据轨迹的描述和当前机器人的状态，计算出合适的控制指令。
常见的控制算法包括PID（Proportional-Integral-Derivative）控制算法、模糊控制算法和神经网络控制算法等。
PID控制算法是一种常用的经典控制算法，通过测量偏差和误差的变化率来调节控制指令。
模糊控制算法可以处理非线性系统和模糊输入输出的控制问题。
神经网络控制算法可以利用神经网络的强大逼近能力来对复杂的控制问题进行建模和求解。
除了概念和计算，轨迹控制还涉及到实际应用中的问题和挑战。
例如，轨迹控制需要考虑机器人的动力学和力学特性，以便保证机器人能够按照预期的轨迹进行移动。
AUV三维空间轨迹跟踪控制方法研究的开题报告
AUV三维空间轨迹跟踪控制方法研究的开题报告一、选题背景和意义随着科技的发展和应用的需求，水下机器人逐渐发展成为一个重要的领域。
AUV（Autonomous Underwater Vehicle）是一种自主水下机器人，具有无线电远程或完全自主控制的能力，可以应用于海底勘探、海洋环境监测、潜水作业等领域。
AUV需要在水下自主控制自身的运动，达到指定的目标位置和姿态，因此需要开发一种高效的控制方法来保证AUV的运动质量和可靠性。
二、研究内容和目标本文将研究AUV的三维空间轨迹跟踪控制方法。
目的是设计一个能够实现自主运动的控制系统，使AUV能够从一般的起始位置在三维空间中实现到达目标点，并达到指定的姿态。
在此基础上，进一步考虑系统的鲁棒性和适应性。
三、预期的研究内容和方法1.系统建模。
针对AUV的三维运动特点，设计AUV的数学模型，包括质量、惯性矩阵、水动力学特性以及控制系统的仿真模型。
2.设计控制策略。
采用PID控制器或其他先进的控制算法设计控制策略，以实现AUV的三维空间轨迹跟踪和姿态控制。
3.仿真实验。
使用MATLAB或其它仿真软件，对设计的控制系统进行仿真实验，从而验证控制系统的性能、鲁棒性和适应性。
4.控制系统测试。
基于仿真实验结果，对控制系统进行实际AUV测试，验证系统的实际性能，并对测试结果进行分析和总结。
四、预期结果通过本次研究，期望设计出一个鲁棒性强、性能优良、适应性宽广的AUV三维空间轨迹跟踪控制系统，实现AUV在水下环境中自主运动的目标。
五、预期应用和推广价值本文的研究成果可以应用于海洋勘探、海洋环境监测、潜水作业和深海探测等领域，为人们的海底探索、资源开发和科研提供了更加先进和有效的技术手段。
在此基础上，可以进一步研究AUV的多机协同控制和智能决策等问题。
国家开放大学电大《机电一体化系统》机考三套标准试题及答案2
国家开放大学电大《机电一体化系统》机考三套标准试题及答案2国家开放大学电大《机电一体化系统》机考三套标准试题及答案盗传必究第一套一、判断题 1.安全可靠性高是机电一体化产品与传统机电产品相比唯一具有的优越性。
F 2.在机电一体化系统中，通过提高驱动元件的驱动力可有效提高系统的稳定性。
F 3.滚珠丝杠副的轴向间隙是承载时在滚珠与滚道型面接触点的弹性变形所引起的螺母位移量和螺母原有间隙的总和。
T 4.转换元件能将敏感元件输出非电物理量（如位移、应变、光强等）转换成电参数量（如电阻、电感、电容等 T 5.灵敏度（测量）时传感器在静态标准条件下输入变化对输出变化的比值。
T 6.SPWM是正弦波脉冲宽度调制的缩写。
T 7.直流伺服电动机在一定电磁转矩T（或负载转矩）下的稳态转速n随电枢的控制电压U正确答案：变化而变化的规律，称为直流伺服电动机的调节特性。
T 8.无论采用何种控制方案，系统的控制精度总是高于检测装置的精度。
F 9. I/O接口电路也简称接口电路。
它是主机和外围设备之间交换信息的连接部件（电路）。
它在主机和外围设备之间的信息交换中起着桥梁和纽带作用。
T 10.圆柱坐标式机器人具有二个转动关节和一个移动关节，具有三个自由度 F 11. 执行机构是机器人完成作业的机械实体，具有和手臂相似的动作功能，是可在空间抓放物体或进行其它操作的机械装置。
T 12. FML是表示柔性制造单元 T 13. FMS具有优化的调度管理功能，无需过多的人工介入，能做到无人加工 T 14.三维扫描器不可以扫描二维图像 F 二、单选题 1.（）不是机电一体化产品正确答案：机械式打字机 2. 在设计齿轮传动装置时，对于转动精度的降速齿轮传动链，可按什么原则进行设计正确答案：输出轴转角误差最小 3. 由电信号处理部分和液压功率输出部分组成的控制系统是（）。
正确答案：电液伺服系统 4. 通过“手把手”方式教机械手如何动作，控制器将示教过程记忆下来，然后机器人就按照记忆周而复始地重复示教动作，这种方式称为() 正确答案：“示教再现”方式 5. 对于只进行二维平面作业的工业机器人只需要三自由度，若要使操作具有随意的位姿，则工业机器人至少需要几个自由度（）。
3d目标跟踪综述
3d目标跟踪综述全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：3D目标跟踪是计算机视觉领域的一个重要研究方向，它旨在追踪三维空间中的目标，并实现对目标在空间中的位置动态跟踪。
目标跟踪在现实生活中有着广泛的应用，如自动驾驶、智能监控、增强现实等领域。
随着深度学习、传感技术和计算能力的不断进步，3D目标跟踪技术也取得了长足的发展，并在各个领域展现出了巨大的潜力。
在3D目标跟踪的研究中，一个关键问题是如何从视频序列或传感器数据中提取目标的位置、姿态和运动信息。
传统的2D目标跟踪技术通常只能提取目标在图像平面上的位置信息，而3D目标跟踪则要求获取目标在空间中的三维坐标信息。
为了实现这一目标，研究者们提出了各种不同的算法和方法，包括基于几何信息的方法、基于深度学习的方法、基于传感器融合的方法等。
在基于几何信息的方法中，研究者通常会利用单目或双目摄像头、激光雷达等传感器获取目标的深度信息，并使用几何学原理推断目标的位置和运动状态。
这类方法通常需要较为复杂的计算和较高的传感器精度，但在一些场景下能够取得很好的效果。
基于深度学习的方法则通过训练神经网络模型来学习目标的特征表示，并从中推断目标的位置和运动状态。
这类方法通常能够在大数据集上取得较好的效果，并且具有较强的泛化能力。
除了上述两种方法外，还有一些基于传感器融合的方法，如结合摄像头、激光雷达、GPS等传感器的数据来实现目标跟踪。
这类方法通常能够利用不同传感器的优势，提高跟踪的准确性和稳定性。
还有一些基于滤波器的方法，如卡尔曼滤波、粒子滤波等，用于融合传感器数据、估计目标状态和预测目标位置。
这些方法在实时性和鲁棒性方面有着较高的性能。
3D目标跟踪是一个积极发展的研究领域，涉及到多个学科领域的知识和技术，如计算机视觉、机器学习、传感技术等。
随着技术的不断进步和应用场景的扩大，我们相信3D目标跟踪技术将在未来发挥出更大的作用，并为人类社会的发展做出更大的贡献。
希望未来能够有更多的研究者参与到这一领域的研究中，共同推动3D目标跟踪技术的发展和应用。
《轨迹控制》PPT课件
2.2 轨道类型 常规二维定向井轨道类型：按照我
国钻井行业标准规定，有四种类型： 三段式，多靶三段式，五段式和双 增式，如图5-20~5-23所示。不同类 型的轨道，它们的设计条件和计算 公式各不相同。
46
47
48
49
50
关节点：图中的字母K 代表造斜点， b 代表增斜结束点，t 代表目标点， c 代表五段式的降斜始点或双增式 的第二次造斜点，d 代表多目标井 的目标终点。所有这些点称为关节 点。这些关节点的参数均以相应字 母为下标。
57
磁性测斜仪的原理：如图5-8所示，罗 盘靠一顶尖支撑，可在仪器中灵活转动， 不管仪器外壳如何转动，罗盘的S极始 终指北。在仪器中心悬挂一个“十字” 重锤，不管仪器外壳如何倾斜，重锤始 终指向重力方向。
静止测量时，照相机对着透明的罗盘面 照相，所以“十字”图形也被照在底片 上。然后相机自动进卷，再记录下图 参看图5-7，设想经过井眼轨迹上 的每一个点作一条铅垂线，所有这 些铅垂线就构成了一个曲面，在数 学上称作柱面。其特点是可以展平 到一个平面上，就形成了垂直剖面 图。该图的两个坐标是垂深D 和水 平长度Lp。
36
37
第二节 井眼轨道设计
1 井眼分类
分类标准说明：按轨道。
磁偏角校正：目前广泛使用的磁性测斜仪是 以地球磁北方位为基准的，所测得的井斜方 位角为磁方位角，并不是真方位角。需要经 过换算求得真方位角，称为磁偏角校正： 真方位角=磁方位角+东磁偏角 真方位角=磁方位角-西磁偏角
16
1.4 轨迹基本参数的特性 问题讨论： 1)井深、井斜角和井斜方位角3参
1)地面环境条件的限制； 2)地下地质条件的要求； 3)处理井下事故的需要。 4 井眼轨迹控制(导向)基本方法
空间机器人自主捕获目标的轨迹规划与控制研究
空间机器人自主捕获目标的轨迹规划与控制研究一、概述随着科技的不断发展，空间机器人在太空探索、资源开采、卫星维修、在轨服务等领域的应用日益广泛。
在这些应用中，空间机器人需要自主捕获目标，并进行精确的轨迹规划与控制，以实现高效、安全的任务执行。
对空间机器人自主捕获目标的轨迹规划与控制进行研究具有重要的理论价值和实际应用意义。
空间机器人自主捕获目标的轨迹规划与控制涉及多个关键技术，包括目标识别与定位、轨迹规划、控制算法设计、动力学建模与优化等。
目标识别与定位是轨迹规划与控制的前提，需要准确获取目标的位置和姿态信息。
轨迹规划则需要根据任务需求和空间环境，设计出满足约束条件的机器人运动轨迹。
控制算法设计则需要考虑空间机器人的动力学特性和控制精度要求，以实现精确的运动控制。
本文旨在探讨空间机器人自主捕获目标的轨迹规划与控制方法，重点研究目标识别与定位、轨迹规划、控制算法设计等方面的关键技术。
对空间机器人的动力学建模与优化进行分析，为后续的轨迹规划与控制提供理论基础。
研究基于视觉的目标识别与定位方法，实现对目标的快速准确识别。
接着，针对空间机器人自主捕获目标的任务需求，设计满足约束条件的轨迹规划算法。
研究基于优化算法的控制策略，实现对空间机器人的精确运动控制。
通过本文的研究，旨在为空间机器人自主捕获目标的轨迹规划与控制提供有效的理论支持和技术指导，推动空间机器人在太空探索、资源开采、卫星维修等领域的应用发展。
1. 研究背景与意义随着空间技术的发展，空间机器人在执行深空探测、在轨服务、空间基础设施建设等任务中发挥着越来越重要的作用。
这些任务往往要求空间机器人具备高度的自主性和精确的操作能力，尤其是在复杂、不确定的空间环境中。
空间机器人的轨迹规划与控制技术成为实现其高效、安全执行任务的关键。
研究空间机器人自主捕获目标的轨迹规划与控制，具有重大的理论与实际意义。
从理论层面来看，这一研究有助于深化和完善空间机器人学的基本理论，推动其从传统的遥控操作向智能化、自主化方向发展。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三维空间连续系统的目标轨迹预见跟踪控制廖福成，袁晓艳（北京科技大学应用科学学院，北京 100083）摘要:针对连续系统已知的空间目标轨迹,把基于协调误差的空间目标轨迹最优预见跟踪控制的方法应用于连续系统,其核心是将轨迹的协调跟踪误差和轨迹的位置跟踪误差考虑成系统的状态变量,并实施最优反馈控制。
仿真分析表明,该轨迹跟踪控制方法能够有效提高系统的轨迹跟踪控制精度。
关键词:协调误差;最优控制;跟踪控制;预见控制中图分类号:TP273.1Preview Tracking Control of Object Trajectory about Continuoussystem Based On Harmony ErrorAbstract: Aim at known space object trajectory of a Continuous system, a new preview control scheme, named optimal preview tracking control of space object trajectory based on harmony error is proposed. The highlight of the method is that harmony error and position error of tracking trajectory is put into system space state equation,which to improve the system control accuracy. The simulation result shows that the method above is valid for improving the performance of high accuracy trajectory control.Key words: harmony error ，optimal control，tracking control，preview control在离散系统的跟踪控制中,引入已知未来目标信息可以改善系统对目标信号的跟踪性能,它对解决目标轨迹跟踪运动性能起到了良好的作用。
见文[1-3]。
但是,已往最优预见控制都是研究的离散系统，而对连续系统的研究却很少，三维空间目标轨迹跟踪控制研究的也是离散系统，而连续系统又有自己的有点。
因此本文主要讨论了基于协调误差的三维空间连续系统的目标轨迹预见跟踪控制，主要也是同时考虑轨迹跟踪协调误差和位置协调误差的轨迹跟踪最优预见控制方法,即将系统对已知空间目标轨迹的跟踪协调误差和位置协调误差同时作为其状态变量,实施其反馈最优预见控制,从而可有效提高系统对空间目标轨迹的跟踪运动性能。
1 跟踪控制系统的构成设在空间坐标系中连续时间系统的方程为：()()()()(),,,i i i i ii i ix t A x t B u ty t C x t i x y z=+⎧⎨==⎩（1）其中：()nix t R∈是状态向量，()iy t R∈是输出，()miu t R∈是控制输入向量，,,i i iA B C分别是,,1n n n m n⨯⨯⨯维的常数矩阵。
设目标值向量为()r t，()r t是分段连续可微的函数向量，并设从当前时刻t起()rτ()t t lτ≤≤+是可预见的，()r t在,,X Y Z轴上的分量为(),(),()x y zr t r t r t即：()()()()x y z r t r t r t r t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0000,00xy z A A A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦000000xy z B B B B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0000,0x y z C C C C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()x y z x t x t x t x t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()x y z y t y t y t y t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()()()()x y z u t u t u t u t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则就有方程：()()()()()xt Ax t Bu t y t Cx t =+⎧⎨=⎩ （2） 把目标值向量函数()r t 与系统输出()y t 之间的差定义为系统的位置误差：()()()()()()()()()()x x x y y y z z z e t r t y t e t e t r t y t e t r t y t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()r t y t =- 则：()()()()()x x x x x x et r t y t r t C x t =-=- ()()()()()y y y y y y et r t y t r t C x t =-=- ()()()()()z z z z z z et r t y t r t C x t =-=- 本文做如下定义：定义1 三维空间坐标系中的位置协调系数为：12()()(),()()()x x y z r t r t n t n t r t r t == 12(),()n t n t 称为X 与Y 轴，X 与Z 轴的位置协调系数。
所以就有： 12()()()0,()()()0x y x z r t n t r t r t n t r t -=-=定义2 三维空间坐标系中连续系统的协调跟踪误差如下：11()()()()x y e t y t n t y t =-11()()()()()()x y x y y t n t y t r t n t r t =--+ 1()()()xye t n t e t =-+22()()()()x z e t y t n t y t =-22()()()()()()x z x z y t n t y t r t n t r t =--+ 2()()()x z e t n t e t =-+那么111()()()()()()x y y et e t n t e t n t e t =-++ 1()()()()x x x y rt C x t n t e t =-++ 1()(()())y y y n t rt C x t +- 1()()()()x x x y rt C x t n t e t =-++ 11()()()()y y y n t rt n t C x t +- 同理222()()()()()()x z z et e t n t e t n t e t =-++ 2()()()()x x x z rt C x t n t e t =-++2()(()())z z z n t rt C x t +- 2()()()()x x x z rt C x t n t e t =-++ 22()()()()z z z n t rt n t C x t +- 由（2）式得到：()()()dx t Ax t Bu t dt=+ 引入新的状态变量：1()[()()()()x y z z t e t e t e t e t =2()()()()]T T T Tx y z e t x t x t x t那么就有：()()()()()()r zt A t z t Bu t G t r t =++ （3） 其中：10()0C A t NC A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1(),0r I G t N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 120()00000()00nt N n t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 112()0()x yxz C n t C C C n t C -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1121()010()n t N n t -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ()()()()TT T T x y z u t u t u t u t ⎡⎤=⎣⎦ ，()()()()Tx y z r t r t r t r t ⎡⎤=⎣⎦2 轨迹跟踪最优预见控制算法对系统（3）取二次型性能指标函数：1[()()()()]2f t T Tt J z t Qz t u t Ru t dt =+⎰ （4）其中0t 是初始时刻，f t 是末端时间，0,0Q R ≥>。
通过在二次型性能指标函数中引入输入的导数()ut 可以有助于消除静态误差。
显然,式(4)是考虑轨迹协调跟踪误差和位置跟踪误差的最优控制问题。
下面求出系统（3）在性能指标函数（4）下的最优控制输入。
定理1 系统（3）在性能指标函数（4）下的最优控制输入为：11()()()()T Tut R B P t z t R B g t --=-- 其中()P t 为 n n ⨯阶矩阵，满足Riccati 微分方程：()()()()()T Pt A t P t P t A t -=+ 1()()T P t BR B P t Q --+终端条件为： ()0f P t =()()exp()()()()rl t Crtsg t A u du P s G s r s ds=-⎰⎰ 其中：1min(,),()()()T T r f C l t t l A t P t BR B A t -=+=- 证:根据最小值原理，构造Hamilton 函数：11((),(),(),)()()()()22T TH z t ut r t t z t Qz t ut Qu t =+ ()[()()()()()]Tr t A t z t But G t r t λ+++ 则有正则方程：()Ht zλ∂=-∂ 控制方程：0Hu∂=∂ 状态方程：()()()()()()r zt A t z t Bu t G t r t =++ 边界条件：00(),()0f z t z t λ==由以上方程可以得到：100()()()()()()()()()()()()(),()0r TTf z t A t z t But G t r t t Qz t A t t u t R B t z t z t λλλλ-⎧=++⎪=--⎪⎨=-⎪⎪==⎩（5） 消去()ut 得到： 1()()()()()()()()()()T r Tz t A t z t BR B t G t rt t Qz t A t t λλλ-⎧=-+⎨=--⎩ （6） 现从（6）中解出()t λ，（6）又可写为：1()()()()()()T T zt z t A t BR B t t Q A t λλ-⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()0r G t rt ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦由微分方程知识可以得到：0100()()()()z z t t t t λλ-⎡⎤⎡⎤=ΦΦ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1()()()()0tr t G s r s t s ds -⎡⎤+ΦΦ⎢⎥⎣⎦⎰ 0000()()()()0t r t z G s rs t t t s ds λ⎡⎤⎡⎤=Φ-+Φ-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ 其中：01()()exp ()T t T t A u BR B t du Q A u -⎛⎫⎡⎤-Φ= ⎪⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝⎭⎰ 令:11122122()()()()()t t t t t ΦΦ⎡⎤Φ=⎢⎥ΦΦ⎣⎦则（7）式写为：11012002102200()()()()()()t t t t z z t t t t t t λλΦ-Φ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥Φ-Φ-⎣⎦⎣⎦⎣⎦011122122()()()()()()0t r t t s t s G s rs ds t s t s Φ-Φ-⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥Φ-Φ-⎣⎦⎣⎦⎰ 所以1100120021002200()()()()()()t t z t t z t t t z t t t λλλΦ-+Φ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥Φ-+Φ-⎣⎦⎣⎦01121()()()()()()tr t r t s G s rs ds t s G s r s Φ-⎡⎤+⎢⎥Φ-⎣⎦⎰ 把0t 换成t ，t 换成f t11122122()()()()()()()()()()f f f f f f z t t t z t t t t t t t z t t t t λλλΦ-+Φ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥Φ-+Φ-⎣⎦⎣⎦1121()()()()()()ft f r tf r t s G s rs ds t s G s r s Φ-⎡⎤+⎢⎥Φ-⎣⎦⎰所以有：2122()()()()()f f f t t t z t t t t λλ=Φ-+Φ-21()()()ft f r t t s G s rs ds +Φ-⎰ 可以看到()t λ具有如下的形式：()()()()t P t z t g t λ=+ （8） 容易得到：()0,()0f f g t P t == 把（8）式代入（5）式的第三式得到：111()()()()T T T ut R B t R B z t R B g t λ---=-=-- （9）把（9）式代入（3）式得到:1()(()())()T zt A t BR B P t z t -=-1()()()T r BR B g t G t r t --+ （10）再由（5）的第二式得到：()()()()T t Qz t A t t λλ=--()()(()()())TQz t A t P t z t g t =--+ [()()]()()()T T Q A t P t z t A t g t =-+-由（8）式得：()()()()()()t P t z t P t z t g t λ=++ 所以就有：()()()()()P t zt P t z t g t ++ [()()]()()()T T Q A t P t z t A t g t =-+-把（10）式代入上式得：[()()()()()T Pt A t P t P t A t ++ 1()()]()TP t BR B P t Q z t --+ 1[()()()T gt P t BR B g t -+- ()()()()()]0Tr P t G t rt A t g t ++= 上式是()z t 的恒等式，所以有：()()()()()T Pt A t P t P t A t -=+ 1()()TP t BR B P t Q --+ 1()()()T gt P t BR B g t -= ()()()()()T r P t G t rt A t g t -- 1[()()]()T T P t BR B A t g t -=- ()()()r P t G t rt - ()()()()()C r A t g t P t G t rt =- (11) 其中：1()()()TTC A t P t BR B A t -=- 由于方程（11）的解为：()0()exp()()t Ct g t A s ds g t =⎰()0exp()()()()tt Crt sA u du P s G s r s ds-⎰⎰将0t 换成t ，t 换成f t 就有：()()exp ()()ft f C tg t A s ds g t =⎰()exp()()()()fft t C r t sA u du P s G s rs ds -⎰⎰由于()0f g t = 所以()()exp ()ft C tg t A s ds =--⎰()exp()()()()fft t C rt sA u du P s G s r s ds⨯⎰⎰ ()exp ()()()()ft t CrtsA u du P s G s rs ds =-⎰⎰ ()exp ()()()()t lt CrtsA u du P s G s rs ds +=-⎰⎰定理1得证。