2005级线性代数考试试题

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理工大学线性代数考试试卷及参考答案(B)

三、解答下列各题（14分）：
11．设，求
四、证明题（16分＝8分×2）：
12．设为维列向量，且，证明：是对称的正交阵．
13．设可逆，证明其伴随矩阵也可逆，且．
五、计算题（14分）：
14．解矩阵方程。
六、计算题（10分）：
15．设，求可逆矩阵，使为对角矩阵，并求．
七、 ( ) ．
3．当时，都是线性方程组的解．
( ) ；（）；
（）；（）．
4．向量线性无关，而线性相关，则__________.
( ) 必可由线性表出；（）必不可由线性表出；
（）必可由线性表出；（）必不可由线性表出．
５．已知阶方阵的每行元素之和均为，则（）是的特征值．
( ) ；（）；（）；（）．
二、填空题（20分＝4分）：
6． _______．
7．设为三阶方阵，若＝5，则 =_______．
8．若4阶方阵的秩为2，则的伴随矩阵的秩等于_______．
9．设则＝________．
10．阶矩阵有个不同的特征值是与对角矩阵相似的_______条件．
16．设阶方阵，且可逆，证明
2005级线性代数期末考试参考答案（B卷）
一、单项选择（20分＝4分 5）：
1、 2、 3、 4、 5、
二、填空题（20分＝4分）：
6、，7、，8、0，9、，10、充分不必要
三、计算行列式（14分）：
11．解：因为 7’
所以 7’
四、证明（16分＝8分×2）：
2005级线性代数期末考试试卷（B卷）
课程名称：线性代数适用专业年级：

合工大2005-2006第一学期《线性代数》试卷参考答案

2005-2006学年第一学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共计15分）1. 已知220340005A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=，那么1A -=32210100015⋅⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭- ； 2. 设A 是4阶方阵，()2R A =，*A 是A 的伴随矩阵，则*()R A = 0 ；3. 若齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ⎧⎪⎨⎪⎩++=++=++= (1)λ≠有非零解，则λ= －2 ；4. 设矩阵1104102A a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=-与200010001B ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=相似，则a = 3 ； 5. 在多项式1210423()2332112x x f x x x-=中，4x 的系数是－6 .二、选择题（每小题3分，共计15分）1. 设M 是n 阶方阵，若0M =，则矩阵M 中（ C ）.()A 必有一行元素全为0 ()B 必有两行元素对应成比例()C 必有一行向量是其余行向量的线性组合()D 任一行向量是其余行向量的线性组合2. 设,A B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是（ C ）.()A 若A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值和特征向量 ()B 若A 与B 相似，则A 与B 都相似于同一个对角阵()C 若A 与B 相似，则A 与B 等价()D 若A 与B 等价，则A 与B 相似3. 设123,,ξξξ是齐次线性方程组A =0x 的基础解系，则（ D ）也是A =0x 的基础解系。

()A 与123,, ξξξ等价的一个向量组 ()B 与123,,ξξξ等秩的一个向量组 ()C 122331,,--- ξξξξξξ ()D 122331,,+++ξξξξξξ4. 设3阶方阵A 有3个线性无关的特征向量，3λ=是A 的二重特征值，则(3)R A E -=（ A ）.()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无法确定5. 设二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++，则下列结论正确的是( B ).()A f 是正定的 ()B f 的秩是2 ()C f 的秩是3 ()D f 的特征值是1,1,1三、（10分）计算n 阶行列式0000000000n a b a b D a b ba=.解按第一列展开，得1110000000000000(1)00000000n n n n a b b a b ab D a b a b b aab+--=+-阶阶1111(1)(1)n n nnn n a a ab bb --++=⨯+=+-⨯- .四、（10分）求下列向量组的一个最大线性无关组1234(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7),(1,1,3)TTTT====-αααα并指出4 α能否被123,,ααα线性表示.解因为()1234102110211021124102220222157305540001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα，所以124,,ααα或134,, ααα是向量组1234,,,αααα的最大线性无关组。

武汉大学2005-2006线性代数试题(工科54学时)

武汉大学数学与统计学院2005－2006学年第一学期《线性代数》A 卷（供工科54学时用）学院专业学号姓名注所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。

一、计算题（每题5分，6题共30分）：1．设111111111-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，当 1 n 是不小于的整数时，计算nA .2．设二阶方阵A 满足方程O I A A =+-232，求A 所有可能的特征值. 3．求二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩.4．已知阶矩阵(2)n ≥，且非奇异，求**()A .5．设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足0+==E A E A -，计算A I 323+.6. 设n 阶向量Tx x )00(，，，， =α，矩阵T n I A αα-=,且T n x I A αα+=-1，求实数x .二、解答题（3题共45分，每题15分）1．设10102016A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且()2R A =，满足，求a 和.2．已知222254245λλλ--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪---⎝⎭A ,121λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭b ,就方程组=AX b 无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时，求出其通解.3、设二次型222123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x ,(1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值; (2).求可逆矩阵P ，使AP P 1-成为对角阵;(3).计算mA (m 是正整数).三、证明题和讨论题（2题共25分）：1.（10分）设是阶实方阵，(1).当为奇数且I AA T=及时, 证明：0=-A I .(2).当 m 为给定任意正整数且O I A m =+)(时, 证明：A 可逆.2.（15分）对线性空间3R 中的向量组A ：123,,ααα和B ：123,,βββ,讨论下面的问题：(1).向量组B 是否能成为3R 中的基？能否用A 线性表示B ？如果可以，试求出由123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵P ,其中1100α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2110α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 3111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a 2112β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭a 3110β-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，且a 为实数.(2).若112321233123(22), (22), (22), βαααβαααβααα=+-=-+=--k k k k 是非零实数，（a ）给出向量组123,,βββ线性无关的一个充要条件，并证明之；（b ）给出矩阵123(),,βββ为正交阵的一个充要条件，并证明之.（2005－2006上工科54学时）线性代数A 卷参考解答一、计算题：1、11113111111()n --⎛⎫⎪--- ⎪⎪--⎝⎭；2、1212λλ＝，＝；3、 2 ；4、2n AA -； 5、－10 ； 6、－1 . 二、解答题：1、解：由初等变换求得a ＝1，（记E I =，下同），由0≠-EA ，因此可逆，且2、解：经计算, 因此方程组有唯一解。

2005-2006第二学期线性代数

安徽大学20 05 -20 06 学年第二学期《线性代数》期末考试试卷（A 卷）（时间120分钟）年级院系专业姓名学号座位号一、选择题（每小题3分，共30分）1．．排列542316的逆序数τ（542316）=（）A ．7B ．6C ．8D ．92．设A 是3阶方阵，且|A|=2，则|2A|=（） A ．4B ．-4C ．16D ．123设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--121011322，则A 的伴随矩阵A*=（） A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----461351341B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----461351341C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----433654111D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----4336541114．A,B 是n 阶方阵，，则下列结论中错误．．的是（） A ．TTTA B AB =)( B ．kk k B A AB =)( C ．kllk A A =)(D ．B A AB =5．设A,B,C 为n 阶方阵，则下列结论正确的是（） A ．AB=AC 则B=CB ．AB=0,则A=0或B=0C ．AB=E,则A,B 可逆。

D ．AB=BA7．设α1、α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解，β是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（） A ．21α+αB ．21α-αC ．21α+α+βD ．213231α+α+β 8．设齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量，当A 是3阶方阵时，（） A ．r(A)=0 B ．r(A)=1 C ．r(A)=2D ．r(A)=39．下列矩阵可逆的是（）A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010000B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011110101C ． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011101111 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11102201110．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=132121111λA 的秩为2则=λ（）。

A ．2B ．1C ．0D ．-1二．填空题（每空3分，共30分）1． ()(),4023,5321-=-=βα则.23βα-= 。

2005级数三线性代数期末考试试卷A

λ=0或25.当n元二次型正定时, 二次型的秩为 n二．选择题（每小题3分，共15分）1. 设 0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B ) (a) A 的两行(或列)元素对应成比例 (b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合2. 设n 维行向量112200 2 (,,,,),,,T T A E B E ααααα==-=+ 矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+T αα3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C )(a) 00A B ==或 (b) 0A B += (c) 00A B ==或 (d) 0A B +=4.s 维向量组12,,,n ααα (3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C ) (a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k , 使得11220n n k k k ααα+++≠ (b) 12,,,n ααα 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n ααα 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) 12,,,n ααα 中任意两个向量都线性无关5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解, 则0Ax =的通解为( AB )(a) 1k α (b) 2k α (c) 12()k αα- (d) 12()k αα+三. 计算题(每小题10分,共30分)1. 计算2512371459274612D ---=--的值.D=-92. 设1100213401100213 C=0011002100010002,B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 矩阵X 满足关系式:1 (),.T T X E C B C E X --=求1 0 0 0 X=-2 1 0 0 1 -2 1 0 0 1 -2 13. 设二次型222123123121323224(,,)f x x x x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换化为标准型22232,,.f y y αβ=+求的值 α=β=0四. 解答题(每小题12分,共24分)21 2.,,,?123123123x +x +kx =4k x +kx +x =k x x +x =4⎧⎪-⎨⎪--⎩为何值时线性方程组有唯一解无解有无穷多解,.若有解时求出其全部解1 1 k 4r(A,b)=-1 k 1 k2 1 -1 2 -4当k=-1或-2时,方程组无解当k=2时,方程组有无穷多解当k ≠±2且k ≠-1时,方程组有唯一解2. 求向量组11111(,,,)α=,21111(,,,)α=--,31111(,,,)α=--,41111(,,,)α=--,1211(,,,)β=的一个极大线性无关组和秩, 并将β用极大线性无关组线性表出.1 1 1 1 1 A= 1 1 -1 -12 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1α1,α2,α4, β是一个极大线性无关组 r(α1,α2,α3,α4, β)=4β=0×α1+0×α2+0×α4+1×β五. 证明题(每小题8分,共16分)1. 已知123,,ααα线性无关, 证明向量组: 1111122133l l l βααα=++,2211222233l l l βααα=++,3311322333l l l βααα=++线性无关的充分必要条件是1112132122233132330.l l l D l l l l l l =≠2. 设A B n 与为阶对称阵, 且1 ,()AB E A AB E A -++及都可逆证明为可逆的对称阵.令C=(AB+E)-1A,D=A-1(AB+E) 所以CD=E,DC=E 所以C 可逆又CT=[(AB+E)-1A]T=AT[(AB+E)-1]T=A[(AB+E)T]-1=A(BA+E)-1。

江西财经大学线性代数

江西财经大学03-04学年第一学期期末考试试卷试卷代码：03043B 卷课时：48课时课程名称：线性代数适用对象：选课班一、填空题（3×5=15分）1、若五阶行列式||A 的第二行元素依次是1，2，-3，4，-1，它们的余子式对应为2，-1，0，12，5，则||A = 。

2、设A 为n 阶方阵，12,X X 均为线性方程组AX B =的解，且12X X ≠，则||A = 。

3、设,A B 均是n 阶方阵，A 与B 相似，如果B 的n 个特征值是1，2，，n 为前n 个自然数，则齐次线性方程组()0I A X -=的基础解系中含个向量。

4、设1234,,,αααα为3维向量，且123,,ααα线性无关，则()1234,,,R αααα= 。

5、设123,,ααα均为n 维向量，且(,)i j i j αα=+，则1213(,)αααα+-= 。

二、单项选择题（3×5=15分）1、设A ，B 均是n 阶方阵，以下论断正确的是。

（A ）若0AB =，则0A =或0B = （B ）若AC BC =，且0C ≠，则A B =（C ）若2A B AB =，则0A =或A I = （D ）若n AB I =则()()R A R B = 2、设A 为n 阶方阵，线性方程组0AX =有非零解，则。

（A ）0AX =有无穷多个非零解（B ）0AX =仅有一个非零解（C ）0AX =仅有二个非零解（D ）0AX =仅有n 个非零解 3、下列关于向量内积的论断中，正确的是。

（A ）若（2α，β）=0，则2βα=-（B ）若（α，β）=（X ，Y ）则X α=，Y β=（C ）若（αβ+，γ）=2（α，γ），则βα= （D ）若（αβ-，αβ-）=0，则αβ=4、设10002301A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值是1，1，5，则x = 。

（A ）0 （B ）1 （C ）5 （D ）4 5、A ，B 为n 阶方阵，若||||A B =，则A 与B 。

2004-2005第二学期线性代数试题参考答案

----------------------------精品word 文档值得下载值得拥有---------------------------------------------- 2004级2004-2005第二学期线性代数试题参考答案一、填空题（每小题3分，共15 分）1． ))()((b c a c a b ---； 2. 相关; 3. 12536-; 4. 44<<-t ; 5.可以二、选择题(每小题3分,共15 分)1. B2. C;3. D;4. A;5. C三、计算题(每小题10分共30分)1.行列式的值为36-.2. B X E A X B AX =-⇒+=)(.,110101111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-E A 0≠-E A , E A -可逆. 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-=-143311410352111211101)(1B E A X . 3. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==00001000021003511991191103281120351),,,(4321T T T T A αααα.向量组的秩为3,它的一个极大无关组为421,,ααα.四、解答题(每小题12分, 共24分)1. 方程组的增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-300002621037321134551353137321b b .当3=b 时,方程组有解.此时的方程组为⎩⎨⎧=++=+++26237324324321x x x x x x x ,它有一特解T )0,0,2,3(.对应的齐次线性方程组为⎩⎨⎧=++=+++06207324324321x x x x x x x ,它有基础解系T )1,3,0,2(--, T )0,1,2,1(--. 故原方程组的通解为 T )0,0,2,3(+k T )1,3,0,2(--+l T )0,1,2,1(--,k 与l 为任意常数.2. 二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=312132220A .由由 0=-A E λ得A 的特征值2-=λ, 和4=λ(二重). 当2-=λ时,0)(=-X A E λ的基础解系为T )1,1,2(-,当6=λ时,0)(=-X A E λ的基础解系为T T )1,1,1(,)1,1,0(-.易知这三个向量是两两正交的. 只需再将它们单位化即可得正交矩阵----------------------------精品word 文档值得下载值得拥有---------------------------------------------- ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=61312161312162310P 使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-2441AP P . 在正交变换PYX =下,232221244y y y f -+=. 五、证明题(每小题8分,共16分)1. 对B 按列分块, []321B B B B =, 则对于方程0=AX ,321,,B B B 都是其解.由于0B ≠, 故方程0=AX 至少有一个非零解,其充要条件是0=A .而)2(5-=λA . 所以2=λ. 此时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→000850321A ,秩2)(=A r . 方程0=AX 的基础解系只含一个向量X, )3,2,1(,==i X k B i i . 所以秩3,11)(=-<=n n B r . 故B 的伴随矩阵*B 的秩为0.2. 因三维向量组(I):321,,ααα中的三个向量分别是三阶矩阵A 的属于特征值 0, 1, 3 的特征向量, 一定是线性无关的. 因此等价于其构成的行列式0321≠ααα. 而向量组(II): 421,,ααα线性相关等价于0421=ααα. 向量组(III): 4321,,αααα-满足条件0421*******≠-=-αααααααααα. 故向量组(III)线性无关.。

华师大 05年高等代数

华东师范大学2005年功读硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数一填空，选择，是非题（共15小题，满分60分，每小题4分） 1. 设3阶方阵A 的特征值为2，3，5，则=-E A 2________ 2. 如果α是()x f '''的2重根，则α一定是多项式()x f 的5重根。

3. 设向量组s ααα,...,,21()2≥s 线性相关，且其中任意s-1个向量线性无关，则存在全不为零的数s k k k ,...,,21，使得0...2211=+++s s k k k ααα4. 设1W 与2W 分别是数域K 上8元齐次线性方程组AX=0与BX=0的解空间，如果rankA=3，rankB=2,821K W W =+那么()=⋂21dim W W __________ 5. 实反对称矩阵的非零特征值必为：（A ）正实数（B ）负实数（C ）1或0（D ）纯虚数6. 若三次实系数多项式()x f 恰有一个实根，∆为()x f 的判别式，则 A 。

∆>0 B 。

∆=0 C 。

∆<0 D 。

∆R ∉7. 3阶整系数的行列式等于-1的正交矩阵共有________个8. 设A 是行列式等于-1的正交变换，则________一定是A 的特征值。

9. 排列n n j j j j 121...-与排列121...j j j j n n -具有相同的奇偶性的充要条件是n=____(mod4) 10. 设0r 是数域K 上非齐次线性方程组AX=B 的特解，s ηηη,...,,21是该方程组的导出组的基础解系，则以下命题中错误的是： A ．s r r r r ηηη---020100,...,,,是AX=B 的一组线性无关解向量B ． A X=B 的每个解均可表为s s r ηηη,...,2,,210的线性组合。

C ． s r ηη+++...210是AX=B 的解。

D ．AX=B 的每个解均可表为001020,,,s γγηγηγη+++++ 的线性组合。

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2005级线性代数考试试题院系_____________________；学号__________________；姓名___________________一、单项选择题（每小题2分，共40分）。

1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6 35 24 1C ,6 5 43 2 1B ,4 32 1A ，则下列矩阵运算无意义的是【】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB2.设n 阶方阵A 满足A 2–E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【】A. A=A -1B.A=-EC. A=ED.det(A)=1 3.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=21,则det(-2A)= 【】 A.4 B.-4 C.-1 D.14.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中【】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合5．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 3121,,a a a a +6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是【】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有【】A.03221= b b a aB.02121≠ b b a aC. 332211b a b a b a == D. 02131= b b a a9.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ax x x x x x x x x 32132132123 3 12 12 有解的充分必要的条件是【】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=210. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1+η3，η1+η2+η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个【】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是【】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni i n aa a a C. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈ D. }1|),,,{(121∑==n i inaa a a14. F 3的两个子空间V 1={(x 1,x 2,x 3)|2x 1-x 2+x 3=0}, V 2={(x 1,x 2,x 3)|x 1+x 3=0}, 则子空间V 1 V 2的维数为【】A. 二维B. 一维C. 三维D. 零维15. 设M n (R)是R 上全体n 阶矩阵的集合，定义)(,det )(R M A A A n ∈=σ，则σ是M n (R)到R 的【】A. 一一映射B. 满射C. 一一对应D. 既不是满射又不是一一对应15. 令),,(321x x x =ξ是R 3的任意向量，则下列映射中是R 3的线性变换的是【】A. 0,)(≠+=ααξξσB.)0,,2()(32321x x x x x +++=ξτC. ),,()(32221x x x p =ξ D. )0,cos ,(cos )(21x x w =ξ17.下列矩阵中为正交矩阵的是【】A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1- 1 01 1 00 0 1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1- 22 151C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1 01- 1D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2 2 12- 1 212- 23118.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 20 1B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【】A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-01-19.二次型32212132122),,(x x x x x x x x f ++=的秩等于【】A ．0 B.1 C.2 D.320.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是【】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。

21．设矩阵,1 00 2,1 0 23 1- 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A 记T A 为A 的转置，则B A T= 。

22．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5 32 1A 则行列式det(TAA )的值为 . 23．行列式6 7 2 15 9 83 4 的值为 .24．若向量组 ), , ( ), a , t, ( ), a , , (a 10064321321===线性相关，则常数t = . 25.向量组（1，2），（3，4），（4，6）的秩为 .26.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320 321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为27.已知T , , x )201(1=、T , , x )54(32=是3元非齐次线性方程组b Ax =的两个解向量，则对应齐次线性方程0=Ax 有一个非零解ξ= .28.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=6- 0 05 4 03 2 1A 的全部特征值为。

29．设λ是3阶实对称矩阵A 的一个一重特征值，T 1) 3 1, 1, (ξ=、T 2) 12 a, 4, (ξ=是A 的属于特征值λ的特征向量，则实常数a= .30.31222121321422),,(x x x x x x x x x f ++-=的相伴矩阵A=三、计算题（每小题8分，共40分）31．计算行列式27 2- 6 2- 2 2 0 01 4 3-54 3 0 的值。

32．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4 6 1-3- 5- 1 3- 4- 1 A 求 A -1。

33．求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++022420763 02 432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解。

34．a 取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=+a x x x x x x x 3232121 107432 有解？在有解时求出方程组的通解。

35．设向量组321,,a a a 线性无关。

试证明：向量组332123211,,a a a a a a =-=++=βββ线性无关。

答题纸一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）1.__2. __3. __4. __5. __6. __7. __8. __9.__ 10.__ 11.__ 12.__ 13.__ 14.__ 15.__ 16.__ 17.__ 18.__ 19. __ 20. __二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）21.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 22.______ 23. ______ 24. ______ 25. ______ 26. ______ 27. ______ 28. ______ 29. ______ 30.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡三、计算题（每小题8分，共40分）2005级线性代数考试试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）1.A2.A3.B4.C5.D6.A7.B8.C9.D 10.D 11.B 12.C 13.B 14.B 15.B 16.B 17.C 18.D 19.D 20.D二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）21.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1 6 0 2-2 2 22. 1 23. 360 24. 8 25. 2 26. 1 27.(2,4,3)T(或它的非零倍数) 28. 1、4、-629. 4 30.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0 0 20 2 1-2 1- 1三、计算题（每小题8分，共40分）31. 296 02220 01435430--=D …………1分 29 62- 2 254 33=…………3分 .96=…………6分32. 解法1: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1 0 0 4 6 1 0 1 0 3 5 1 0 0 13- 4- 1 )|(E A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→1 0 1 1 2 00 1 1- 0 1- 00 0 1 3- 4- 1…………2分 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→1 2 1- 1 0 00 1 1- 0 1- 0 0 4- 5 3- 0 1…………4分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→1 2 1- 1 0 00 1- 1 0 1 0 3 2 2 0 0 1…………5分 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴-1 2 1-0 1- 1 3 2 2 1A ，……6分.解法2: det （A ）=-1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1 2 1-0 1 1-3- 2- 2-*A …………5分 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴1 2 1-0 1- 1 3 2 2 A 1-…………6分27. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1 2 1-0 1 1-3- 2- 2-*A …………2分一个基础解系:ξ=(-2, 1, 0, 0)T,ξ=(2, 0, -1, 1)T…………5分通解为2211ξξk k x += （1k 、2k 是任意常数）…………6分33． ,200021103021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→ a- - - A 故当且仅当a=2时，有解。