全国4月高等教育自学考试线性代数试题及答案解析历年试卷及答案解析
2011年1月-2012年4月自考04184线性代数(经管类)历年真题试题及答案
全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题 课程代码：04184说明：在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r (A)表示矩阵A 的秩. 一、 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=( )A.-12B.-6C.6D.122.设矩阵A =120120003⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A *中位于第1行第2列的元素是()A.-6B.-3C.3D.63.设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则1()A --=( )A.-3B.13-C.13D.34.已知4⨯3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于( ) A.1B.2C.3D.45.设A 为3阶矩阵,P =100210001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则用P 左乘A ，相当于将A ( )A.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列 6.齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为( )A.1B.2C.3D.47.设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为( ) A.1212cηηη-+ B.1212c ηηη-+ C.1212cηηη++ D.1212c ηηη++8.设A 是n 阶方阵，且|5A +3E |=0，则A 必有一个特征值为( ) A.53-B.35-C.35D.539.若矩阵A 与对角矩阵D =100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 3=( )A.EB.DC.AD.-E10.二次型f 123(,,)x x x =22212332x x x +-是( ) A.正定的B.负定的C.半正定的D.不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
全国2017年4月高等教育自学线性代数(经管类)试题与详细答案
线性代数(经管类)试题与详细答案
课程代码：04184
说明：在本卷中，AT 表示矩阵 A 的转置矩阵，A*表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵， |A|表示方阵 A 的行列式，r(A)表示矩阵 A 的秩. 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 1 分，共 5 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸” 的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1. 已知 2 阶行列式 A． 6
所以 r 1 , 2 , 3 2 。 11. 设 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 满足 r（A）=2，1 1,2,0 ， 2 1,3,1 为其两个
T T
解，则其导出组 Ax=0 的通解为
.
解答：使用非齐次线性方程组解的性质。由于 A1 b ， A 2 b ，因此 A1 2 0 ， 即 1 2 是 Ax=0 的解，从而 x 1 2 2,1,1 ，即有
6. 行列式
2 0 0 3 1 3 2 5 0 2 0 7
.
解答：使用行列式按行（列）展开法。因为
2 0 0 按第二行展开 2 0 0 3 按第一行展开 3 2 1 4 1 1 1 3 2 111 1 2 8 1 3 2 5 2 0 0 2 0 0 2 0 7
A． 2 B． 1
1 答案整理：郭慧敏 广州大学松田学院
C． 1
D． 2
解答：齐次线性方程组有非零解的 是系数行列式等于零，因此有
2017 年 4 月 线性代数（经管类）
2 k
1 1
1 10
1 1 1
又因为
2 k
2022年04月04184线性代数真题及答案
2022年4月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.设f(x)=|−110x02−321|=ax−2，则a=（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】B 【解析】2.设A=(a11a12a21a22)，A ij为元素a ij(i,j=1,2)的代数余子式，若A11=1，A12=2，A21=3，A22=4，A=（）A.(4−3−21)B.(4−2−31)C.(42 31)D.(43 21)【答案】A【解析】∵A=(a11a12 a21a22)∴A11=a22−1A12=−a21=2∴a21=−2A21=−a12=3∴a12=−3 A22=a11=4∴A=(4−3−21)3.对于向量组α1=(α11,α21)T，α2=(α12,α22)T与向量组β1=(α11,α21,α31)T，β2=(α12,α22,α32)T，下列结论中正确的是（）A.若α1,α2线性相关，则β1,β2线性无关B.若α1,α2线性相关，则β1,β2线性相关C.若β1,β2线性相关，则α1,α2线性无关D.若β1,β2线性相关，则α1,α2线性相关【答案】D【解析】若线性相关，则存在不为零的，满足：β1=λβ2∴(α11,α21,α31)=λ(α12,α22,α32)∴(α11,α12)=λ(α12,α22)即α1=λα2故α1,α2线性相关.4.设2阶矩阵A与B相似，若B的特征值λ1=−2，λ2=3，则A−E的迹为（）A.-6B.-1C.1D.6【答案】B【解析】A、B相似，特征值相同，故A的特征值也为λ1=−2，λ2=3，∴A−E的特征值为−2−1=−3，3−1=2∴A−E的迹为：−3+2=−15.设矩阵A=(001010100)，下列矩阵中与A合同的是（）A.(100 010 001)B.(100 0−10 00−1)C.(100 010 00−1)D.(−100 0−10 00−1)【答案】C【解析】都为对称矩阵，故合同⇔ 正，负特征值数量一样A =(001010100)，特征值1，1，-1（两正一负） 选项A ：单位矩阵，特征为1，选项B ：单位矩阵，特征为1，-1，-1（两负一正） 选项C ：单位矩阵，特征为1，-1，1（为两正一负） 选项D ：同A 为-E ，特征值皆为-1第二部分 非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
历年自考优选线性代数试题真题及答案分析解答
A . PAB. APC. QAD. AQ全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案1.已知2阶行列式a ? m， b 1 b 2n ,则b 1 b 2(B )b 1 b 2C 2a 〔a ?C 2A . m n B. n mC. m nD. (m n)2 .设 A , B , C 均为 n 阶方阵，AB BA , AC CA ，则 ABC ( D )ABC (AB)C (BA)C B(AC) B(CA) BCA .3.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且|A| 1 , |B| 2，则行列式||B|A|之值为（A ）A.8B. 2C. 2D. 8||B|A| | 2A| ( 2)3|A|8 .a 11a 12a 13a 113a 〔2 a 131 0 0 1 0 04 . Aa 21a 22 a 23， Ba 21 3a ?2a 23， P3 0，Q 3 1 0，则B (B)a 31a 32a 33a 313a 32a 330 0 10 0 1一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分） b ib 2b 1 b 2a 1a 2A . ACBB. CABC. CBAD. BCAC 2m n n m .an a 12 a 131 0 0 an 3a 12 a 13AP a 21a 22a 230 3 0 a 213a 22 a 23Ba 31a 32a 330 0 1a 313a 32 a 335.已知A 是一个3 4矩阵，下列命题中正确的是（ C ）A .若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩（A ）=2B. 若A 中存在2阶子式不为0,则秩（A ）=2相关相关的一个极大无关组.C. 若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0D. 若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为 6. F 列命题中错误的是（C ）A . 只含有1个零向量的向量组线性相关B .由3个2维向量组成的向量组线性C. 由1个非零向量组成的向量组线性相关D. 2个成比例的向量组成的向量组线性7.已知向量组3线性无关,线性相关，则（D ）A . 1必能由2，3，线性表出 B.2必能由1, 3,线性表出C.3必能由1, 2,线性表出D.必能由3线性表出注:8.设A 为m n 矩阵，m n ，则方程组Ax =O 只有零解的充分必要条件是 A 的秩（D ）注：方程组Ax =O 有n 个未知量.9.设A 为可逆矩阵，则与 A 必有相同特征值的矩阵为（ A ）A . A T B. A 2 C. A 1 D. A| E A T | |（ E A ）T | | E A|，所以A 与A T 有相同的特征值.10 •二次型f （X 1,X 2,X 3） X 12 X ；近2X 1X 2的正惯性指数为（ C)A . 0B. 1C. 2D. 3f （X i ,X 2,X 3）（X i X 2）2 x f y i 2 y f ，正惯性指数为 2.二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20 分）11 .行列式2007 2008的值为2009 2010--------------------------12.设矩阵 A 2 011, B 01，则A T B -------------------------------------------------------A .小于 mB.等于 mC.小于nD.等于n2007 2008 2009 20102000 2000 2000 20007 8 9 1013 •设 (3, 1,0,2)T ,(3,1, 1,4)T ，若向量 满足 2 3，贝V ____________3 2 (9,3, 3,12)T (6, 2,0,4)T(3,5, 3,8)T •14 .设A 为n 阶可逆矩阵，且| A| 1,则| | A 1 | _______________________n|A 11|A|15 .设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程 组Ax =o 的解，贝y |A | _______________ .n 个方程、n 个未知量的Ax =0有非零解，则| A| 0.16.齐次线性方程组X1 X2 X3 0的基础解系所含解向量的个数为2x 1 x 2 3X 3基础解系所含解向量的个数为 nr 3 2 1 .117•设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3，则矩阵尹必有一个特征值为2 2x 0的特征值为4,1, 2，则数x由 1x0412，得 x 2.a 1/,2 019 .已知A 1/" b 0是正交矩阵，则a b _______________________________0 0 120 .二次型 f (x 1, x 2, x 3) 4x 1x 2 2x 1x 3 6x 2x 3 的矩阵是三、计算题（本大题共 6小题，每小题9分，共54 分）18.设矩阵Aab ca b c1 1 1 解：D2ab 22c2 ab 22cabc abc3..333.332.22a ab bc ca b ca b cabc(b a)(c a)1 b a1 c aabc(b a)(c a)(c b).22. 已知矩阵B (2,1,3) , C(1,2,3)，求( 1) A B T C ;(2) A 2 .22 4 6解: (1) AB TC1 (1,2,3) 123 ；33 6 92(2)注意到 CB T (1,2,3) 113，所以32 4 6 A 2 (B T C)(B T C) B T (CB T )C 13B T C 13A 13 1 2 3 . 21.计算行列式Da 2 a a 3b cb 2c 2的值.b b 3c c 32 11 1解：A (1, 2 ,3, 4)1 2 1 1 3 0 3 11 111 1 0 1 1 1 0 10 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 01 1 0 1 1 1 0 1 12 1 1 0 1 1 03 0 3 1 0 3 32 2 11 11 111 0 1 10 0 1 0 1 0 0 1 ， 向量组的秩为 3， 1 , 2,4是一个0 0 0 0极大无关组,3 1 212 31 424．已知矩阵 A 01 2， B2 5 ．（1）求 A 1； （ 2）解矩阵方程 AX B00 11 31231 0 0 1 20 10 3解： （ 1 ）(A,E) 01 20 1 0 0 10 01 200100 10 01 0011 0012 112 10 1001 2，A 10 1 20 0100 10 01121 1 4 4 9（2） X A 1B0 1 2 2 5 0 11 ．0 011313、 1x 12x 2 3x 3425．问 a 为何值线性方程组2x 2 ax 32 有惟一 解？有无穷多解？并在有解2x 12x 23x 36时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．1 23 4 12 341 234解：( A,b) 02a 2 0 2 a 2 0 2a 2 ．2 23623 20 0a 3012 a 3时， r(A,b) r(A) 2 n ，有无穷多解，此时 (A,b) 0 2 00a 3时， r （A,b ） r （A ） 3 ，有惟一解，此时1( A,b)0 0 34 a2 10 12 02 0010 02 00 02 02 10 10 01 0002 0 1 ， 10x 1x 2 x 32 1； 343200数. 1 0 0 21 00 2 3 2 0 1 3/2 0 0 0 0 0 0 02x 1 22 1， X 2 1 ?X 3，通解为12X 3 X 3k 3/2 ,其中k 为任意常26 .设矩阵A 2 0 00 3a 的三个特征值分别为1,2,5，求正的常数a 的值及可逆矩阵P,0 a 3 1 0 0 使 P 1AP 0 2 0 0 0 52 0 0解：由 |A|0 3a 0 a 32 3 a 2(9 a 2) 1 2 5，a 3得 a 2 4，对于 1 1,解(E A)x 0 :X 1 X2X 3X 3对于 2 2，解（E A ）x 0 :0 1 0 x 1 x 1 0 0 1 ， x 2 0，取 p 2X 3 0对于 3 5，解（E A ）x 0 :3 0 0 1 0 0 X1 0 0E A 0 2 2 0 1 1 , X2 x3，取p3 1 .0 2 2 0 0 0 X3 X3 10 1 0 1 0 0令P (P1, P2 ,P3) 1 0 1 则P是可逆矩阵，使P 1AP 0 2 0 .1 0 1 0 0 5四、证明题(本题6分)27 .设A, B, A B均为n阶正交矩阵，证明(A B) 1 A 1 B 1.证：A, B, A B均为n阶正交阵，则A A 1, B T B1, (A B)T(A B) 1，所以(A B) 1 (A B)T A T B T A 1 B 1.全国2010年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1 .设3阶方阵A ( 1，2，3),其中i ( i 1,2,3)为A的列向量，若|B| |( 1 2 2, 2, 3)| 6，则|A| ( C )|A| 1( 1, 2, 3)l 1( 1 2 2, 2, 3)1 6 .A. 12B. 6C. 6D. 122•计算行列式3 0 2 0 2 10 5 0 0 0 2 0 2 3 2 3A. 180B. 120C. 120D. 1803.若A 为3阶方阵且|A 1| 2，则|2A| ( C )A.1B. 2C. 4D. 821 31 |A| -, |2A|2 |A| 8 三 4 .224. 设1, 2, 3, 4都是3维向量，则必有(B )A . 1，2, 3，4线性无关 B.1，2, 3，4线性相关C.1可由2, 3, 4线性表示 D.1不可由2, 3, 4线性表示5.若A 为6阶方阵，齐次方程组Ax =0基础解系中解向量的个数为2,则r(A) ( C )A. 2B. 3C. 4D. 5由 6 r(A) 2，得 r(A) 4 .6 .设A B 为同阶方阵，且r(A) r(B)，则(C ) 3 0 2 03 0 22 10 53 032 10 53 ( 2)2 02 1022 3 2 33(2) 30A . A 与B 相似B. |A| |B|C. A 与B 等价D. A 与B 合同注：A与B有相同的等价标准形.7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0，则|A 2E| ( D )A. 0B. 2C. 3D. 24A 2E的特征值分别为4,3,2，所以| A 2E | 4 3 2 24 .8 .若A B相似，贝y下列说法错误.的是(B )A. A与B等价B. A与B合同C. |A| |B|D. A与B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的.9 .若向量(1, 2,1)与(2,3,t)正交，则t ( D )A. 2B. 0C. 2D. 4由内积2 6 t 0 ,得t 4.10 .设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则(B )A. A正定B. A半正定C. A负定 D . A半负定对应的规范型2z2 z；0 zj 0，是半正定的.、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20 分）3211 •设 A 01 , B2 1 1，则 AB0 1 0243 2 2 1 1 AB 0 1 0 1 02412 .设A 为3阶方阵，且|A| 3 , 则I3A 1] _______________________13 1 31 31|3A 1 3 |A 1 3|A|33 9 •13 .三元方程 x 1 x 2 x 3 1的通解是 _____________________14 .设 （1,2,2），则与 反方向的单位向量是 ___________________15.设A 为5阶方阵，且r （A ） 3，则线性空间W {x|Ax 0}的维数是 _____________________1 II II13（1,2,2）.1W {x|Ax 0}的维数等于Ax 0基础解系所含向量的个数：n r 5 3 2 .16.17 .若A B 为5阶方阵，且Ax 0只有零解，且r(B) 3，则r(AB) __________________________Ax 0只有零解，所以A 可逆，从而r(AB) r(B) 3 .2 1 018.实对称矩阵 1 0 1所对应的二次型 仁咅飞入) _________________________ .0 1 11 119 .设3元非齐次线性方程组 Ax b 有解1 2 ， 22，且r(A) 2，则Ax b 的 33通解是 _______________ .1 1 1(1 2) 0是Ax 0的基础解系，Ax b 的通解是2 k 0 032f （X 「X 2,X 3）2 X32x 1 x 2 2x 2X 3.120 •设2，则A T的非零特征值是 ________________31由T (1,2,3) 2 14，可得A2( T ) T 14 T 14A，设A的非零特征值3是，则2 14 ，14 •三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54 分）21 .计算5阶行列式D 2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 00 0 0 2 01 0 0 0 2解：连续3次按第2行展幵2 0 0 10 2 0 0 D 2 0 0 2 010 0 22 0 0 1 0 0 1 4 322.设矩阵X满足方程0 1 0 X 0 0 1 2 0 1 ,求X.0 0 2 0 1 0 1 2 02 0 0 1 0 0 1 4 3解:记A 0 1 0， B 0 0 1 C 2 0 1 ，贝yAXB C0 0 2 0 1 0 1 2 01/2 0 0 1 0 0A 10 1 0 ，B 10 0 10 0 1/2 0 1 08 3 24 .4 3 10 0x 2 3x 3 x 4 123 .求非齐次线性方程组 3x 1 x 2 3x 3 4x 44 的通解. X 1 5X 2 9X 3 8X 41 1 3 1 1 1 1 3 1 1 解：(A,b) 3 1 3 4 4 0 4 6 7 11 598 04671 4 4 12 44 1 0 3/2 0 1 3/2 00 03/4 5/4 7/4 1/4 ,0 05 3 3 X 1 —X 3X 44 2 4X 21 4 3X 3 2 3 7 X 4，通解为 X 3X 3X4X 45/4 3/2 3/4 1/43/2 7/4k 1k 20 1 0 01k 1, k 2都是任意常数.24 .求向量组 1(1,2, 1,4),2(9,100,10,4),3( 2, 4,2, 8)的秩和一个极大无关组.解: ( T , T , T ) 21004 1 10 24 4 81 92 1502 0410 1 102 0 190 1 1 20 81 92 1 9 2 1 9 2 0 10 0 0 0 0 0 01 02 0 1 0 0 0 0 0 0 0向量组的秩为2,1 , 2是一个极大无关组.25.已知A2 1 25 a 3的一个特征向量(1,1, 1)T ,求a,b 及 所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.解：设所对应的特征值，则A，即，从而1a2 b1 ，可得 a 3，b0，1；对于1，解齐次方程组 E A)x 0：EA 1 1，0x1 x2 x3 x3x3，x3基础解系为属于1的全部特征向量为，k 为任意非零实数．26．，试确定 a 使r( A)2．解：2 2 a2四、27．22，a0时r(A) 2．证明题(本大题共 1 小题，6 分)3是Ax b ( b 0)的线性无关解，证明 3 1 是对应齐次线性方程组Ax0 的线性无关解．证：因为i, 2, 3是Ax b的解，所以 1 是Ax 0的解；k1 k20得k i 0 ，只有零解k i k2 0，所以2 i，3 i线性无关.k20全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩，（，）表示向量与的内积，E表示单位矩阵，|A表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）an a12 a13 2an 2a12 2a131.设行列式a21 a 22 a23 =4,则行列式 a21 a22 a 23=（）a31 a32 a33 3a31 3a 32 3a33A.12B.24C.36D.482. 设矩阵A, B, C, X为同阶方阵，且A, B可逆，AXE=C,则矩阵X=( )A. A®B.CAB-1C.^1A-1CD.C B A13. 已知Y+A E=0,则矩阵A-1=( )A. A- EB.- A-E002 4. 设 1, 2, 3 , 4, 5是四维向量，则()A.1, 2, 3, 4,5一定线性无关 B.1, 2 , 3, 4,5一定线性相关C. 5一定可以由1, 2, 3,4线性表示 D. 1一定可以由2, 3, 4,5线性表出5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则()B. A =EC.r (A )=n D.0<r ( A )<( n )6. 设A 为n 阶方阵，r ( A )< n ,下列关于齐次线性方程组 Ax =0的叙述正确的 是()A.Ax =0 只有零解B.Ax =0 的基础解系含 r (A ) 个解向量C.Ax =O 的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =O 没有解7. 设 1, 2是非齐次线性方程组 Ax =b 的两个不同的解，则( )A. i 2是Ax =b 的解B. i 2是Ax =b 的解C. 3 1 2 2是 Ax =b 的解D. 2 1 3 2是 Ax =b 的解3908. 设 1， 2， 3为矩阵 A = 0 4 5 的三个特征值，则 1 2 3=( )A.A =0A.20B.24002C.28D.309.设P为正交矩阵，向量,的内积为（，）=2，贝y（P ,P）=（A. 1B.12C. 3D.2210.二次型f (X1, X2, X3)= x-X2X22x1X2 2x1X3 2x2X3 的秩为( ) 2A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。
4月全国线性代数自考试题及答案解析
全国2019年4月高等教育自学考试线性代数试题课题代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式。
第一部分 选择题 （共20分）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．对任意n 阶方阵A 、B 总有（ ）A.AB =BAB.|AB |=|BA |C.(AB )T =A T B TD.(AB )2=A 2B 22．在下列矩阵中，可逆的是（ ）A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010000B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100022011C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121110011D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101111001 3．设A 是3阶方阵，且|A |=-2，则|A -1|等于（ ）A.-2B.21-C.21 D.2 4．设A 是n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充分必要条件是（ ）A.A 的行向量组线性无关B.A 的行向量组线性相关C.A 的列向量组线性无关D.A 的列向量组线性无关5．设有m 维向量组(I)：n 21,,,ααα⋅⋅⋅，则（ ）A.当m <n 时，(I)一定线性相关B.当m>n 时，(I)一定线性相关C.当m <n 时，(I)一定线性无关D.当m >n 时，(I)一定线性相关6．已知1β、2β是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，1α、2α是其导出组Ax =0的一个基础解系，k 1、k 2为任意常数，则方程组Ax=b 的通解可表成（ ） A.2)(2121211ββββα-+++k k B.2)(2121211ββββα++++k k C.2212211ββαα-++k kD.2212211ββαα+++k k 7．设n 阶可逆矩阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x ，则下列等式中不正确．．．的是（ ）A.Ax =2xB.A -1x =21x C.A -1x =2x D. A 2x =4x 8．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ132121111的秩为2，则λ=（ ）A.2B.1C.0D.-19．二次型322123222132110643),,(x x x x x x x x x x f ++-+=的矩阵是（ ） A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-405033531B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4001030061C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-450533031D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41001036061 10．二次型2323223213212)()(),,(x x x x x x x x x f +++--=是（ ）A.正定的B.半正定的C.负定的D.不定的第二部分 非选择题 （共80分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
最新4月全国自学考试线性代数试题及答案解析
1全国2018年4月自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，r (A )表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．3阶行列式011101110---=ij a 中元素a 21的代数余子式A 21=（ ） A ．-2B ．-1C ．-1D ．22．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则B -1=（ ）A ．A -1C -1B ．C -1A -1 C ．ACD ．CA3．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100010，则A 2的秩为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 4．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211a a a a ，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++121112221121a a a a a a ，P 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110，P 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，则必有（ ） A ．P 1P 2A =BB ．P 2P 1A =BC ．AP 1P 2=BD ．AP 2P 1=B5．设向量组α1, α2, α3, α4线性相关，则向量组中（ ）A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合6．设α1, α2, α3, α4是一个4维向量组，若已知α4可以表为α1, α2, α3,的线性组合，且表示法惟一，2则向量组α1, α2, α3, α4的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α1, α2, α3是齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ）A ．α1, α2, α1+α2B ．α1, α2, α1-α2C ．α1+α2, α2+α3, α3+α1D ．α1-α2，α2-α3，α3-α18．设A 为3阶矩阵，且E A 32-=0，则A 必有一个特征值为（ ）A ．-23 B ．-32 C ．32 D ．23 9．设实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--120240002，则3元二次型f (x 1,x 2,x 3)=x T Ax 的规范形为（ ）A ．21z +22z +23zB ．21z +22z -23zC ．21z +22zD ．21z -22z10．设2元二次型f (x 1,x 2)=x T Ax 正定，则矩阵A 可取为（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1221 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
4月全国自考线性代数(经管类)试题及答案解析
1全国2018年4月自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184一、单项选择题(本大题共20小题，每小题1分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=( )A.m-nB.n-mC.m+nD.-(m+n )2.设A , B , C 均为n 阶方阵，AB=BA ，AC=CA ，则ABC=（ ） A.ACB B.CAB C.CBAD.BCA3.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为( ) A.-8 B.-2 C.2D.84.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ）A.P AB.APC.QAD.AQ5.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ） A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2 B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2 C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0 D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为06.下列命题中错误．．的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关2B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出D.β必能由α1,α2,α3线性表出 8.设A 为m ×n 矩阵，m ≠n ,则齐次线性方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ ）A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n9.设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ ） A.A T B.A 2 C.A -1D.A *10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=212322212x x x x x +++的正惯性指数为（ ） A.0 B.1 C.2D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
全国高等教育自学考试线性代数(经管类)(04184)2019年4月历年真题及答案
2019年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类) 试卷(课程代码04184)注意事项：1.本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题2.应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效3.涂写部分，画图部分必须使用2B铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字表说明：在本卷中，表示矩阵么的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。
第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出。
1.行列式，则A.-2B.-1C.1D.22.设A为2阶矩阵，将A的第1行与第2行互换得到矩阵B，再将B的第2行加到第1行得到矩阵C，则满足PA=C 的可逆矩阵P=3.设向量可由向量组线性表出，则数a,b满足关系式A.a-b=4B.a-b=0C.a+b=4D. a+b=04.设齐次线性方程组有非零解，则数k=A.-2B.-1C.1D.25.设3阶实对称矩阵A的秩为2，则A的特征值λ=0的重数为A.0B.1C.2D.3第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
6.设某3阶行列式第2行元素分别为1，-2,3，对应的余子式为3,2，-2，则该行列式的值为7.已知行列式8.9.设n阶矩阵A满足10.设向量组的秩为2，则数a=11.与向量正交的单位向量12.设4元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵经初等行变换化为若该线性方程组有惟一解，，则数a的取值应满足13.设A为n阶矩阵，若非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解，则14.设A为n阶矩阵，且满足则A必有一个特征值为15.二次型的矩阵A=三、计算题：本大题共7小题，每小题9分，共63分16.计算4阶行列式17.设向量18.设矩阵A，B满足关系式X=XA+B，其中，求矩阵X19.求矩阵的秩和列向量组的一个极大无关组，并将其余列向量由该极大无关组线性表出20.设线性方程组确定数a,b为何值时，方程组有无穷多解，并求出其通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）21.设矩阵判定A是否可对角化，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵A，22.求正交换x=Qy，将二次型化为标准形四、证明题：本题7分23.已知向量β可由向量组线性表出，证明：如果表示法惟一，则线性无关24.25.。
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全国2018年4月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：A T表示矩阵A的转置矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。
第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
错填或不填均无分。
15.11135692536=.16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪，B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=(a ij)3×3，|A|=2，A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20.设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .24.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求（1）AB T ；（2）|4A |. 26.试计算行列式3112513420111533------. 27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103，α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
29.设矩阵A =1212242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：（1）秩（A ）；（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--，并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； （2）η0，η1，η2线性无关。
全国2018年4月高等教育自学考试线性代数试题参考答案课程代码：02198一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –1019. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 124. z z z z 12223242++-三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.解（1）AB T =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. （2）|4A |=43|A |=64|A |，而|A |=1203401212-=-.所以|4A |=64·（-2）=-128 26.解31125134201115335111111310010553------=----- =5111111550---- =5116205506255301040---=---=+=.27.解 AB =A +2B 即（A -2E ）B =A ，而（A-2E）-1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-.所以B=(A-2E)-1A=143153164423110123-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=386 296 2129-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1035011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即-++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x xx xx xx x x.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解对矩阵A施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102 00062 03282 09632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.经正交标准化，得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵D=100 010 008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.（也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.）31.解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪，因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆，故此线性变换满秩。