离散型随机变量及其分布
合集下载
离散型随机变量及其分布律
解 由 0 p 1 ( k 0 , 1 , 2 , ), p 1 k k k 0 1 k ( ) a 得 k 1 即 a 3 1 ! k! k 03 k k0 1k 1 1 ( ) ae 3 3 e3 ! k 0 k
2. 离散型随机变量分布律与分布函数及 事件概率的关系 (1) 若已知 X 的分布律：
X
pk
0 1 2
1 2
1
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
1 , 取得不合格品, X 0 , 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0-1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
p P { X x } k k
或
F ( x ) F ( x 0 ) k k k 1 , 2 , ) F ( x ) F ( x ) ( k k 1
( P { X x } P { x X x } ) k k 1 k 注 1º 离散型随机变量X的分布函数F(x)是阶
梯函数，x1, x2,· · · ,是F(x)的第一类间断 点, 而X在xk（k=1,2, · · ·）处的概率就是
F(x)在这些间断点处的跃度.
2º P { a X b }
P { a X b } P { X a } P { X b }
[ F ( b ) F ( a )] [ F ( b ) F ( b 0 )] [ F ( a ) F ( a 0 )]
2-2离散型随机变量及其分布律
松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}
离散型随机变量及其分布列
p2
„
„
基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布 列，简称X的分布列．有时为了表达简 单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2， …，n 表示X的分布列． (2)离散型随机变量分布列的性质 ① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
② i＝1 . ③一般地，离散型随机变量在某一 范围内取值的概率等于这个范围内每个 随机变量值的概率 之和 ．
pi＝1
n
基础知识梳理
如何求离散型随机变量的分 布列？ 【思考·提示】 首先确定 随机变量的取值，求出离散型随 机变量的每一个值对应的概率， 最后列成表格．
基础知识梳理
2．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X的分布列是 X P 0 1－p 1 p
则这样的分布列称为两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分 布列，就称X服从 两点 分布，而称p＝ P(X＝1)为成功概率．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
所以随机变量X的概率分布列为
X P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：“一次取出的 3
3 1
个小球上的数字互不相同”的事件记 为 A，则
1 1 C5 C2 C2 C2 2 P(A)＝ ＝ . 3 C10 3
课堂互动讲练
法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件． C51C22C81 1 因为 P(B)＝ ＝ ， 3 C10 3 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3
离散型随机变量及其分布规律
解:
例5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，
已知他每发命中的概率是p，求射击次数X 的分布列.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …，
设 Ak = {第k 次命中}，k =1, 2, …，
于是
P(X =1)=P(A1)=p,
P(X 2)P(A1A2 ) (1 p)p
P(X 3)P(A1A2 A3)(1 p)2p
可见 P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
这就是所求射击次数 X 的分布列.
若随机变量X的分布律如上式， 则称X 服从
几何分布. 不难验证:
(1 p)k1p 1
k 1
几个重要的离散性随机变量模型
(0,1)分布 二项分布 波松分布
一、 (0-1)分布 （二点分布）
按Po
k
n=10 n=20 n=40 n=100 =np=1 p=0. p=0.05 p=0.02 p=0.01
0 10.349 0.3585 0.369 0.366
0
1 0.305 0.377 0.372 0.370
0
2 0.194 0.189 0.186 0.185
0
3 0.057 0.060 0.060 0.061
•• • • • • • 56 7 8 9 10
•
•
•
•
•
•
•
•
•20x
二项分布的图形特点:
X ~ Bn, p
对于固定n 及 P， 当k 增加时 , 概率P (X = k ) 先是随之增加
Pk
直至达到最大值, 随后单调减少.
当 n 1p 不为整数时， n 1p 二项概率 PX k
离散型随机变量及其分布
离散型随机变量的概率分布的性质：
（1）pi≥0（i=1,2,3,…） （2）p1+p2+…+pi+…=1（i=1,2,3,…）
例1 从放有4个白球和3个黑球的口袋中， 同时取出2个球，写出其中所含白球个数ξ 的分布列.
解：ξ的可能的取值有0，1，2.
P(
0)
C32 C72
1; 7
P(
1)
P( 7) 0.11 0.27 0.29 0.21 0.88.
引例
某人射击一次，可能出现命中0环，1环， 2环，…，10环等结果，这些结果可以用0，1 2，…，10这11个数表示吗？
1.离散型随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来 表示，那么这样的变量叫做随机变量.
随机变量一般用大写英文字母X,Y,…, 或小写希腊字母ξ,η,…来表示.
如果变量ξ的所有可能取得的数值能够
一一列举出来，则称ξ为离散型随机变量.
2. 离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量ξ可能的取值为x1， x2，…xi，…，ξ取每个值xi（i=1，2…）的 概率为P(ξ=xi)=pi，则随机变量ξ的概率分布 （ξ的分布列）为
…
ξ
x1
x2
…
xi
…
…
P
p1
p2
pi
P(ξ=xi)=pi （i=1，2，…）
C14 C13 C72
4; 7
P(
2)
C42 C72
P
77 7
例2某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.03 0.07 0.11 0.27 0.29 0.21
求此射手“射击一次命中环数ξ≥7”的概率.
2.2离散型随机变量及其分布
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
上一页 下一页 返回
在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
上一页 下一页 返回
k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !
上一页 下一页 返回
查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
上一页 下一页 返回
k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
上一页 下一页 返回
在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
上一页 下一页 返回
k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !
上一页 下一页 返回
查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
上一页 下一页 返回
离散型随机变量及其分布
定是一个离散型随机变量,其分布函数 F(x) 唯一确定.
例 2.6 设随机变量 X 的分布律为
X2
3
4
P 0.2
0.3 0.5
求 X 的分布函数,并求 P{X 2}, P{2.4 X 3.8}, P{3 X 4} .
解 当 x 2 时, F(x) P{X x} 0 ;
当 2
x 3 时,
元和 6 万元.设 X 为总公司应付出的奖金,求 X 的分布
律并计算 P{4 X 10} 和 P{X 6} .
解 X 的所有可能取值为 0,4,6,10 (单位:万元).设 Ai { 第 i 个 分 公 司 获 得 奖 金 }( i 1, 2 ), 则 P(A1) 0.8 , P(A2 ) 0.4 ,且 A1, A2 相互独立.因此
离散型随机变量 及其分布
1.1 离散型随机变量及其分布律
定义 2.3 若随机变量 X 的所有可能取值是有限个或可
列无限多个,则称此随机变量为离散型随机变量.
例如,掷骰子朝上一面的点数、一昼夜120接到的呼叫 次数等均为离散型随机变量,而某元件寿命的所有可能取 值充满一个区间,无法按一定次序一一列举出来,因而它是 一个非离散型随机变量.
显然
(1) P{X k} 0 ( k 0,1, 2, , n );
F ( x)
P{X
xi x
xi}
P{X
2}
0.2
;
当 3
x 4 时,
F ( x)
P{X
xi x
xi}
P{X
2}
P{X
3}
0.5 ;
当 x 4 时, F(x) P{X 2} P{X 3} P{X 4} 1 .
离散型随机变量及其分布
（0－1）分布的分布律用表格表示为：
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并 且在前m次试验中成功了m-1次}
7
常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合 凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
(n 1) p 1 k (n 1) p
14
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
23
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数可X见t ~泊P松( 分t )布的应用是相当广泛的，
而且由下面定理可以看到二项分布与泊松
分布有着密切的联系。
泊松定理 在二项分布 B(n, pn ) 中，如果
lim npn ( 0 是常数），则成立
lim
n
Cnk
pnk
(1
pn )nk
k e
k!
(k 0,1,).
24
例7 某种药品的过敏反应率为0.0001，
今有20000人使用此药品，求20000人中发生过 敏反应的人数不超过3的概率。
对应概率为 p1, p2 ,, pk ,, 即
P( X xk ) pk (k 1,2,)
则称上式为离散型随机变量X的概率分布，又
称分布律。
分布律也可以通过列表表示：
X
x1 x2 xk
P
p1 p2 pk
其中第一行表示随机变量所有可能的取
值，第二行表示这些取值所对应的概率。 2
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
••••••••• 012345678
x
10
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05
2
4
6
8
11
设 X ~ B(20,0.2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
19
图示概率分布
20
(3) Poisson 分布
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2,,而取各个 值的概率为
P{ X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ P().
P
(
X
0)CC5333
1 10
P(
X
1)CC32C53 21
6 10
P(
X
2)CC31C53 22
3 10
其分布律为
X 012
pk 0.1 0.6 0.3
4
例2 某射手连续向一目标射击，直到命中
为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射
击发数X的概率函数分布列. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
0.1756
16
(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
P(X 1) 1 P(X 1) 1 P(X 0)
1
C
0 5000
(0.001)0
(0.999)5000
0.9934.
※ 小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率事件.
17
例5 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只.问20只元件 中恰有 k 只(k 0,1,,20) 一级品的概率是多少?
15
例4 独立射击5000次, 每次命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5
P5000(5) C55000(0.001)5 (0.999)4995
25
如果利用近似公式
Cnk p k (1
p)nk
k e
k!
( np)
计算，可以得到： 200000.0001 2，且
P(X 3) P(X 0) P(X 1) P(X 2) P(X 3)
20 e2 21 e2 22 e2 23 e2
§2.2离散型随机变量及其分布律
如果随机变量的取值是有限个或可数个 (即能与自然数的集合一一对应），则称该变
量为离散型随机变量。
为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知 道随机变量X的所有可能取值，而且还应知道 X 取每个值的概率.为此我们有以下定义：
1
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, xk ,,并且取各个值的
称 X 服从参数为 p 的几何分布。
对于离散型随机变量，如果知道了它的 概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率 规律.下一节，我们将介绍连续型随机变量。
6
例3 进行独立重复试验，每次成功的概率为p， 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试 验次数，求X的分布律。 解:m=1时, P{X k} (1 p)k1 p, k 1,2,...
21
例6 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分 布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求 任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。 解:由题意,
22
在某个时段内：
① 大卖场的顾客数；
应 用
② 市级医院急诊病人数； ③ 某地区拨错号的电话呼唤次数； ④ 某地区发生的交通事故的次数.
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B(n, p)
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
9
二项分布的取值情况 设
X
~
B( 8,
1 3
)
P8 (k)
P( X
k) C8k ( 13)k (1
)1 8k 3
,
k 0,1,,8
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
设 Ak = {第 k 发命中}，k 1,2, ，
于是
P(X 1)P(A1) p P(X 2)P(A1A2 ) (1 p) p P(X 3)P( A1A2 A3) (1 p)2 p
5
类似地，有
P(X k)(1 p)k1p, k 1,2,
这就是求所需射击发数X的分布列.
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
P
由图表可见 , 当 k 4 时，
0.22 •
分布取得最大值
P20(4) 0.22
• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20
12
0.2 0.15
0.1 0.05
5
10
15
20
13
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
注 其分布律可写成
P( X k) pk (1 p)1k , k 0,1
8
(2) 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若
Pn (k) P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
若P(X k) P(X j), j X 可取的一切值
则称 k 为最可能出现的次数
记 pk P(X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
pk1 (1 p)k 1 pk p(n k 1)
pk (1 p)(k 1) 1 pk1 p(n k)
分布律的性质
pk 0, k 1,2,
pk 1
k 1
非负性 规范性
反过来，假如有一列数 pk 满足
pk 0 且 pk 1 k 1
则该数列可以定义为某离散型随机变量的分 布律。
3
例1 如右图所示，从中任取3个
球。取到的白球数X是一个随机变
量。X可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为
分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并 且在前m次试验中成功了m-1次}
7
常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合 凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
(n 1) p 1 k (n 1) p
14
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
23
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数可X见t ~泊P松( 分t )布的应用是相当广泛的，
而且由下面定理可以看到二项分布与泊松
分布有着密切的联系。
泊松定理 在二项分布 B(n, pn ) 中，如果
lim npn ( 0 是常数），则成立
lim
n
Cnk
pnk
(1
pn )nk
k e
k!
(k 0,1,).
24
例7 某种药品的过敏反应率为0.0001，
今有20000人使用此药品，求20000人中发生过 敏反应的人数不超过3的概率。
对应概率为 p1, p2 ,, pk ,, 即
P( X xk ) pk (k 1,2,)
则称上式为离散型随机变量X的概率分布，又
称分布律。
分布律也可以通过列表表示：
X
x1 x2 xk
P
p1 p2 pk
其中第一行表示随机变量所有可能的取
值，第二行表示这些取值所对应的概率。 2
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
••••••••• 012345678
x
10
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05
2
4
6
8
11
设 X ~ B(20,0.2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
19
图示概率分布
20
(3) Poisson 分布
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2,,而取各个 值的概率为
P{ X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ P().
P
(
X
0)CC5333
1 10
P(
X
1)CC32C53 21
6 10
P(
X
2)CC31C53 22
3 10
其分布律为
X 012
pk 0.1 0.6 0.3
4
例2 某射手连续向一目标射击，直到命中
为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射
击发数X的概率函数分布列. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
0.1756
16
(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
P(X 1) 1 P(X 1) 1 P(X 0)
1
C
0 5000
(0.001)0
(0.999)5000
0.9934.
※ 小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率事件.
17
例5 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只.问20只元件 中恰有 k 只(k 0,1,,20) 一级品的概率是多少?
15
例4 独立射击5000次, 每次命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5
P5000(5) C55000(0.001)5 (0.999)4995
25
如果利用近似公式
Cnk p k (1
p)nk
k e
k!
( np)
计算，可以得到： 200000.0001 2，且
P(X 3) P(X 0) P(X 1) P(X 2) P(X 3)
20 e2 21 e2 22 e2 23 e2
§2.2离散型随机变量及其分布律
如果随机变量的取值是有限个或可数个 (即能与自然数的集合一一对应），则称该变
量为离散型随机变量。
为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知 道随机变量X的所有可能取值，而且还应知道 X 取每个值的概率.为此我们有以下定义：
1
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, xk ,,并且取各个值的
称 X 服从参数为 p 的几何分布。
对于离散型随机变量，如果知道了它的 概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率 规律.下一节，我们将介绍连续型随机变量。
6
例3 进行独立重复试验，每次成功的概率为p， 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试 验次数，求X的分布律。 解:m=1时, P{X k} (1 p)k1 p, k 1,2,...
21
例6 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分 布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求 任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。 解:由题意,
22
在某个时段内：
① 大卖场的顾客数；
应 用
② 市级医院急诊病人数； ③ 某地区拨错号的电话呼唤次数； ④ 某地区发生的交通事故的次数.
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B(n, p)
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
9
二项分布的取值情况 设
X
~
B( 8,
1 3
)
P8 (k)
P( X
k) C8k ( 13)k (1
)1 8k 3
,
k 0,1,,8
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
设 Ak = {第 k 发命中}，k 1,2, ，
于是
P(X 1)P(A1) p P(X 2)P(A1A2 ) (1 p) p P(X 3)P( A1A2 A3) (1 p)2 p
5
类似地，有
P(X k)(1 p)k1p, k 1,2,
这就是求所需射击发数X的分布列.
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
P
由图表可见 , 当 k 4 时，
0.22 •
分布取得最大值
P20(4) 0.22
• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20
12
0.2 0.15
0.1 0.05
5
10
15
20
13
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
注 其分布律可写成
P( X k) pk (1 p)1k , k 0,1
8
(2) 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若
Pn (k) P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
若P(X k) P(X j), j X 可取的一切值
则称 k 为最可能出现的次数
记 pk P(X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
pk1 (1 p)k 1 pk p(n k 1)
pk (1 p)(k 1) 1 pk1 p(n k)
分布律的性质
pk 0, k 1,2,
pk 1
k 1
非负性 规范性
反过来，假如有一列数 pk 满足
pk 0 且 pk 1 k 1
则该数列可以定义为某离散型随机变量的分 布律。
3
例1 如右图所示，从中任取3个
球。取到的白球数X是一个随机变
量。X可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为
分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.