重庆理工大学 高等数学下试卷一(答案已附后)
重庆大学高数(工学下)期末试题一(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 向量a b ⨯与,a b 的位置关系是().(A) 共面 (B) 垂直 (C) 共线 (D) 斜交知识点：向量间的位置关系,难度等级：1. 答案:(B).分析:,a b 的向量积a b ⨯是一个向量,其方向垂直,a b 所确定的平面.2. 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为().(A)6y = (B)6y x =- (C)y x =- (D)y x =知识点：微分方程的解,难度等级：1. 答案: (D).分析:将(A),(B),(C),(D)所给函数代入所给方程,易知只有y x =满足方程,故应选(D).3. 累次积分⎰⎰=-2022x y dy e dx ().(A))1(212--e (B))1(314--e (C))1(214--e (D))1(312--e 知识点：二重积分交换次序并计算,难度等级：2. 答案:(C).分析: 直接无法计算,交换积分限,可计算得)1(214--e ,只能选(C). 4．设曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶连续偏导数,且(0)0,f =则=)(x f ().(A)2x x e e -- (B)2xx e e --(C) 12-+-x x e e (D)21xx e e +-- 知识点：积分与路径无关的条件,微分方程,求解,难度等级：3.答案:(B).分析: 由积分与路径无关条件,有[()]cos ()cos x f x e y f x y '-=-命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密()().x f x f x e '⇒-=-由结构看,C,D 不满足方程,代入,B 满足,A 不满足,选B.5. 设直线方程为1111220,0A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0,A B C D B D ≠则直线().(A) 过原点 (B) 平行于z 轴 (C) 垂直于x 轴 (D) 垂直于y 轴 知识点：直线与坐标轴的位置关系,难度等级：1. 答案:(D).分析:方程2220,0B y D D +=≠表示垂直于y 轴且不过原点的平面,11112200A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩表示的直线位于垂直于y 轴且不过原点的平面上,不平行于z 轴,不垂直于x 轴.6. 设∑为球面2224(0)x y z z ++=≥的外侧,则2yzdzdx dxdy∑+⎰⎰().=(A)354(B)354π (C)12 (D)12π知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,难度等级：2. 答案:(D).分析: 添有向平面221:0(4)z x y ∑=+≤取下侧,则124,yzdzdx dxdy zdV π∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰1228.Dyzdzdx dxdy dxdy π∑+=-=-⎰⎰⎰⎰故有结果为D.二、填空题(每小题3分,共18分)7.121lim(1)sin x y x y →→⎛⎫- ⎪⎝⎭__________.= 知识点：二重极限,难度等级：1. 答案:0. 证明:1(1)sin01x x y--≤- 0,ε∴∀>取,δε=只要0,δ<必有1(1)sin0.x yε--<121lim(1)sin 0.x y x y →→⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 8. 已知lim6,n n a →∞=则11()n n n a a ∞+=-=∑__________. 知识点：级数和,定义,难度等级：1. 答案:1 6.a - 分析: 部分和数列12231111()()() 6.n n n n s a a a a a a a a a ++=-+-++-=-→-9.2221___________,ds x y z Γ=++⎰其中Γ为曲线cos ,sin ,tttx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧.知识点：对弧长的曲线积分,难度等级：2. 答案21).e- 解:弧长的微分为tds dt ==,22222.tx y z e ++=于是2222011).ds x y z e Γ=-++⎰⎰10. 平面3x y z a ++=被球面2222x y z R ++=(0)R <所截得一个圆,则该圆的半径为__________.=知识点：平面,球面,半径,难度等级：1. 答案分析:该圆的中心在平面3x y z a ++=上,且三个坐标相等,中心坐标为(,,),a a a,11．设曲线积分 ,4 L 22⎰++-=yx xdyydx I 其中L 为椭圆,1422=+y x 并取正向,则__________.I =知识点：对坐标的曲线积分,难度等级：2. 答案:.π分析: 可取椭圆的参数方程计算.12. 设∑是球面222x y z R ++=在第一卦限部分,则2__________.x dS ∑=⎰⎰知识点：对面积的曲面积分,对称性,难度等级2. 答案:4.6R π分析:222x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()22213x y z dS ∑=++⎰⎰ 224114.386R R R ππ=⋅⋅=三、计算题(每小题6分,共24分) 13. 求微分方程()0y xxe d y x xdy -=+的通解. 知识点：齐次微分方程,通解,难度等级1. 分析：齐次微分方程,作变量代换yu x=化为可分离变量的微分方程.解: 方程两端同除以,x 得()0.y xye dx dy x+-=令,y vx =则.dy vdx xdv =+ 代入上式,得0,ve dx xdv -= 即 0.vdx e dv x--= 积分之,得ln .v x e C -+=故原方程的通解为ln .y xx e C -+=14. 计算2(2)(3),y L x y dx x ye dy -++⎰其中L 由从)0,2(A 到)1,0(B 的直线段22=+y x 及从)1,0(B 到)0,1(-C 的圆弧21y x --=所构成.知识点：对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级：2. 分析：补充线段构成闭曲线用格林公式.解 :如图,添加一段定向直线,CA 这样L 与CA 构成闭路.设所围的区域为,D 于是根据格林公式得:2211(2)(3)55(211)24y L CA Dx y dx x ye dy dxdy π+-++==⋅⋅+⋅⎰⎰⎰15(1).4π=+ 则L⎰=.L CACA→+-⎰⎰又2221(2)(3) 3.y CAx y dx x ye dy x dx --++==⎰⎰故25(2)(3)5(1)32.44y L x y dx x ye dy ππ-++=+-=+⎰ 15. 计算22(),x y dS ∑+⎰⎰其中∑为抛物面222z x y =--在xoy 面上方的部分.知识点：对面积的曲面积分,难度等级：2.分析：直接将曲面积分化为二重积分,用极坐标计算二重积分. 解:∑在xoy 的投影为22:2,xy D x y +≤且= 于是22()x y dS ∑+⎰⎰22(xyD x y =+⎰⎰20220112(14(14)84149.30d r r πθππ==⋅+-+=⎰ 16. 计算333,x dydz y dzdxz dxdy ∑++⎰⎰其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧.知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,球面坐标,难度等级：2 分析:题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解:333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ 2223()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222053sin 12.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(,)z f x u =具有连续的二阶偏导数，而,u xy =求22.zx∂∂难度等级：1；知识点：复合函数的偏导数.分析: 按复合函数的偏导数的求法两次对x 求偏导数，即可求出22.z x∂∂ 解:x x u z f y f '''=+ 22.xx xx xu uu z f yf y f ''''''''⇒=++18．利用斯托克斯公式计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰其中Γ是用平面23=++z y x 截立方体[]⨯1,0[]⨯1,0[]1,0的表面所得的截痕,若从z 轴正向看去,Γ取逆时针方向.知识点：对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,难度等级：3 分析: 通过斯托克斯公式将曲线积分转化为对面积的曲面积分,注意积分技巧:可将方程代入被积函数.解: 如图,我们将平面23=++z y x 的上侧被Γ所围的部分取为,∑于是∑的单位法向量.n e =由斯托克斯公式得:dS y x x z z y z y x I ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222cos coscos γβα ().x y z dS ∑=++ 观察上述积分,由于在∑上有3,2x y z ++=根据第二型曲面积分的计算公式,故396(6)().42xyxyD D I dS S ∑=-=-=-=-=-其中xy D 是∑在xOy 坐标平面的投影区域,而xyD S 为xy D 的面积.五、 证明题(每小题6分,共12分)19．试证:,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)处偏导数存在,但是不可微.知识点：二元函数偏导数、可微,难度等级：1分析:先求出(0,0),(0,0)x y f f 然后说明(0,0)(0,0)x y z f x f y ∆-∆-∆不是比ρ更高阶的无穷小量就可以了.证明 : 0(,0)(0,0)lim 0(0,0);x x f x f f x∆→∆-==∆同理, (0,0)0.y f =则2200limlim.()()x x y y zx yx y ρρ→∆→∆→∆→∆→∆∆∆==∆+∆ 但是此极限不存在,故(,)f x y 在(0,0)处不可微.20. 证明:级数2(!)nn x y n ∞==∑满足方程0.xy y y '''+-= 知识点：幂级数,微分方程,难度等级：2. 分析：直接用幂数代入微分方程验证.证明: 因为20,(!)n n x y n ∞==∑所以122212(1),.(!)(!)n n n n nx n n x y y n n --∞∞==-'''==∑∑ 212222101122222111221(1)(!)(!)(!)(1)11(!)(!)(!)!(2)!!(1)!!!n n n n n n n nn n n n n nn n n n n x nx x xy y y x n n n n n x nx x n n n x x x n n n n n n --∞∞∞===--∞∞∞===--∞∞∞===''-'''+-=+--=++--=+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 21111(1)!(1)!(1)!!(!)(1)(1)(1)!!0n n nn n n nn x x x n n n n n n n xn n ∞∞∞===∞==+-+-++-+=+=∑∑∑∑∴方程0xy y y '''+-=成立.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设球在动点(),,P x y z 处的密度与该点到球心距离成正比,求质量为m 的非均匀球体2222x y z R ++≤对于其直径的转动惯量． 知识点：立体的转动惯量,难度等级：2. 分析：利用转动惯量公式,球坐标计算三重积分.解:设球体方程为2222:,x y z R Ω++≤密度函数ρ=则球体的质量为:234(,,)sin Rm x y z dxdydz k k d d r dr k R ππρθϕϕπΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以,密度函数为ρ=计算该球体绕z 轴转动的转动惯量:22224235232240()(,,)(24sin sin 39Rm I x y x y z dxdydz xy R m d d r dr mR d mR R πππρπθϕϕϕϕπΩΩ=+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22．将质量为m 的物体垂直上抛,假设初始速度为0,v 空气阻力与速度成正比(比例系数为k ),试求在物体上升过程中速度与时间的函数关系.知识点：微分方程的初值问题,难度等级：1 分析: 只需将二阶导数表示出来就可证之.解: 根据条件,空气阻力为.kv 于是物体上升过程中受力为()kv mg -+(其中负号表示力与运动方向相反),而运动加速度为.dva dt=因而得微分方程 .dv m kv mg dt=-- 又知初始速度为0v ,故得初值问题0,(0).dv kv g dt mv v ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩ 因此000000(1.)()()ttkkkk k k dtdtt t t t tm m mm m mgm mg v egedt v ee v e v e k m k kg -----⎰⎰=-+=+-+=+⎰。
重庆理工大学复变函数与积分变换练习册答案
习题答案1一、判断题1．× 2．× 3．× 4．× 5．√ 二、选择题1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．A. 7．A. 三、填空题 1．1；2．2k π，()k z ∈； 3．1，2π-， i ；4．12, 12;5．2, 3π-, 1;6．1- 7．1i erθ-8．cos sin 22i ππαα⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．810．0四、计算题1（1）解：i i2332++-2sin2cosππi i +==（2）解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ2．i i z i z ii z k k i k z z 232135sin 35cos1sin cos 23213sin 3cos 2,1,032sin 32cos1:3213-=+=-=+=+=+==+++=⇒-=ππππππππππ解3．解 令z a bi =+, 则222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b-=+++. 4．解（1）()ln 34i -+()()4ln 5arg tan 234ln 5arg tan 210,1,2,3i n i n n πππ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-++=±±⎢⎥⎣⎦（2）1611cos sin 662i i iei e e πππ-+⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）()()()()1211ln 141i i k ii i i e eππ⎡⎤⎛⎫+-+ ⎪⎢⎥++-⎝⎭⎣⎦-==2244k i k l eππππ⎛⎫⎛+-+-++ ⎪ ⎝⎭⎝==24cos sin 44k ei ππππ-⎡⎤⎛⎛=-++-+ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦ 5．（1）解：i ii i 524321---- =i 2582516+ zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3336．（1）解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）解：i i+12)4sin4(cos21ππi i +=+=习题答案2一、判断题1．× 2．√ 3．√ 4．√ 5．× 6．√ 7．√ 8．× 9．√ 10．× 二、选择题1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．A 10．A 11．C 三、填空题1．2101i n n π=⎧⎨≠⎩；2．整函数；3．{},z z i z C ≠±∈且; 4．2()k ik z π∈;5．(21)z k i π=+; 6．2π 7．1, 8．i 2π- 9．（2π ）或 （ 2π- ）10．1四、计算题1．解：31cos()sin()(1).332i ei πππ-=-+-=2．解：(1)由方程 240z -=得2z =±，故)(z f 的解析区域为\{2,2}C -.(2)222(42)()sin .(4)z e z z f z z z -+'=--3．解：由柯西－黎曼方程得2,v uy x y ∂∂=-=∂∂ 所以0(,)2()2().x v x y ydx C y xy C y =+=+⎰2()22,v ux C y x y x∂∂'=+==+∂∂所以0()()2.y C y C y dx C y C '=+=+⎰所以(,)22.v x y xy y C =++从而2()2(22).f z x y x xy y C i =-++++又(0) 2.f Ci i ==所以 2.C = 所以2()2(222).f z x y x xy y i =-++++ 4．解：由R C -条件可知： lxynxy 22=所以 l n =又222233ly x nx my --=+所以 3,3-=-=n l m 且即 ⎩⎨⎧-===31l n m5．（1）解：),(),(1)(2222y x iv y x u yx yi iy x x z z z z f +=+++===2222222222222222)()(2)(2)(y x y x v y x xyv y x xy u y x x y u y x y x +-=+-=+-=+-=当且仅当y x =时， )(z f 满足R C -条件，故当y x =时)(z f 可导，但在复平面不解析。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(重庆卷,解析版)
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（重庆卷，解析版）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．()()222512161lim lim lim 2133133x x x ax a x ax x ax ax x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫--+-+--+⎛⎫+=== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭, 故263aa =⇒= （4）()13nx +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n =（A ）6 (B)7 (C) 8 (D)9解析：选B 。
()13n x +的通项为()13rrr n T C x +=，故5x 与6x 的系数分别为553n C 和663n C ，令他们相等，得：()()56!!335!5!6!6!n n n n =--，解得n =7（7）已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则14y a b=+的最小值是 （A ）72 （B ）4 （C ）92（D ）5（C ）152（D ）2解析：选B ，由题意，AC 为直径，设圆心为F ，则FE BD ⊥,圆的标准方程为()()221310x y -+-=，故()1,3F ，由此，易得：210AC =，又3121EF k -==-，所以直线BD 的方程为112y x =-+，F 到BD 的距离为113255-+-=，由此得，25BD =所以四边形ABCD 的面积为112521010222AC BD =⨯⨯= （A ）-8 （B ）8 （C ）12 （D ）13解析：选D. 设()22f x mx kx =-+，则方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根等价于()()201001280f f k m k m >⎧⎪⎪<<⎨⎪⎪->⎩，因为()02f =，所以()120f m k =-+>，故抛物线开口向上，于是0m >，02k m <<，令1m =，则由280k m ->，得3k ≥，则322k m >≥，所以m 至少为2，但280k m ->，故k 至少为5，又522k m >≥，所以m 至少为3，又由252m k >-=-，所以m 至少为4，……依次类推，发现当6,7m k ==时，,m k 首次满足所有条件，故m k +的最小值为13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上。
重庆理工大学高等数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共计15分）1．=-+→113lim )0,0(),(xy xy y x （ ）A 、3B 、6C 、∞D 、不存在2．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在点（0，0）处（ B ）A 、连续但不存在偏导数B 、存在偏导数但不连续C 、既不连续又不存在偏导数D 、既连续又存在偏导数3．D 为圆122≤+y x ，则dxdy y x D⎰⎰--221=（ D ）A 、 πB 、3π C 、32π D 、2π 4．下面四个函数中，函数（ D ）在点（0，0）处不取得极值但点（0，0）是它的驻点。
A 、xy y x f =),( B 、22),(y x y x f += C 、)(),(22y x y x f +-= D 、22),(y x y x f +=5．设平面闭区域D ={}222),(R y x y x ≤+，1D ={}0,0,),(222≥≥≤+y x R y x y x ，则下列等式中正确的是（ D ）A 、σσd x xd D D ⎰⎰⎰⎰=14 B 、σσd y yd D D ⎰⎰⎰⎰=14 C 、σσd xy xyd D D ⎰⎰⎰⎰=14 D 、σσd x d x D D ⎰⎰⎰⎰=1224二、填空题（每小题3分，共计24分）1．微分方程1sin cos =+'x y x y 的通解为 ；2．函数xy z arctan =，则x z ∂∂= ； 3．若曲线L 是圆周122=+y x ，则曲线积分⎰Lds = 2pai ； 4．曲面32=+-xy e z z 在点（1，2，0）处的切平面方程为 2x+y-3=0 ；5．准线C 为⎩⎨⎧=--=++012222222z y x z y x ，母线平行于Z 轴的柱面方程为 ； 6．计算⎰⎰-2202x y dy e dx = ； 7．如曲线积分dy y y x dx xy x L)56()4(4214-++-⎰λλ与路径无关，则λ= 3 ； 8．幂级数∑∞=⋅13n n nn x 的收敛半径是R= 3 。
重庆理工大学线性代数习题册答案
三、1、 -2， 2， 1
2、-1，-2， 1
3、 -288
4、 4
5、 3， 2， 1
5 4 6
四、 a 0,
A
3
3
3
7 6 8
五、 a 2(a 2舍去) ，
0
1
0
所用的正交变换矩阵为：
Q
1 2
0
1
2
1 2
0
1 2
六、特征向量为 1 1
1T
自测题一参考答案
一、单项选择题
4+213 2731
-4-211
=
-683
2732
-684
习题六
一、判断题 (1) √； (2) √。 二、单项选择题 (1) C； (2) B。
三、填空题 (1) 1, 0 ；(2) 1。
四、计算题
1、
(1)
r
(
A)
2
，
0 1
1
2
；(2)
r(B)
2
，
1 1
1
2
。
7
2、
6 1
2 3 1
3 2
2
1
0
1
2
2
27 9
3、
46
17
32 11
1 2
3k
4、 A 0 2(k 1)
3(k 1)
，于是有
0 0 (k 2)(k 1)
0 0
0
(1) k 1；(2) k 2 ；(3) k 1, 2
五、略
习题七
一、单项选择题 (1) D；（2）B；(3) D。
复习题三
一、
1、 1 2
重庆理工大学大一高等数学C1练习册答案
高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A2、D3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题 1、（1）解 函数要有意义，必须满足⎩⎨⎧≥-≠0102x x 即⎩⎨⎧≤≤-≠110x x 定义域为]1,0()0,1(⋃- （2）解 函数要有意义，必须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解 由1-=x e y 得 1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y（2）解 由11+-=x x y 得 yyx -+=11 交换x 、y 得反函数为x x y -+=11 4．（1）解 只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112>+t ，x arcsin 无定义（2）解 不能，因为11≤≤-x ，此时121-=x y 无意义 5．解（1）12arccos 2-====x w w v v u ey u(2) 令22y y y += 则11ln 21+=+==x u u v v y x w e m m x v v u ey wu2)sin(32==+===6．解 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g7．解 设c bx ax x f ++=2)(所以⎪⎩⎪⎨⎧==++=++41242c c b a c b a 解得 25214-===b a c习题二一．单项选择题1、A2、B3、D 二．填空题1、>12、单调增加 三．计算题1、（1）解 因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数 （2）解 因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数（3）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<--=⎪⎩⎪⎨⎧<---=->-+-=- 所以函数是奇函数 2．解 因为 x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为π，所以x y 2sin =是周期函数，周期为π 3．解 由h r V 231π=得23rv h π= 表面积： )0(919221226224222222≥++=++=+⋅+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ四 证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f xx x x x x -=+-=+-=--- 习题三一．单项选择题1、C2、C3、B4、C 二．填空题1、12、a3、≥4、2，05、1 三．判断正误1、对；2、对；3、错 四．（1） 证明 令12+=n nx n ε<=<+=-n nn n n x n 11022 只要ε1>n ，取]1[ε=N当N n >时，恒有ε<-0n x所以01lim2=+∞→n nn（2）证明 因为)0()(lim >=+∞→A A x f x ，对取定的2A=ε，存在M>0，当x>M 时，有 2)()(A A x f A x f <-<- 故当x>M 时，2)(A x f > 习题四一．单项选择题1、B2、B3、B4、D 二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2 三．判断正误1、错；2、错；3、错； 四．计算题 1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim11=+--=+---→→x x x x x x x x2、原式＝01111lim11lim=++=+++∞→+∞→x xxx x x 3、原式＝2311lim)1)(1()1)(1(lim32313231=+++=-+++-→→xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-⋅+=-++∞→++++∞→n n n n n n n n n 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ⋅+--++⋅-+⋅-+∞→n n n21)2112121(lim =⋅+-=∞→n n 6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n nn n n -++=-+++∞→+∞→ 2132123lim 22=+=∞→n n n n 7、因为 0lim =-+∞→xx e1s i n ≤x 所以 0s i n lim =-+∞→x exx习题五一、1.B ， 2.A, 3. B二、1.sin tan x x x << 2．０ 三、1.（1）0sin 77lim tan 55x x x →=解：（2）0lim sin0x x xπ→=解：这是有界函数乘无穷小量，故（3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x x x x x x x x xx x x x→→→---===-+++解： （4）00sin 1lim lim sin 1()x x x x x x++→→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数 2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n nn n n e e n n n⨯+→∞→∞→∞=+=++==原式 （2）()1()1111lim(1)lim 1x x x x xx e ---∙-→∞→∞⎡⎤⎛⎫-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦原式= （3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x x x e x x -++-∙---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦原式＝ (4)13330lim(13)xx x e ∙→=+=原式(中间思维过程同前)（5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nn n n n n nn n n n nn∙→∞→∞→∞→∞+==+=+=+=原式 四．1.证明：2......n n π<+<+1,,.n n ==而故由夹逼准则知原式成立2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->>n 即而0<x <1,故即故数列单调递增且有界,极限存在.22212(21)11(1)1lim 1n n n n n n n n x x x x x x x +→∞=-+=--++=--<∴=习题六一、1．B，2．B，3．B，4．B，5。
重庆理工大学2019-2020年度下学期期末考试《概率论与数理统计》试卷及答案
重庆理工大学2019-2020年度下学期期末考试《概率论与数理统计》试卷学号： 姓名： 班级：一、单项选择题（每小题4分，共20分）1. 设A,B,C 相互独立，且P(A)≠0, 0<P(C)<1, 则下面四对事件中不独立的是（ ） （A ） B A 与C (B) AC 与C （C ）B A -与C (D) AB 与C2. 设X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22)，且P{|X -μ1|<1}> P{|X -μ2|<1},则（） （A ）σ1<σ2 (B) σ1>σ2 (C) μ1<μ2 (D) μ1>μ23. 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于零，则D(X+Y)=DX+DY 是X 与Y （） （A ） 不相关的充分条件，但不是必要条件 （B ）不相关的充分必要条件 （B ） 独立的充分条件，但不是必要条件 （D ）独立的充分必要条件4. 设X 1,X,，……为相互独立的随机变量，且均服从参数为λ的泊松分布，则（）（A ） 当n 充分大时，λλn n Xni -∑=1i近似服从N(0,1)分布（B ） 当n 充分大时，∑=ni X 1i 近似服从N(0,1)分布（C ） 当n 充分大时，∑=ni X 1i 近似服从N(n λ, n λ2)分布（D ） 当n 充分大时，∑=ni X 1i 近似服从N(λ,λ)分布5. 设总体X~N(1,4),X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的一个样本，X 为样本均值，则（）（A ）)10(~21-X ，N （B ）)10(~41-X ，N （C ）)10(~/21-X ，N N （D ）)10(~21-X ，N 二、填空题（每小题4分，共20分）1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意地取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 。
2.设随机变量X 服从参数为(2,p)的二项分布，随机变量Y 服从参数为(3,p)的二项分布，若5(1)9P X ≥=，则(1)P Y ≥= 。
重庆理工大学 高等数学部分答案
习题一一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. × 7. ×二、 1. A 2. D3. B4. A三、1. 直线y x =2. [ -1，3 ）3. 1[,0]2- 4.奇 5. 2log 1x y x =- 6.3,,sin u y e u v v x === 四、1(2)3f x x +=+，221()1f x x=+， 11(())1211xf f x x x+==+++，11()()2f f x x =+习题二一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 二、 1. B 2. B3. A4. C三、 （1）22110n n ε-=<取N =即可（3）sin 10n n nε-≤< 取1[]N ε=即可四、根据条件，0ε∀>，N ∃，当n N >时，有0n n x y M ε-≤即证。
习 题 三一、 1. × 2. × 3. × 二、 1. C2. D3. C4. C四、（1）证明：0ε∀>，要32832x x ε+-=-< 取3εδ=即可（2）0ε∀>，要242x x ε+-=-< 取δε=即可 （3）0ε∀>，要213211x x x ε---=<++ 只要31x ε>+即可五、 1)lim 1x x x-→=-，0lim 1x x x+→=limx x x→不存在2)1lim ()2x f x +→=，1lim ()2x f x -→= 1lim ()2x f x →=2lim ()5, lim ()0x x f x f x →→==习题四一、1. ∨2. ×3. ∨4. ∨5. ×6. ×7. × 8. ∨ 9. ×10. × 11. ∨ 12. ×二、 1. D 2. C 3. B 4. D5. D三、 (1) 2131lim11x x x →-+=-+(2) 2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 202lim2h hx h I x h→+== (4) 23I =(5) 0I =(6) 422lim13x x I x →-==-(7) 11133lim 1213n n I +→∞-==-(8) 111lim (1)2212n n →∞-=+(9) 23211132limlim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++ (10) 15I =(11) I =+∞ (12) 0I =(13) 由于lim 1lim1x x ==-，故原极限不存在。
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高等数学下模拟试卷一
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 微分方程
x y dy
e dx
+=的通解是（ ） A 、y x e e C -+= B 、y x e e C -+= C 、y x e e C --= D 、y x e e C --=
2. 函数2
u xy z =在点(1,1,2)处沿l =（ A ）的方向导数最大
A. (2,4,1)
B. (4,2,1)
C. (2,4,1)-
D. (2,4,1)-
3. z
x y z e ++=，则
z z
x y
∂∂-=∂∂（ C ） A. 2 B. 1- C. 0 D. 2
4. 原点到平面326140x y z -++=的距离d = ( D )
A. 14
B. C. 7 D. 2
5. 曲线212x y z y ⎧-+=⎨=⎩
在xoz 面上的投影曲线为( A )
A. 直线
B. 抛物线
C. 圆
D. 点
6. 若级数
1
n n u ∞
=∑收敛(0,1,2,)n u n ≠=，则级数11
n n
u ∞
=∑
（ B ） A 、收敛 B 、发散 C 、收敛且
1
1
1
1
n n
n
n u
u
∞
∞
===
∑∑ D 、可能收敛可能发散
7. L 是抛物线2
y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧，则曲线积分L
xdy ⎰为（ C ）
A 、1/2
B 、3/2
C 、2/3
D 、1 8. D 为环形域：()()2
2
2
2
2
221214,,,D
D
x y I x
y d I x y
d σσ≤+≤=
+=+⎰⎰⎰⎰，则（ D ）
A ．11/2I <
B ．21I <
C ．12I I > D. 12I I <
9. 设∑是平面4x y z ++=被柱面221x y +=截出的有限部分，则yds ∑
=⎰⎰（ B ）
A 、π
B 、0 C
、
10. 设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[],ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 展开成傅里叶级数，其系数n b =（ D ）
A 、4n π
B 、2n π
C 、20
4
n n n π
⎧⎪⎨-⎪⎩为偶数为奇数
D 、0
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11. 函数2x z y
=当2,1x y ==时的全微分dz =_______. 12. 极限
(,)(2,0)sin()
lim
x y xy y →＝ .
13. ),(2
2
xy y x f z -=，则
x
z
∂∂＝______. 14. 设2
sin z y x =，则
2z x y
∂∂∂＝______.
15．交换积分次序
13
03(,)y
dy f x y dx =⎰⎰
__________
16. 设345a i j k →
→
→
→
=-+，22b i j k →
→
→
→
=--+，则a →与b →
之间的夹角为____ 17.
(2,3)
22 (1,1)
xy dx x ydy +⎰
＝__________.
18. 函数1
()4f x x
=
-展开成x 的幂级数为()f x =__________ 19．幂级数
113
n
n
n x n ∞
=⋅∑的收敛半径是_______. 20．若过曲面2
2
4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=， 则点P 的坐标为_________
三、求解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）。
21．过点(2,1,1)A -作平面2390x y z ++-=的垂线，求该直线的方程及垂足的坐标。
. 22. 求函数z y x u 22--=在条件1222=++z y x 下可能的极值点。
23．计算
(24)(536)L
x y dx y x dy -+++-⎰，其中L 为圆周122=+y x ，取逆时针方向。
24. 求
()()(),x y dydz y z dzdx x y z dxdy ∑
++-+++⎰⎰其中∑是介于
0,1z z ==之间的圆柱体
229x y +≤的整个表面的外侧。
.
25. 求
Ω
，其中Ω是由1=z 和22y x z +=围成的区域。
26. 求微分方程234y y y x '''+-=的通解。
四、应用题（本题6分）
27. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线2,x y y x +==和x 轴所围成，它的面密度xy μ=，求该薄片的
质量。
五、证明题（6分）
28. 用级数收敛的必要条件证明：40!lim n
n n →∞
=
参考答案与评分标准
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。
A A C D A,
B
C
D B D
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11. 44dx dy - 12. 2 13. 122xf yf ''+ 14. 2cos y x 15.
330
(,)x
dx f x y dy ⎰⎰
16. 4π 17. 352 18.
10(44)4
n
n n x x ∞
+=-<<∑ 19. 3 20. (1,1,2)
三、求解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 21. 解：直线方程为
211
213
x y z --+==
（4分） 即参数方程为22113x t
y t z t
=+⎧⎪
=+⎨⎪=-+⎩
代入平面方程得：12t = （6分）
故垂足为31
(3,
,)22
（8分） 22.解：拉格朗日函数为2
2
2
22(1)L x y z x y z λ=--+++- （3分）
122222x y z L x
L y L z
λλλ=+=-+=-+ （5分） 解方程组 222120220
220
1x y z x y z λλλ+=⎧⎪-+=⎪
⎨-+=⎪⎪++=⎩ 得：13322323x y z λ⎧=⎪⎪⎪=±⇒=±⎨⎪⎪=±⎪⎩
（7分）
故可能的极值点是122
(,,)333-及122(,,)333
-- （8分）
23. 解：24,536P x y Q y x =-+=+- （2分）
原式D
Q =
(
)44D
P
d d x y σσπ∂∂-==∂∂⎰⎰⎰⎰ （8分） 24. 解：,,P x y Q y z R x y z =+=-=++ （3分）
原式=
(
)327P Q R dv dv x y z πΩ
Ω
∂∂∂++==∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （8分）
25. 解：原式2211
220
=d d dz d d dz πρ
ρρϕϕρρΩ
=⎰⎰⎰⎰
⎰⎰ （6分）
415
π
=
（8分） 26. 解：特征方程为：2230r r +-=
123,1r r =-=
所以230y y y '''+-=的通解为312x x Y C e C e -=+ （4分）
设特解为*
y ax b =+ （6分）
代入原方程求得：48,39
a b =-=- 故通解为3124839
x x
y C e C e x -=+-- （8分）
四、应用题（本题6分）
27. 解：12013y
y D
M xyd dy xydx σ-===⎰⎰⎰⎰ （6分）
五、证明题（6分）
28、证明：对正项级数14!
n
n n ∞
=∑
114!
lim lim 01(1)!4n n n
n n n
a n a n ρ++→∞→∞==⋅=<+ （4分）
所以14!
n
n n ∞
=∑收敛
故：40!
lim n
n n →∞= （6分）。