平面向量复习基本知识点及经典结论总结

平面向量复习基本知识点及经典结论总结1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||AB AB ± )；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0 )；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

如下列命题：（1）若a b = ，则a b = 。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC = 。

（5）若,a b b c == ，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c。

其中正确的是_______（答：（4）（5））2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

如（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=- ，则c = ______（答：1322a b - ）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,)24e e =-=- （答：B ）；（3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b == ,则BC 可用向量,a b 表示为_____（答：2433a b +）；（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa≠0。

5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝2π时，，垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：∙，即∙＝cos a b θ。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

如（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=- ，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____（答：1）；（3）已知2,5,3a b a b ===- ，则a b +等于____；（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==- ，则与a a b+的夹角为____（答：30 ）（3）b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。

如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______（答：512）（4）∙的几何意义：数量积∙等于的模||a与在上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则：①0a b a b ⊥⇔∙=；②当，同向时，∙＝a b ，特别地，22,a a a a a =∙== ；当与反向时，∙＝－a b ；当θ为锐角时，∙＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅> 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，∙＜0，且 a b、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a ba bθ∙=；④||||||a b a b ∙≤ 。

如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-或0λ>且13λ≠）；（2）已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________（答：(,)43ππ）；（3）已知(c o s ,s i n ),(c o s ,s i na x xb y y ==a 与b之间有关系式,0ka b kb k +=-> 其中，①用k 表示a b ⋅ ；②求a b ⋅ 的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k +⋅=> ；②最小值为12，60θ= ） 6、向量的运算： （1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b == ，那么向量AC 叫做a 与b的和，即a b AB BC AC +=+= ；②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。

注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

如（1）化简：①AB BC CD ++= ___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____（答：①AD ；②CB ；③0 ）；（2）若正方形A B C D 的边长为1，,,AB a BC b AC c === ，则||a b c ++＝_____（答：）；（3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++= ，设||||AP PD λ=，则λ的值为___（答：2）；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++= ，则ABC △的内角C 为____（答：120）；（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。

如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈ ，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y = 且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += （答：6π或2π-）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-= ，则合力123F F F F =++的终点坐标是 （答：（9,1））②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

如设(2,3),(1,5)A B -，且13AC AB = ，3AD AB =，则C 、D 的坐标分别是__________（答：11(1,),(7,9)3-）； ④平面向量数量积：1212a b x x y y ∙=+。

如已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－1，0）。

（1）若x ＝3π，求向量、的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-，函数x f ⋅=λ)(的最大值为21，求λ的值（答：1(1)150;(2)2或1）；⑤向量的模：2222||||a a a x y ===+ 。

如已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b + ＝_____；⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x yB x y ，则||AB =如如图，在平面斜坐标系xOy 中，的：若12OP xe ye =+，其60xOy ∠=，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义中12,e e分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。

（1）若点P 的斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程。

（答：（1）2；（2）2210x y xy ++-=）； 7、向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+ ，()()a a λμλμ=，a b b a ∙=∙ ；(2)结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+ ，()()()a b a b a b λλλ∙=∙=∙；（3）分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+ ，()a b c a c b c +∙=∙+∙。