解三角形高考大题-带答案

解三角形高考大题,带答案

1． (宁夏１7)(本小题满分1２分）

如图,ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，

2AB =.

（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； (Ⅱ）求AE ． 解:(Ⅰ）

因为

9060150BCD =+=∠,CB AC CD ==,

所以15CBE =∠．

所以6cos cos(4530)4

CBE =-=∠.?6分 （Ⅱ）在ABE △中,2AB =， 由正弦定理

2

sin(4515)sin(9015)

AE =-+.

故2sin 30

cos15

AE

=

12

4

?

=

=.?12分

２． （江苏1７)(１4分）

某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ，BC ＝10km ，为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上（含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、ＢO 、ＯＰ,设排污管道的总长为y ｋm 。

（1)按下列要求写出函数关系式：

①设∠B ＡＯ=θ(rad ），将y 表示成θ的函数关系式; ②设O Ｐ=x (k ｍ),将y 表示成ｘ的函数关系式;

(２）请你选用（１)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

【解析】：本小题考查函数的概念、

解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。

(１）①由条件知P Ｑ垂直平分A Ｂ,若∠BA Ｏ=θ（rad ),则

cos cos OA BAO θ

=

=∠，

故10

cos OB θ

=

又1010OP tan θ=-，所以1010

1010cos cos y OA OB OP tan θθθ

=++=

++- B

A

C

D

E

B

所求函数关系式为2010sin 10

(0)cos 4

y θ

π

θθ

-=+≤≤

②

若

Ｏ

P

＝

ｘ

（

km )

，

则

Ｏ

Ｑ

＝

10-x ,

所

以

OA OB ===

所求函数关系式为(010)y x x =+≤≤

（２)选择函数模型①,22

10cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)

'cos cos y θθθθθθθ

-----== 令'0y =得1sin 2θ= 046

ππ

θθ≤≤∴=

当(0,)6πθ∈时'0y <，y 是θ的减函数;当(,)64

ππ

θ∈时'0y >，y 是θ的增函数；

所以当6π

θ=

时，min 1

20101010y -?

=+= 此时点O 位于线段ＡB

的中垂线上,且距离ＡB ｋm 处。 3. （辽宁17)(本小题满分1２分）

在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π=

． (Ⅰ）若ABC △a b ，; （Ⅱ)若sin 2sin B A =,求ABC △的面积. 解：（Ⅰ)由余弦定理得，2

2

4a b ab +-

=, 又因为ABC △

所以

1

sin 2

ab C =4ab =．?４分 联立方程组2244a b ab ab ?+-=?=?

，

，解得2a =，2b =．6?分

(Ⅱ)由正弦定理，已知条件化为2b a =,?8分

联立方程组2242a b ab b a ?+-=

?=?，，

解得3a =3b =．

所以ABC △的面积1sin 2S ab C =

=?12分 4．（全国Ⅰ1７）（本小题满分１2分)

设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，,且cos 3a B =，sin 4b A =． (Ⅰ)求边长a ;

（Ⅱ）若ABC △的面积10S =,求ABC △的周长l . 解：(１）由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除,有:

3cos cos cos cot 4sin sin sin a B a B b B B b A A b B b ==== 又通过cos 3a B =知:cos 0B >，

则3cos 5B =，4

sin 5

B =,

则5a =．

（２)由1

sin 2

S ac B =,得到5c =．

由222

cos 2a c b B ac

+-=,

解得：b =

最后10l =+.

5．（全国Ⅱ17）(本小题满分10分） 在ABC △中,5cos 13

A =-

,3

cos 5B =．

(Ⅰ)求sin C 的值；

(Ⅱ)设5BC =,求ABC △的面积.

解：（Ⅰ)由5cos 13

A =-

，得12sin 13A =,

由3cos 5B =，得4

sin 5

B =. ············································································· 2分

所以16

sin sin()sin cos cos sin 65

C A B A B A B =+=+=. ······································· 5分

(Ⅱ)由正弦定理得45sin 13512sin 313

BC B AC A ?

?==

=． ·············································· ８分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =???1131652365=???8

3

=.?10分

６. （上海1７）(本题满分1３分）

如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC .小区的两个出入口设置在点Ａ及点C 处,小区里 有两条笔直的小路AD DC ，,且拐弯处的转角为120.已知某人从C 沿CD 走到D 用了1０分钟,从D 沿DA 走到A 用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,求该扇形的半径OA 的长（精确到1米).

【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意,得

C Ｄ＝50０（米）,ＤA =３00（米)，∠C

D Ｏ=0

60

在CDO ?中，2202

2cos 60,CD OD CD OD OC +-???=……………6分

即()()2

2

21

5003002500300,2

r r r +--??-?

=……………………．9分 解得4900

44511

r =

≈（米）. …………………………………………….13分 【解法二】连接ＡC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………．．2分 由题意,得ＣＤ=500(米）,AD ＝300(米）,0

120CDA ∠=………….４分

2220

2

2

2

,2cos12015003002500300700,

2

ACD AC CD AD CD AD ?=+-???=++???=在中 ∴ AC =700（米） …………………………..６分

22211

cos .214

AC AD CD CAD AC AD +-∠==??………….……．９分

在直角1411

,350,cos 0,14

HAO AH HA ?=∠=中（米） ∴ 4900

445cos 11

AH OA HAO =

=≈∠（米). ………………………13分

. (重庆１7)（本小题满１3分,（Ⅰ)小问5分，(Ⅱ）小问8分.)

设△A ＢC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ,b ，c

．已知2

2

2

b c a +=，求： （Ⅰ)A 的大小;

(Ⅱ)2sin cos sin()B C B C --的值. 解:(Ⅰ)由余弦定理,2

2

2

2cos ,a b c bc A =+-

222cos 222.

6

b c a A bc bc A π

+-====

故所以

（Ⅱ） 2sin cos sin()B C B C --

2sin cos (sin cos cos sin )

sin cos cos sin sin()sin()

1

sin .

2

B C B C B C B C B C

B C A A π=--=+=+=-==

8. 在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3

c C π

==．

⑴若ABC △

求,a b ;

⑵若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积.