高等传热学导热理论
高等传热学非稳态导热理论2
高等传热学导热理论第四讲 非稳态导热描述非稳态导热问题的微分方程：pC t a t ρτΦ+∇=∂∂ 2共有四维，不好解。
最简单的情况，如果系统内部无温度差（即无导热），它的温度变化规律如何？这就是所谓的薄壁问题，此时无需考虑系统的空间坐标，所以又是0维问题。
1．薄壁问题（P 40-45）即集总参数系统适用条件 薄壁理论：如果系统内部无温度差，由热力学第一定律可得：MCdt d A d q =∙Ωτ1－4－1当热流密度与边界相互垂直时，有：VCdt qAd ρτ= 1－4－2如边界上的热流密度为)(t t h q f -=VCdt d t t hA f ρτ=-)( 1－4－300t t ==τ实际情况 t 不可能相同。
什么条件下可用薄壁公式呢？ 工程界用得最多的判据是：1.0≤Bi 1－4－4对平壁，圆柱和球，此时内部温差小于()()(,)(0,)/(0,)5%t r t t t τττ∞--≤，即实际判据为：()()(,)(0,)/(0,)t r t t t τττε∞--≤，即某时刻平壁内最大温差与该时刻平壁和环境间的最大温差之比小于给定小量。
有人对此判据提出异议：在加热初期极短时间内，任何有限薄壁可看作半无限大体，温度只影响边界附近薄层中，与薄壁概念不符。
判据1－4－4的缺点是没有F o 的影响。
R o s e n o w 提出另一个判据，()()(,)(0,)/(,)(,0)t r t t t ττδτδε--≤，物理意义是在某时刻平壁内最大温差与该时间段内平壁最大温度变化之比小于给定小量。
该判据含F o ，但存在B i 越小，薄壁区越小的缺点，与判据1－4－4不相容。
俞佐平提出了含F o 的新判据，()()()()(,)(,0)(,)/1//(,0)t t t t t t Bi h t t δτδδτεδλδ∞∞∞∞---=≤-该判据规律与1－4－4相似。
本人从理论上证明了判据1－4－4的合理性，发现异议者的误区在于但B i 很小时，无论时间如何短，与该薄壁相应的半无限大体中的最大温差也不会超过我们限定的温差。
高等传热学知识点总结
多维、线性齐次，乘积解： t ( x, y, z, ) ψ( x, y, z )( ) 令 ψ( x, y, z) X ( x)Y ( y) Z ( z) ，分别求解，然后相乘
t ( x, y, z, ) Cmnp e a ( m
m 1 n 1 p 1
2
m2 m2 )
X( m , x)Y( m , y)Z(m , z)
多维稳态非齐次：边界非齐 fi (r ) 0 or 方程非齐 0 边界非齐次（方程齐次） ：分离变量法
t ( x, y) X ( x)Y ( y) ,参照时间与空间的分离变量法
当多个边界非齐次时，等于各单非齐问题的叠加 方程非齐次：等于相应齐次解+非齐次特解 线性、非齐次、非稳态： 热源函数法：在无限大区域，初始时刻 x=x0 处，作用了 一个 t=t0 的热源，当 0 时，
13
0.14
2 Num 0 . 6 6 4 1 R l e
1 3
Pr
大空间自然对流换热: Nu C (GrPr) C ( Ra)
x z yz z
， 利用
1 H
u H
i 1 i
3
H t 2 i ui
t cp
第二章 分离变量法 分离变量法： 将温度分成只与空间有 t (r , ) ψ(r )( ) ， 关的 ψ(r ) 和只与时间有关的 ( ) 的乘积。 对于线性齐次非稳态无内热源问题， t
ห้องสมุดไป่ตู้对流
t y
y w, x
对流换热基本计算式：傅里叶定律 qw
牛顿冷却公式 qc h(tw, x t ) ，t 在内流时取管道截面 平均流体温度，外流时取远离壁面的流体温度。
高等传热学知识点总结
半无限大物体：
d 2 X ( x) 2 X ( x) 0 2 dx
1 X ( , x) X ( , x ' ) F ( x ' )dx 'd 0 N ( )
为热源强度，当 J 1 时， t ( x, ) 为一维热源函数。 意义：无限大区域中，初始时刻在 x 平面上的单位强 度，瞬时面（线、点）热源所造成的温度分布。 应用： Q c p F ( )d A ， J F ( )d 因此， t ( x, )
Dp T v D
表示单位时间内黏性应力 （黏性切应 为黏性耗散函数， 相似原理意义：①实验时， 应当以相似特征数作为安排实 验的依据，并测量各特征数中包含的物理量；②实验结果 应整理成特征数间的关联式； ③实验结果可以推广应用到 与实验相似的情况。 管内湍流换热实验关联式 力与黏性法向应力）对控制体内流体所做的功，不可逆地 转化为热能的那部分 第二章 边界层相似理论和边界层方程 速度边界层：当流体流过固体壁面时，由于流体粘性作 用，使得在固体壁面附近存在速度发生剧烈变化的薄层 速度边界层厚度：速度等于 99%主流速度。 意义：流动区域可分为主流区和边界层区，主流区可看 作理想气体的流动，只在边界层区才需要考虑流体的粘 性作用。 温度边界层：在对流换热时，固体壁面附近温度发生剧 烈变化的薄层，也称热边界层。 温度边界层厚度：过余温度等于 99%主流流体过余温度 意义：温度场也可分为主流区和边界层区，主流区中的 温度变化可看作零，因此只需要确定边界层内的流体温 度分布。 普朗特数： Pr v a 普朗特数反映了流动边界层和温度 边界层的相对大小。其中流体的运动粘度反映了流体中 由于分子运动而扩散动量的能力，这一能力越大，粘性 的影响传递越远，流动边界层越厚。相类似，热扩散率 越大则温度边界层越厚。根据普朗特数大小可将流体分 为高普朗特数流体（百千） 、中~（0.7-10）以及低~0.01 边界层微分方程：外掠平板，2D，常物性，稳态，层 流，不可压缩流体，忽略黏性耗散 数量级分析法
高等传热学-傅立叶导热定律及导热方程
质点温度发生变化，则意味着内能发生变化 按热力学第一定律，必有热量进出该质点 结果表明瞬时热源的作用迅速传遍整个区域， 不论空间介质种类如何（热量传播速度无限 大） 温度出现不均匀的的原因是由于各点吸收的 份额不同 热传导微分方程是傅立叶导热定律结合能量 守恒原理而得 能量守恒定律只涉及能量在数值上的关系， 与能量传递过程中具体行为无任何联系 故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致
考虑热传播速度的有限性 对于无源项情况， 型 hyperbola 偏微分方程）
1 2 t 1 t 2 t 2 2 （双曲线 a c
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修 正
导热微分方程在正交坐标系(orthogonal curvilinear coordinates)中表述
梯度 (gradient) 一般表达式在附录(Appendix) 3 中式（9）
1 1 1 e1 e2 e3 H1 q1 H 2 q2 H 3 q3
按温度变量(variable)有：
1 t t ei i 1 H i xi
3
（a)
高等传热学
波的特征wave property
传播介质中的质点(particle)并未随机械波 的传播而迁移(move) 水波荡漾时水的质点正是在重力和水的张力 作用下上下振动，从而带动周边的质点一起 上下振动，此质点与周边质点的振动有一个 相位差(phase difference)，这种波称为横 波(transverse wave) 声波(sound wave )的实质与水波(water wave )完全一致，只是水波能看到，声波 看不到
高等传热学
热的波动性wave of the heat
传热学--导热理论基础--ppt课件精选全文
第二章 导热理论基础
第三节 热导率
3、隔热层必须采取防潮措施
（1） 湿材料 干材料或水
因多孔材料很容易吸收水分，吸水后，由于热导率较大的水
代替了热导率较小的介质，加之在温度梯度的推动下引起水分
迁移，使多孔材料的表观热导率增加很多。
0.35
0.599
第二章 导热理论基础
※导热是在温度差作用下依靠物质微粒（分子、原子和 自由电子等）的运动（移动、振动和转动）进行的能 量传递。因此，导热与物体内的温度分布密切相关。 ※本章将从温度场、温度梯度等基本概念出发 阐述导热过程的基本规律 讨论描述物体导热的导热微分方程和定解条件
第二章 导热理论基础
第一节 温度场和温度梯度 一、温度场（P13）
第二章 导热理论基础
第三节 热导率
4、几点说明
（1）保温材料的λ值界定值随时间和行业的不同有所变化。 保温材料热导率的界定值大小反映了一个国家保温材料的生
产及节能的水平。
20世纪50年代我国沿用前苏联标准为0.23W/(m·K)； 20世纪80年代，GB4272-84规定为0.14W/(m·K)， GB4272-92《设备及管道保温技术通则》中则降低到 （0.122）W对/(于m各·K向) 异性材料，其热导率还与方向有关。
1、等温面：同一瞬间，温度场中温度相同的点所连成的面。 2、等温线：等温面与其他任一平面的交线。
3、立体的等温面常用等温线的平面图来表示。
为了在平面内清晰地表示一组等温面，常用这些等温面与一 平面垂直相交所得的一簇等温线来表示。 图2-1是用等温线表示的内燃机活塞和水冷燃气轮机叶片的温度场
第二章 导热理论基础
三、温度梯度（P13-14）
高等传热学-2
已知圆柱坐标系与直角坐标系之间的函数关系
x = r cos j , y = r sin j , z = z
令 x1 = r , x2 = j , x3 = z 求出拉梅系数
H1 = Hr = 1 H2 = Hj = r H3 = Hz =1
圆柱坐标系的导热方程
H = H1H 2H3 = r
rc ¶T ¶t
高等传热学
张靖周
南京航空航天大学 能源与动力学院
第二章 导热的理论基础
2-1 导热基本定律
一、 经典傅里叶(Fourier)定律 qv = - l Ñ T = - l gradT = - l ¶ T nv ¶n
Fourier定律作为导热的本构方程，描述了热流量和 温度分布之间的关系。 思考： Fourier定律的适定条件？
r n
方向
温度升高，即
( ¶T ¶n
)w
>
0
，故
-
l(
¶T ¶n
)w
<
0
(2)假设 Tf < Tw ，表面温度比内部温度低，则沿 nr方向
温度降低，即
( ¶T ¶n
)w
<
0
，故
-
l(
¶T ¶n
)w
>0
第二类和第三类边界条件的具体应用
热流密度 导热
q0
=
-l
¶T (0,t ¶x
)
导热 热流密度
-
l
¶T
C 是热传播速度 a 是导温系数
t0
=
a C2
t 0 是弛豫时间：温度场的重新建立滞后于热扰动改
变的时间，反映了系统趋于新的平衡状态的快慢程度
(1) 对于稳态导热过程，热流密度矢量场不随时间变化，传播项 的影响消失
高等传热学_1导热理论和导热微分方程
t ( ) w h(tw t f ) n
（4）第4类边界条件 接触热阻
1.3 各向异性材料中的导热
物性在空间的各个方向上不同的材料— —各向异性材料。 温度场、等温面、温度梯度等概念，以 及各方程仍适用于各向异性材料。 导热系数沿各个方向不同，不再是与方 向无关的标量。
此时，坐标系(ξ , η , ζ )的坐标轴称为导 热系数的主轴， λ ξ 、λ η 、λ ζ 称为各 向异性材料的三个主导热系数。
稳态过程不需要时间条件； 非稳态过程需要给出初始温度分布，即初始条件。
t 0 f ( x, y , z )
边界条件——说明导热体边界上过程进行的 特点，反映过程与周围环境相互作用的条件， 一般可分为三类： （1）规定了边界上的温度值，称为第一类边 界条件。对于非稳态导热，这类边界条件要 求给出以下关系式：
1.1 导热基本定律
1.1.1 温度场 连续介质假设 温度场——各时刻（时间）物体中各点 （空间）温度分布。可以表示为空间坐 标和时间的函数。
t f ( x, y, z, )Leabharlann 物体各点温度不随时间变化
稳态温度场 稳态导热
t 0 t 0
物体各点温度随时间变化
非稳态温度场 非稳态导热
dQ q dA gradt dA Q q dA gradt dA
A A
dA是面积元向量，方向为表面的外法线方 向。
1.1.5 导热系数 傅立叶定律中定义了导热系数
q
gradt
,
W/(m K)
导热系数是温度的函数，工程上常用线 性关系近似计算 0 (1 bt )
高等传热学导热与对流的数理解析课程设计
高等传热学导热与对流的数理解析课程设计一、引言传热学是热力学的一个重要分支，研究物体内部热能的传递和分配规律。
准确地掌握传热学的知识，是实现节能降耗、提高能源利用率的关键。
本课程设计着重探讨传热学中的导热和对流，通过数学分析、模型建立、计算求解，掌握传热学中的基本理论和方法，提高学生的思维能力和综合应用能力。
二、设计内容1. 导热（1）导热的基本概念介绍导热的定义、特点以及影响因素等基本概念，引导学生了解能量传递的基本方式和特性。
（2）导热方程推导导热方程，以及针对不同边界条件的求解方法，培养学生的数学建模能力和计算能力。
（3）不同介质的导热性能分析不同材料、不同结构的物体的导热性能，对比分析热传导系数的差异，掌握不同材料的特性和应用范围。
（4）导热实验利用实验室设备进行导热实验，了解不同材料的导热性能及其变化规律，在锻炼实验操作技能的同时，深化对导热原理的理解。
2. 对流（1）对流的基本概念介绍对流的定义、基本特性和影响因素等，引导学生了解流体的运动性质及其对热传递的影响。
（2）对流方程推导对流方程及其特殊情况的求解方法，针对不同边界条件进行模拟计算，加深学生对对流现象的认识。
（3）自然对流和强制对流对比分析自然对流和强制对流的区别和特点，以及应用范围和实验方法，增强学生综合应用能力。
（4）对流实验利用实验室设备开展对流实验，了解不同条件下的对流规律及其影响因素，锻炼实验操作技能的同时，丰富对对流原理的认识。
三、教学方法和评价方式本课程设计旨在强化学生的理论基础和实践能力，将授课内容贴近工程实际，深入探究传热学中导热和对流的基本理论和方法。
教学采用讲授、实验、模拟计算等多种方式相结合，评价方式以期末考试、实验报告为主，充分考察学生的综合应用能力和对知识的掌握程度。
四、结语本课程设计紧密围绕传热学中导热与对流两大主题，注重理论和实践相结合，重点培养学生的计算、实验和应用能力，助力学生成为有理论高度和实践经验的高级工程技术人才。
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高等传热学导热理论参考书：高等传热学 贾力 方肇洪 钱兴华•S .K a k a c ,Y .Y e n e r , H e a t C o n d u c t i o n 1985, T K 124/Y K 3•G .E .M y e r s , A n a l y t i c a l M e t h o d s i n C o n d u c t i o n H e a tT r a n s f e r ,1971,T K 124/Y M 1•M .N .O z i s i k ,H e a t C o n d u c t i o n ,1980,(中译本)O 551.3/A 2•俞昌铭，热传导及数值分析，1981，清华大学出版社， O 551.3/Y 2•J .E .P a r r o t t ,A .D .S t u c k e s ,T h e r m a l C o n d u c t i o n o f S o l i d s ,1975, O 551.3/Y P 1 •U .G r i g u l l ,H .S a n d n e r , ,H e a t C o n d u c t i o n ,1984,Y K 124/Y G 3•E c k e r t E .R .G ,A n a l y s i s o f H e a t a n d M a s s T r a n s f e r , O 551.3/Y E 1(英)， O 551.3/A 3，（中）•V .C .A r p a c i ,C o n d u c t i o n H e a t T r a n s f e r ,1966,•钱壬章等，传热分析与计算，高教出版社•林瑞泰，热传导理论与方法，天津大学出版社•屠传经等，热传导，浙江大学出版社第一讲 导热规律及其数学描述导热可发生在物体的各种状态：气态、固态和液态。
描述传热规律最基本的规律是傅里叶导热定律：1. F o u r i e r L a w :dxdt q λ-=傅里叶定律适用于稳态、非稳态，变导热系数，各向同性，多维空间，连续光滑介质，气、液、固三相的导热问题，但其表现形式上为已知热流方向的一维问题。
用起来不方便。
在已知温度场的情况，我们把傅里叶定律推广成向量形式：n n t t q ∂∂-=∇-=λλ 其中∇叫n a b l a 算子，作用于温度叫温度梯度。
n 为温度梯度单位方向向量。
在不同的坐标系中，∇有不同的表现形式，在直角坐标系中：k zj y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 傅里叶定律向量形式说明，热流密度方向与温度梯度方向相反。
它可适用于稳态、非稳态，变导热系数，各向同性，多维空间，连续光滑介质，气、液、固三相的导热问题。
2．各向异性材料，导热系数张量；许多物体的导热能力与方向有关，如木材。
正确描述物体中一点的导热系数需采用二阶张量形式：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x λλλλλλλλλλ在直角坐标系中各向异性物体的傅里叶定律表示为：[]⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∇-=k z t j y t i x t t q z zy zx yz y yx xz xy x λλλλλλλλλλ采用爱因斯坦求和约定，简记为：3,2,1,=∂∂-=j i e x t q i jij λ 由热力学第二定律可以证明：0)(,2≥≠>=ii ij jj ii ji ij j i λλλλλλ,导热系数张量是对称张量。
由张量理论知，必存在一个坐标系),,(ζηξ，使得导热系数张量可以表示成：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ζηξλλλλ000000称坐标系),,(ζηξ的三个方向为导热系数张量主方向，),,(ζηξλλλ为主导热系数。
导热系数张量主方向和主导热系数可以利用线性代数中的相似变换求出。
当我们采用导热系数张量主方向作为坐标系时，傅里叶定律表示成：)(ζζηηξξζληλξλe t e t e t q ∂∂+∂∂+∂∂-=从而简化计算。
当三个主导热系数相等时（叫球张量），傅里叶定律就转化为各向同性的形式。
当导热系数张量确定后，主导热系数是唯一的，但导热系数张量主方向不一定唯一。
如球张量对任一正交坐标系都是导热系数主方向。
傅里叶定律各向异性形式说明，热流密度方向与温度梯度方向不一定相反，可以有一个角度，这个角度受热力学第二定律的限制，热流密度方向必须朝向温度降低方向。
它可适用于稳态、非稳态，变导热系数，各向异或同性，多维空间，连续光滑介质，气、液、固三相的导热问题。
3．有限热传播速度下的傅里叶定律修正：傅里叶定律暗含了热传播速度无穷大的假设，这是违反物理规律的。
所以我们认为傅里叶定律仅仅是导热规律的一个近似。
根据统计热力学，物体对热扰动表现出惯性和阻尼作用，使得热只能以有限的速度“C ”传播。
称C 为第二声速。
02/τa C =。
0τ有时间量纲，称为物体的弛豫时间，它反映导热系统趋于新的平衡状态的快慢程度。
其数量级与物体粒子二次碰撞平均时间间隔相同。
考虑了有限热传播速度下的傅里叶定律修正为： t q q C a ∇-=+∂∂λτ2 热传播项 热流 热扩散对稳态导热，热传播项消失，该式转化为原来的傅里叶定律。
)/(p C a ρλ=叫热扩散系数。
非稳态，一般a <<C 2，热传播项相对其它项很小，热流变化也不急剧，可以忽略不计。
原来的傅里叶定律仍旧可用。
在深冷领域，温度接近绝对零度，物体性质发生很大的变化。
有时传播项的影响不可忽略。
如在1.4K 液氦中，C 约为19m /s ,此时需考虑传播项的影响，负责会造成较大误差。
在短时间高热负荷情况下，如强激光照射，热流变化非常剧烈，也此时需考虑热传播速度效应，才能得到正确的预测。
人们还从传热的微观机理出发对傅里叶定律进行种种修正，对理解物体的微观运动和物性预测很有帮助。
这里就不再介绍。
4．导热微分方程：对连续体，各向同性静止物体，在具有内热源Φ（核反应，电加热或化学反应等）时，利用热力学第一定律和傅里叶定律，不考虑系统对外做功，不可压缩物体，无相变的情况下，可以得到如下导热微分方程：()Φ+∇∙∇=∂∂ t t C p λτρ 1－4－1 非稳态项 扩散项 源项当λ为常数，式1－4－1变成：pC t a t ρτΦ+∇=∂∂ 2 1－4－2 更一般地，考虑粘性流体流动状态下发生的传热有：ηφττρ++++∙-∇=D DP q q q D Dh s r 1－4－3 h=e+P/ρ 1－4－4ηφ叫耗散函数。
不同的坐标系，上面的公式有不同的表达。
见贾书P 8－11。
虽然导热微分方程适用情况很广，有时使用并不方便，大家在应用时体会。
5．初值条件与边界条件物理规律用微分方程表达，叫数学物理方程。
数理方程反映的是同类物理现象，它不涉及研究对象特定的环境和历史。
所以叫这类微分方程为泛定方程（或控制方程等）。
要解决实际稳态，还要给出定解条件。
作为整体，我们把求出定解条件称为定解问题。
求解导热微分方程的定解条件是初值条件，边界条件等，在一定的物理条件，几何条件下，再给出以下的初值条件，边界条件，导热微分方程有唯一解，所以我们又称这些条件为唯一性条件。
A /. 初值条件：就是给定系统初始状态。
即给定系统Ω的初始温度： Ω∍==),,(),,(0z y x z y x f t τ最简单情况：Ω∍==),,(0z y x C t τ B /. 边界条件：给定系统与环境之间的作用和关系。
分线性边界条件和非线性边界条件。
边界条件中含函数及其偏导数的乘积项为非线性边界条件，否则就为线性边界条件。
线性边界条件的求解比 非线性边界条件办法多，一般有通用方法。
非线性边界条件变化多，是当前的难题。
线性边界条件有：1s t B C : 给定边界Γ上的温度：Γ∍=≥),,(),,(0z y x z y x f t τ 2n d B C ： 给定边界Γ上外法向的热流密度：Γ∍=∂∂-=≥),,(),,(0z y x z y x f nt q λτ 最简单情况：Γ∍=∂∂-=≥),,(00z y x nt q λτ叫绝热边界条件。
3r d B C ：给定边界Γ上的换热条件：Γ∍-=∂∂-≥),,()(0z y x t t h nt f λτ 还有一种边界条件有人称之为4t h B C ,即给定两个相互接触面间的温度和热流。
当其为理想接触时也是线性的，两相互接触面A ,B 理想接触时的边界条件为: Γ∍∂∂=∂∂≥),,(0z y x n t n t B B B A A A λλτ Γ∍=≥),,(0z y x t t B A τ即接触面上温度相同，热流相等当存在接触热阻和接触面上有内热源时，为非理想接触，有可能变得非线性。
非线性边界条件相应的情况很多，上述几种边界条件当其中系数与温度或温度的偏导数有关时，就转化为非线性边界条件。
另外常见的有：辐射边界条件：黑体辐射服从温度的四次方率，高度非线性。
自然对流边界条件;表面传热系数与温差的1/4或1/3成正比。
移动边界条件：边界上存在相变等，如融化，凝固，烧结等，边界在移动，往往会有待求的边界移动速度项，故为非线性。
非线性问题的求解绝大多数转换为线性问题获得近似解，个别问题发展了自己的解法。
凝结边界条件和沸腾边界条件从本质上看，表面传热系数也与温度有关，也属于非线性。
6．导热问题的分类及求解方法：按照不同的导热现象和类型，有不同的求解方法。
求解导热问题，主要应用于工程之中，一般以方便，实用为原则，能简化尽量简化。
直接求解导热微分方程是很复杂的，按考虑系统的空间维数分，有0维，1维，2维和3维导热问题。
一般维数越低，求解越简单。
常见把高维问题转化为低维问题求解。
有稳态导热和非稳态导热，非稳态导热比稳态导热多一个时间维，求解难度增加。
有时在稳态解的基础上分析非稳态稳态，称之为准静态解，可有效地降低求解难度。
根据研究对象的几何形状，又可建立不同坐标系，分平壁，球，柱，管等问题，以适应不同的对象。
不论如何，求解导热微分方程主要依靠三大方法：甲．理论法乙．试验法丙．综合理论和试验法理论法：借助数学、逻辑等手段，根据物理规律，找出答案。
它又分：分析法；以数学分析为基础，通过符号和数值运算，得到结果。
方法有：分离变量法，积分变换法(L a p l a c e变换，F o u r i e r变换)，热源函数法，G r e e n函数法，变分法，积分方程法等等，数理方程中有介绍。
近似分析法：积分方程法，相似分析法，变分法等。
分析法的优点是理论严谨，结论可靠，省钱省力，结论通用性好，便于分析和应用。