第四章_2机器人动力学
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第四章机器人静力学动力学
0
nz
(
p
n
)
y
(
p
o
)
y
( p a)y
ox
oy
oz
( ( (
p p p
n)
o)
a)
ax
z z z
dx dy dz
x
ay
y
az z
{T}
根据前面导出的两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换 关系，可以导出{A}和{B}之间广义操作力的坐标变换关系。
l1s1
l2s12
于是得到与末端速度
相应的关节速度：
显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的 关节速度将趋于无穷大。
4.2 机器人的静力学
0F [Fx , Fy ]T
存在怎样的关系
(1, 2 )
( f ,n)
y0
2
1
x0
机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力 和 力矩 ，统称为末端广义（操作）力矢量。记为
n个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量 称为关节力矢量
利用虚功原理，令各关节的虚位移为δqi ，末端执行器相应 的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端 执行器所作的虚功应该相等，即
简写为: 又因为
, 所以得到 与 之间的关系
式中
称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，
操作力向关节力映射的线性关系。
x t33
x t34
dx
x x x x
t
41
t42
t43
t44
x x x x
二. 微分运动
设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动 后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对 于基坐标系（静系）进行的(右乘)，总可以用微小的平移和旋转 来表示，即
第四章(机器人学动力学)
机器人动力学
第四章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分 析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、 动态仿真的基础。 机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器 人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节 力（矩）与接触力的关系。 机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由 于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此 很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的 控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机 器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器 人动力学研究者追求的目标。 2
3
按静力学方法，把这些力、力矩简化到 Li 的固联坐标系 oi xi yi zi ，可得： Fi Fi 1 G i M i M i 1 r i F i 1 r Ci G i i 1 或 i i i 0
4.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递 在操作机中，任取两连杆 Li， i 1 。设在杆 Li 1上的 Oi 1 点 L 作用有力矩 M i 1和力 F i 1；在杆 Li 上作用有自重力 G i 〔过质 r 心 Ci ）；i 和 rCi 分别为由 Oi 到 Oi 1 和 Ci 的向径。 M i 1 F i 1
18
4.4.4 牛顿——欧拉法基本运动方程
刚体的运动可分解为随质心的移动和绕质心的转动。借助于 杆件运动学知识，我们把达朗贝尔原理用于每个杆件，描述机 器人各杆件的运动。达朗贝尔原理可应用于任意瞬时，它实质 上是牛顿第二运动定律的一种变型，可表示为： d mi vi ( Fi ) Fi mi vi 牛顿定理 : dt d I ii Ni I ii i ( I ii ) 欧拉方程 : ( Ni ) dt 式中：mi — 杆i 质量； Fi — 杆i上所有外力合力； N i — 杆i上所有外力对质心的合力矩；
第四章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分 析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、 动态仿真的基础。 机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器 人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节 力（矩）与接触力的关系。 机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由 于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此 很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的 控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机 器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器 人动力学研究者追求的目标。 2
3
按静力学方法，把这些力、力矩简化到 Li 的固联坐标系 oi xi yi zi ，可得： Fi Fi 1 G i M i M i 1 r i F i 1 r Ci G i i 1 或 i i i 0
4.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递 在操作机中，任取两连杆 Li， i 1 。设在杆 Li 1上的 Oi 1 点 L 作用有力矩 M i 1和力 F i 1；在杆 Li 上作用有自重力 G i 〔过质 r 心 Ci ）；i 和 rCi 分别为由 Oi 到 Oi 1 和 Ci 的向径。 M i 1 F i 1
18
4.4.4 牛顿——欧拉法基本运动方程
刚体的运动可分解为随质心的移动和绕质心的转动。借助于 杆件运动学知识，我们把达朗贝尔原理用于每个杆件，描述机 器人各杆件的运动。达朗贝尔原理可应用于任意瞬时，它实质 上是牛顿第二运动定律的一种变型，可表示为： d mi vi ( Fi ) Fi mi vi 牛顿定理 : dt d I ii Ni I ii i ( I ii ) 欧拉方程 : ( Ni ) dt 式中：mi — 杆i 质量； Fi — 杆i上所有外力合力； N i — 杆i上所有外力对质心的合力矩；
《机器人技术基础》第四章 机器人动力学
人
4.2 机械手动力学方程
动
力
学
4.1.1 拉格朗日方法
机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的 运动学系统，存在严重的非线性，需要非常复杂 的方法来处理。
动力学处理方法： Lagrange , Newton-Euler, Gauss,Kane, Screw, Roberson-Wittenburg
2 )
d
dt
L
1
(m1 m2 )l12
m2l22
2m2l1l2
cos
2
1
(
m2
l
2 2
m2l1l2 cos 2 )2
2m2l1l2 si n212 m2l1l2 si n22L1Fra bibliotek(m1
m2 )gl1
s i n1
m2 gl2
s i n (1
2)
4.1.2 拉格朗日方程
⑤求出机器人动力学方程：
)
然后求微分，则其速度就为：
x2 y 2
l1 l1
co s11 sin 11
l2 l2
cos(1 2 )(1 2 ) sin(1 2 )(1 2 )
θ1
关节2
m1
（x1, y1)
l2
θ2 m2
（x2, y2 )
由此可得连杆的速度平方值为：
v22 x22 y22 l1212 l22(12 212 22 ) 2l1l2 cos2(12 12 )
m2 gl2 sin(1 2 )
T2 (m2l22 m2l1l2 cos2 )1 m2l222 m2l1l2 sin 21
m2 gl2 sin(1 2 )
4.1.2 拉格朗日方程
将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：
工业机器人课件第四章 机器人动力学
（4.2-2) Dii I ai I ai 为传动装置的等效转动惯量
Dij Dijk
p maxi , j
n
I ai
Trace(
Tp q j
Ip
TpT qi Ip
) TpT qi
（4.n T T p T
n
Trace(
2Tp q j qk rp
把相应的偏导和导数代入拉格朗日方程，可求得力矩T1和T2的动力学表达式 d L L T1 dt 1 1 (m d 2 m d d cos ) [(m m )d 2 m d 2 2m d d cos ]
1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
（4.1-9)
（4.1-10)
将在关节i上产生 D 的惯性力； Dii—关节i的有效惯量：关节i的加速度 i ii i 将在关节j和i上分别产 和 Dij—关节i和j的耦合惯量：关节i和j的加速度 j i 生一个等于 Diji 和 Dij j 的惯性力；
2 D22 m2 d 2
耦合惯量 向心加速度 系数
2 D12 m2 d2 m2 d1d2 cos2
D111 0 D122 m2 d1d 2 sin 2 D211 m2 d1d 2 sin 2 D222 0
哥氏加速度 系数
重力项
D112 D121 m2 d1d 2 sin 2 D212 D221 0
) （4.2-4)
（4.2-5)
Di m p g
p i
p
qi
惯量项和重力项在机器人的控制中特别重要，它们影响到系统的稳定 性和定位精度。向心力和哥氏力仅当机器人高速运动时才有意义。
第4章 机器人的动力学初步
图４-４ 质点平移运动 作为回转运动的解析
机器人的静力学
如果Ｉ ＝ｍｒ２，则式（４-１４） 就改写为
式（４-１５）是 质 点 绕 固 定 轴 进 行 回 转 运 动 时 的 运 动 方 程 式 。 与 式 （４⁃ １１）比较，Ｉ相当于平移运动时的质量，在旋转运动中称为惯性矩。
机器人的静力学
对于质量连续分布的物体， 求解其惯性矩， 可以将其分割成假想的微小 物体， 然后再把每个微小物体的惯性矩加在一起。这时， 微小物体的质量ｄ ｍ 及其微小体积ｄＶ 的关系， 可用密度ρ 表示为 所以， 微小物体的惯性矩ｄＩ， 依据Ｉ ＝ｍｒ２， 可以写成
行器在笛卡尔空间的轨迹已确定（轨迹已被规划），求解机器人各执行器的驱
动力或力矩，这称为机器人动力学方程的反面求解，简称为逆动力学问题。
概述
不管是哪一种动力学问题都要研究机器人动力学的数学模型，区别在于问
题的解法。人们研究动力学的重要目的之一是对机器人的运动进行有效控制，
以实现预期的运动轨迹。 常用的方法有牛顿.欧拉法、拉格朗日法、凯恩动力学法等。牛顿·欧拉动
原理。
机器人的静力学
如图４⁃１所示，已知作用在杠杆一端的力ＦＡ，试用虚功原理求作用于另 一端的力ＦＢ。假设杠杆长度ＬＡ和ＬＢ已知。 按照虚功原理，杠杆两端受力所做的虚功应该是
式中，δ ｘＡ 、δ ｘＢ是杠杆两端的虚位移。而就虚位移来讲，下式成立
式中， δθ 是绕杠杆支点的虚位移。 把式（４⁃２）代入式（４⁃１）消 δ ｘＡ 、δ ｘＢ，可得到下式 图４-１ 杠杆及作用在两端上的力
机器人动力学方程式
式中， ｎ 为机器人的关节总数。其次我们来考虑把Ｋ 作为机器人各关节 速度的函数。这里ｖＣｉ与ω ｉ 分别表示为
《机器人动力学》课件
机器人动力学有助于优化机器人的设 计和性能，提高机器人的运动性能和 作业能力。
安全性和稳定性
通过机器人动力学的研究，可以预测 机器人在不同环境和操作条件下的行 为，从而避免潜在的危险和保证机器 人的安全稳定运行。
机器人动力学的发展历程
初始阶段
早期的机器人动力学研究主要关注于简单的机械臂模型，采用经典力学理论进行分析。
刚体动力学是研究刚体在力作用下的运动规律的科学。刚体动力学建模
是研究刚体运动过程中力和运动状态之间的关系。
02
牛顿-欧拉法
牛顿-欧拉法是一种基于牛顿运动定律和欧拉方程的刚体动力学建模方
法。通过这种方法，可以建立刚体的运动方程，描述刚体的运动状态。
03
拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日方程的刚体动力学建模方法。这种方法
《机器人动力学》ppt 课件
目录
Contents
• 机器人动力学概述 • 机器人动力学的基本原理 • 机器人动力学建模 • 机器人控制中的动力学应用 • 机器人动力学研究的挑战与展望 • 机器人动力学实验与案例分析
01 机器人动力学概述
定义与特点
定义
机器人动力学是研究机器人运动过程中力和运动状态之间关系的学科。它主要关注机器人在操作物体 、环境交互以及自身运动过程中产生的力和扭矩，以及这些力和扭矩如何影响机器人的运动状态。
在实际应用中的表现。
06 机器人动力学实验与案例分析
实验一：刚体动力学实验
总结词
理解刚体动力学基本原理
详细描述
通过实验一，学生将学习刚体动力学 的基本原理，包括刚体的运动学和动 力学特性。实验将通过演示刚体在不 同条件下的运动，帮助学生理解刚体 动力学的概念和应用。
第4讲 机器人动力学
2 2 T PC 1 PC 1 L C 1 1
（4－12）
2 2 2 2 2 T p C 2 p C 2 L1 1 L C 2 ( 1 2 ) 2 L1 L C 2 C 2 ( 1 1 2 )
（4－13） 利用式（4－10）和式（4－12），（4－13），通过下式
对于一般形式的连杆，由于I除第三分量以外，其它分 量皆不为零，所以×I不是零向量。×I的第1，2分量成 了改变轴方向的力矩，但在固定轴的场合，与这个力矩平衡 的约束力生成，式N的第1，2分量，不产生运动。 由于机器人是具有分布质量的三维、多自由度机构，利 用牛顿力学建模非常困难，拉格朗日力学成为主要的动力学 分析方法。
式中，m（标量）是刚体的质量； 3 3 IC R 是绕重心C的惯性矩阵；FC 是作用于重心的平动力；N是惯性力矩； Vc是重心的平移速度；为角速度。 式（4－3）及式（4－4）分别被称为牛顿运动方程式及欧 拉运动方程式。Ic的各元素表示对应的力矩元素和角加速度元 素间的惯性矩。
2012-7-16
r x
2012-7-16
F
N r
机器人技术公共选修课
6
1. 惯性矩
x 式中， 和N是绕轴回转的角加速度和惯性力矩，将 和F 代入上式得： 2 mr N
令 I mr
2
，上式可以变为：
N I
（4－1）
式（4－1）是质点绕固定轴进行回转运动时的运动方程式， I相当于平动时的质量，称为惯性矩。 求质量连续分布物体的惯性矩时，可以将其分割成假想的 微小物体，然后将微小物体的惯性矩加在一起，这时，微小物 体的质量dm及其微小物体体积dV的关系可用密度表示为：
（4－12）
2 2 2 2 2 T p C 2 p C 2 L1 1 L C 2 ( 1 2 ) 2 L1 L C 2 C 2 ( 1 1 2 )
（4－13） 利用式（4－10）和式（4－12），（4－13），通过下式
对于一般形式的连杆，由于I除第三分量以外，其它分 量皆不为零，所以×I不是零向量。×I的第1，2分量成 了改变轴方向的力矩，但在固定轴的场合，与这个力矩平衡 的约束力生成，式N的第1，2分量，不产生运动。 由于机器人是具有分布质量的三维、多自由度机构，利 用牛顿力学建模非常困难，拉格朗日力学成为主要的动力学 分析方法。
式中，m（标量）是刚体的质量； 3 3 IC R 是绕重心C的惯性矩阵；FC 是作用于重心的平动力；N是惯性力矩； Vc是重心的平移速度；为角速度。 式（4－3）及式（4－4）分别被称为牛顿运动方程式及欧 拉运动方程式。Ic的各元素表示对应的力矩元素和角加速度元 素间的惯性矩。
2012-7-16
r x
2012-7-16
F
N r
机器人技术公共选修课
6
1. 惯性矩
x 式中， 和N是绕轴回转的角加速度和惯性力矩，将 和F 代入上式得： 2 mr N
令 I mr
2
，上式可以变为：
N I
（4－1）
式（4－1）是质点绕固定轴进行回转运动时的运动方程式， I相当于平动时的质量，称为惯性矩。 求质量连续分布物体的惯性矩时，可以将其分割成假想的 微小物体，然后将微小物体的惯性矩加在一起，这时，微小物 体的质量dm及其微小物体体积dV的关系可用密度表示为：
第04章-机器人动力学剖析
研究机器人动力学的目的
研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现 最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计中 需根据连杆质量、运动学和动力学参数、传动机构特征和负
载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方
利用前面的虚功原理来推导机器人的静力学关系式。 如图4－2所示的机械手，要产生图（a）所示的虚位 移，推导出图（b）所示各力之间的关系式。这一推导方 法本身也适用于一般的情况。
图4－2 机械手的虚位移和施加的力
假设 ： T m1 手爪的虚位移为 r r1 ,, rm , R 关节的虚位移为 1 ,, n T , R n1 T m1 手爪力为 F f1 ,, f m , R T n1 关节驱动力为 1 ,, n , R 如果施加在机械手上的力作为手爪力的 反力（ F 用来表示）时，机械手的虚功可 表示为： T T （4－5） W (F ) r
下面看一个例子来理解一下实际上如何使用虚 功原理。如图4－1所示，已知作用在杠杆一端的 力FA ，试用虚功原理求作用于另一端的力 FB 。假 设杠杆长度 L A ，LB 已知。
图4－1 杠杆及作用在它两端上的力
按照虚功原理，杠杆两端受力所作的虚功应
该是
FAx A FBx B 0
（4 － 1 ）
一、虚功原理 在介绍机器人静力学之前，首先要说明一下 静力学中所需要的虚功原理（principle of virtual work）。 约束力不作功的力学系统实现平衡的必要且 充分条件是对结构上允许的任意位移（虚位移） 施力所作功之和为零。这里所指的虚位移 （virtual displacement）是描述作为对象的系统 力学结构的位移，不同于随时间一起产生的实际 位移。为此用“虚”一词来表示。而约束力 （force of constraint）是使系统动作受到制约的 力。
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作用在杆i的 力和力矩
根据力、力矩平衡原理有
4.2 机器人动力学正问题 机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节力矩
作用下的动态响应。其主要内容是如何建立机器人 手臂的动力学方程。建立机器人动力学方程的方法 有牛顿—欧拉法和拉格朗日法等。
1、牛顿—欧拉法方 程
在考虑速度与加速度影响的 情况下，作用在机器人手臂杆i上 的力和力矩如右图所示。其中vci 和ω i分别为杆i质心的平移速度向 量和此杆的角速度向量。
第四章 工业机器人静力计算与 动力学分析
1
主要内容
微分运动与雅可比矩阵 动力学分析
工业机器人动力学分析
▲牛顿—欧拉运动方程 ▲拉格朗日动力学 ▲关节空间与操作空间动力学
前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进行 的，没有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器人 的动态性能不仅与运动学相对位置有关，还与机器人的 结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因 案有关。机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是 考虑上述因素，研究机器人运动与关节力(力矩)间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为机器人动力 学方程。机器人动力学要解决两类问题：
Ek
(q,
q)
1 2
qT
D(q)q
式中， D(q是)nxn阶的机器人惯性矩阵
3．机器人系统势能
度矢设量连在杆坐i的标势系能中为为g，，则连：杆i的E质pi 心在O坐标系中的位置矢量为 pci
，重力加速
E m g p T
机器人系统的势能为pi各连杆的势能i之和，即：ci
n
E E pi 它是q的标量函数。
Ixx1 0 0
1 I1
0
I yy1
i
0 0 Izz1
Ixx2 0 0
2 I2
0
I yy2
i
0 0 Izz2
(1) 取坐标，确定关节变量和驱动力或力矩 建立连杆D-H坐标系如上图所示，关节变量为θ 1+π/2为求解方便，此处取关
节变量为θ1和d2，关节驱动力矩τ l和力f2。
pi
i 1
4．拉格朗日方程 系统的拉格朗日方程为：
d L L
dt q q 上式又称为拉格朗日—欧拉方程，简称L—E方程。式中，
驱动力或力矩矢量，上式可写成：
是n个关节的
d Ek Ek Ep
dt q q q
[例]平面RP机器人如图所示，连杆l和连杆2的质量 分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯量 矩阵为：
2 2
)12
1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m2d22
(3)系统势能 因为：
g [0 g 0]T
pc1 [l1c1 l1s1 0]T
Eki
1 2
mi
T
ci
ci
1 2
i Ti i
Iiii
系统的动能为n个连杆的动能之和，即：
n
Ek Eki i 1
Ek
(q,
q)
1 2
qT
D(q)q
q 由于
和
ci
是i关节i 变量
和关节速度
的
函数q，因此，从上式可知，机器人的动能是关
节变量和关节速度的标量函数，记为 ，可
表示E成k (q：, q)
(2)系统动能 由式(1)，分别得
Eki
1 2
mi
T
ci
ci
1 2
i Ti i
Iiii
…1
Ek1
1 2
m1l1212
1 2
I
2
yy1 1
Ek 2
1 2
m2 (d2212
d22 )
1 2
I
yy
2
21
总动能为：
Ek
1 2
(m1l12
I yy1 I yy2
m2d
(1) 拉格朗日函数 对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能Ek与总的势能Ep 之差，即:
L(q, q) Ek (q, q) Ep (q)
q [q1 q2 q [q1 q2
qn ] 表示动能与势能的广义坐标 qn ] 相应的广义速度
(2) 机器人系统动能 在机器人中，连杆是运动部件，连杆i的动能Eki为连杆质心线速度引起 的动能和连杆角速度产生的动能之和，即:
动力学正问题和逆问题。
动力学正问题是——根据关节驱动力矩或力，计算机器人的运动(关节位移、 速度和加速度)；
动力学逆问题是——已知轨迹对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要 的关节力矩或力。
不考虑机电控制装置的惯性、摩擦、间隙、饱和等因素时，n 自由度机器人 动力方程为n个二阶耦合非线性微分方程。方程中包括惯性力/力矩、哥氏力/力矩、 离心力/力矩及重力/力矩，是一个耦合的非线性多输入多输出系统。对机器人动力 学的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛顿一欧拉 (Newton—Euler)、高斯(Gauss)、凯恩(Kane)、旋量对偶数、罗伯逊一魏登堡 (Roberson—Wittenburg)等方法。
研究机器人动力学的目的
研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良 好的动态性能和最优指标。在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数、传动 机构特征和负载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算 设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。 在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路 径控制仿真和动态模型仿真。这些都需要以机器人动力学模型为基础。
4.1 机器人静力学
机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂上的力和力矩问题，特 别是当手端与外界环境有接触力时，各关节力矩与接触力的关系。
下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。其i-1fi为杆件i-1对杆i的作用力， -ifi+1为杆i+1对杆i的作用力，i-1Ni为杆件i-1对杆i的作用力矩，-iNi+1为杆i+1对 杆i的作用力矩，ci为杆i质心。
根据力、力矩平衡原理有:
5-1 5-2
称5-1为牛顿方程，5-2为欧拉方程。
其中Ii为杆i绕其质心的惯性张量
2、 拉格朗日方程
牛顿一欧拉运动学方程是基于牛顿第二定律和欧拉方程，利用达朗伯原理， 将动力学问题变成静力学问题求解。该方法计算快。拉格朗日动力学则是基 于系统能量的概念，以简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，并具有 显式结构，物理意义比较明确。
根据力、力矩平衡原理有
4.2 机器人动力学正问题 机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节力矩
作用下的动态响应。其主要内容是如何建立机器人 手臂的动力学方程。建立机器人动力学方程的方法 有牛顿—欧拉法和拉格朗日法等。
1、牛顿—欧拉法方 程
在考虑速度与加速度影响的 情况下，作用在机器人手臂杆i上 的力和力矩如右图所示。其中vci 和ω i分别为杆i质心的平移速度向 量和此杆的角速度向量。
第四章 工业机器人静力计算与 动力学分析
1
主要内容
微分运动与雅可比矩阵 动力学分析
工业机器人动力学分析
▲牛顿—欧拉运动方程 ▲拉格朗日动力学 ▲关节空间与操作空间动力学
前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进行 的，没有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器人 的动态性能不仅与运动学相对位置有关，还与机器人的 结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因 案有关。机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是 考虑上述因素，研究机器人运动与关节力(力矩)间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为机器人动力 学方程。机器人动力学要解决两类问题：
Ek
(q,
q)
1 2
qT
D(q)q
式中， D(q是)nxn阶的机器人惯性矩阵
3．机器人系统势能
度矢设量连在杆坐i的标势系能中为为g，，则连：杆i的E质pi 心在O坐标系中的位置矢量为 pci
，重力加速
E m g p T
机器人系统的势能为pi各连杆的势能i之和，即：ci
n
E E pi 它是q的标量函数。
Ixx1 0 0
1 I1
0
I yy1
i
0 0 Izz1
Ixx2 0 0
2 I2
0
I yy2
i
0 0 Izz2
(1) 取坐标，确定关节变量和驱动力或力矩 建立连杆D-H坐标系如上图所示，关节变量为θ 1+π/2为求解方便，此处取关
节变量为θ1和d2，关节驱动力矩τ l和力f2。
pi
i 1
4．拉格朗日方程 系统的拉格朗日方程为：
d L L
dt q q 上式又称为拉格朗日—欧拉方程，简称L—E方程。式中，
驱动力或力矩矢量，上式可写成：
是n个关节的
d Ek Ek Ep
dt q q q
[例]平面RP机器人如图所示，连杆l和连杆2的质量 分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯量 矩阵为：
2 2
)12
1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m2d22
(3)系统势能 因为：
g [0 g 0]T
pc1 [l1c1 l1s1 0]T
Eki
1 2
mi
T
ci
ci
1 2
i Ti i
Iiii
系统的动能为n个连杆的动能之和，即：
n
Ek Eki i 1
Ek
(q,
q)
1 2
qT
D(q)q
q 由于
和
ci
是i关节i 变量
和关节速度
的
函数q，因此，从上式可知，机器人的动能是关
节变量和关节速度的标量函数，记为 ，可
表示E成k (q：, q)
(2)系统动能 由式(1)，分别得
Eki
1 2
mi
T
ci
ci
1 2
i Ti i
Iiii
…1
Ek1
1 2
m1l1212
1 2
I
2
yy1 1
Ek 2
1 2
m2 (d2212
d22 )
1 2
I
yy
2
21
总动能为：
Ek
1 2
(m1l12
I yy1 I yy2
m2d
(1) 拉格朗日函数 对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能Ek与总的势能Ep 之差，即:
L(q, q) Ek (q, q) Ep (q)
q [q1 q2 q [q1 q2
qn ] 表示动能与势能的广义坐标 qn ] 相应的广义速度
(2) 机器人系统动能 在机器人中，连杆是运动部件，连杆i的动能Eki为连杆质心线速度引起 的动能和连杆角速度产生的动能之和，即:
动力学正问题和逆问题。
动力学正问题是——根据关节驱动力矩或力，计算机器人的运动(关节位移、 速度和加速度)；
动力学逆问题是——已知轨迹对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要 的关节力矩或力。
不考虑机电控制装置的惯性、摩擦、间隙、饱和等因素时，n 自由度机器人 动力方程为n个二阶耦合非线性微分方程。方程中包括惯性力/力矩、哥氏力/力矩、 离心力/力矩及重力/力矩，是一个耦合的非线性多输入多输出系统。对机器人动力 学的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛顿一欧拉 (Newton—Euler)、高斯(Gauss)、凯恩(Kane)、旋量对偶数、罗伯逊一魏登堡 (Roberson—Wittenburg)等方法。
研究机器人动力学的目的
研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良 好的动态性能和最优指标。在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数、传动 机构特征和负载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算 设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。 在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路 径控制仿真和动态模型仿真。这些都需要以机器人动力学模型为基础。
4.1 机器人静力学
机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂上的力和力矩问题，特 别是当手端与外界环境有接触力时，各关节力矩与接触力的关系。
下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。其i-1fi为杆件i-1对杆i的作用力， -ifi+1为杆i+1对杆i的作用力，i-1Ni为杆件i-1对杆i的作用力矩，-iNi+1为杆i+1对 杆i的作用力矩，ci为杆i质心。
根据力、力矩平衡原理有:
5-1 5-2
称5-1为牛顿方程，5-2为欧拉方程。
其中Ii为杆i绕其质心的惯性张量
2、 拉格朗日方程
牛顿一欧拉运动学方程是基于牛顿第二定律和欧拉方程，利用达朗伯原理， 将动力学问题变成静力学问题求解。该方法计算快。拉格朗日动力学则是基 于系统能量的概念，以简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，并具有 显式结构，物理意义比较明确。