第四章_2机器人动力学

Eki

1 2
mi
T
ci
ci

1 2
i Ti i
Iiii
系统的动能为n个连杆的动能之和，即：
n
Ek Eki i 1
Ek
(q,
q)

1 2
qT
D(q)q
q 由于
和
ci
是i关节i 变量
和关节速度
的
函数q，因此，从上式可知，机器人的动能是关
节变量和关节速度的标量函数，记为 ，可
表示E成k (q：, q)
动力学wk.baidu.com问题和逆问题。
动力学正问题是——根据关节驱动力矩或力，计算机器人的运动(关节位移、 速度和加速度)；
动力学逆问题是——已知轨迹对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要 的关节力矩或力。
不考虑机电控制装置的惯性、摩擦、间隙、饱和等因素时，n 自由度机器人 动力方程为n个二阶耦合非线性微分方程。方程中包括惯性力/力矩、哥氏力/力矩、 离心力/力矩及重力/力矩，是一个耦合的非线性多输入多输出系统。对机器人动力 学的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛顿一欧拉 (Newton—Euler)、高斯(Gauss)、凯恩(Kane)、旋量对偶数、罗伯逊一魏登堡 (Roberson—Wittenburg)等方法。
根据力、力矩平衡原理有:
5-1 5-2
称5-1为牛顿方程，5-2为欧拉方程。
其中Ii为杆i绕其质心的惯性张量
2、 拉格朗日方程
牛顿一欧拉运动学方程是基于牛顿第二定律和欧拉方程，利用达朗伯原理， 将动力学问题变成静力学问题求解。该方法计算快。拉格朗日动力学则是基 于系统能量的概念，以简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，并具有 显式结构，物理意义比较明确。
作用在杆i的 力和力矩
根据力、力矩平衡原理有
4.2 机器人动力学正问题 机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节力矩
作用下的动态响应。其主要内容是如何建立机器人 手臂的动力学方程。建立机器人动力学方程的方法 有牛顿—欧拉法和拉格朗日法等。
1、牛顿—欧拉法方 程
在考虑速度与加速度影响的 情况下，作用在机器人手臂杆i上 的力和力矩如右图所示。其中vci 和ω i分别为杆i质心的平移速度向 量和此杆的角速度向量。
Ek
(q,
q)

1 2
qT
D(q)q
式中， D(q是)nxn阶的机器人惯性矩阵
3．机器人系统势能
度矢设量连在杆坐i的标势系能中为为g，，则连：杆i的E质pi 心在O坐标系中的位置矢量为 pci
，重力加速
E m g p T
机器人系统的势能为pi各连杆的势能i之和，即：ci
n
E E pi 它是q的标量函数。
pi
i 1
4．拉格朗日方程 系统的拉格朗日方程为：
d L L
dt q q 上式又称为拉格朗日—欧拉方程，简称L—E方程。式中，
驱动力或力矩矢量，上式可写成：
是n个关节的

d Ek Ek Ep
dt q q q
[例]平面RP机器人如图所示，连杆l和连杆2的质量 分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯量 矩阵为：
(2)系统动能 由式(1)，分别得
Eki

1 2
mi
T
ci
ci

1 2
i Ti i
Iiii
…1
Ek1

1 2
m1l1212

1 2
I
2
yy1 1
Ek 2

1 2
m2 (d2212

d22 )

1 2
I
yy
2
21
总动能为：
Ek

1 2
(m1l12
I yy1 I yy2

m2d
研究机器人动力学的目的
研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良 好的动态性能和最优指标。在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数、传动 机构特征和负载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算 设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。 在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路 径控制仿真和动态模型仿真。这些都需要以机器人动力学模型为基础。
Ixx1 0 0
1 I1


0
I yy1
i

0 0 Izz1
Ixx2 0 0
2 I2


0
I yy2
i

0 0 Izz2
(1) 取坐标，确定关节变量和驱动力或力矩 建立连杆D-H坐标系如上图所示，关节变量为θ 1+π/2为求解方便，此处取关
节变量为θ1和d2，关节驱动力矩τ l和力f2。
第四章 工业机器人静力计算与 动力学分析
1
主要内容
微分运动与雅可比矩阵 动力学分析
工业机器人动力学分析
▲牛顿—欧拉运动方程 ▲拉格朗日动力学 ▲关节空间与操作空间动力学
前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进行 的，没有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器人 的动态性能不仅与运动学相对位置有关，还与机器人的 结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因 案有关。机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是 考虑上述因素，研究机器人运动与关节力(力矩)间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为机器人动力 学方程。机器人动力学要解决两类问题：
(1) 拉格朗日函数 对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能Ek与总的势能Ep 之差，即:
L(q, q) Ek (q, q) Ep (q)
q [q1 q2 q [q1 q2
qn ] 表示动能与势能的广义坐标 qn ] 相应的广义速度
(2) 机器人系统动能 在机器人中，连杆是运动部件，连杆i的动能Eki为连杆质心线速度引起 的动能和连杆角速度产生的动能之和，即:
2 2
)12

1 2
m2d22
(3)系统势能 因为：
g [0 g 0]T
pc1 [l1c1 l1s1 0]T
4.1 机器人静力学
机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂上的力和力矩问题，特 别是当手端与外界环境有接触力时，各关节力矩与接触力的关系。
下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。其i-1fi为杆件i-1对杆i的作用力， -ifi+1为杆i+1对杆i的作用力，i-1Ni为杆件i-1对杆i的作用力矩，-iNi+1为杆i+1对 杆i的作用力矩，ci为杆i质心。