2020年山东省新高考数学试卷(新高考)含解析
2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷(含解析)
2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷一、选择题1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}=()2.2−i1+2iA.1B.−1C.iD.−i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3买名，则不同的安排方法共有() A.120种 B.90种 C.60种 D.30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40∘，则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20∘B.40∘C.50∘D.90∘5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT ，有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →⋅AB →的取值范围是()A.(−2,6)B.(−6,2)C.(−2,4)D.(−4,6)8.若定义在R 的奇函数f (x )在(−∞,0)单调递减，且f (2)=0，则满足xf (x −1)≥0的x 的取值范围是()A.[−1,1]∪[3,+∞)B.[−3,−1]∪[0,1]C.[−1,0]∪[1,+∞)D.[−1,0]∪[1,3]二、多选题9.已知曲线C ：mx 2+ny 2=1.()A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则C 是圆，其半径为√nC.若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√−m n xD.若m =0, n >0，则C 是两条直线10.如图是函数y =sin (ωx +φ)的部分图像，则sin (ωx +φ)=()A.sin (x +π3)B.sin (π3−2x)C.cos (2x +π6)D.cos (5π6−2x)11.已知a >0，b >0，且a +b =1，则()A.a 2+b 2≥12B.2a−b >12C.log 2a +log 2b ≥−2D.√a +√b ≤212.信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X 所有可能的取值为1，2，⋯，n ，且P(X =i)=p i >0(i =1,2,⋯,n)，∑p i n i=1=1，定义X 的信息熵H (X )=−∑p i n i=1log 2p i ，则()A.若n =1，则H (X )=0B.若n =2，则H (X )随着p i 的增大而增大C.若p i =1n (i =1,2,…,n )，则H (X )随着n 的增大而增大D.若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，且P (Y =j )=p j +p 2m+1−j (j =1,2,⋯,m)，则H (X )≤H (Y )三、填空题13.斜率为√3的直线过抛物线C:y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB|=________.14.将数列{2n −1}与{3n −2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________.15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=3，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，5圆孔半径为1，则图中阴影部分的面积为________cm2.16.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60∘，以D1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________.四、解答题17.在①ac=√3，②csinA=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，C=π，________？618.已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8.(1)求{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0,m](m∈N∗)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100.19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？，附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD 与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．21.已知函数f(x)=ae x−1−lnx+lna.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点A(2,1).(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷一、选择题1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}【解答】解：集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B={x|1≤x<4}.故选C.2.2−i1+2i=()A.1B.−1C.iD.−i【解答】解：2−i1+2i =(2−i)(1−2i) (1+2i)(1−2i)=2−4i−i−21+4=−5i5=−i.故选D.3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3买名，则不同的安排方法共有() A.120种 B.90种 C.60种 D.30种【解答】解：由题意可得，不同的安排方法共有C61⋅C52=60（种）.故选C.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40∘，则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20∘B.40∘C.50∘D.90∘【解答】解：如图所示，AB为日晷晷针，∠AOC=40∘，由题意知，∠AOC+∠OAB=90∘，∠DAB+∠OAB=90∘，∴∠DAB=∠AOC=40∘，即晷针与点A处的水平面所成角为40∘.故选B.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%【解答】解：设喜欢足球为A，喜欢游泳为B，由题意知，P(A)=60%，P(B)=82%，P(A∪B)=96%，所以P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=60%+82%−96%=46%.故选C.6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT，有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天【解答】解：3.28=1+r ⋅6得r =0.38，I(t)=e 0.38t ，e 0.38(t+x)=2⋅e 0.38t 得x =ln20.38≈1.8.故选B .7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →⋅AB →的取值范围是()A.(−2,6)B.(−6,2)C.(−2,4)D.(−4,6) 【解答】解：如图：设A(−1,√3)，P (x,y )，B (−2,0)，AP →=(x +1,y −√3)，AB →=(−1,−√3)，则：AP →⋅AB →=−x −√3y +2，令z =−x −√3y +2，由线性规则得，最优解为：C(−1,−√3)和F(1,√3)，代入得z =6或z =−2．故AP →⋅AB →的取值范围是(−2,6).故选A .8.若定义在R 的奇函数f (x )在(−∞,0)单调递减，且f (2)=0，则满足xf (x −1)≥0的x 的取值范围是()A.[−1,1]∪[3,+∞)B.[−3,−1]∪[0,1]C.[−1,0]∪[1,+∞)D.[−1,0]∪[1,3] 【解答】解：根据题意，函数图象大致如图：①当x=0时，xf(x−1)=0成立；②当x>0时，要使xf(x−1)≥0，即f(x−1)≥0，可得0≤x−1≤2或x−1≤−2，解得1≤x≤3；③当x<0时，要使xf(x−1)≥0，即f(x−1)≤0，可得x−1≥2或−2≤x−1≤0，解得−1≤x<0.综上，x的取值范围为[−1,0]∪[1,3].故选D.二、多选题已知曲线C：mx2+ny2=1.()A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为√nC.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√−mnx D.若m=0, n>0，则C是两条直线【解答】解：A，mx2+ny2=1，即x 21 m +y21n=1，∵m>n>0，∴1m <1n，∴此时C是椭圆，且其焦点在y轴上，A选项正确；B，m=n>0时，x2+y2=1n，∴r=√nn，B选项错误；C，mn<0时，可推断出C是双曲线，且其渐近线方程为y=±√−1n1mx=±√−mnx，C选项正确；D，m=0时，C：ny2=1，∴y=±√1n，代表两条直线，D选项正确.故选ACD.如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=()A.sin(x+π3) B.sin(π3−2x) C.cos(2x+π6) D.cos(5π6−2x)【解答】解：由函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，可知，T2=2π3−π6=π2，∴T=π，∴ω=2ππ=2，∴y=sin(2x+φ).将点(π6,0)代入得，0=sin(π3+φ)，∴π3+φ=(2k+1)π(k∈Z).A，当x=π6时，sin(x+π3)=sinπ2=1，不符合题意，故A选项错误；B，当k=0时，φ=2π3，y=sin(2x+2π3)=sin(2x−π3+π3+2π3)=sin(2x−π3+π)=−sin(2x−π3 )=sin(π3−2x)，故B选项正确；C，sin(2x+2π3)=sin(2x+π6+π2)=cos(2x+π6)，故C正确；D，cos(5π6−2x)=cos(2x−5π6)=cos(2x−π2−π3)=sin(2x−π3 )=−sin(2x+2π3)，故D选项错误.故选BC.已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A.a2+b2≥12B.2a−b>12C.log2a+log2b≥−2D.√a+√b≤2【解答】解：A，∵a+b=1,则a2+b2+2ab=1，2ab≤a2+b2，当且仅当a=b时取等号，∴1=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2)，可得a 2+b 2≥12，故A 正确； B ，∵a −b =a −(1−a)=2a −1>−1，∴2a−b >2−1=12，故B 正确；C ，∵ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a =b 时取等号， ∴log 2a +log 2b =log 2(ab)≤log 214=−2，故C 错误；D ，∵a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b 时取等号，∴(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ≤2，即√a +√b ≤√2，则√a +√b ≤2，故D 正确.故选ABD .信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X 所有可能的取值为1，2，⋯，n ，且P(X =i)=p i >0(i =1,2,⋯,n)，∑p i n i=1=1，定义X 的信息熵H (X )=−∑p i n i=1log 2p i ，则()A.若n =1，则H (X )=0B.若n =2，则H (X )随着p i 的增大而增大C.若p i =1n (i =1,2,…,n )，则H (X )随着n 的增大而增大D.若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，且P (Y =j )=p j +p 2m+1−j (j =1,2,⋯,m)，则H (X )≤H (Y )【解答】解：A ，若n =1，则p 1=1，H (X )=−1×log 21=0，故A 正确；B ，若n =2，则H (X )=−[p 1log 2p 1+(1−p 1)log 2(1−p 1)].设f (p )=−[plog 2p +(1−p )log 2(1−p )]，则：f ′(p )=−[log 2p +p ⋅1p⋅ln2−log 2(1−p )+(1−p )−1(1−p )ln2]=−log 2p 1−p =log 21−p p ， 当0<p <12时，f ′(p )>0；当12<p <1时，f ′(p )<0，∴f (p )在(0,12)上单调递增，在(12,1)上单调递减，p 1=12时，H(X)取最大值，故B 错误；C ，若p i =1n (i =1,2，⋯，n ），则H (X )=−∑p i n i=1log 2p i =−n ⋅1n log 21n =log 2n ，所以H(x)随着n 的增大而增大，故C 正确；D ，若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，由P (Y =j )=p j +p 2m+1−j (j =1,2，⋯，m ）知：P (Y =1)=p 1+p 2m ；P (Y =2)=p 2+p 2m−1；P (Y =3)=p 3+p 2m−2；⋯⋯P (Y =m )=p m +p m+1;H (Y )=−[(p 1+p 2m )log 2(p 1+p 2m )+(p 2+p 2m−1)log 2(p 2+p 2m−1)+⋯+(p m +p m+1)log 2(p m +p m+1)]，H (X )=−[p 1log 2p 1+p 2log 2p 2+⋯+p 2m log 2p 2m ]=−[(p 1log 2p 1+p 2m log 2p 2m )+(p 2log 2p 2+p 2m−1log 2p 2m−1)+⋯+(p m log 2p m +p m+1log 2p m+1)]，∵(p 1+p 2m )log 2(p 1+p 2m )−p 1log 2p 1−p 2m log 2p 2m >0，⋯⋯(p m +p m+1)log 2(p m +p m+1)−p m log 2p m −p m+1log 2p m+1>0，所以H (X )>H (Y )，故D 错误．故选AC .三、填空题斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=________.【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，抛物线的焦点为(1,0)，则直线方程为y=√3(x−1)，代入抛物线方程得3x2−10x+3=0，∴x1+x2=10，3.根据抛物线方程得定义可知|AB|=x1+1+x2+1=163.故答案为：163将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________.【解答】解：数列2n−1各项为：1，3，5，7，9，⋯数列3n−2各项为：1，4，7，10，13，⋯观察可知，{a n}是首项为1，公差为6的等差数列，数列{a n}的前n项和为3n2−2n.故答案为：3n2−2n.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与，直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35 BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1，则图中阴影部分的面积为________cm2.【解答】解：由已知得A到DG的距离与A到FG的距离相等，均为5. 作AM⊥GF于M，设AN⊥DG于N.则∠NGA=45∘.∵BH//DG，∴∠BHA=45∘.∵∠OAH=90∘，∴∠AOH=45∘.由tan∠ODC=35，设O到DG的距离为3t，则O到DE的距离为5t，∴{OAcos45∘+5t=7，OAsin45∘+3t=5,解得{t=1, OA=2√2.半圆之外阴影部分面积为：S1=2√2×2√2×12−45∘×π×(2√2)2360∘=4−π，阴影部分面积为：S=12(π⋅(2√2)2−π⋅12)+S1=5π2+4.故答案为：5π2+4.已知直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60∘，以D 1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________.【解答】解：以C 1为原点，C 1B 1→，C 1C →所在直线分别为x 轴、z 轴建立如图1所示的空间直角坐标系O −xyz ，y 轴是平面A 1B 1C 1D 1内与C 1B 1互相垂直的直线，即D 1(1,−√3,0)， 设交线上的点的坐标是(x,0,z )，根据题意可得(x −1)2+3+z 2=5，化简得(x −1)2+z 2=2，所以球面与侧面BCC 1B 1的交线平面如图2所示，即交线长l =14⋅2√2π=√2π2. 故答案为：√2π2. 四、解答题在①ac =√3，②csinA =3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，C=π6，________？【解答】解：选①：∵sinA=√3sinB，C=π6，ac=√3，∴sin(56π−B)=√3sinB，∴12cosB+√32sinB=√3sinB，∴sin(π6−B)=0，∴B=π6.又∵C=π6，∴b=c.由正弦定理可得：a=√3b，又ab=√3解得a=√3, b=1，∴c=1，故满足条件存在△ABC；选②：sinA=√3sinB，C=π6，csinA=3. ∵csinA=3，∴asinC=3，∴a=6.由正弦定理可得：a=√3b，∴b=2√3，∴c2=a2+b2−2abcosC=36+12−24√3×√32=12，∴c=2√3，∴B=π6，A=23π，故满足条件存在△ABC；选③：c=√3b，sinA=√3sinB，C=π6，由①可知，B=π6，故△ABC为等腰三角形c=b，又c=√3b，矛盾.故不存在△ABC满足条件．已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8.(1)求{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0,m](m∈N∗)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100.【解答】解：(1)由题意可知{a n}为等比数列，a2+a4=20，a3=8，+a3q=20，可得a3q得2q2−5q+2=0，(2q−1)(q−2)=0.∵q>1，∴q=2，∵a1×q2=a3，可得a1=2，∴{a n}的通项公式为：a n=2×2n−1=2n.(2)∵b m为{a n}在(0,m](m∈N∗)中的项的个数，当m=2k时，b m=k，当m∈[2k−1,2k)时，b m=k−1，其中k∈N+.可知S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b8+b9+⋯+b15)+(b16+b17+⋯+b31)+(b32+b33+⋯+b63)+(b64+b65+⋯+b100)=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37=480.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？，附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】解：(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为：32+18+6+8=64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，=0.64.且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64100(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：(3)根据(2)的列联表得K2=100×(64×10−16×10)2≈7.484，80×20×74×26由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【解答】(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，故BC⊥CD.又因为PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC，又由于PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC.因为在正方形ABCD中BC//AD，且AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，故BC//平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，且平面PAD与平面PBC的交线为l，故BC//l.因此l⊥平面PDC.(2)解：由已知条件，P−ABCD底面为正方形，PD⊥底面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立D−xyz空间直角坐标系，如图所示：因为PD =AD =1，Q 在直线l 上，设Q (a,0,1)，其中a ∈R ，由题意得，D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，P (0,0,1)，则PB →=(1,1,−1)，DC →=(0,1,0)，DQ →=(a,0,1)，设平面QCD 法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅DC →=0，n →⋅DQ =0,得{y =0,ax +z =0, 令z =−a ，则平面QCD 的一个法向量为：n →=(1,0,−a )，设PB 与平面QCD 成角为θ，则sinθ=|cos <n →,PB →>|=|1+a|√3×√1+a 2 =1√3×√(1+a)21+a 2 =√33×√1+2a 1+a 2，①若a =0，则sinθ=√33， ②若a ≠0，则sinθ=√33×√1+21a+a ， a >0时， ∵1a +a ≥2×√1a ⋅a =2，当且仅当1a =a ，即a =1时，$``="$成立，∴sinθ≤√33×√1+22=√63. 当a <0时，sinθ<√33， ∴当a =1时，sinθ=√63取到最大值．综上所述，PB与平面QCD成角的正弦值的最大值为√63.已知函数f(x)=ae x−1−lnx+lna.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.【解答】解：(1)当a=e时，f(x)=e x−lnx+1，f′(x)=e x−1x，∴k=f′(1)=e−1，f(1)=e+1，∴y−(e+1)=(e−1)(x−1)，即y=(e−1)x+2，∴在y轴上的截距为2，在x轴的截距为21−e，∴S=12×2×|21−e|=2e−1.(2)①当0<a<1时，f(1)=a+lna<1；②当a=1时，f(x)=e x−1−lnx，f′(x)=e x−1−1x，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，所以当x=1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)=1，从而f(x)≥1；③当a>1时，f(x)=ae x−1−lnx+lna≥e x−1−lnx≥1. 综上，a的取值范围是[1,+∞).已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点A(2,1).(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.【解答】(1)解：由题设得4a 2+1b 2=1， a 2−b 2a 2=12，解得a 2=6，b 2=3. ∴C 的方程为x 26+y 23=1.(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为 y =kx +m ，代入x 26+y 23=1得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0. 于是x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2.①由AM ⊥AN 知AM →⋅AN →=0，故(x 1−2)(x 2−2)+(y 1−1)(y 2−1)=0，可得 (k 2+1)x 1x 2+(km −k −2)(x 1+x 2)+(m −1)2+4=0， 将①代入上式可得(k 2+1)2m 2−61+2k 2−(km −k −2)4km 1+2k 2+(m −1)2+4=0，整理得(2k +3m +1)(2k +m −1)=0， 因为A(2,1)不在直线MN 上，所以2k +m −1≠0，故2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k(x −23)−13(k ≠1)， 所以直线MN 过点P(23,−13).若直线MN 与x 轴垂直，可得N(x 1,−y 1). 由AM →⋅AN →=0得(x 1−2)(x 1−2)+(y 1−1)(−y 1−1)=0.又x 126+y 123=1，可得3x 12−8x 1+4=0，解得x 1=2(舍去)，x 1=23， 此时直线MN 过点P(23,−13). 令Q 为AP 的中点，即Q(43,13). 若D 与P 不重合，则由题设知 AP 是Rt △ADP 的斜边，故|DQ|=12|AP|=2√23. 若D 与P 重合，则|DQ|=12|AP|. 综上，存在点Q(43,13)，使得|DQ|为定值.。
2020年山东省新高考数学模拟试卷(十二)(含答案)
2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣2|≥2}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|﹣2＜x≤2}2．设a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（）A．1升B ．升C ．升D ．升4．已知函数f（x）＝x﹣4+，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）＝a|x+b|的图象为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为AB、A1B1的中点，则三棱锥F ﹣ECD的外接球体积为（）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，，则方程f（g（x））＝a的实根个数最多为（）A．6B．7C．8D．9二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）已知a，b均为正实数，若log a b+log b a ＝，a b＝b a ，则＝（）A ．B ．C ．D．210．（5分）对于定义域为D的函数f（x），若存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调的：②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝3C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝lnx+211．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则（）A．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C ＝B．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C ＝C．若边BC 上的高为a ，则当+取得最大值时，A ＝D．若边BC 上的高为a ，则当+取得最大值时，A ＝12．（5分）已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（）A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12 D．S20＝0三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x+y）（x﹣2y）5展开式中x3y3的系数为．14．（5分）已知x＞0，y＞0，是2x 与4y 的等比中项，则的最小值．15．（5分）已知圆x2+y2+4x﹣5＝0的弦AB的中点为（﹣1，1），直线AB交x轴于点P，则的值为．16．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝，n＝tan（θ+），则m＝，n＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）＝cos x（sin x﹣cos x）+，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且g（）＝，c＝．（1）求C；（2）若3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，求cos（A﹣C）．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，AB⊥BC，AB∥CD，且AB＝2CD．将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB⊥平面BEC．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ADE；（Ⅱ）若AB＝BC，求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．20．（12分）抛物线C：y＝x2，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q ，求的取值范围．21．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x分钟）组别时间分组频数男性人数女性人数A30≤x＜60211B60≤x＜901046C90≤x＜120m a1D120≤x＜150211E150≤x＜180n2b（I）写出m，n的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；（II）该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90）之间的人数为ξ，以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：K2＝P（K20.1500.100 0.0500.0250.010 0.005 0.001≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[e a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】可以求出集合A，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≤0或x≥4}，B＝{x|x≤2}，U＝R，∴∁U A＝{x|0＜x＜4}，（∁U A）∩B＝{x|0＜x≤2}．故选：B．【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集和补集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．【解答】解：a，b均为不等于1的正实数，①若“a＞b＞1”时由对数函数的性质可得：一象限底大图低，相同自变量为2时，底大函数值小，可得log b2＞log a2成立．②若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜log b2＜0，则必有0＜b＜a＜1；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，A正确．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．3．【分析】设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质能求出第四节竹子的装米量．【解答】解：设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质得：a1+a7＝2a4＝6，解得第四节竹子的装米量为a4＝（升）．故选：B．【点评】本题考查第四节竹子的装米量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4+＝x +1+﹣5≥2﹣5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1∴a＝2，b＝1，此时g（x）＝2|x+1|＝，此函数可以看成函数y ＝的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A．【点评】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键5．【分析】利用平面的基本性质作出经过P、Q、R三点的平面，然后判断选项的正误即可．【解答】解：由题意可知经过P、Q、R三点的平面如图：红色线的图形，可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；MC1与QE是相交直线，所以A不正确；故选：D．【点评】本题考查平面与平面平行的判断定理的应用，平面的基本性质的应用，是基本知识的考查．6．【分析】首先确定球心的位置，进一步利用勾股定理的应用求出求的半径，进一步求出球的体积．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接FC1，FD1，三棱锥F﹣ECD的外接球即为三棱柱FC1D1﹣ECD的外接球，在△ECD中，取CD中点H，连接EH，则EH为边CD的垂直平分线，所以△ECD的外心在EH上，设为点M，同理可得△FC1D1的外心N，连接MN，则三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点O，由图可得，EM2＝CM2＝CH2+MH2，又MH＝2﹣EM，CH＝1，如右图所示：，可得，所以，解得，所以．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：锥体与球的关系的应用，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．【分析】设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形AFBC为矩形，由双曲线的定义和勾股定理，以及三角形的面积公式，化简整理可得a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得AC⊥BC，可得四边形F ABC为矩形，即有|AF|＝|BC|，设|AC|＝m，|BC|＝n，可得n﹣m＝2a，n2+m2＝4c2，mn＝2a2，即有4c2﹣8a2＝4a2，即有c ＝a，b ＝＝a，可得双曲线的渐近线方程为y ＝±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查矩形的定义和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8．【分析】由方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系得：方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，再结合函数图象观察可得解．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C．【点评】本题考查了方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系及作图能力，属难度较大的题型．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．【分析】设t＝log a b，代入化解求出t的值，得到a的b关系式，由a b＝b a可求出a，b的值．【解答】解：令t＝log a b，则t +＝，∴2t2﹣5t+2＝0，（2t﹣1）（t﹣2）＝0，∴t ＝或t＝2，∴log a b ＝或log a b＝2∴a＝b2，或a2＝b∵a b＝b a，代入得∴2b＝a＝b2或b＝2a＝a2∴b＝2，a＝4，或a＝2．b＝4∴．或故选：AD．【点评】本题考查对数的运算及性质，换元法的应用，属于基础题．10．【分析】由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，逐项判断即可．【解答】解：由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，对于A选项，函数f（x）＝x3在定义域R上单调递增，且x3＝x有解﹣1，0，1，满足条件，故正确；对于B选项，函数f（x）＝3在（0，+∞）上单调递增，且有解1，2，满足条件，故正确；对于C选项，函数f（x）＝e x﹣1在定义域上单调递增，但e x﹣1＝x只有一个解0，不满足条件，故错误；对于D选项，函数f（x）＝lnx+2在（0，+∞）上单调递增，显然函数f（x）＝lnx+2与函数y ＝x在（0，+∞）上有两个交点，即lnx+2＝x有两个解，满足条件，故正确．故选：ABD．【点评】本题以新定义问题为载体，考查了函数的单调性、零点及函数图象等基础知识点，属于基础题．解题的关键是理解“和谐区间”的定义．11．【分析】对于选项A，B，由正弦定理，两角和的正弦函数公式可求2cos C sin C＝sin C，结合sin C ≠0，可得cos C ＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值；对于选项C，D，由三角形的面积公式可求a2＝2bc sin A ，利用余弦定理，两角和的正弦函数公式可求+＝4sin（A +），结合已知利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：∵2cos C（a cos B+b cos A）＝c，∴由正弦定理可得2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，∴2cos C sin（A+B）＝2cos C sin C＝sin C，∵sin C≠0，∴可得cos C ＝，∵C∈（0，π），∴C ＝，可得A正确，B错误．∵边BC 上的高为a，∴bc sin A ＝•a •，∴a2＝2bc sin A，∵cos A ＝，∴b2+c2＝a2+2bc cos A＝2bc sin A+2bc cos A，∴+＝＝2sin A+2cos A＝4sin（A +）≤4，当A +＝时等号成立，此时A ＝，故C正确，D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．12．【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式以及通项公式，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}是等差数列，若a1+5a3＝S8，即a1+5a1+10d＝8a1+28d，变形可得a1＝﹣9d，又由a n＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣10）d，则有a10＝0，故A一定正确，不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由S n＝na1+＝﹣9nd +＝×（n2﹣19n），则有S7＝S12，故C一定正确，则S20＝20a1+d＝﹣180d+190d＝﹣10d，S20≠0，则D不正确，故选：AC．【点评】本题考查等差数列的性质以及前n项和公式，关键是掌握与等差数列有关的公式，属于基础题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【分析】根据题意，结合二项式定理把（x+2y）5按照二项式定理展开，由多项式乘法的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2y）5＝x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5，则（2x+y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为2×（﹣80）+1×40＝﹣160+40＝﹣120，故答案为：﹣120．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．14．【分析】由等比数列可得x+2y＝1，则＝+＝1++，由基本不等式可得．【解答】解：x＞0，y＞0，是2x与4y的等比中项，则2x•4y＝2，∴x+2y＝1，∴＝+＝1++≥1+2＝1+2，当且仅当＝时，即x ＝﹣1，y ＝取等号，故答案为：2+1【点评】本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．15．【分析】由已知先求k MC，然后根据圆的性质可求k AB，写出AB所在直线方程，联立方程可求A，B，然后根据向量数量积的坐标表示即可求解．【解答】解：设M（﹣1，1）圆心C（﹣2，0），∵k MC ＝＝1，根据圆的性质可知，k AB＝﹣1，∴AB所在直线方程为y﹣1＝﹣（x+1），即x+y＝0，联立方程可得，2x2+4x﹣5＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，令y＝0可得P（0，0），＝x1x2+y1y2＝2x1x2＝﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用．16．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得m、n的值．【解答】解：若P （﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝＝，∴m ＝．∵tanθ＝＝﹣1，n＝tan（θ+）＝＝0，故答案为：；0．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，属于基础题．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先利用三角恒等变换将f（x）化简成y＝A sin（ωx+θ）的形式，再利用图象平移变换方法得到g（x），根据g （）＝，可求得角C．（2）利用正弦定理将给的式子化边，利用余弦定理可求得cos A ，结合，问题可解．【解答】解：（1）f（x）＝cos x（sin x ﹣cos x）+＝＝，∴g（x）＝f（x）＝sin（2x ﹣），∵g （）＝，∴，∴，∴，故C ＝．（2）∵3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，由正弦定理得：3（b﹣c）2＝3a2﹣8bc，∴，∴，∴，∴cos（A﹣C ）＝，＝．【点评】本题通过考查三角函数的恒等变换和图象变换以及正余弦定理的应用，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．18．【分析】（1）通过，说明数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求解通项公式．（2）由（1）得，，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）因为，①当n＝1时，2a1﹣S1＝2a1﹣a1＝2，所以a1＝2．当n≥2时，2a n﹣1﹣S n﹣1＝2，②①﹣②得2a n﹣S n﹣（2a n﹣1﹣S n﹣1）＝0，即a n＝2a n﹣1．因为a1＝2≠0，所以a n≠0，所以（n∈N*，且n≥2），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）得，，所以，③，④③﹣④得，＝6+（21+22+23+…+2n）﹣（n+3）×2n+1＝＝6+2n+1﹣2﹣（n+3）×2n﹣1＝4﹣（n+2）2n+1，所以．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．19．【分析】（I）取BE的中点F，AE的中点G，证明CF⊥平面ABE，通过证明四边形CDGF是平形四边形得出CF∥DG，故DG⊥平面ABE，于是平面ABE⊥平面ADE；（II）建立空间坐标系，计算平面ADE和平面BDE的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：取BE的中点F，AE的中点G，连接FG、GD、CF，则GF AB．∵DC AB，∴CD GF，∴四边形CFGD为平行四边形，∴CF∥DG．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥CF．∵CF⊥BE，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面ABE．∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE．∵DG⊂平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE．（Ⅱ）解：过E作EO⊥BC于O．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥EO．∵AB∩BC＝B，∴EO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OE、BC所在的直线分别为x轴、y轴，过O且平行于AB的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝4，则A（0，﹣2，4），B（0，﹣2，0），D（0，2，2），E（2，0，0），∴＝（﹣2，2，2），＝（﹣2，﹣2，4），＝（﹣2，﹣2，0）．设平面EAD 的法向量为＝（x1，y1，z1），则有，即，取z1＝2得x1＝，y1＝1，则＝（，1，2），设平面BDE 的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，取x2＝1，得y2＝﹣，z2＝2，则＝（1，﹣，2）．∴cos ＜＞＝＝＝．又由图可知，二面角ADEB的平面角为锐角，∴二面角A﹣DE﹣B 的余弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20．【分析】（1）设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l与抛物线C的方程联立，利用△＝0求出b 的值，从而得出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，由△＞0得出b的范围，并列出韦达定理，求出|AB|并求出线段AB的中点坐标，然后得出线段AB中垂线的方程PQ，将直线PQ的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理并求出|PQ|，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝2x+b，联立直线l与抛物线C 的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＝0，所以，b＝﹣1，因此，直线l的方程为y＝2x﹣1；（2）设直线l的方程为y＝2x+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），联立直线l与抛物线C 的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＞0，所以，b＞﹣1．由韦达定理得x1+x2＝2，x1x2＝﹣b．所以，，因为线段AB的中点为（1，2+b），所以，直线PQ 的方程为，由，得2x2+x﹣5﹣2b＝0，由韦达定理得，，所以，，所以，，所以，的取值范围是．【点评】本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21．【分析】（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．由此能估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长和该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），由此能求出ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，求出k0≈0.808，从而没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【解答】解：（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长为：＝93分钟．该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数为：1200×＝480人．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），共分布列为：P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ012345P∴E（ξ）＝5×＝．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表：每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男3811女189合计41620k0＝≈0.808，∴没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）①当a＝0时，∵x≥1，∴f（x）＝x﹣1≥0恒成立，故a＝0符合题意，②当a＜0时，e a＜0，∵f（1）＝a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，下面先证明：e a＞a（a＞0），设p（a）＝e a﹣a，∵p′（a）＝e a﹣1＞0，∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）＝1＞0，故e a＞a，故f（x）在[e a，+∞）递增，故f（x）min＝f（e a）＝e a﹣a2+a﹣1，设q（a）＝e a﹣a2+a﹣1（a＞0），则q′（a）＝e a﹣2a+1，q″（a）＝e a﹣2，由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故q′（a）≥q′（ln2）＝3﹣2ln2＞0，故q（a）在（0，+∞）递增，故q（a）＞q（0）＝0，故f（x）min＞0，故f（x）≥0恒成立，故a＞0符合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2020高考全国二卷数学试题分析解析解读
2020高考全国二卷数学试题分析解析解读2020年1月，教育部发布《中国高考评价体系》，明确“一核”、“四层”、“四翼”的高考评价体系，即高考要体现“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能，考查“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”四层内容考查要求，考查“基础性、综合性、应用性、创新性”的四翼要求。
2020年全国Ⅱ卷高考文理科数学试题，依托高考评价体系，充分落实了“一核”“四层”“四翼”的要求，在试题整体结构稳定的基础上，有适度创新，突出数学学科特色，突出学科素养导向，有时代特色，注重能力考查，着重考查学生的思维能力，综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力。
试题主要呈现以下特点：一、试题稳中有变，大题结构动态调整2020年的高考数学保持题型、考点、难度的相对稳定，但是为了对接新高考，以学科素养立意命题，增加了阅读量、信息量，学生明显表现出不适应，感觉难度增大。
尤其是在题的顺序上打破常规，文理科的第3、4题新颖试题过早出现，出乎学生意料，耽误了一定的答题时间，在感觉和信心上受挫。
若学生能及时调整答题策略，后面的选择填空题都很常规，多数学生都能轻松解决。
此试卷对学生和教师的提醒是，困难的试题可能会在试卷的任何地方出现，不能再坚持难题一定在后面的观念了。
全国Ⅱ卷的理科和文科试题，对主观题的结构布局及考查难度也都进行了动态调整，文理科的解答题顺序均为：17题解三角形、18题概率统计，19题圆锥曲线，20题立体几何，21题函数导数；22、23题为二选一。
其中第一道大题第17题考查解三角形的相关知识，替换了2019年的立体几何大题的位置；而立体几何大题后移至第20题，仍然考查平行、垂直关系，直线和平面所成的角及体积的计算，但灵活性加大；解析几何大题前移至第19题的位置，难度有所降低。
大题结构的调整主要考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力。
对重点内容的考查，在整体符合考试大纲的前提下，各部分内容和难度进行动态设计，这种设计有助于学生全面学习和掌握重点知识和重点内容，同时破解应试教育，指导高中教学。
2020年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷 全国新高考Ⅰ卷 (含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1 B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C ．D．22．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．43．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p ＝（）A．2B．3C．6D．95．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx6．（5分）函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+17．（5分）设函数f（x）＝cos（ωx +）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）（x +）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．209．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC ＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π11．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线P A，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝012．（5分）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山东高考数学试卷(详细解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考全国一卷（山东卷）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则A B =A ．{|23}x x <≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|14}x x ≤<D ．{|14}x x <<答案：C解析：利用并集的定义可得{|14}A B x x =≤< ，故选C.2．2i 12i -=+A ．1B ．−1C ．iD ．−i 答案：D 解析：222i (2i)(12i)(22)(41)i i 12i 125----+--===-++，故选D3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种答案：C解析：不同的安排方法有123653C C C 60⋅⋅=4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°答案：B 解析：因为晷面与赤道所在平面平行，晷针垂直晷面，所以晷针垂直赤道所在平面，如图所示，设AB 表示晷针所在直线，且AB OB ⊥，AC 为AB 在点A 处的水平面上的射影，则晷针与点A 处的水平面所成角为BAC ∠，因为OA AC ⊥，AB OB ⊥，所以BAC AOB ∠=∠，由已知40AOB ∠=︒，所以40BAC ∠=︒，故选B5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%答案：C解析：既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例=60%+82%－96%=46%，故选C6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，。
2020年山东省高考数学试卷试卷及解析(26页)
2020年山东省高考数学试卷试卷及解析(26页)一、选择题（每小题5分，共50分）1. 设集合A={x|x^25x+6=0}，B={x|x^23x+2=0}，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1,2}D. { }2. 已知函数f(x)=x^33x+1，若f(x)在区间[1,1]上的最大值为M，则M的取值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=28，S8=88，则数列{an}的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知正三角形ABC的边长为2，点D在边AB上，且AD=1，则三角形ACD的面积S为（）A. √3/2B. √3C. 3√3/2D. 2√35. 已知复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z的值为（）A. 1+iB. 1+iC. 1iD. 1i6. 已知函数f(x)=x^24x+3，若f(x)在区间[1,3]上的最小值为m，则m的取值为（）A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知函数f(x)=x^33x+1，若f(x)在区间[1,1]上的最小值为n，则n的取值为（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=28，S8=88，则数列{an}的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 已知正三角形ABC的边长为2，点D在边AB上，且AD=1，则三角形ACD的面积S为（）A. √3/2B. √3C. 3√3/2D. 2√310. 已知复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z的值为（）A. 1+iB. 1+iC. 1iD. 1i二、填空题（每小题5分，共20分）11. 若log2(3x2)=1，则x的值为_________。
12. 已知函数f(x)=x^24x+3，若f(x)在区间[1,3]上的最小值为m，则m的取值为_________。
13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=28，S8=88，则数列{an}的公差d为_________。
2020年山东省高考数学试卷（含详细解析）
保密★启用前2020年山东省高考数学试卷题号—四总分得分注意事项：1.答题前境写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选飓I-设集合』=国1安3,刀二（同254},则二（）A.{x|2<x<3}B.{x|2冬3}C.{x\l<x<4}D.(x|l<.r<4}c2・i<)】+2iA.1B.-1C.iD.—i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，何名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种4.日曹是中国占代用来测定时间的仪器，利用与昌面玳立的岩针投射到岳面的影子来测定时间.把地球看成-•个球（球心记为O），地球上一点刃的纬度是指&4勺地球赤道所在平面所成角，点/处的水平而是指过点.4旦与OA垂宜的平面.在点X处放迎一个日号，若妙面与赤道所在平面平行，点X处的纬度为北纬40。
则曷针与点为处的水平面所成角为（）oA.20°B.40C.S(PD.90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生总欢足球或游泳，60%的学生O 喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（A.62%B.56%，C.46%D.42%6.基本再生数/?。
.与世代间隔r是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指•个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/«）=矿描述累计感染病例数/（，）随时间r（单位:天）的变化规O 体，指数增长率尸与R。
，7•近似满足汽。
=1+尸70学者基于己有数据估计出仇=3.2X,E>.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（1应二0.69）A. 1.2天B. 1.8天C.25天D. 3.5天7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点.则而•而的取值范围是（A.(-2.6)B,(—6,2)O※※粟※※她※※^ !※※急※※上※※漓※※七※※共※※/※※磐※米C.(-2,4)D.(-4,6)8.若定义在A的奇函数/W在gO）单调递减,且.42）=0,则满足xf（x-\）>Q fiijx的取值范闱是（A.[-U1UIX+X)B.[-X-1JUI0J]£C•[一l,0]u[l,E D.[T,0]5L3]评卷人得分O.。
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2020年⼭东省新⾼考数学试卷
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4} 2．（5分）＝（）
A．1B．﹣1C．i D．﹣i
3．（5分）6名同学到甲、⼄、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，⼄场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排⽅法共有（）
A．120种B．90种C．60种D．30种
4．（5分）⽇晷是中国古代⽤来测定时间的仪器，利⽤与晷⾯垂直的晷针投射到晷⾯的影⼦来测定时间．把地球看成⼀个球（球⼼记为O），地球上⼀点A的纬度是指OA与地球⾚道所在平⾯所成⻆，点A处的⽔平⾯是指过点A且与OA垂直的平⾯．在点A处放置⼀个⽇晷，若晷⾯与⾚道所在平⾯平⾏，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的⽔平⾯所成⻆为（）
A．20°B．40°C．50°D．90°
5．（5分）某中学的学⽣积极参加体育锻炼，其中有96%的学⽣喜欢⾜球或游泳，60%的学⽣喜欢⾜球，82%的学⽣喜欢游泳，则该中学既喜欢⾜球⼜喜欢游泳的学⽣数占该校学⽣总数的⽐例是（）
A．62%B．56%C．46%D．42%
6．（5分）基本再⽣数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流⾏病学基本参数．基本再⽣数指⼀个感染者传染的平均⼈数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以⽤指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增⻓率r与R0，T近似满⾜R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0
＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
7．（5分）已知P是边⻓为2的正六边形ABCDEF内的⼀点，则•的取值范围是（）A．（﹣2，6）B．（﹣6，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，6）8．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满⾜xf（x ﹣1）≥0的x的取值范围是（）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）
D．[﹣1，0]∪[1，3]
⼆、选择题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。
在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线⽅程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
10．（5分）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（）
A．sin（x+）B．sin（﹣2x）
C．cos（2x+）D．cos（﹣2x）
11．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）
A．a2+b2≥B．2a﹣b＞
C．log2a+log2b≥﹣2D．+≤
12．（5分）信息熵是信息论中的⼀个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P（X＝i）＝p i＞0（i＝1，2，…，n），p i＝1，定义X的信息熵H（X）＝﹣p i log2p i．（）A．若n＝1，则H（X）＝0
B．若n＝2，则H（X）随着p1的增⼤⽽增⼤
C．若p i＝（i＝1，2，…，n），则H（X）随着n的增⼤⽽增⼤
D．若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且P（Y＝j）＝p j+p2m+1﹣j（j ＝1，2，…，m），则H（X）≤H（Y）
三、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。
13．（5分）斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝．
14．（5分）将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从⼩到⼤排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为．
15．（5分）某中学开展劳动实习，学⽣加⼯制作零件，零件的截⾯如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆⼼，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂⾜为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的⾯积为cm2．
16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱⻓均为2，∠BAD＝60°．以D1为球⼼，为半径的球⾯与侧⾯BCC1B1的交线⻓为．。