吴大正信号与线性系统分析第4章PPT课件
信号与线性系统_吴大正_教材课件
s ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) P ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t )
第 1 章 信号与系统的基本概念
同样，若有两个离散信号f1(k)和f2(k)，则其和信号s(k)与 积信号p(k)可表示为
s ( k ) f1 ( k ) f 2 ( k ) P ( k ) f1 ( k ) f 2 ( k )
解 一般说来，在t轴尺度保持不变的情况下，信号 f(at+b)(a≠0)的波形可以通过对信号f(t)波形的平移、翻转(若
a<0)和展缩变换得到。根据变换操作顺序不同，可用多种方法
画出f(1-2t)的波形。 (1) 按“翻转-展缩-平移”顺序。 首先将f(t)的波形进行翻 转得到如图1.3-6(b)所示的f(-t)波形。然后，以坐标原点为中心， 将f(-t)波形沿t轴压缩1/2，得到f(-2t)波形如图1.3-6(c)所示。由 于f(1-2t)可以改写为
f(-t+1)波形。最后，将f(-t+1)波形压缩1/2得到f(1-2t)的波形。
信号波形的变换过程如图1.3-7所示。
第 1 章 信号与系统的基本概念
f (t ) f (t ＋ 1)
1 －2 －1 0 －1 1 2 t －1
1
0 －1
1
t
(a )
(b )
f (－ t ＋ 1)
f (1 － 2 ) t
第 1 章 信号与系统的基本概念
f1 (t ) A 1 f2 (t ) A f3 (t )
－2
－1
0
1
2
t
o
t
o
t0
t
－A
(a )
(b )
信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析
4.2 傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶 次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2 T t
4.3 周期信号(Periodic Signal)的频谱
周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关 系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位 随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相 位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实 数，也可直接画Fn 。
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
4.2 傅里叶级数
周期信号展开的无穷级数成为傅里叶级数，分“三角型傅里 叶级数”和“指数型傅里叶级数”，只有当周期信号满足狄 里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。 狄利赫利条件(Dirichlet condition)
t 0 T
2 T bn 2T f (t )sin(nt ) d t T 2
任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 由于f(-t) = -fod(t) + fev(t) ，所以 f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f e v (t ) f od (t ) 2 2
4.2 傅里叶级数
三角形式 指数形式 奇偶函数的傅里叶级数
e jx e jx 由于 cos x 2
A0 f (t ) An cos( n t n ) 2 n 1
信号与系统吴大正第四版PPT精品文档
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信号与系统 电子课件
（2）零状态响应。 先求初值 yzs(0)和 。yzs(0) 将f(t)=ε(t)代入方程得
y z s ( t ) 3 y z s ( t ) 2 y z s ( t ) 2 ( t ) 6 ( t ) ( 1 )
由冲激函数匹配法知，y zs ( t应) 包含 2， ( t从) 而 y z s (在t ) t= 0处将发生跃变，即 yzs(0)。yzs(0)
.
20
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信号与系统 电子课件
三、全响应
全响应 = 自由响应 ＋ 强迫响应 = 零输入响应 ＋ 零状态响应
.
21
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信号与系统 电子课件 2.2 冲激响应和阶跃响应
一．冲激响应 1．定义 系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响应，称为
单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
g1(t)3g1(t)2g1(t)(t)
g1(0)g1(0)0
其特征根 11,2，其2特解为0.5，于是得：
g 1 (t) (C 1 e t C 2 e 2 t 0 .5 )(t)
又根据0-状态求得0+状态值得：g1(0)g1 (0)0
解得： C 11,C20.5
得：
g 1 (t) ( e t 0 .5 e 2 t 0 .5 )(t)
.
3
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信号与系统 电子课件
一、微分方程的经典解
微分方程的解：y(t)= yh(t)+ yp(t) 其中， y(t): 完全解。 yh(t): 齐次解。由微分方程的特征根确定。 yp(t): 特解。与激励函数的形式有关。
.
4
信号与线性系统分析 第4章 课件
0
t
−0.5
0.5 f(t)
0
t
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半波整流波形
-T -T -T -T
f(t) F
f(-t)
T
t
F
fod(t)
T
t
F
T
t
F fev(t)
T
t
14
全波整流信号 f1(t)=E|sin0t|
f1(t) E
-T
Tt
a n T 4 0 T 2 f ( t ) cn o t ) d s 4 T ( t E 0 T 2 s i0 t n ) cn ( o t ) d s( t
4 T E 0 T 2 s i0 t n )c( n o 0 t) s d(t (令 0 )
2 E 1 cn o )s(
n 2 1
( n 0, 1 ) ,2,
f1 (t) 2 E 1 3 2 c2 o 0 ts ) 1 ( 2 c5 4 o 0 ts ) (
15
16
• f(t)为奇谐函数：将f(t)移动T/2后，与原波形反相， 即对称于横轴 f(t)＝−f(tT/2)
f(t) 1
-T
Tt
奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不含 偶次谐波。
f ( t ) a 1 c o t ) a s 3 c (3 o t ) s a 5 c (5 o t ) s ( b 1 s it ) n b 3 s (3 i t n ) b 5 s (5 i t n ) (
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• 傅里叶级数小结：
f(t) a 2 0 n 1 a n co n t) s n ( 1 b n sin n t)(
f(t)A 2 0n 1A nco n s t＋ ( n)
吴大正信号与线性系统分析第4章
4.3 周期信号的频谱 二、周期信号频谱的特点 举例：有一幅度为 1，脉冲宽度为 的周期矩形脉冲，其周期为 T，如图所示。求频谱。 令 Sa(x)=sin(x)/x (取样函数） 幻灯片 20
4.3 周期信号的频谱 , n = 0 ,±1，±2，… Fn 为实数，可直接画成一个频谱图。设 T = 4τ画图。 特点： (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有 收敛性。总趋势减小。 幻灯片 21
4.1 信号分解为正交函数 三、信号的正交分解 设有 n 个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。 将任一函数 f(t)用这 n 个正交函数的线性组合来近似，可表示为
f(t)≈C1 1+ C2 2+…+ Cn n 如何选择各系数 Cj 使 f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。 通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为 幻灯片 7
f1(t) = 1 ←→ 2πδ(ω)
‖
g2(t) ←→ 2Sa(ω) ∴ F(jω) = 2πδ(ω) - 2Sa(ω)
-
幻灯片 33
4.5 傅里叶变换的性质
二、时移性质(Timeshifting Property)
If f (t) ←→F(jω) then where “t0” is real constant.
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的 信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。 幻灯片 4
(NEW)吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 连续系统的时域分析2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散系统的时域分析3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 连续系统的s域分析5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 离散系统的z域分析6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 系统函数7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第1章 信号与系统1.1 复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。
根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。
二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。
2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。
图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。
图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。
这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。
信号与系统吴大正第四版第四章完整ppt课件
O
Wal(1,t)
O
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Wa(l2,t)
1
t
1
t
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t
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信号与系统 电子课件
如果是复函数集，正交是指：
若复函数集 {i(t)}i (1,2,,n)在区间（t1,t2）满足
t1 t2i(t)j(t)d t 0 K ,i 0,当 当 ii jj
信号与系统 电子课件
连续时间信号与系统的频域分析
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信号与系统 电子课件
本章安排
• 信号的正交分解和傅里叶级数 • 周期信号和非周期信号的频谱 • 傅里叶变换的性质 • 周期信号的傅里叶变换 • LTI系统的频域分析和取样定理 • 离散傅里叶变换及其性质
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2
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j 1
如何选择C j才能得到最佳近似。
2 1
t2t1
t1 t2[f(t)jn 1Cj
j(t)]2dt
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12
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信号与系统 电子课件
多元函数就极值问题
1
C j t2t1
t1 t2[f(t)jn 1C j j(t)]2d t0
Ci
t2 t1
f (t)i(t)dt
则称 1和在2区间(t1,t2)内正交。
若有n个函数 1 (t) ,2 (t)构,, 成n ( 一t) 个函数集，
这些函数在区间(t1,t2)内满足
t1 t2i(t)j(t)d t 0 K ,i 0,
当 ij 当 ij
信号和线性系统分析(吴大正第四版)第四章习题答案解析
第四章习题4.6求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T解 ⑴角频率为Ω = IOO rad∕s,周期丁=盲=p÷ξ ⑵角频率为I fi=号■rad∕s,周期= 4 s(3) 角频率为Ω = 2 rad 倉，周期T = ~ = Tr S (4) 角频率为Q =兀rad∕ s,周期T=^ = 2 sΩ(5) 角频率为 Ω — rad∕s*周期 T=-^ = 8 s4 12⑹角频率为C =話rad∕s,周期T = -jy = 60 s4.7用直接计算傅里叶系数的方法， 求图4-15所示周期函数 的傅里叶系数（三角形式或指数形式）(1) e j100t(2) cos[,t - 3)](3) cos(2t) sin(4t) ⑷ cos(2 兀 t) +cos(3πt) +cos(5 兀 t)(5)π π cos( t) sin( t)2 4(6)JEJITEcos( t) cos( t) cos( t)2 35-2 -1 O 12 3 r(IJ)图4-15f>~ 十解 ⑴周期T = 4,1Ω = Y =亍r 则有H ,4⅛ - 1 ≤ r ≤ 4⅛+ 1/⑺=II∣07 4⅛ + 1 < r < 4⅛ + 3由此可得-Tu rt = ~∖ ' τ fit) cost nΩt)dt= -∣^∣ /(f)cos(^ψ^)df J- J —⅛ 乙-.：—2 I（2｝周期丁=2・0 =年=兀，则有由此可得1 + e -jrhr2π( I - √ )所含有的频率分量)dr =2 J -[2『亍=Wl f(t)sm(ττΩt)dt =1 J -T2——SInnπ （才），= om 小山（竽）出ISin(Jrt) 9fm=! 0,2⅛ ≤ r ≤ 2⅛ + 12⅛ + 1 < r < 2⅛ + 2F ri ]ft1 Γl=TJV Cf)^dr =⅛J r ∣/(r)e-7iβ,dr — -7- Sin(^f)e -dr -I ZJV4.10利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中扣 =O* ± 1 * + 2・・图 4-18解 (1)由旳⑺的波形可矩Λ<r) =√√-n =-∕l (f ⊂f)亠 IU Jr = f(t)cos( riΩt )df 则有丿 丁人 ,jj = 0.1,2,-[仇=0"[J =盘？=应丄=*" =QE=仇=仏=*八=0 则∕√r)的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波亠 (2)由f 2(t)的波形可知则有— ■ ??f(t)s}n(tιΩt )d r ⅛ =A rz fl , J Tni JJO则f 2(t)的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波*(3)由 f 3(t)的波形可⅛l∕3<f) = f 3(~r)则有Γ⅛ = 0, n/(z)cos( fiΩt >d;(4)% 4召=亍即ΛG)的傅里叶级数中含有的频率分量为偶次余弦波* 由/<(0的波形可知，人⑺为奇谐函数■即fdι) =一 fZ 土 £)b 2 = h A = b 6 =・*・=0则有 U即人")的傅里叶级数中只含有奇次谐波•包括正弦波和余弦披"4-11 求u(t)的三角形式傅里叶系数。
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所以系数
Ci
t2 t1
f(t)i(t)dt
1
t2
t1
i2(t)dt
Ki
t2 t1
f(t)i(t)dt
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信号与系统 Biblioteka 子教案4.1 信号分解为正交函数
代入，得最小均方误差（推导过程见教材）
2 1 [ t2t1
t1 t2f2(t)dtjn 1C 2 jKj]0
4.1 信号分解为正交函数
一、矢量正交与正交分解
矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：
其内积为0。即
3
VxVyT vxivyi 0
i1
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信号与系统 电子教案
4.1 信号分解为正交函数
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集：
若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集，
当这些函数在区间(t1，t2)内满足
t1 t2i(t)j*(t)dt Ki0 ,0,
ij ij
则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
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4.2 傅里叶级数
将上式同频率项合并，可写为
f(t)A 20n 1Ancon st(n)
式中，A0 = a0
An an2 bn2
n
arctanbn an
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,…
由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集
如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。
例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以 用一个三维正交矢量集{ vx，vy，vz}分量的线性组合 表示。即
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t) Cjj (t) j1
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4.2 傅里叶级数
4.2 傅里叶级数
一、傅里叶级数的三角形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足
狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在 区间(t1，t2)内为最小。 通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为
2 1
t2t1
t1 t2[f(t)jn 1C j j(t)]2dt
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4.1 信号分解为正交函数
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第四章 连续系统的频域分析
时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号 可分解为一系列冲激函数；而yf(t) = h(t)*f(t)。
本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任 意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指 数信号之和。
这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。
为使上式最小
2
C i C i
t1 t2[f(t)jn 1Cj
j(t)2 ]dt0
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不
为0，写为 C i t1 t2[ 2 C if(t)i(t)C i2i2(t)d ]t0
即 2t1 t2f(t)i(t)dt2 C i t1 t2 i2(t)dt0
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信号与系统 电子教案
4.1 信号分解为正交函数
3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外， 不存在函数φ(t)(≠0）满足
t1t2(t)i(t)dt 0 ( i =1，2，…，n)
则称此函数集为完备正交函数集。
例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 和 虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的 在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信 号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线 性组合。
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信号与系统 电子教案
4.1 信号分解为正交函数
二、信号正交与正交函数集
1. 定义：
定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足
t1t21(t)2*(t)dt 0 (两函数的内积为0)
数—— 称为f(t)的傅里叶级数
f(t)a 2 0n 1anco n s t) (n 1b nsin n t)(
系数an , bn称为傅里叶系数
an
2 T
T
2 T
2
f(t)cons (t)dt
bn
2 T
T
2 T 2
f(t)sinn (t)dt
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
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4.1 信号分解为正交函数
三、信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为
f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
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第四章 连续系统的频域分析
4.1 信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱——傅里叶变换 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 周期信号的傅里叶变换 4.7 LTI系统的频域分析 4.8 取样定理
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在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越
大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数
集），均方误差为零。此时有
t2 t1
f 2(t)dt
C2j Kj
j1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各
正交分量能量的总和。