11-1 恒定电流条件和导电规律

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r2Βιβλιοθήκη r1BdS tdr dG l r r2 tdr t r2 1 r1 G ln R ln r1 r r1 G t r2
作业

11-4
五、欧姆定律 (Ohm’s law)
U R是与U 和I 无关的常量。 I R
反映了金属导体导电的基本特性， U1 电阻是常量，电流与电势差成正比。
dr

r
R2
R1
l
U R2 I 2π lU ln R1 R
解法二
U I j dS j 2π rl r R1 I E R2 l j 2π rl I E 2π Rl R2 dr I R2 U E dr ln R1 2π lr 2π l R1
dq内 SJ ds dt
S
dq内 <0 dt
J
线
电流线发出于正电荷减少的地方
终止于正电荷增加的地方
静电场
产生电场的电荷始终 固定不动 静电平衡时，导体内电 场为零，导体是等势体 电场有保守性，它是 保守场，或有势场
恒定电场
电荷分布不随时间改变 但伴随着电荷的定向移动 导体内电场不为零，导 体内任意两点不是等势 电场有保守性，它是 保守场，或有势场
解2：由对称性知，圆柱面上各点的电流密度 j
大小相等方向沿径向向外，通过半径r 的柱面S 的 电流为： I j dS j 2πra j I 2πra 由欧姆定律微分形式
求圆筒的电场分布为
E j
I
2πra
I R2 dr 圆筒内外缘 I R2 U E dr R1 r 2πa ln R1 的电势差为 2πa
2 πaU 径向电流为 I ln R2 / R1
例1 一内、外半径分别为 R1和 R2 的金属圆筒， 长度 , 其电阻率 ，若筒内外电势差为 ，且筒 U l 内缘电势高，圆柱体中径向的电流强度为多少 ？
dr dr 解法一 dR S 2π rl
U
R
R2
R1
R2 ln 2π rl 2π l R1
四、导体的电阻率 (resistivity of conductor)
电阻率定义为电场强度E大
E j 小与同点电流密度 j 大小之比
l R S
导体材料电阻率决定于材料自身性质。金属材料
的电阻率为: = 0 (1+t )，为电阻温度系数。
纯金属线膨胀系数要小得多，可忽略其长度和 截面积变化，R=R0(1+t)，可制成电阻温度计。
TC称为超导转变温度，不同材料具有不同TC。 钛的TC为0.39K，铝为1.19K，铅为7.2K，Hg-BaCa-Cu-O系氧化物为134K等。
超导体还具有其它一些独特的物理性质。
超导体 有些金属和化合物在降到接近绝对零度时，它 们的电阻率突然减小到零，这种现象叫超导. 汞在 4.2K 附近 电阻 突然 降为 零
1.稳恒条件
J ds 0
S
稳恒电流的电路必须闭合
2.由稳恒条件可得出几个结论
导体表面电流密度矢量无法向分量
对一段无分支的稳恒电路 其各横截面的电流 强度相等
在电路的任一节点处 流入的电流强度之和等 于流出节点的电流强度之和
--- 节点电流定律(基尔霍夫第一定律)
电流连线性方程
焦耳定律的微分形式 。
适用范围：
讨论：
不论导体是否均匀，不论导体形状 导体中电流是否恒定，都成立
（1）电流是电荷流动，在j＝0地方，电荷体密度是否为0？ 不一定，静电场中，j＝0， ρ≠0（ ρ 单位体积净电荷） （2）两截面不同的铜棒接在一起，两端加有电压，问二棒 上j，E是否相同
I j , I 相同，S1 S 2 S j1 j2 j E , j1 j2 E1 E2

S2
t
r1
S1
r2
dr R r1 rt r2 R ln t r1
r2
例2： 碳膜电位器中的碳膜是由蒸敷在绝缘基片
上的厚为t ，内外半径分为r1、r2 的一层碳构成的。
A、B为引出端，环形碳膜总张角为，电流沿圆周
曲线流动。求：A、B 之间的电阻？ 解： A、B 间电阻可视为由若 干不同长度而截面相同的电阻并 联而成。电导为：
大小成正比
注意

一般金属或电解液，欧姆定律在相当大的电 压范围内是成立的， 但对于许多导体或半导体， 欧姆定律不成立，这种非欧姆导电特性有很大的 实际意义，在电子技术，电子计算机技术等现代 技术中有重要作用.
例3：长为a半径为R1、R2的金属圆筒内、外缘电
势差为U，电阻率为 ，求圆筒的径向电流。
在稳恒电路中 沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和等于零
不同之处
产生稳恒电流的电荷是运动的电荷 间改变 电荷分布不随时
稳恒电场对运动电荷作功 稳恒电场的存在总伴随着 能量的转移 §3 欧姆定律的微分形式
导体中任一点电流密度的方向(正电荷运动的方向)和该 点场强方向相同 有关系式
三、导体的电阻(resistance of conductor)
电流I为 I
I 与 j 的关系也是一个通 Φe E dS S 量与其矢量场的关系。
在有电流的导体中，每一点都具有一定大小和方 向的电流密度矢量，构成了矢量场，称为电流场。 引入电流线形象描述电流场中电流的分布，规定 曲线上每点的切线方向都与该点的电流密度矢量的 方向相同。 由电流线围成的管状区域称为电流管。恒定条件 下，通过同一电流管任一横截面的电流相等。
维持静电场不需要 能量的转换
稳恒电场的存在总要 伴随着能量的转换
三.稳恒电场 1.稳恒电场
对于稳恒电路 导体内存在电场
稳恒电场 由不随时间改变的电荷分布产生 2.和静电场比较 相同之处 电场不随时间改变 满足高斯定理 满足环路定理 是保守场
可引入电势概念
回路电压定律(基尔霍夫第二定律)
常用电阻温度计有铜电阻温度计(-50℃150℃)
和铂电阻温度计(-200℃500℃)。
电阻率单位m(欧姆米)。电阻率的倒数为电导率 (conductivity)用表示，单位是Sm-1(西门子/米)。
某些材料电阻率在其特定温度TC以下减小到接
近零的现象称为超导现象。
处超导状态的材料为超导体(superconductor) 。
恒定电场由运动的而分布不随时间变化的电荷所 激发。在遵从高斯定理和环路定理方面，恒定电场
与静电场具有相同性质，通称为库仑电场。
稳恒电流 单位时间内通过闭合曲面向外流出的电荷，等于此 时间内闭合曲面里电荷的减少量 .
dQ dQi s j dS dt dt
若闭合曲面 S 内的电荷不随时间 而变化，有

S
j dS 与电通量定义式相比较，
二、电流的连续性方程和恒定电流条件 导体内任取一闭合曲面S，根据电荷守恒定律， 单位时间由闭合曲面 S 内流出的电量，必定等于
在同一时间内闭合曲面 S 所包围的电量的减少， dq S j dS dt 电流连续性方程的积分形式 d 以体电荷形式分布 S j dS = - d dt 在曲面S所包围 j d - t d 的体积内积分
dS
j
恒定电流
I I1 I 2 0
s
S dQi 0 dt j dS 0 I
S
I1
I2
恒定电流 恒定电场
s
j dS 0
S
dS
j
1）在恒定电流情况下，导体中电荷分布不随 时间变化形成恒定电场； 2）恒定电场与静电场具有相似性质（高斯定 理和环路定理），恒定电场可引入电势的概念； 3）恒定电场的存在伴随能量的转换.
ρ 电流连续性方程的微分形式 j t
恒定电流：电流场不随时间变化的电流。由分布 不随时间变化的电荷所激发的电场为恒定电场。
恒定电流条件的微分形式 j = 0
S

j dS 0 恒定电流条件的积分形式
恒定电流场中过任意闭合曲面的电流必等于零。 电流线从某处穿入必从另一处穿出。恒定电流场的 电流线必定是头尾相接的闭合曲线。
电阻定义为两端电势差与电流之比 R U
I
伏安特性曲线以电势差U作横坐标电流I作纵坐标。 金属和电解液导体的伏安特性曲线是一条过原点 的直线。这种性质的电阻称为线性电阻或欧姆电阻， 具有这种性质的器件为线性器件。也有非线性器件。 电阻单位是(欧姆)：1=1VA-1，电阻的倒数称 为电导，用G表示，单位是S(西门子)：1S=1-1 。
I U1
I
U2
（3）
U1
E2 E1
铜 U2 银
j,E是否相同？
U1 U 2 E l E1 E 2 j E
1 2
j1 j2
作业

11-5
七、电动势 (electromotive force) 在导体中有稳恒电流流动不能单靠 静电场，必须有非静电力把正电荷从
1 A 103 mA 106 μA
S
dQ nedV I dt dt nevd dtS nevd S dt
+ + + + + +
I
vd 为电子的漂移速度大小
电流密度 (electric current density)
单位: Am-2
由电流密度的定义知通过导体中任一曲面S的
R1
R2
r dr
j
a
解1：取半径r和r+dr作两个圆柱面
柱面面积为S=2pra，柱面间电阻为 径向总电阻为 R dR