山东大学本科线性代数作业卷答案-2
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本科线性代数作业卷(二)答案
一、
填空题
a b b c a 2c a 3 c a b 2a b 3 1 1 4 _________ . 2
1.
c 2b c 3
a b c 1 b c a 1 2 1 解 第二行 ( )，第三行 ( ) 加至Biblioteka Baidu四行得：D＝ ＝0 c a b 1 3 3 0 0 0 0 所以应填 0.
2.奇数阶反对称行列式的 值为 ________.
3 0 4 2 2 2 3.设行列式 D 0 7 0 5
解 0
0 2 ，则第四行各元素余子 式之和为 ____ . 0
3 2 2
解 根据行列式展开定理推 论，用第二行每个元素 乘以第四行对应的代数 余子式得： 故应填 0. 2( A41 A42 A43 A44 ) 0，所以A41 A42 A43 A44＝0.
3
1.解
把行列式的第二、三列均加至第一列，并提取公因式得
1 D ＝ ＝( ) 1 1
由 ＝0可知，D 0 .
2
a2 2. b2 c2 d2
(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 (d 1) 2
(a 2) 2 (b 2) 2 (c 2) 2 (d 2) 2 a2
(a 3) 2 (b 3) 2 (c 3) 2 (d 3) 2 a2 cc b2 c2 d2 2a 1 2 2 2b 1 2 2 2c 1 2 2 2d 1 2 2 ＝0
ax ay bz az bx by ay bz az bx 证明 左端＝ ay az bx ax by bz az bx ax by az ax by ay bz bx ax by ay bz x az bx az bx y ay bz az bx ＝a y ax by ax by b z az bx ax by z ay bz ay bz x ax by ay bz x ay bz az x bz az bx ＝a y az bx ax b y bx ax by 右端 z ax by ay z by ay bz
分析 把D按第三列展开为 D＝a13 A13 a 23 A23 a33 A33 a 43 A43 ＝A13 A33 5 A43 故应选(C) .
三、计算、证明题
1.设 , , 是方程x px q 0的根，求行列式D 的值.
（C） 8D
故应选(C).
1 a a 2.设 Dn a 1 a a a a （A） 1 （B） 1 a a 1 1 （C ） n 1 1 （D） . 1－n
1
0, 但 Dn 1 0，则 a
解
若r ( A) n 1，则 A＝0. 1 a a a a 1 a 0 0 a 0 a 0 0 1 a 1 1 a 0 1 a
二、选择题
a11 1.如果D＝ a 21 a 31 （A） 2D
分析
a12 a 22 a32
a13 a33
2a11 2a31
2a12 2a 22 2a32
2a13 2a 23 ，则D1 2a33 （D） 8D
a 23 , D1＝ 2a 21
（B） 2 D
D1 2 2 2 D＝8 D
2a 1 2a 3 2a 5 2b 1 2b 3 2b 5 2c 1 2c 3 2c 5 2d 1 2d 3 2d 5
解
原式c c
b2 c2 d2
ax by ay bz az bx
x
y
z x. y
3.证明： ay bz az bx ax by (a 3 b 3 ) y z az bx ax by ay bz z x
1 0 1 2 1 1 0 3 1 1 1 0 1 2 5 4
3.已知D
，则D
(A ) ( C)
A31 A32 A33 A34 A13 A33 5 A43
(B) A31 2 A32 5 A33 4 A34 (D) ( 1) 1 4 M 14 ( 1) 2 4 M 24 ( 1) 3 4 M 34 (1) 4 4 M 44
3
A＝[(n 1)a 1]＝1 a 1 a ＝[(n 1)a 1] 0 1 a a 1 0 ＝[(n 1)a 1](1 a ) n 1＝0
1 a 0
从而a＝
1 或a 1 . 注意到若a 1，则r ( A) 1，不满足已知条件，舍去. 1 n 所以应选( D) .
一、
填空题
a b b c a 2c a 3 c a b 2a b 3 1 1 4 _________ . 2
1.
c 2b c 3
a b c 1 b c a 1 2 1 解 第二行 ( )，第三行 ( ) 加至Biblioteka Baidu四行得：D＝ ＝0 c a b 1 3 3 0 0 0 0 所以应填 0.
2.奇数阶反对称行列式的 值为 ________.
3 0 4 2 2 2 3.设行列式 D 0 7 0 5
解 0
0 2 ，则第四行各元素余子 式之和为 ____ . 0
3 2 2
解 根据行列式展开定理推 论，用第二行每个元素 乘以第四行对应的代数 余子式得： 故应填 0. 2( A41 A42 A43 A44 ) 0，所以A41 A42 A43 A44＝0.
3
1.解
把行列式的第二、三列均加至第一列，并提取公因式得
1 D ＝ ＝( ) 1 1
由 ＝0可知，D 0 .
2
a2 2. b2 c2 d2
(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 (d 1) 2
(a 2) 2 (b 2) 2 (c 2) 2 (d 2) 2 a2
(a 3) 2 (b 3) 2 (c 3) 2 (d 3) 2 a2 cc b2 c2 d2 2a 1 2 2 2b 1 2 2 2c 1 2 2 2d 1 2 2 ＝0
ax ay bz az bx by ay bz az bx 证明 左端＝ ay az bx ax by bz az bx ax by az ax by ay bz bx ax by ay bz x az bx az bx y ay bz az bx ＝a y ax by ax by b z az bx ax by z ay bz ay bz x ax by ay bz x ay bz az x bz az bx ＝a y az bx ax b y bx ax by 右端 z ax by ay z by ay bz
分析 把D按第三列展开为 D＝a13 A13 a 23 A23 a33 A33 a 43 A43 ＝A13 A33 5 A43 故应选(C) .
三、计算、证明题
1.设 , , 是方程x px q 0的根，求行列式D 的值.
（C） 8D
故应选(C).
1 a a 2.设 Dn a 1 a a a a （A） 1 （B） 1 a a 1 1 （C ） n 1 1 （D） . 1－n
1
0, 但 Dn 1 0，则 a
解
若r ( A) n 1，则 A＝0. 1 a a a a 1 a 0 0 a 0 a 0 0 1 a 1 1 a 0 1 a
二、选择题
a11 1.如果D＝ a 21 a 31 （A） 2D
分析
a12 a 22 a32
a13 a33
2a11 2a31
2a12 2a 22 2a32
2a13 2a 23 ，则D1 2a33 （D） 8D
a 23 , D1＝ 2a 21
（B） 2 D
D1 2 2 2 D＝8 D
2a 1 2a 3 2a 5 2b 1 2b 3 2b 5 2c 1 2c 3 2c 5 2d 1 2d 3 2d 5
解
原式c c
b2 c2 d2
ax by ay bz az bx
x
y
z x. y
3.证明： ay bz az bx ax by (a 3 b 3 ) y z az bx ax by ay bz z x
1 0 1 2 1 1 0 3 1 1 1 0 1 2 5 4
3.已知D
，则D
(A ) ( C)
A31 A32 A33 A34 A13 A33 5 A43
(B) A31 2 A32 5 A33 4 A34 (D) ( 1) 1 4 M 14 ( 1) 2 4 M 24 ( 1) 3 4 M 34 (1) 4 4 M 44
3
A＝[(n 1)a 1]＝1 a 1 a ＝[(n 1)a 1] 0 1 a a 1 0 ＝[(n 1)a 1](1 a ) n 1＝0
1 a 0
从而a＝
1 或a 1 . 注意到若a 1，则r ( A) 1，不满足已知条件，舍去. 1 n 所以应选( D) .