高考理科数学全国1卷-含答案
2019年高考全国卷1理科数学试题及参考答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N =A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则 A ．()2211x y ++= B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()2211x y ++=3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．函数()2sin cos x xf x x x +=+在[],ππ-的图象大致为6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．右图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．12A A =+ B ．12A A=+ C ．112A A =+D ．112A A=+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4=0S ，55a =，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-10．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 11．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2 A ．①②④B ．②④C．①④D ．①③12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为A ．B ．C ．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考理科数学全国1卷(word版,含答案)
1.【ID:4002604】若，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，则．故选D．2.【ID:4002605】设集合，，且，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：易求得：，，则由，得，解得．故选B．3.【ID:4002606】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图，设正四棱锥的底面边长为，斜高，则，两边同时除以，得：，解得：，故选C．4.【ID:4002607】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意知，，则．故选C．5.【ID:4002608】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位：)的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由图易知曲线特征：非线性，上凸，故选D．6.【ID:4002609】函数的图象在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，则切线斜率，又，则切线方程为．故选B．7.【ID:4002610】设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由图可估算，则．故选C．由图可知：，由单调性知：，解得，又由图知，则，当且仅当时满足题意，此时，故最小正周期．8.【ID:4002611】的展开式中的系数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，要得到项，则应取项，则其系数为．故选C．9.【ID:4002612】已知，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，得，解得：或(舍)，又，则．故选A．10.【ID:4002613】已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由条件易得：，由，则，则，所以球的表面积为．故选A．11.【ID:4002614】已知：，直线：，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：：，则，如图，由圆的切线性质，易知：，则，所以最小时，最短，即最短，此时，易求得：，则直线：，整理，得：．故选D．12.【ID:4002615】若，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意，有，若，则，不符合题意，因此．13.【ID:4002616】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】1【解析】解：作不等式组满足的平面区域如图：易得：，，，因为区域为封闭图形，分别将点的坐标代入，得最大值为．14.【ID:4002617】设，为单位向量，且，则________．【答案】【解析】解：因为，，则，则．15.【ID:4002618】已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为________．【答案】2【解析】解：如图，，，则由题意得：，解得：，(舍)，所以的离心率为．16.【ID:4002619】如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则________．【答案】【解析】在中，；在中，，由展开图的生成方式可得，在中，由余弦定理可得，于是，因此在中，由余弦定理可得．17. 设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．（1）【ID:4002620】求的公比．【答案】【解析】解：设数列的公比为，则，，即，解得或(舍去)，的公比为．（2）【ID:4002621】若，求数列的前项和．【答案】【解析】解：记为的前项和．由及题设可得，．所以，．可得．所以．18. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）【ID:4002622】证明：平面．【答案】见解析【解析】方法：以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，．，，，则，，，平面．方法：设，由题设可得，，，．因此，从而．又，故．所以平面．（2）【ID:4002623】求二面角的余弦值．【答案】【解析】由知，，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，解得，，二面角的余弦值为．19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）【ID:4002624】求甲连胜四场的概率．【答案】【解析】解：．（2）【ID:4002625】求需要进行第五场比赛的概率．【答案】【解析】(甲连胜场)(乙连胜场)(丙连胜场)．（3）【ID:4002626】求丙最终获胜的概率．【答案】【解析】丙最终获胜，有两种情况，丙连胜或输一场．(丙连胜)，丙输一场，则共进行场，丙可以在①第场输，、场胜；②第、场胜，场输；③第、、场胜，第场输，(丙第场输，，场胜)；(丙第，场胜，第场输)；(丙第，，场胜，第场输)，(丙胜)．20. 已知，分别为椭圆：的左、右顶点．为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．（1）【ID:4002627】求的方程．【答案】【解析】由题意知，，，故，，，故椭圆的方程为．（2）【ID:4002628】证明：直线过定点．【答案】见解析【解析】方法：设，，故：，，故：，联立，，同理可得，，①当时，：，②当时，，：，③当且时，，：，令，故直线恒过定点．方法：设，，．若，设直线的方程为，由题意可知．因为直线的方程为，所以．直线的方程为，所以．可得．又，故，可得，即．①将代入得．所以，．代入①式得．解得(舍去)，．故直线的方程为，即直线过定点．若，则直线的方程为，过点．综上，直线过定点．21. 已知函数．（1）【ID:4002629】当时，讨论的单调性．【答案】当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．【解析】当时，，其导函数，又函数为单调递增函数，且，于是当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．（2）【ID:4002630】当时，，求的取值范围．【答案】【解析】方法：根据题意，当时，不等式显然成立；当时，有，记右侧函数为，则其导函数，设，则其导函数，当时，函数单调递减，而，于是．因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也为最大值．因此实数的取值范围是，即．方法：等价于．设函数，则．(i)若，即，则当时，．所以在上单调递增，而，故当时，，不合题意．(ii)若，即，则当时，；当时，．所以在，上单调递减，在上单调递增．又，所以当且仅当，即．所以当时，．(iii)若，即，则．由于，故由(ii)可得．故当，．综上，的取值范围是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）【ID:4002631】当时，是什么曲线？【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．【解析】解：，的参数方程为，则的普通方程为：，是以坐标原点为圆心，半径为的圆．（2）【ID:4002632】当时，求与的公共点的直角坐标．【答案】【解析】解：当时，：，消去参数，得的直角坐标方程为：，的直角坐标方程为：，联立得，其中，，，解得，与的公共点的直角坐标为．23. 已知函数．（1）【ID:4002633】画出的图象．【答案】见解析【解析】解：如图，．（2）【ID:4002634】求不等式的解集．【答案】【解析】解：方法：由题意知，结合图象有，当时，不等式恒成立，故舍去；当，即时，不等式恒成立；当时，由，得，，解得，综上，．方法：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．的图象与的图象的交点坐标为．由图象可知当且仅当时，的图象在的图象上方．故不等式的解集为．。
高考全国卷1理科数学试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。
回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++, 则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->, 则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->UD ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥U3．某地区经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍, 实现翻番, 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况, 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例, 得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后, 种植收入减少B ．新农村建设后, 其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后, 养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后, 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和, 若3243S S S =+, 12a =, 则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+, 若()f x 为奇函数, 则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中, AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点, 则EB =u u u rA ．3144AB AC-u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r7．某圆柱的高为2, 底面周长为16, 其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A , 圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B , 则在此圆柱侧面上, 从M 到N 的路径中, 最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F , 过点（–2, 0）且斜率为23的直线与C 交于M , N 两点, 则FM FN ⋅u u u u r u u u r=A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点, 则a 的取值范围是 A ．[–1, 0）B ．[0, +∞）C ．[–1, +∞）D ．[1, +∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成, 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC , 直角边AB , AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I, 黑色部分记为II, 其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点, 此点取自I, II,III 的概率分别记为p 1, p 2, p 3, 则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=, O 为坐标原点, F 为C 的右焦点, 过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形, 则|MN |= A ．32B ．3C ．3D ．412．已知正方体的棱长为1, 每条棱所在直线与平面α所成的角相等, 则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A 33B 23C 32D 3 二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。
2022年高考全国卷1理科数学试题及参考答案
普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N =A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则A ．()2211x y ++=B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()2211x y ++=3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（510.618-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．函数()2sin cos x xf x x x+=+在[],ππ-的图象大致为6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．右图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．12A A =+B ．12A A=+C ．112A A=+D ．112A A=+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4=0S ，55a =，则A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-10．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．26πD 6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考理科数学(全国1卷)答案详解(附试卷)
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PS：其实可以对题目进行抽象：即有 A、B 两种字母，填 6 个位置，求恰有 3 个 A 的概率.这样更
容易求解.
【答案】A
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7．（平面向量）已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为
头顶至肚脐的长度小于 68.07cm，所以身高小于 68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案 B.
【答案】B
5．（函数）函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[, ] 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
f (x)
sin x x cos x x2
A． (x+1)2 y 2 1 B． (x 1)2 y2 1 C． x2 ( y 1)2 1 D． x2 ( y+1)2 1
【解析】由题意得 z i x ( y 1)i ，∵ z i =1 ，∴ x2 ( y 1)2 1 ，即 x2 ( y 1)2 1
【答案】D
6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是
5
A．
16
11
B．
32
21
C．
32
11
D．
16
【解析】所有重卦的个数为 26 64 ，恰有 3 个阳爻的个数为 C36C33 20 ，因此恰有 3 个阳爻的概率为
2020年高考理科数学全国卷1-答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷理科数学答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D .【考点】复数的运算法则，复数的模的求解 2.【答案】B【解析】由题意首先求得集合A ，B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的 值.求解二次不等式240x -≤可得：{}22A x x =-≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：2a B x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭≤.由于{}21AB x x =-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B .【考点】交集的运算，不等式的解法 3.【答案】C【解析】设CD a =，PE b =，利用212PO CD PE =⋅得到关于a ，b 的方程，解方程即可得到答案.如图，设CD a =，PE b =，则PO ==212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24210b b a a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，解得b a =（负值舍去）.故选：C .【考点】正四棱锥的概念及其有关计算 4.【答案】C【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p =. 故选：C .【考点】利用抛物线的定义计算焦半径 5.【答案】D【解析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选：D .【考点】函数模型的选择，散点图的分布 6.【答案】B【解析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简 即可.()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B .【考点】利用导数求解函图象的切线方程 7.【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点409π⎛⎫-⎪⎝⎭，，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合409π⎛⎫- ⎪⎝⎭，是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解.由图可得：函数图象过点409π⎛⎫-⎪⎝⎭，，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭. 又409π⎛⎫- ⎪⎝⎭，是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=.所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===. 故选：C .【考点】三角函数的性质及转化，三角函数周期公式 8.【答案】C【解析】求得()5x y +展开式的通项公式为515r rrr T C xy -+=（r ∈N 且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与()5x y + 展开式的乘积为65r r rC x y -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.()5x y +展开式的通项公式为515rrrr T C x y -+=（r ∈N 且5r ≤）.所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与()5x y +展开式的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==或22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615r r r r xT C x y -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5.所以33x y 的系数为10515+=. 故选：C【考点】二项式定理及其展开式的通项公式，赋值法 9.【答案】A【解析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0)απ∈，，sin α∴== 故选：A .【考点】三角恒等变换，同角间的三角函数关系求值10.【答案】A【解析】由已知可得等边ABC △的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球截面性质，求出 球的半径，即可得出结论.设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24r ππ=，2r ∴=，由正弦定理可得2sin 6023AB r ==，1OO AB ∴==，根据圆截面性质1OO ABC⊥平面，11OO O A∴⊥，4R OA =，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A .【考点】球的表面积，应用球的截面性质 11.【答案】D【解析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A ，P ，B ，M 共圆，且AB MP ⊥，根据22PAM PM AB S PA ⋅==△可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程.圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d =，所以直线l 与圆相离.依圆的知识可知，四点A ，P ，B ，M 四点共圆，且AB MP ⊥， 所以12222PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=△，而PA ，当直线MP l ⊥时，min MPmin1PA =，此时PM AB ⋅最小.()1:112MP y x ∴-=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩. 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程.故选：D .【考点】直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，圆的几何性质的应用 12.【答案】B【解析】设()22log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案. 设()22log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b b a b b +=+=+，所以()()()()22222222122log 2log 22log 2log 2log 102a b b b f a f b a b b b -=+-+=+-+==-＜， 所以()()2f a f b ＜，所以2a b ＜.()()()()22222222222222log 2log 2log 2log 22log a b b b b b f a f b a b b b b -=+-+=+-+=--，当1b =时，()()220f a f b -=＞，此时()()2f a f b ＞，有2a b ＞.当2b =时，()()210f a f b -=-＜，此时()()2f a f b ＜，有2a b ＜，所以C 、D 错误. 故选：B .【考点】函数与方程的综合应用，构造函数，利用函数的单调性比较大小 二、填空题 13.【答案】1【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 绘制不等式组表示的平面区域，如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：()10A ，，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=.故答案为：1.14.【解析】整理已知可得：()2a b a b +=+，再利用a ，b 为单位向量即可求得21a b ⋅=-，对a b -变形可得：222a b a a b b -=-⋅+，问题得解.因为a ，b 为单位向量，所以1a b ==，所以()2222221a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅=.解得：21a b ⋅=-.所以()22223a b a ba ab b -=-=-⋅+=.【考点】向量模的计算公式及转化 15.【答案】2【解析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a =，AFc a =-，即可根据斜率列出等式求解即可.依题可得，3BF AF =，而2b BF a =，AFc a =-，即23b a c a=-，变形得22233c a ac a -=-，化简可得， 2320e e -+=，解得2e =或1e =（舍去）.故答案为：2.【考点】双曲线的离心率的求法，双曲线的几何性质的应用 16.【答案】14-【解析】在ACE △中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC 、BD ，可得出BF ， 然后在BCF △中利用余弦定理可求得cos FCB ∠的值.AB AC ⊥，AB 1AC =，由勾股定理得2BC ，同理得BD =，BF BD ∴==，在ACE △中，1AC =，AE AD =30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=，1CF CE ∴==， 在BCF △中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-.【考点】利用余弦定理解三角形 三、解答题 17.【答案】（1）2- （2）()()11329nn n S -+-=【解析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q 的方程，求解即可得出结论.设{}n a 的公比为q ，1a 为2a ，3a 的等差中项，1232a a a =+，10a ≠，220q q ∴+-=，1q ≠，2q ∴=-.（2）由（1）结合条件得出{}n a 的通项，根据{}n na 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.设{}n na 的前n 项和为n S ，11a =，()12n n a -=-，()()()211122322n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++-，①()()()()()()2312122232122n nn S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+-，②-①②得，()()()()()()()()()211211323122222123nnn nnn n S n n ----+-=+-+-++---=--=--，()()11329nn n S -+-∴=.【考点】等比数列通项公式基本量的计算，等差中项的性质，错位相减法求和18.【答案】（1）证明：由题设，知DAE △为等边三角形，设1AE =，则DO =1122CO BO AE ===，所以PO ==，PC =PB ==ABC △为等边三角形，则2sin60BA OA =，所以BA =22234PA PB AB +==，则90APB ∠=，所以PA PB ⊥，同理PA PC ⊥， 又PC PB P =，所以PA PBC ⊥平面.（2 【解析】（1）要证明PA PBC ⊥平面，只需证明PA PB ⊥，PA PC ⊥即可. 由题设，知DAE △为等边三角形，设1AE =，则DO =1122CO BO AE ===，所以4PO ==，PC ==PB ==，又ABC △为等边三角形，则2sin60BA OA =，所以BA =22234PA PB AB +==， 则90APB ∠=，所以PA PB ⊥，同理PA PC ⊥，又PCPB P =，所以PA PBC ⊥平面.（2）以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB 的法 向量为n ，平面PCE 的法向量为m ，利用公式cos m ＜，||||n mn n m ⋅=＞计算即可得到答案.过O 作ON BC ∥交AB 于点N ，因为PO ABC ⊥平面，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则1002E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，00P ⎛ ⎝⎭，104B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，104C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，14PC ⎛=- ⎝⎭，，14PB ⎛=-- ⎝⎭，102PE ⎛=- ⎝⎭，，，设平面PCB 的一个法向量为()111n x y z =，，，由00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1111110x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令1x =11z =-，10y =，所以()201n =-，，，设平面PCE 的一个法向量为()222m x y z =，，由00m PC m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020x x ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，令21x =，得2z =2y =，所以313m ⎛=- ⎝，故cos m ＜，2||||3n m n n m ⋅===⋅⨯，设二面角22143x y +=的大小为θ，则cos θ=【考点】线面垂直的证明，利用向量求二面角的大小 19.【答案】（1）116（2）34（3）716【解析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率.记事件:M 甲连胜四场，则()411216P M ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，则四局内结束比赛的概率为()()()()411424P P ABAB P ACAC P BCBC P BABA ⎛⎫'=+++=⨯= ⎪⎝⎭，所以，需要进行第五场比赛的概率为314P P '=-=.（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率 和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，记事件:M 甲赢，记事件:N 丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC 、ABCBC 、ACBCB 、BABCC 、BACBC 、BCACB 、BCABC 、BCBAC ，所以，甲赢的概率为()4511972232P M ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为()97123216P N =-⨯=. 【考点】独立事件概率的计算20.【答案】（1）2219x y +=（2）证明：设()06P y ，，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039yy x =+.联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+.将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+.所以点C 的坐标为 2002200327699y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，.同理可得：点D 的坐标为200220033211y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，.∴直线CD 的方程为： 0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=- ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得： ()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭.故直线CD 过定点302⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】（1）由已知可得：()0A a -，，()0B a ，，()01G ，，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.依据题意作出如下图象：由椭圆方程()222:11x E y a a +=＞可得：()0A a -，，()0B a ，，()01G ，.∴()1AG a =，，()1GB a =-，. ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =.∴椭圆方程为：2219x y +=.（2）设()06P y ，，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为2002200327699y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，，同理可得点D 的坐标为200220033211y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，，即可表示出直线CD 的方程， 整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，命题得证. 证明：设()06P y ，，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039yy x =+.联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+.将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+.所以点C 的坐标为2002200327699y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，.同理可得：点D 的坐标为200220033211y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，.∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=- ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭. 故直线CD 过定点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【考点】椭圆的简单性质，方程思想21.【答案】（1）当()0x ∈-∞，时，()'0f x ＜，()f x 单调递减，当()0x ∈+∞，时，()'0f x ＞，()f x 单调递 增.（2）274e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 【解析】（1）由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. 当1a =时，()2x x x e f x =+-，()'21x f x e x =+-，由于()''20x f x e =+＞，故()'f x 单调递增，注意到()'00f =，故：当()0x ∈-∞，时，()'0f x ＜，()f x 单调递减，当()0x ∈+∞，时，()'0f x ＞，()f x 单调递增. （2）首先讨论0x =的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确 定实数a 的取值范围.由()3112f x x +≥得，23112x e ax x x +-+，其中0x ≥， ①当0x =时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②当0x ＞时，分离参数a 得，32112x e x x a x ----， 记()32112x e x x g x x ---=-，()()231212'x x e x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭=-，令()()21102x e x x h x x ---=≥， 则()'1x h x e x =--，()''10x h x e =-≥，故()'h x 单调递增，()()''00h x h =≥，故函数()h x 单调递增，()()00h x h =≥，由()0h x ≥可得：21102x e x x ---恒成立， 故当()02x ∈，时，()'0g x ＞，()g x 单调递增； 当()2x ∈+∞，时，()'0g x ＜，()g x 单调递减；因此，()()2max 724e g x g -⎡⎤==⎣⎦， 综上可得，实数a 的取值范围是274e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，. 【考点】导数的几何意义，解析几何，微积分，用导数求函数的单调区间，判断单调性，已知单调 性求参数，利用导数求函数的最值（极值），数形结合思想的应用22.【答案】（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆（2）1144⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【解析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论.当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆.（2）当4k =时，0x ≥，0y ≥，曲线1C的参数方程化为22cos sin t t（t 为参数），两式相加消去参数t ， 得1C 普通方程，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，将曲线2C 化为直角坐标方程，联立1C ，2C 方程，即可求解.当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos sin x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），所以0x ≥，0y ≥， 曲线1C的参数方程化为22cos sin t t==（t 为参数）， 两式相加得曲线1C1=1=-，平方得1y x =-，01x ≤≤，01y ≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立1C ，2C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=，12=136=（舍去），14x ∴=，14y =，1C ∴，2C 公共点的直角坐标为1144⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【考点】参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化23.【答案】（1）因为()3115113133x x f x x x x x ⎧⎪+⎪⎪=--⎨⎪⎪---⎪⎩，≥，＜＜，≤，作出图象，如图所示：（2）76⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， 【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象.因为()3115113133x x f x x x x x ⎧⎪+⎪⎪=--⎨⎪⎪---⎪⎩，≥，＜＜，≤，作出图象，如图所示：（2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出.将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-.所以不等式的解集为76⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，. 【考点】分段函数的图象，利用图象解不等式。
新课标Ⅰ高考数学理科真题试卷(含答案)
绝密(juémì)★启封(qǐ fēnɡ)并使用完毕前试题(shìtí)类型：A 2021年普通高等学校招生全国(quán ɡuó)统一考试理科(lǐkē)数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕设，其中x，y是实数，那么〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2〔3〕等差数列前9项的和为27，，那么〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3)〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π〔7〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕假设(jiǎshè)，那么(nà me)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕执行右面(yòumiàn)的程序图，如果输入的，那么(nà me)输出x，y的值满足(mǎnzú)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，a 平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值为(A)(B) (C) (D)12.函数(hánshù)为的零点(línɡ diǎn)，为图像(tú xiànɡ)的对称轴，且()f x在单调(dāndiào)，那么的最大值为〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5第II卷本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，那么m=.(14)的展开式中，x3的系数是.〔用数字填写答案〕〔15〕设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2…a n的最大值为。
2019-2020年高考全国卷1(乙卷)理科数学试题及答案word
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A 2019-2020年高考全国卷1（乙卷）理科数学试题及答案word注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）设，其中x，y是实数，则（A）1（B）（C）（D）2（3）已知等差数列前9项的和为27，，则（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A）（B）（C）（D）（5）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A）（B）（C）（D）（8）若，则（A ）（B ）（C ）（D ）（9）执行右面的程序图，如果输入的，则输出x ，y 的值满足（A ）（B ）（C ）（D ）(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=，|DE|=，则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，平面ABCD =m ，平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为(A)(B ) (C) (D)12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =.(14)的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为。
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平面 ABB1 A1 n ，则 m, n 所成角的正弦值为
（A） 3 2
（B） 2 2
（C） 3 3
（D） 1 3
（12） 已知函数 f (x) sin(x ) ( 0, ) ， x 为 f (x) 的零点， x 为 y f (x) 图
2
4
4
象的对称轴，且 f (x) 在 ( , 5 ) 单调，则 的最大值为 18 36
xi
1
yi
∴
x x
1 y
，解得：
x
y
1 ，∴ 1
x yi x2 y 2 2 ．
（3）
∵ S9
9(a1 a9
3 ，∵ a10
8∴d
a10 a5 10 5
1，∴
a100 a10 90d 98 ．
（4）
如图所示，画出时间轴：
7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30
0
，∴
ln ln
c a
ln c ln b
loga
c
logb
c
，D
错误
故选 C．
8
【2°用特殊值法，令 a 3,b 2, c
1
得
1
32
1
22
，排除
1
A； 3 22
1
2 32 ，排除
B；
2
3log 2
1 2
2 log 3
2 ，C
正确； log 3
1 2
log 2
1 2
，排除
D；∴选
C】
（9） 如下表：
2016 年高考理科数学 全国 1 卷-含答案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2016 年普通高等学校招生全统一考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设集合 A x x2 4x 3 0 ， B x 2x 3 0 ，则 A B
（10） 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A , B 两点，交 C 的准线于 D , E 两点．已知 AB 4 2 ，
DE 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为
（A）2
（B）4
（C）6
（D）8
（11） 平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A ， ∥平面 CB1D1 ， ∩平面 ABCD m ， ∩
下面柱状图：
20
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器
更换的易损零件数发生的频率，记 X 表示 2 台机器三年
O
8
9
10
11 更换的易损零件数
内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.
（Ⅰ）求 X 的分布列； （Ⅱ）若要求 P（X n） 0.5，确定 n 的最小值；
【答案】
（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）A （7）D （8）C （9）
C （10）B
（11）A （12）B
【解析】
（1）
A
x x2 4x 3 0
x1 x 3， B
x 2x 3 0
x
x
3 2
，∴
A
B
x
3 2
x
3
．
（2）
∵
(1
i)x
1
yi
即
x
（A）11
（B）9
（C）7
（D）5
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第
(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。
（13） 设向量 a (m,1) ， b (1,2) ，且 a b 2 a 2 b 2 ，则 m
（A）（ 3 ， 3 ） （B）（ 3 ， 3 ） （C）（1， 3 ）
2
2
2
（2） 设 (1 i)x 1 yi ，其中 x , y 是实数，则 x yi
（D）（ 3 ， 3 ） 2
（A）1
（B） 2
（C） 3
（D）2
（3） 已知等差数列 an 前 9 项的和为 27， a10 8 ，则 a100
bln b aln a
blnb 和 aln a
构造函数 f x x ln x x 1 ，则 f ' x ln x 1 1 0 ， f x 在 1, 上单调递增，因此
f a f b 0 aln a blnb 0 1 1
a ln a bln b
又由
0
c
1得
ln c
0
，∴
ln c a ln a
n
y2 3m2
n
1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为
4，则 m
的取值范围
是 （A）（ 1， 3 ） （B）（ 1， 3 ） （C）（ 0 ， 3 ） （D）（ 0 ， 3 ）
（6） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半
径．若该几何体的体积是 28 ，则它的表面积是 3
n
3m2
，
∵
2c c 2
4 (m2
n)
(3m2
n)
4m2
解得 m2 1，∴ 1 n 3．
（6） 原立体图如图所示：
是一个球被切掉左上角的 1/8 后的三视图，表面积
是 7/8 的球面面积和三个扇形面积之和，
∴ S 7 4 22 3 1 22 17
8
4
（7） f (2) 8 e2 8 2.82 0 ，排除 A；
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17） （本小题满分 12 分）
△ABC的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 2cosC(a cosB b cos A) c .
（Ⅰ）求 C ；
（Ⅱ）若 c 7 ，△ABC的面积为 3 3 .求△ABC的周长. 2
（18） （本小题满分 12 分）
（A）100 （B）99
（C）98
（D）97
（4） 某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车
站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是
（A） 1 3
（B） 1 2
（C） 2 3
（D） 3 4
（5）
已知方程
x2 m2
料 1kg，用 5 个工时；生产一件 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg，用 3 个工时.生产一件 A 产品
的利润为 2100 元，生产一件 B 产品的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则
3
在不超过 600 工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为
A 错误；
对 B： 由于 1 c 1 0 ，∴函数 y xc1 在 1, 上单调递减，
∴ a b 1 ac1 bc1 bac abc ，B 错误
对 C：
要比较 a logb c 和 bloga c ，只需比较 a ln c 和 bln c ，只需比较 ln c 和 ln c ，只需
ln b ln a
在 C3 上，求 a .
（24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) x 1 2x 3 . （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出 y f (x) 的图像； （Ⅱ）求不等式 f (x) 1的解集.
y
1
o1
x
6
一、选择题
2016 年全国卷Ⅰ高考数学（理科）答案与解析
（21） （本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) (x 2)e x a(x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ）设 x1 , x2 是 f (x) 的两个零点，证明： x1 x2 2 .
请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
f (2) 8 e2 8 2.72 1 ，排除 B；
x 0时， f (x) 2x2 e x ， f (x) 4x e x ，当 x (0, 1) 时， f (x) 1 4 e0 0
4
4
∴ f (x) 在 (0, 1 ) 单调递减，排除 C； 4
故选 D
（8）
对 A： 由于 0 c 1 ，∴函数 y xc 在 R 上单调递增，因此 a b 1 ac bc ，
．
（14） (2x x )5 的展开式中， x 3 的系数是
．（用数字填写答案）
（15） 设等比数列 an 满足 a1 a3 10 ， a2 a4 5 ，则 a1a2 an 的最大值为
．
（16） 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件 A 需要甲材料 1.5kg,乙材
x2 y2 36
否 是
输出
结
（A） ac bc
（B） abc bac
（C） a log b c b log a c （D） log a c log b c
（9） 执行右图的程序框图，如果输入的 x 0, y 1, n 1，则输出 x, y 的值满足
（A） y 2x （B） y 3x （C） y 4x （D） y 5x
5
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
x
y
a cost, 1 a sin
t,
(
t
为参数，
a
0