五校联考提前招生数学模拟试卷(二)及答案201340
浙江省五校联盟2013届高三数学下学期第二次联考试题 文(含解析)新人教A版
2012-2013学年浙江省五校联盟高三（下）第二次联考数学卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•中山一模）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{4，6，7，8}考点：Venn图表达集合的关系及运算．分析：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，根据集合的运算求解即可．解答：解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，∵C U A={4，6，7，8}，∴（C U A）∩B={4，6}．故选B．点评：本题考查集合的基本运算和韦恩图，属基本题．2．（5分）（2013•浙江模拟）已知复数为实数，则实数m的值为（）A．B．C．﹣D．﹣考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：设出要求的两个复数的比值为k，得到两个复数相等，根据实部和虚部分别相等，得到关于字母的方程组，解方程组即可．解答：解：设，则z1=kz2，所以m+2i=k（3﹣4i），故，解得．故选D．点评：本题看出复数的基本概念，本题解题的关键是构造出复数相等，本题也可以做出复数的除法，根据复数是一个实数得到结果．3．（5分）（2013•浙江模拟）程序框图如图所示，其输出结果，则判断框中所填的条件是（）A．n≥5B．n≥6C．n≥7D．n≥8考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出变量S的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果．解答：解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：是否继续循环 n S循环前/1 1第一圈是 2第二圈是 3第三圈是 4第四圈是 5第五圈是 6第六圈否即n=6时退出循环故继续循环的条件应为：n≥6．故选B．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．4．（5分）（2013•浙江模拟）已知等比数列{a n}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：等差数列与等比数列．分析：可举﹣1，，…，说明不充分；举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…说明不必要，进而可得答案．解答：解：可举a1=﹣1，q=，可得数列的前几项依次为﹣1，，…，显然不是递减数列，故由“0＜q＜1”不能推出“{a n}为递减数列”；可举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…显然为递减数列，但其公比q=2，不满足0＜q＜1，故由“{a n}为递减数列”也不能推出“0＜q＜1”．故“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的既不充分也不必要条件．故选D点评：本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，举反例是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）（2013•浙江模拟）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．分析：由线面平行的性质定理和面面平行的判定定理判断A、B；再由线面和面面垂直的定理判断C、D．解答：解：A不对，由线面平行的性质定理知必须l⊂β；B不对，由面面平行的判定定理知两条直线必须相交；D不对，有条件有可能m⊂α；C正确，由l∥β知在β内有与l平行的直线，再由l⊥α和面面垂直的判定定理得α⊥β．故选C．点评：本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了学生对定理的运用能力和空间想象能力．6．（5分）（2013•浙江模拟）已知，则=（）A．9B．3C．1D．2考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得==1，且=1，由此求得=的值．解答：解：∵已知，∴==1，﹣4 +4=1+4﹣4=1，解得=1．∴====3，故选B．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．7．（5分）（2013•浙江模拟）若实数x、y满足约束条件，且目标函数z=x+y的最大值等于（）A．2B．3C．4D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过点A（4，0）时，z最大值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，然后平移直线0=x+y，当直线z=x+y过点A（4，0）时，z最大值为4．故选C．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．（5分）（2013•浙江模拟）设0＜a＜1，则函数f（x）=log a（）A．在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增B．在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减C．在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递增D．在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递减考点：函数单调性的判断与证明．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）的定义域，先判断x＜﹣1及﹣1＜x＜1时t=||的单调性，再根据y=log a t单调递减及复合函数单调性的判定方法可知f（x）的单调性．解答：解：函数f（x）的定义域为{x|x≠±1}，当x＜﹣1时，t=||==1﹣，单调递增，而0＜a＜1，所以y=log a t单调递减，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减；当﹣1＜x＜1时，t=||=﹣=﹣1+，单调递减，而0＜a＜1，所以y=log a t单调递减，所以f（x）在（﹣1，1）上单调递增，故选A．点评：本题考查对数函数单调性及复合函数单调性的判定，熟记基本函数的单调性为解决该类题目提供了简捷方法．9．（5分）（2013•浙江模拟）函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的所有零点之和等于（）A．πB．2πC．3πD．4π考点：函数的零点；函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的零点即函数y=tanx 与函数y==的交点的横坐标，由于函数y=tanx 与函数y=的交点关于点（，0）对称，故有得x1+x4=π，x2+x3=π，由此求得所有的零点之和 x1+x2+x3+x4的值．解答：解：函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的零点即函数y=tanx 与函数y==的交点的横坐标．由于函数y=tanx 的图象关于点（﹣，0）对称，函数y=的图象也关于点（﹣，0）对称，故函数y=tanx 与函数y=的交点关于点（，0）对称，如图所示：设函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的零点分别为：x1、x2、x3、x4，则由对称性可得 x1+x4=π，x2+x3=π，∴x1+x2+x3+x4=2π，故选 B．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．10．（5分）（2013•浙江模拟）已知A，B是双曲线的两个顶点，点P是双曲线上异于A，B的一点，连接PO（O为坐标原点）交椭圆于点Q，如果设直线PA，PB，QA的斜率分别为k1，k2，k3，且，假设k3＞0，则k3的值为（）A．1B．C．2D．4考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线可得两个顶点A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x0，y0），则，可得．于是k PA+k PB===．同理设Q（x1，y1），由k OP=k OQ得．得到k QA+k QB=．可得k PA+k PB+k QA+k QB=0，由，可得k QA+k QB=．又k QA•k QB=﹣，联立解得k QA．解答：解：由双曲线可得两个顶点A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x0，y0），则，可得．∴k PA+k PB===．设Q（x1，y1），则，得到．由k OP=k OQ得．∴k QA+k QB===，∴k PA+k PB+k QA+k QB=0，∵，∴k QA+k QB=…①又k QA•k QB=﹣=﹣…②联立①②解得k QA=2＞0．故选C．点评：熟练掌握双曲线、椭圆的标准方程、斜率的计算公式及其有关结论是解题的关键．二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•浙江模拟）如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是全等的矩形，底边长为2，高为3，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是2π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的体积即可．解答：解：三视图复原的几何体是圆柱，挖去一个倒放的圆锥，圆柱的底面半径为：1，高为3，所以所求几何体的体积为：=2π．故答案为：2π．点评：本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力．12．（4分）（2013•浙江模拟）某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6～8小时内的同学为30 人．考点：频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．专题：计算题．分析：利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在6～8小时外的频率；利用频率和为1，求出在6～8小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在6～8小时内的同学的人数．解答：解：∵这100名同学中学习时间在6～8小时外的频率为（0.04+0.12+0.14+0.05）×2=0..7∴这100名同学中学习时间在6～8小时内为1﹣0.7=0.3∴这100名同学中学习时间在6～8小时内的同学为100×0.3=30故答案为：30点评：本题考查频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量．13．（4分）（2013•浙江模拟）若等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），若a2：a3=5：2，则S3：S5= 3：2 ．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：等差数列{a n}中，由等差数列的通项公式表示出a2与a3，求出（a1+d）与（a1+2d）之比，再利用求和公式表示出S3与S5，利用比例的性质即可求出S3与S5比值．解答：解：∵a2=a1+d，a3=a1+2d，a2：a3=5：2，∴（a1+d）：（a1+2d）=5：2，∵S3=3a1+d=3（a1+d），S5=5a1+d=5（a1+d），则S3：S5=3（a1+d）：5（a1+d）=15：10=3：2．故答案为：3：2点评：此题考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．14．（4分）（2013•浙江模拟）一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：利用组合数求出从含有2个白球和3个红球的袋中任意摸出两个球的方法总数，再求出摸到的两球颜色相同的方法种数，直接利用古典概型概率计算公式求解．解答：解：设摸出的两个球颜色相同为事件A．一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，所有不同的摸法种数为种．摸出的球颜色相同的摸法种数为种．所以中奖的概率P（A）=．故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，解答的关键是求出基本事件总数和两球颜色相同的事件个数，是基础题．15．（4分）（2013•浙江模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4x+2=0相切，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4x+2=0相切⇔圆心（2，0）到渐近线的距离等于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．解答：解：取双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线，即bx﹣ay=0．由圆x2+y2﹣4x+2=0化为（x﹣2）2+y2=2．圆心（2，0），半径r=．∵渐近线与圆x2+y2﹣4x+2=0相切，∴化为a2=b2．∴该双曲线的离心率e===．故答案为．点评：熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键．16．（4分）（2013•浙江模拟）设x为实数，[x]为不超过实数x的最大整数，记{x}=x﹣[x]，则{x}的取值范围为[0，1），现定义无穷数列{a n}如下：a1={a}，当a n≠0时，a n+1={}；当a n=0时，a n+1=0．如果a=，则a2013= 1 ．考点：数列与函数的综合．专题：新定义；等差数列与等比数列．分析：根据已知条件：a=计算数列{a n}的前几项，从而得出无穷数列{a n}呈周期性变化，周期为3．即可求出a2013的值．解答：解：当a=时，a1={a}=﹣1，a2={}={}=，a3={}={}=，a4={}={}=，…无穷数列{a n}呈周期性变化，周期为3．∵2013=3×671，∴a2013=a3=．故答案为：1．点评：本题考查的是取整函数，数列与函数的综合．解答此题的关键是计算数列的前几项，进而得到无穷数列{a n}呈周期性变化．17．（4分）（2013•浙江模拟）已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x2+4y2恒成立，则k的取值范围是．考点：函数单调性的性质；基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由lnx+lny=0得，xy=1，分离出参数k后不等式变为k≤（x+2y）﹣，令m=x+2y，则问题转化为k，由基本不等式可求得m范围，根据y=m﹣的单调性可求得其最小值，从而得到k的取值范围．解答：解：由lnx+lny=0得，xy=1，k（x+2y）≤x2+4y2，即k≤=，令m=x+2y，则k，因为m=x+2y≥2=2，且y=m﹣在[，+∞）上递增，所以m=时，==，所以k，故答案为：．点评：本题考查函数单调性、基本不等式等知识，考查恒成立问题，考查函数思想，转化为函数最值问题是解决恒成立问题的常用方法．三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2013•浙江模拟）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣t．（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，]上有解，求t的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，若t=3，且f（A）=﹣1，b+c=2，求a的最小值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（I）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得2sin（2x+）+1﹣t，结合正弦函数图象与性质，根据f（x）=0在x∈[0，]上有解建立关于t的不等式组，解之即可得到实数t的取值范围；（II）由（I）得到f（A）=2sin（2A+）﹣2=﹣1，结合A是三角形的内角解出A=．结合余弦定理得a2关于b、c的式子，最后利用基本不等式求最值，可得当且仅当b=c=1时，a的最小值为1．解答：解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）∴f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣t=sin2x+cos2x+1﹣t=2（sin2xcos+cos2xsin）+1﹣t=2sin（2x+）+1﹣t当x∈[0，]时，2x+∈[，]，可得﹣≤sin（2x+）≤1∴方程f（x）=0有解，即，解之得0≤t≤3；（II）∵t=3，∴f（x）=2sin（2x+）+1﹣t=2sin（2x+）﹣2可得f（A）=2sin（2A+）﹣2=﹣1，sin（2A+）=∵A是三角形的内角，∴A=根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc∵b+c=2，可得bc≤（）2=1∴a2=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣3=22﹣3=1即当且仅当b=c=1时，a的最小值为1．点评：本题给出三角函数式，探索方程f（x）=0在x∈[0，]上有解时t的取值范围，并依此求三角形的边长的最小值，着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质、余弦定理和基本不等式等知识，属于中档题．19．（14分）（2013•浙江模拟）已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足（n≥2）．（Ⅰ）求证：{}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式4T n＜a2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）由已知可得，，结合等差数列的通项公式可求sn，进而可求a n （II）由==，利用裂项求和可求T n，求出T n 的范围可求a的范围解答：解：（I）∵∴∴∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列∴=n∴∴=n+n﹣1=2n﹣1（n≥2）当n=1时，a1=1也适合∴a n=2n﹣1（II）∵==∴==∴T n∵4T n＜a2﹣a恒成立∴2≤a2﹣a，解得a≥2或a≤﹣1点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用．（2013•浙江模拟）四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD=120°，（14分）20．PA=AB，G、F分别是线段CE、PB的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角F﹣CD﹣G的正切值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）连接BD与CE交于点G′，利用平行线分线段成比例定理可证明G′与点G重合．同理证明FG∥PD，利用线面平行的判定定理即可证明结论；（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量即可得出二面角的平面角．解答：证明：（I）连接BD与CE交于点G′，∵E为AD的中点，ABCE为菱形，∴，得到G′为线段CE的中点，故G′与点G重合．∵，∴FG∥PD，又∵FG⊄平面PDC，PD⊂平面PDC．∴FG∥平面PDC．（II）不妨设AB=2，则P （0，0，2），B，F，C，D（0，4，0）．∴，．设平面CDF的法向量为，则，令x=，则y=1，z=3，∴．取作为平面GCD的法向量，则==，即为二面角的余弦值．设二面角的平面角为θ，则，=，∴tanθ=．∴二面角F﹣CD﹣G的正切值为．点评：熟练掌握平行线分线段成比例定理、菱形的性质、线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量得出二面角的平面角的方法是解题的关键．21．（15分）（2013•浙江模拟）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=x2+mx，h（x）=e x﹣1，若在（0，+∞）上至少存在一点x0，使得g（x0）＞h（x0）成立，求m的范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）可求得f′（x），令f′（x）＞0可求得其单调递增区间，由f′（x）＜0可求得其单调递减区间；（Ⅱ）依题意，m＞（x＞0）有解，构造函数φ（x）=（x＞0），问题转化为m＞φ（x）min即可，利用φ′（x）可求得φ（x）min，从而可得m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=，∴由f′（x）＞0得：0＜x＜2；由f′（x）＜0得：x＜0或x＞2；∴f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增；（Ⅱ）在（0，+∞）上至少存在一点x0，使得g（x0）＞h（x0）成立，即不等式g（x）＞h（x）在（0，+∞）有解，即：m＞（x＞0）有解，记φ（x）=（x＞0），则m＞φ（x）min，φ′（x）==，令t（x）=e x﹣x﹣1，t′（x）=e x﹣1，∵x＞0，∴e x＞1，∴t′（x）＞0，∴t（x）＞t（0）=0，∴φ（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴φ（x）min=φ（1）=e﹣2，∴m的取值范围是（e﹣2，+∞）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查构造函数思想及分析运算能力，属于难题．22．（15分）（2013•浙江模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|=4．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设点A（x1，y1），B（x2，y2）（y i≤0，i=1，2）是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB的面积最大时直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）根据抛物线的定义，利用|PF|=4，求得P即可；（II）根据条件判定直线PA、PB的斜率关系，求出直线AB的斜率，再设出直线AB的方程，根据三角形PAB面积最大时的条件，求出三角形PAB面积的最大值，及最大值时直线AB的方程．解答：解：（I）∵|PF|=4，∴x P+=4，∴P点的坐标是（4﹣，4），∴有16=2P（4﹣）⇒P=4，∴抛物线方程是y2=8x．（II）由（I）知点P的坐标为（2，4），∵∠APB的角平分线与x轴垂直，∴PA、PB的倾斜角互补，即PA、PB的斜率互为相反数，设PA的斜率为k，则PA：y﹣4=k（x﹣2），k≠0⇒，方程的解为4、y1，由韦达定理得：y1+4=，即y1=﹣4，同理y2=﹣﹣4，k AB===﹣1，设AB：y=﹣x+b，⇒y2+8y﹣8b=0，由韦达定理得：y1+y2=﹣8，y1y2=﹣8b，|AB|=|y1﹣y2|=8，点P到直线AB的距离d=，S△ABP=2×，设b+2=t则（b+2）（b2﹣12b+36）=t3﹣32t﹣64﹣（3t﹣8）（t﹣8），∵△=64+32b＞0⇒b＞﹣2，y1•y2=﹣8b≥0⇒b≤0，∴﹣2＜b≤0，设t=b+2∈（0，2]，则（b+2）（b2﹣12b+36）=t3﹣16t2+64t=f（t），f′（t）=3t2﹣32t﹣64=（3t﹣8）（t﹣8），由t∈（0，2]知f′（t）＞0，∴f（t）在（0，2]上为增函数，∴f（t）最大=f（2）=72，∴△PAB的面积的最大值为2×=24，此时b=0，直线AB的方程为x+y=0．点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系及抛物线的标准方程．。
2013年浙江省宁波市五校联考提前招生数学模拟试卷及参考答案(二)
2013年浙江省宁波市五校联考提前招生数学模拟试卷（二）一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分.）1．（5分）设a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则代数式+的值为（）A．5B．7C．9D．112．（5分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为P0，P1，P2，P3，则P0，P1，P2，P3中最大的是（）A．P0B．P1C．P2D．P33．（5分）设正整数a、m、n满足＝﹣，则这样的a、m、n的取值（）A．有一组B．有二组C．多于二组D．不存在4．（5分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1B．5：3：1C．25：12：5D．51：24：10 5．（5分）黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+ab，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）A．2012B．101C．100D．996．（5分）如果关于x的方程x2﹣px﹣q＝0（p，q是正整数）的正根小于3，那么这样的方程个数是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）7．（5分）a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8＝0，a2b+ab2﹣15＝0，则（a﹣b）2＝．8．（5分）已知：定点A（3，2），动点M在函数y＝x的图象上运动，动点N在x轴上运动，则△AMN的周长的最小值为．9．（5分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝a，CA＝b，且∠A﹣∠B＝90°．则⊙O的半径为．10．（5分）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R．则R的最小值是．11．（5分）如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝10cm2，S△BQC＝20cm2，则阴影部分的面积为．12．（5分）如果正数x、y、z可以是一个三角形的三边长，那么称（x，y，z）是三角形数．若（a，b，c）和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是．三、解答题（共4小题，每小题15分，共60分.）13．（15分）如图所示，在平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）、点B（4，0），以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点C．（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D，使四边形BOCD为直角梯形，求直线BD的解析式．14．（15分）如图，正方形BCEF的中心为O，△CBO的外接圆上有一点A（A、O在BC 同侧，A、C在BO异侧），且AB＝2，AO＝4．（1）求∠CAO的值；（2）求tan∠ACB的值；（3）求正方形BCEF的面积．15．（15分）已知质数p、q使得表达式及都是自然数，试确定p2q的值．16．（15分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2）．（1）若a＝1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B，C，且△ABC为等边三角形，求b的值；（2）若abc＝4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值．2013年浙江省宁波市五校联考提前招生数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分.）1．【解答】解：根据题意有：a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，所以a，b是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，故a+b＝3，ab＝1因此+＝＝＝＝7故选：B．2．【解答】解：根据题意画出树状图如下：一共有36种情况，两个数字之和除以4：和为4、8、12时余数是0，共有9种情况，和是5、9时余数是1，共有8种情况，和是2、6、10时余数是2，共有9种情况，和是3、7、11时余数是3，共有10种情况，所以，余数为0的有9个，P0＝＝；余数为1的有8个，P1＝＝；余数为2的有9个，P2＝＝；余数为3的有10个，P3＝＝．可见，＞＞；∴P1＜P0＝P2＜P3．故选：D．3．【解答】解：∵4＝1×2×2×＝2×2×＝2×1×2，∵＝﹣，∴a2﹣4＝m+n﹣2，∴m+n＝a2，＝，∵a、m、n为正整数，∵8＝1×8＝2×4，∴①若8＝1×8则a2＝m+n＝9，∴a＝3满足，又m＞n，∴m＝8，n＝1，a＝3；②若8＝2×4，则a2＝m+n＝6，∴a＝，不满足题意；∴这样的a、m、n的取值有一组，故选：A．4．【解答】解：连接EM，CE：CD＝CM：CA＝1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME＝BD：BE＝3：5，ME：AD＝CM：AC＝1：3∴AH＝（3﹣）ME，∴AH：ME＝12：5∴HG：GM＝AH：EM＝12：5设GM＝5k，GH＝12k，∵BH：HM＝3：2＝BH：17k∴BH＝K，∴BH：HG：GM＝k：12k：5k＝51：24：10故选：D．5．【解答】解：∵a+b+ab+1＝（a+1）（b+1），∴每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变，设经过99次操作后，黑板上剩下的数为x，则x+1＝（1+1）×（+1）×（+1）×（+1）×…×（+1）×（1+），化简得：x+1＝101，解得：x＝100，∴经过99次操作后，黑板上剩下的数是100．故选：C．6．【解答】解：设f（x）＝x2﹣px﹣q（p，q是正整数），画出函数f（x）的图象：观察图得：∵f（0）＝﹣q＜0，f（3）＝9﹣3p﹣q＞0，∴3p+q＜9，又p，q∈N*，∴当p＝1时，q＝1，2，3，4，5．当p＝2时，q＝1，2．故这样的方程个数是7个．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）7．【解答】解：∵a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8＝0，a2b+ab2﹣15＝0，∴ab+（a+b）＝8，ab•（a+b）＝15，∴ab、a+b是方程x2﹣8x+15＝0，即（x﹣3）（x﹣5）＝0的两个根，∴x＝3或x＝5；①当ab＝3，a+b＝5时，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝25﹣12＝13，即（a﹣b）2＝13；②当ab＝5，a+b＝3时，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣20＝﹣11＜0，即（a﹣b）2＜0，不合题意；综上所述，（a﹣b）2＝13；故答案是：13．8．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：定点A（3，2），关于函数y＝x的对称点A′（2，3），A关于x轴的对称点A′′（3，﹣2），A′A′′＝＝．故答案为：9．【解答】解：作直径BD，连接AD，CD，则∠DAB＝∠DCB＝90°，∵∠CAB﹣∠ABC＝90°，∠CAB﹣∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠ABC，∴＝，∴CD＝AC＝b，∵BC＝a，∴BD＝＝，∴⊙O的半径为：．故答案为：．10．【解答】解：分两种情况：①如果△ABC是锐角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆必然是△ABC的外接圆，连接BO，并延长交△ABC的外接圆O于点E，并连接AE，则∠ACB＝∠AEB，∵∠BAE＝∠ADC＝90°，∴△BAE∽△ADC，∴，即＝＝，又∵BE是⊙O的直径，∴BO＝BE＝；②如果△ABC是钝角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆为最长边AB的一半，故R＝＝7.5．故答案为：7.5或．11．【解答】解：连接E、F两点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，∴S△EFC＝S△BCF，∴S△EFQ＝S△BCQ，同理：S△EFD＝S△ADF，∴S△EFP＝S△ADP，∵S△APD＝10cm2，S△BQC＝20cm2，∴S四边形EPFQ＝30cm2，故阴影部分的面积为30cm2．12．【解答】解：方法一、∵（a，b，c）为三角形数，∴a+b＞c．∴b＞c﹣a，∴，∵为三角形数，∴，∴，∴，两边同时乘以a（a＞0），得，，即，化简得，a2﹣3ac+c2＜0，两边除以c2得，，∴∵a≤b≤c，∴，∴；故答案为：＜≤1．方法二、设，∵（a，b，c）为三角形数，∴a+b＞c，∴b＞c﹣a，∴b＞（1﹣k）c，∴，∵为三角形数，∴，∴，∴，化简得，k2﹣3k+1＜0，解得，∵a≤b≤c，∴k≤1，∴，故答案为：．三、解答题（共4小题，每小题15分，共60分.）13．【解答】解：（1）如图，连结AC，CB．依相交弦定理的推论可得：OC2＝OA•OB，即OC2＝1×4＝4，解得：OC＝2或﹣2（负数舍去），故C点的坐标为（0，2）；（2）解法一：设抛物线解析式是y＝ax2+bx+c（a≠0）．把A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点坐标代入上式得：，解之得：，故抛物线解析式是．解法二：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把点C（0，2）的坐标代入上式得：．故抛物线解析式是．（3）解法一：如图，过点C作CD∥OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形．设点D的坐标是（x，2）代入抛物线解析式整理得：x2﹣3x＝0，解之得x1＝0，x2＝3．∴故点D的坐标为（3，2）设过点B、点D的解析式为：y＝kx+b，把点B（4，0），点D（3，2）的坐标代入上式得：解之得：，故直线BD的解析式为y＝﹣2x+8，解法二：如图，过点C作CD∥OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形．由（2）知抛物线的对称轴是，故过D的坐标为（3，2），设过点B、点D的解析式为：y＝kx+b，把点B（4，0），点D（3，2）的坐标代入上式得：解之得：，故直线BD的解析式为y＝﹣2x+8，14．【解答】解：（1）∠CAO＝∠CBO＝45°；（2）作BH⊥OA，交OA的延长线于H，则∠BAH＝45°∴AH＝2，BH＝2∴tan∠BOH＝＝又∠ACB＝∠BOH∴tan∠ACB＝．（3）∵tan∠ACB＝，又AB＝2∴AC＝6∴BC2＝80∴正方形BCEF的面积是80．15．【解答】解：先设p≥q，则有1≤＝2×﹣＜2，于是只能＝1，即p＝2q ﹣3，而这时＝＝4﹣，要使为自然数，只能q＝5，从而p＝7，再设p＜q，这时1≤＝2×+＜3，于是有下面两种情况：①＝1，q＝2p+1，此时＝，解得p＝1，不合题意；②＝2，2p+1＝2q，左边为奇数，右边为偶数，矛盾．故p2q＝72×5＝245．故答案为：245．16．【解答】解：（1）由题意，a+b+c＝2，∵a＝1，∴b+c＝1抛物线顶点为A（﹣，c﹣）设B（x1，0），C（x2，0），∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，△＝b2﹣4c＞0∴|BC|＝|x1﹣x2|＝＝＝∵△ABC为等边三角形，∴﹣c＝即b2﹣4c＝2•，∵b2﹣4c＞0，∴＝2，∵c＝1﹣b，∴b2+4b﹣16＝0，b＝﹣2±2所求b值为﹣2±2．（2）∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a+b+c＜0，与a+b+c＝2矛盾．∴a＞0．∵b+c＝2﹣a，bc＝∴b，c是一元二次方程x2﹣（2﹣a）x+＝0的两实根．∴△＝（2﹣a）2﹣4×≥0，∴a3﹣4a2+4a﹣16≥0，即（a2+4）（a﹣4）≥0，故a≥4．∵abc＞0，∴a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，∵a≥4，与a+b+c＝2矛盾；②若a，b，c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0，则|a|+|b|+|c|＝a﹣b﹣c＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，∵a≥4，故2a﹣2≥6当a＝4，b＝c＝﹣1时，满足题设条件且使不等式等号成立．故|a|+|b|+|c|的最小值为6．。
辽宁省五校协作体2013届高三数学第二次模拟考试试题 理(含解析)新人教A版
2013年某某省五校协作体高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2013•某某二模）已知全集U=R，M={x|x＜0或x＞2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}考点：Venn图表达集合的关系及运算．分析：阴影部分为∁U M∩N，所以只需解出集合N，在进行集合运算即可．解答：解：阴影部分为∁U M∩N，而N={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，∁U M={x|0≤x≤2}，∴∁U M∩N={x|1＜x≤2}，故选C．点评：本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键．2．（5分）（2013•某某二模）函数y=2a x﹣1（0＜a＜1）的图象一定过点（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，0）D．（2，﹣1）考点：指数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数图象平移的特点，由函数y=a x（0＜a＜1）的图象经两次变换得到y=2a x﹣1（0＜a＜1）的图象，而函数y=a x（0＜a＜1）的图象一定经过点（0，1），则函数y=2a x﹣1（0＜a＜1）的图象经过的定点即可得到．解答：解：因为函数y=a x（0＜a＜1）的图象一定经过点（0，1），而函数y=2a x﹣1（0＜a＜1）的图象是由y=a x（0＜a＜1）的图象向右平移1个单位，然后把函数y=a x﹣1（0＜a＜1）的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍得到的，所以函数y=2a x﹣1（0＜a＜1）的图象一定过点（1，2）．故选B．点评：本题考查了指数函数的图象，考查了函数图象平移变换和伸缩变换，属基础题型．3．（5分）（2013•某某二模）点P0（x0，y0）是曲线y=3lnx+x+k（k∈R）图象上一个定点，过点P0的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则实数k的值为（）A．2B．﹣2 C．﹣1 D．﹣4考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出曲线的导函数，把x=x0代入即可得到切线的斜率，然后根据过点P0的切线方程为4x﹣y﹣1=0得出切线的斜率从而求出切点的坐标，最后将切点的坐标代入曲线方程即可求出实数k的值．解答：解：由函数y=3lnx+x+k知y′=3×+1=+1，把x=x0代入y′得到切线的斜率k=+1，因切线方程为：4x﹣y﹣1=0，∴k=4，∴+1=4，得x0=1，把x0=1代入切线方程得切点坐标为（1，3），再将切点坐标（1，3）代入曲线y=3lnx+x+k，得3=3ln1+1+k，∴k=2．故选A．点评：本题主要考查学生根据曲线的导函数求切线的斜率，利用切点和斜率写出切线的方程．属于中档题．4．（5分）（2013•某某二模）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．B．y=2x C．y=x D．y=﹣x3考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据奇函数在x=0处函数值为0，得A项不是奇函数，不符合题意；根据指数函数的单调性，得y=2x 是R上的增函数，不符合题意；根据函数y=x是R上的增函数，得C项不符合题意；由此可得只有D项符合题意，再利用单调性和奇偶性的定义加以证明即可．解答：解：对于A，因为函数当x=0时，y=sin（﹣）≠0所以不是奇函数，故A项不符合题意；对于B，因为2＞1，所以指数函数y=2x是R上的增函数，不满足在其定义域内是减函数，故B项不符合题意；对于C，显然函数y=x是R上的增函数，故C项也不符合题意；对于D，设f（x）=﹣x3，可得f（﹣x）=﹣（﹣x）3=x3=﹣f（x），因此函数y=﹣x3是奇函数，又因为f′（x）=﹣2x2≤0恒成立，可得y=﹣x3是其定义域内的减函数∴函数y=﹣x3是其定义域内的奇函数且是减函数，故D项符合题意故选：D点评：本题给出定义在R上的几个函数，要我们找出其中的奇函数且是减函数的函数，着重考查了基本初等函数的单调性与奇偶性及其判断方法的知识，属于基础题．5．（5分）（2013•某某二模）有下列说法：（1）“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；（2）“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；（3）“p∨q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件；（4）“￢p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．专题：规律型．分析：由复合命题的真假规律，结合充要条件的定义，逐个验证可得答案．解答：解：选项（1）“p∧q”为真，说明p，q同为真，故能推出“p∨q”为真，而“p∨q”为真，说明p，q中至少一个为真，故不能推出“p∧q”为真，故前者是后者的充分不必要条件，故正确；选项（2）“p∧q”为假，说明p，q中至少一个为假，故不能推出p∨q为真，p∨q为真也不能推出“p∧q”为假，故前者是后者的既不充分也不必要条件，故错误；选项（3）p∨q为真，说明p，q中至少一个为真，不能推出“￢p”为假，“￢p”为假，则p为真，足以推出p∨q为真，故前者是后者的必要不充分条件，故正确；选项（4）“￢p”为真，则p为假，可推出“p∧q”为假，而只要满足q假，p无论真假，都有“p∧q”为假，故“p∧q”为假不能推出“￢p”为真，故错误．综上可得选项（1）（3）正确，故选B．点评：此题主要考查¬p、必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．6．（5分）（2013•某某二模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则B=（）A．45°或135°B．175°C．45°D．以上答案都不对考点：解三角形；正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理可得sinB=，再由由大边对大角可得B的值．解答：解：由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得B=45°．故选C．点评：本题考查余弦定理的应用，大边对大角，属于中档题．7．（5分）（2013•某某二模）=（）其中．A．s inθ﹣cosθB．c osθ﹣sinθC．±（sinθ﹣cosθ）D．s inθ+cosθ考点：二倍角的正弦；三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：原式被开方数第二项利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的化简公式化简，再利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．解答：解：∵θ∈（，π），∴sinθ＞0，cosθ＜0，sinθ﹣cosθ＞0，∴原式===|sinθ﹣cosθ|=sinθ﹣cosθ．故选A点评：此题考查了诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角函数值的符号，熟练掌握公式是解本题的关键．8．（5分）（2013•某某二模）设映射f：x→﹣x2+2x﹣1是集合A={x|x＞2}到集合B=R的映射．若对于实数p∈B，在A中不存在对应的元素，则实数p的取值X围是（）A．（1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1]考点：映射．专题：计算题．分析：先根据映射的定义得出关于x的二次函数关系，将二次函数式进行配方，求出二次函数的值域，然后求出值域的补集即为p的取值X围．解答：解：∵当x＞2时，y=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2≤﹣1，∴函数的值域为（﹣∞，﹣1]，∵对于实数p∈B，在集合A中不存在原象，∴p＞﹣1．故选B．点评：本题主要考查了映射，以及利用配方法求二次函数的值域，属于基础题．9．（5分）（2013•某某二模）使函数为增函数的区间是（）A．B．C．D．考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用正弦函数的单调性先求出函数f（x）的单调区间，进而即可得出答案．解答：解：∵，由，解得，（k∈Z）．∴函数f（x）的单调递增区间为．令k=0，则，满足．故选C．点评：熟练掌握正弦函数的单调性是解题的关键．10．（5分）（2013•某某二模）若f（x）=（m﹣2）x2+mx+（2m+1）=0的两个零点分别在区间（﹣1，0）和区间（1，2）内，则m的取值X围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（，）D．[，]考点：函数零点的判定定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：根据函数f（x）=（m﹣2）x2+mx+（2m+1）=0有两个零点，我们易得函数为二次函数，即m﹣2≠0，又由两个零点分别在区间（﹣1，0）和区间（1，2）内，根据零点存在定理，我们易得：f（﹣1）•f（0）＜0且f（1）•f（2）＜0，由此我们易构造一个关于参数m的不等式组，解不等式组即可求出答案．解答：解：∵f（x）=（m﹣2）x2+mx+（2m+1）=0有两个零点且分别在区间（﹣1，0）和区间（1，2）内∴∴∴＜m＜故选：C点评：本题考查的知识点是函数零点的求法及零点存在定理，其中连续函数在区间（a，b）满足f（a）•f （b）＜0，则函数在区间（a，b）有零点，是判断函数零点存在最常用的方法．11．（5分）（2013•某某二模）定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶行列式与逆矩阵．专题：计算题；新定义；三角函数的图像与性质．分析：由定义的行列式计算得到函数f（x）的解析式，化简后得到y=f（x+m）的解析式，由函数y=f（x+m）是奇函数，则x取0时对应的函数值等于0，由此求出m的值，进一步得到m的最小值．解答：解：由定义的行列式运算，得====．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为．由该函数为奇函数，得，所以，则m=．当k=0时，m有最小值．故选C．点评：本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．12．（5分）（2013•某某二模）设f（x）是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞）上为增函数，且f（）＞0，则不等式f（）＞0的解集为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（，1）∪（2，+∞）D．（0，）∪（2，+∞）考点：奇偶性与单调性的综合；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：根据题意，由f（）＞0可得，从而可得不等式f（）＞0的解集．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x）=f（|x|），又f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（）＞0，∴由f（）＞0，可得，即，∴；故选D．点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，难点在于对偶函数f（x）=f（|x|）的深刻理解与应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）（2013•某某二模）函数的定义域为．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：要使函数有意义，则必须满足，利用对数函数的单调性和一元二次不等式的解法即可得出．解答：解：要使函数有意义，则必须满足化为0＜4x2﹣3x≤1，解得或．故函数的定义域为．故答案为．点评：熟练掌握根式函数的定义域、对数函数的单调性、一元二次不等式的解法设解题的关键．14．（5分）（2013•某某二模）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集为[﹣1，1]．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；分类讨论．分析：分x小于等于0和x大于0两种情况根据分段函数分别得到f（x）的解析式，把得到的f（x）的解析式分别代入不等式得到两个一元二次不等式，分别求出各自的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集．解答：解：当x≤0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2≥x2，即（x﹣2）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤2，所以原不等式的解集为[﹣1，0]；当x＞0时，f（x）=﹣x+2，代入不等式得：﹣x+2≥x2，即（x+2）（x﹣1）≤0，解得﹣2≤x≤1，所以原不等式的解集为[0，1]，综上，原不等式的解集为[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]点评：此题考查了不等式的解法，考查了转化思想和分类讨论的思想，是一道基础题．15．（5分）（2013•某某二模）给出下列命题：①存在实数x，使；②若α、β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；③函数是偶函数；④A、B、C为锐角△ABC的三个内角，则sinA＞cosB其中正确命题的序号是③④．（把正确命题的序号都填上）考点：两角和与差的正弦函数；复合命题的真假；全称量词；命题的真假判断与应用；诱导公式的作用．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的三角函数判断①的正误；利用函数的单调性与函数的区间判断②的正误；通过诱导公式以及函数的奇偶性判断③的正误；利用三角函数的单调性与诱导公式判断④的正误．解答：解：①因为，所以存在实数x，使；不成立．②若α、β是第一象限角，且α＞β，因为y=cosx在x时，函数是减函数，则cosα＜cosβ，但是α＞β不在一个单调区间时，可能cosα＞cosβ；所以②不正确；③因为，所以函数是偶函数；正确．④A、B、C为锐角△ABC的三个内角，因为A+B，所以A，所以sinA＞sin（）=cosB，即sinA＞cosB，所以④正确．正确命题是③④．故答案为：③④．点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的单调性与函数的奇偶性的应用，命题的真假的判断，基本知识的应用．16．（5分）（2013•某某二模）函数y=x2与函数y2=x的图象围成的封闭图形的面积为．考点：定积分．专题：常规题型．分析：联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2与y2=x 所围成的图形的面积．解答：解：先将y2=x化成：y=，联立的：因为x≥0，所以解得x=0或x=1所以曲线y=x2与 y=所围成的图形的面积S=∫01（﹣x2）dx=x ﹣x3|01=．故答案为：．点评：让学生理解定积分在求面积中的应用，会求一个函数的定积分．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤.17．（10分）（2013•某某二模）风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记做A、B、P、Q，欲测量P、Q 两棵树和A、P两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现在可以方便的测得A、B两点间的距离为AB=100米，如图，同时也能测量出∠PAB=75°，∠QAB=45°，∠PBA=60°，∠QBA=90°，则P、Q两棵树和A、P两棵树之间的距离各为多少？考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：在三角形PAB中，由内角和定理求出∠APB的度数，由sin∠APB，sin∠ABC，以及AB的长，利用正弦定理求出AP的长即可；在三角形QAB中，由∠ABQ为直角，∠CAB为45度，得到三角形QAB为等腰直角三角形，根据AB求出AQ的长，∠PAQ的度数，利用余弦定理即可求出PQ的长．解答：解：在△PAB中，∠APB=180°﹣（75°+60°）=45°，由正弦定理得：=，得到AP=50（米）；在△QAB中，∠ABQ=90°，∠CAB=45°，AB=100米，∴AQ=100米，∠PAQ=75°﹣45°=30°，由余弦定理得：PQ2=（50）2+（100）2﹣2×50×100cos30°=5000，解得：PQ=50，答：P、Q两颗树之间的距离为50米，A、P两颗树之间的距离为50米．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（12分）（2013•某某二模）在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（cosA，sinA），=（），若||=2．（1）求角A的大小；（2）若的面积．考点：余弦定理的应用．专题：综合题．分析：（1）先根据向量模的运算表示出，然后化简成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，再根据正弦函数的性质和||=2可求出A的值．（2）先根据余弦定理求出a，c的值，再由三角形面积公式可得到最后答案．解答：解：（Ⅰ）∵∴===∵∴又∵0＜A＜π∴∴，∴（Ⅱ）由余弦定理，，即∴c=8∴点评：本题主要考查向量的求模运算、余弦定理和三角形面积公式的应用．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．19．（12分）（2008•某某）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；实际问题中导数的意义．专题：计算题；应用题．分析：先设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，根据题意写出综合费f（x）关于x的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而得出它的最小值即可．解答：解：设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则（x≥10，x∈Z+），令f'（x）=0得x=15当x＞15时，f'（x）＞0；当0＜x＜15时，f'（x）＜0因此当x=15时，f（x）取最小值f（15）=2000；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．20．（12分）（2013•某某二模）已知函数f（x）=﹣2sinxcosx+2cos2x+1（1）设方程f（x）﹣1=0在（0，π）内有两个零点x1，x2，求x1+x2的值；（2）若把函数y=f（x）的图象向左移动m（m＞0）个单位，再向下平移2个单位，使所得函数的图象关于y轴对称，求m的最小值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）把给出的函数解析式降幂后化积，由f（x）﹣1=0求出在（0，π）内的两个根，则x1+x2的值可求；（2）利用函数图象的平移变换得到平移后图象所对应的函数解析式，由平移后的函数图象关于y轴对称，说明平移后的图象对应的函数为偶函数，由此得到m的值，由m＞0求出m的最小值．解答：解：（1）由题设f（x）=﹣sin2x+1+cos2x+1=．∵f（x）﹣1=0，∴，∴，则或，得或，k∈Z，∵x∈（0，π），∴，∴；（2）由函数y=f（x）的图象向左移动m（m＞0）个单位，再向下平移2个单位，所得图象对应的函数解析式为，g（x）==．要使y=g（x）的图象关于y轴对称，则函数g（x）为偶函数，需使，k∈Z，∴，k∈Z，∵m＞0，∴当k=1时，m取最小值为．点评：本题考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，是中档题．21．（12分）（2013•某某二模）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据（1）写出函数f（x）（x∈R）的增区间；（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．考点：函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，由图象可得f（x）的单调递增区间；（2）令x＞0，则﹣x＜0，根据条件可得f（﹣x）=x2﹣2x，利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x，从而可得函数f（x）的解析式；（3）先求出抛物线对称轴x=a﹣1，然后分当a﹣1≤1时，当1＜a﹣1≤2时，当a﹣1＞2时三种情况，根据二次函数的增减性解答．解答：解：（1）如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，（2分），则f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）；（5分）（2）令x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=x2﹣2x∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x∴解析式为f（x）=（10分）（3）g（x）=x2﹣2x﹣2ax+2，对称轴为x=a+1，当a+1≤1时，g（1）=1﹣2a为最小；当1＜a+1≤2时，g（a+1）=﹣a2﹣2a+1为最小；当a+1＞2时，g（2）=2﹣4a为最小；∴g（x）=．（16分）点评：本题考查函数图象的作法，考查函数解析式的确定与函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（12分）（2013•某某二模）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）已知函数h（x）=g（x）+ax3的一个极值点为1，求a的取值；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，某某数a的取值X围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用1是h（x）的极值点，可得h′（1）=﹣2+a+3a=0，解得a．再验证a的值是否满足h（x）取得的极值的条件即可．（2）利用导数的运算法则即可得到f′（x），分与讨论，利用单调性即可得f（x）的最小值；（3）由2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则a，设h（x）=（x＞0）．对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立⇔a≤h（x）min，利用导数求出h（x）的最小值即可．解答：解：（1）∵h（x）=﹣x2+ax﹣3+ax3，∴h′（x）=﹣2x+a+3ax2，∵1是h（x）的极值点，∴h′（1）=﹣2+a+3a=0，解得a=．经验证满足h（x）取得的极值的条件．（2）∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得．当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．①无解；②，即，．③，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；∴f（x）min=．（3）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则a，设h（x）=（x＞0），则，令h′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴h（x）在（0，1）上单调递减；令h′（x）＞0，解得1＜x，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值．∴h（x）≥h（1）=4．∵对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，∴a≤h（x）min=4．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化为等基础知识于基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．。
辽宁省五校协作体2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题
辽宁省五校协作体2013届高三第二次联合模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（理）已知全集U =R ，{|0M x x =<或2}x >，2{|430}N x x x =-+<，则图中阴影部分所表示的集合是( )A. {|01}x x ≤<B. {|02}x x ≤≤C. {|12}x x <≤D. {|2}x x <2.函数1201x y a a -=<<（）的图象一定过点（ ）A. （1,1）B. （1,2）C. （2,0）D. （2,-1）3.（理）点000(,)P x y 是曲线3ln y x x k =++()k R ∈图象上一个定点，过点0P 的切线方程为410x y --=，则实数k 的值为（ ）A. 2B. 2-C. 1-D. 4-4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. sin()6y x π=-B. 2x y =C. x y =D. 3x y -= 5.有下列说法：（1）“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件；（2）“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件；（3）“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件；（4）“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要不充分条件。
其中正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.在ABC ∆中，,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边,设60,A a ==b =，则B = ( ) A. 45或135 B. 0135 C. 45 D. 以上都不对7.=（ ）其中,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A. sin θ－cos θB. cos θ－sin θC. ±（sin θ－cos θ）D. sin θ+cos θ8.设映射2:21f x x x →-+-是集合{}|2A x x =>到集合B R =的映射。
浙江省五校2013届高三下学期第二次(4月)联考数学(理)试题
浙江省五校2013届高三下学期第二次（4月）联考数学（理）试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|sin ,}A y y x x R ==∈，集合{|lg }B x y x ==，则()R C A B =( )A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．[11]-，C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞ 2．已知复数122,34,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为( )A ．83 B ．32 C ．83-D ．32-3．程序框图如图所示，其输出结果是111，则判断框中所填的条件是（ ）A ．5n ≥B ．6n ≥C ．7n ≥D ．8n ≥ 4．设平面α与平面β相交于直线l ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b l ⊥，则“a b ⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5． 设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为nS ，已知14725899,93a a a a a a ++=++=，若对任意*n N ∈都有n k S S ≤成立，则k 的值为（ ）A ．22B ．21C ．20D ．196．设0,1a a >≠且，函数1()log 1ax f x x -=+在(1,)+∞单调递减，则()f x （ ）A ．在(,1)-∞-上单调递减，在(1,1)-上单调递增 B ．在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递减C ．在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递增 D ．在(,1)-∞-上单调递减，在(1,1)-上单调递减7．已知圆O 的半径为2，A B 、是圆上两点且A O B ∠=23π，M N 是一条直径，点C 在圆内且满足(1)O C O A O B λλ=+- (01)λ<<，则CM CN ⋅的最小值为（ ）A ．－2B ．－1C ．－3D ．－48．已知实数x y 、满足1240y x y x y x m y n ≥⎧⎪-≥⎪⎨+≤⎪⎪++≥⎩，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54的直角三角形，则n 的值是 ( )A ．32- B ．－2 C ．2 D ．129．现需编制一个八位的序号，规定如下：序号由4个数字和2个x 、1个y 、1个z 组成；2个x 不能连续出现，且y 在z 的前面；数字在0、1、2、…、9之间任选，可重复，且四个数字之积为8．则符合条件的不同的序号种数有（ ）A ．12600B ．6300C ．5040D ．2520 10．如图，已知抛物线的方程为22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接,BP BQ ，设,Q B BP 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果Q B 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则M B N ∠的大小等于（ ）A ．2πB ．4πC ．23πD ．3π二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知[,],sin 23παπα∈=，则sin 2α＝_______．12．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是全等的矩形，底边长为2，高为3，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是_______． 13．4(1)(2x +-的展开式中2x 项的系数为_______． 14．已知双曲线22221(0,0)xy a b ab-=>>的渐近线与圆22420x y x +-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________．15．已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=，且22(2)4k x y x y +≤+恒成立，则k 的最大值是________．16．设x 为实数，[]x 为不超过实数x 的最大整数，记{}[]x x x =-，则{}x 的取值范围为[0,1)，现定义无穷数列{}n a 如下：{}1a a =，当0n a ≠时，11n n a a +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当0n a =时，10n a +=．当1132a <≤时，对任意的自然数n 都有n a a =，则实数a 的值为 ．17．设函数22()9f x x x ax =---（a 为实数），在区间(,3)-∞-和(3,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为______________．三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）已知向量m =(2sin ,1)x ，n=2,2cos )x x ，函数()f x =m ⋅n t -．(Ⅰ)若方程()0f x =在[0,]2x π∈上有解，求t 的取值范围；(Ⅱ)在ABC ∆中，,,a b c 分别是A ，B ，C 所对的边，当（Ⅰ）中的t 取最大值且()1,2f A b c =-+=时，求a 的最小值．19．（本题满分14分）一个口袋中装有2个白球和n 个红球（2n ≥且n N *∈），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．(Ⅰ) 摸球一次，若中奖概率为13，求n 的值；(Ⅱ) 若3n =，摸球三次，记中奖的次数为ξ，试写出ξ的分布列并求其期望．20．（本题满分14分）已知直角梯形A B C D 中，,,AD D C AD AB C D E ⊥⊥∆是边长为2的等边三角形，5AB =．沿C E 将BC E ∆折起，使B 至'B 处，且'B C D E ⊥；然后再将A D E ∆沿D E 折起，使A 至'A 处，且面'A D E ⊥面C D E ，'B C E ∆和'A D E ∆在面C D E 的同侧．(Ⅰ) 求证：'B C ⊥平面C D E ；(Ⅱ) 求平面''B A D 与平面C D E 所构成的锐二面角的余弦值．21．（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为32，且经过点(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），求AM AN ⋅的值；当A M N ∆为等腰直角三角形时，求直线M N 的方程．22．（本题满分15分）已知函数2(1)(),(0,1]2ax f x x x-=∈-，它的一个极值点是12x =．(Ⅰ) 求a 的值及()f x 的值域；(Ⅱ)设函数()4xg x e x a =+-，试求函数()()()F x g x f x =-的零点的个数．第10 页共10 页金太阳新课标资源网。
浙江省五校联盟2013届高三联考(理科)数学试卷及答案
浙江省五校联盟2013届高三联考理科数学 试题卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么棱柱的体积公式P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式棱台的体积公式S = 4πR 2)2211(31S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1, S 2分别表示棱台的上.下底面积, h 表示棱台 V =34πR 3的高 其中R 表示球的半径第I 卷(选择题 共50分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若集合{}}{R x x y y N R t x x M t∈==∈==-,sin ,,2，则M N ⋂=（ ▲ ）A ．(]0,1B ．[)1,0-C ．[]1,1-D ．∅ 2、复数123,1z i z i =+=-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于 （ ▲ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、若某程序框图如图所示，则输出的p 的值是 （ ▲ ） A ．22 B ． 27 C ． 31 D ． 564、已知a ∈R ，则“2a <”是“|2|||x x a -+>恒成立”的 （ ▲ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5、已知两个不重合的平面,αβ，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②,l m 是α内的两条直线，且//,//l m ββ；③,l m 是两条异面直线，且//,//,//,//l l m m αβαβ；其中可以判定//αβ的是（ ▲ ）A ．①B ．②C ．①③D ．③6、若函数)0(cos sin )(≠+=ωωωx x x f 对任意实数x 都有)6()6(x f x f -=+ππ，则)3(ωππ-f 的值等于（ ▲ ）A ．1-B ．1C ．2 D ．2-7、对函数112)(2---=x x f x 的零点个数判断正确的是（ ▲ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个8、在平面直角坐标系中，不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+a x y x y x 00a (为常数)表示的平面区域的面积为8，则32+++x y x 的最小值为（ ▲ ） A ．1028- B ．246- C ．245-D ．32 9、已知P 为抛物线x y 42=上一个动点，Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和最小值是 （ ▲ ）A ．171+B ．172-C ．25+D ．171- 10、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数和原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数是奇和数。
2013年湖州市5校联考九年级二模数学卷(附答题卷及评分标准)
九年级数学试题卷2013.05 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 题号 一二 三 总分 1-10 11-16 17 18 19 20 21 22 23 24 得分温馨提示：同学们，请仔细审题，细心答题，相信自己，祝你取得理想的成绩！参考公式：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为)44,2(2ab ac a b -- 一、选择题（每题3分，共30分）1．下列运算正确的是 （ ）A ．x+2x=x 2B ．x 2÷x=xC ．(1+x)2=1+x 2D ．(xy)2=xy 2. 2．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 3．下列函数中，当．x>0．．．时．，y 随x 的增大而减小的是 （ ） A.y=x B.y=x 1 C.y=x1- D.y=x 24．已知等腰三角形一边的长为3，另一边的长为5，那么它的周长是 （ ） A. 8 B.11 C.13 D.11或135.据报载：截至4月21日15时，四川芦山地震遇难人数升至186人，11393人受伤，累计造成150余万人受灾，目前灾难造成的经济损失仍在不断统计中。
其中，150万用科学计数法可以表示为（ ）A. 150⨯104B. 15⨯105C. 1.5⨯106D. 1.5⨯107６.两圆的圆心距为4，两圆的半径分别是方程0342=+-x x 的两个根，则两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．外离C ．内含D ．外切7．一天，亮亮发烧了，早晨．．他烧得很厉害，吃过药后．．．．感觉好多了，中午．．时亮亮的体温基本正常，但是下午．．他的体温又开始上升，直到半夜．．亮亮才感觉身上不那么发烫了．下面各图能基本上反映出亮亮这一天（0时—24时）体温的变化情况的是 （ ）8．为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名．．同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下（单位：个）：33 25 28 26 25 31．如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家总共．．丢弃塑料袋的数量约为（ ） A.900个B.1080个C.1260个D.1800个9．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如二进制数（1101），将它转换成十进制形式的数是1×23+1×22+0×21+1×20=13， 那么将二进制数（1111）转换成十进制形式的数是 ( )A ．8B ．15C ．20D ．30 10. 已知a, b, c 均为正数，且k ba ca cbc b a =+=+=+，则下列四个点中，在正比例函数y=kx 图象上的点的坐标是（ ）A.)21,1( B.)2,1( C.)21,1(- D. )1,1(-二、填空题（每题4分，共24分）11. 计算：-1+3= 12. 分解因式：=-822x13. 2012年9月17日，央视电视台报道：中国学者发现1895年日政府就知道钓鱼岛是中国的。
数学理卷·2013届浙江省五校联盟高三下学期第二次联考(2013.04)纯word版
2012学年浙江省五校联考数学（理科）试题卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|sin ,}A y y x x R ==∈，集合{|lg }B x y x ==，则()RC A B =I ( )A ．(,1)(1,)-∞-+∞UB ．[11]-， C ．(1,)+∞ D ．[1,)+∞ 2．已知复数122,34,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为( )A ．83B ．32C ．83-D ． 32-3．程序框图如图所示，其输出结果是111，则判断框中所填的条件是（ ）A ．5n ≥B ．6n ≥C ．7n ≥D ．8n ≥ 4．设平面α与平面β相交于直线l ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b l ⊥，则“a b ⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5． 设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为nS ，已知14725899,93a a a a a a ++=++=，若对任意*n N ∈都有n kS S ≤成立，则k 的值为（ ）A ．22B ．21C ．20D ．196．设0,1a a >≠且，函数1()log 1ax f x x -=+在(1,)+∞单调递减，则()f x （ ）A ．在(,1)-∞-上单调递减，在(1,1)-上单调递增B ．在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递减C ．在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递增D ．在(,1)-∞-上单调递减，在(1,1)-上单调递减7．已知圆O 的半径为2，A B 、是圆上两点且AOB ∠=23π，MN 是一条直径，点C 在圆内且满足(1)OC OA OB λλ=+-u u u r u u u r u u u r (01)λ<<，则CM CN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为（ ） A ．－2 B ．－1C ．－3D ．－48．已知实数x y 、满足01240y x y x y x my n ≥⎧⎪-≥⎪⎨+≤⎪⎪++≥⎩，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54的直角三角形，则n 的值是 ( )A ．32-B ．－2C ．2D ．129．现需编制一个八位的序号，规定如下：序号由4个数字和2个x 、1个y 、1个z 组成；2个x 不能连续出现，且y 在z 的前面；数字在0、1、2、…、9之间任选，可重复，且四个数字之积为8．则符合条件的不同的序号种数有（ ）A ．12600B ．6300C ．5040D ．252010．如图，已知抛物线的方程为22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则MBN ∠的大小等于（ ）A ．2πB ．4πC ．23πD ．3π二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知3[,],sin 23παπα∈=，则sin 2α＝_______．12．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是全等的矩形，底边长为2，高为3，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是_______．13．4(1)(2)x x +的展开式中2x 项的系数为_______．14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与圆22420x y x +-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________．15．已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=，且22(2)4k x y x y +≤+恒成立，则k 的最大值是________．16．设x 为实数，[]x 为不超过实数x 的最大整数，记{}[]x x x =-，则{}x 的取值范围为[0,1)，现定义无穷数列{}n a 如下：{}1a a =，当0n a ≠时，11n n a a +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当0n a =时，10n a +=．当1132a <≤时，对任意的自然数n 都有n a a =，则实数a 的值为 ．17．设函数22()9f x x x ax =---（a 为实数），在区间(,3)-∞-和(3,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为______________．三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）已知向量m =(2sin ,1)x ，n=2,2cos )x x ，函数()f x =m ⋅n t -． (Ⅰ)若方程()0f x =在[0,]2x π∈上有解，求t 的取值范围； (Ⅱ)在ABC ∆中，,,a b c 分别是A ，B ，C 所对的边，当（Ⅰ）中的t 取最大值且()1,2f A b c =-+=时，求a 的最小值．19．（本题满分14分）一个口袋中装有2个白球和n 个红球（2n ≥且n N *∈），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．(Ⅰ) 摸球一次，若中奖概率为13，求n 的值；(Ⅱ) 若3n =，摸球三次，记中奖的次数为ξ，试写出ξ的分布列并求其期望． 20．（本题满分14分）已知直角梯形ABCD 中，,,AD DC AD AB CDE ⊥⊥∆是边长为2的等边三角形，5AB =．沿CE 将BCE ∆折起，使B 至'B 处，且'B C DE ⊥；然后再将ADE ∆沿DE 折起，使A 至'A 处，且面'A DE ⊥面CDE ，'B CE ∆和'A DE ∆在面CDE 的同侧．(Ⅰ) 求证：'B C ⊥平面CDE ；(Ⅱ) 求平面''B A D 与平面CDE 所构成的锐二面角的余弦值．21．（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，且经过点(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），求AM AN ⋅u u u u r u u u r的值；当AMN ∆为等腰直角三角形时，求直线MN 的方程．22．（本题满分15分）已知函数2(1)(),(0,1]2ax f x x x -=∈-，它的一个极值点是12x =． (Ⅰ) 求a 的值及()f x 的值域；(Ⅱ)设函数()4xg x e x a =+--，试求函数()()()F x g x f x =-的零点的个数．2012学年浙江省五校联考数学（理科）答案一．选择题1－5 CDBBC 6－10 ACABD 10、提示：0,3BP BQ BP BQ BP BQ k k k k k k +=⋅=-⇒=二．填空题11、3-12、2π 13、25 14、 15161 17、(0,12] 17、提示：设2()90g x x ax =--=的两根是()αβαβ<、， 则29,()()29,()9,()ax x f x x ax x ax x ααββ+<⎧⎪=--≤≤⎨⎪+>⎩()f x Q 在(,),0a α-∞∴>Z ，又(3)20,(0)90,3g a g α-=>=-<∴>-Q由()f x 在(,)α-∞Z 可知，()f x 在(,3)-∞-Z又()f x 在(,)(,)4aββ+∞Z 和，且2()299f a a ββββ=--=+，则()f x 在(,)4a+∞Z()f x ∴在(3,)+∞Z 当且仅当3,124aa ≤≤即，012a ∴<≤三．解答题18、（1）()2sin(2)16f x x t π=++-，()02sin(2)16f x x tπ=⇔++=当[0,]2x π∈时，712[,]sin(2)[,1]2sin(2)1[0,3]666626x x x πππππ+∈⇒+∈-⇒++∈03t ∴≤≤．（2）3,()2sin(2)26t f x x π=∴=+-，()13f A A π=-⇒=2222222cos ()343a b c bc A b c bc b c bc bc =+-=+-=+=-－243()4312b c +≥-=-=min 11a a ⇒≥⇒=19、（1）2222222(1)11222(2)(1)3322nn n n C C n n p n n n C n n +-++-+====⇒=++++（2）若3n =，则每次摸球中奖的概率222325132105C C p C ++===因此，2(3,)5B ξ:，分布列如下： ξ123P27125 54125 36125 81255E ξ∴=20、(Ⅰ)证明：已知直角梯形ABCD 中，可算得3232,3AD BC CE EB ====，，，根据勾股定理可得BC EC ⊥，即：'B C EC ⊥，又',B C DE DE CE E ⊥⋂=，'B C CDE ⊥平面；(Ⅱ) 以C 为原点，CE 为y 轴，CB 为z 轴建立空间直角坐标系，如图则C(0，0，0),'(0,0,23),(3,1,0),(0,2,0)B D E作'A H DE ⊥，因为面'A DE ⊥面CDE ，易知，'A H CDE ⊥面，且3'2A H =从平面图形中可知：37373(,0),'(,,44442H A ∴易知面CDE 的法向量为1(0,0,1),n =u r设面PAD 的法向量为2(,,)n x y z =u u r ，且7''',4B D B A =-=u u u u r u u u u u r ．70,4y x y ⎧+-=∴+-=解得1221212,||||n n n n n n n =<>==⋅u r u u r u u r u r u u r g u r u u r21、（1）因为椭圆经过点(0,1)A -1b =，因为c e a ===，解得2a =， 所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）若过点3(0,)5的直线的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件．所以直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为35y kx =+，把35y kx =+代入椭圆方程得222464(14)0525k x kx ++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则1212222464,5(14)25(14)k x x x x k k +=-⋅=-++，1212266()55(14)y y k x x k +=++=+，221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+，因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++u u u u r u u u r 22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+由知：90MAN ∠=o，如果AMN ∆为等腰直角三角形，设MN 的中点为P ，则AP MN ⊥，且P22123(,)5(14)5(14)k k k -++若0k =，则3(0,)5P ，显然满足AP MN ⊥，此时直线MN 的方程为35y =；若0k ≠，则2208112APk k k k +=-=-，解得k =，所以直线MN的方程为35y =+530y -+=530y +-=．综上所述：直线MN 的方程为35y =530y -+=530y +-=．22、（1）2'22(1)(2)(1)()(2)a ax x ax f x x --+-=-，因为它的一个极值点是12x =，所以有'1()02f =，可得2a =或27a =． 当2a =时，分析可知：()f x 在区间1(0,]2单调递减，在区间1(,1]2单调递增； 由此可求得，()f x 的值域为[0,1]；当27a =时，分析可知：()f x 在区间1(0,]2单调递减，在区间1(,1]2单调递增；由此可求得，()f x 的值域为2425[,]4949． （2）函数()()()F x g x f x =-的零点个数问题可转化为函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的交点个数问题．'()4x g x e =+-．因为(0,1]x ∈，所以1x +≥41x ≥+．设()1xm x e x =--，则'()10xm x e =->，所以函数()m x 在区间(0,1]上单调递增 所以()(0)0m x m >=，即有1xe x >+．所以'4()414401x g x e x x =->++-≥=+．所以，函数()g x 在区间(0,1]上单调递增．（i ）当2a =时，()42xg x e x =+--，1(0)1(0)2g f =-<=，林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理 (1)21(1)g e f =-<=，而11()40()22g f =+>=， 结合（1）中函数()f x 的单调性可得，此时函数()f x 的图象与函数()g x 的图象有2个交点，即函数()F x 有2个零点．(ii)当27a =时，2()47x g x e x =+--，由于max 525()(0)()749g x g f x >=>= 所以，此时函数()f x 的图象与函数()g x 的图象没有交点，即函数()F x 没有零点． 综上所述，当2a =时，函数()F x 有2个零点；当27a =时，函数()F x 没有零点．。
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五校联考提前招生数学模拟试卷（二）
命题： 审题： 时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分.）
1．设213a a +=，2
13b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b
+的值为 （ ）
A 5
B 7
C 9
D 11
2．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．
（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 3. 若整数a ，m ，n 满足n m a -=
-242
，则这样的a ，m ，n 的取值 （ ）
A 有一组
B 有两组
C 多于两组
D 不存在
4．如图，ABC ∆中，D 、E 是BC 边上的点，1:2:3::=EC DE BD ，
M 在AC 边上，2:1:=MA CM ，BM 交AD 、AE 于H 、G ，
则GM HG BH ::等于 ( )
A ．1:2:3
B ．1:3:5
C ．5:12:25
D ．10:24:51
（第4题）
5. 黑板上写有1
11
12
3100
， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个
数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上
剩下的数是（ ）．
（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99
6．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．
（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）
7. ,a b 为实数，且满足2
2
80,150ab a b a b ab ++-=+-=，则2
()a b -= 8．已知：定点A （3，2），动点M 在函数y x =的图象上运动，动点
N 在x 轴上运动，则AMN 的周长的最小值为 9. 如右图，△ABC 内接于⊙O ，BC = a ，CA = b ，∠A －∠B = 90°，
则⊙O 的半径为
（第9题图）
10. 在⊿ＡＢＣ中，ＡＢ＝１５，ＡＣ＝１３，ＢＣ边上的高ＡＤ＝１２，能完全覆盖 ⊿ＡＢＣ的圆的半径Ｒ的最小值为_________
11. 如图，E 、F 分别是 A B C D 的边AB 、CD 上的点，
AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，
若S
△APD 15
=2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴
影部分的面积为 2
cm ．
12．如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）
是三角形数．若a b c （，，）和111a b c （，，）
均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则a c
的取值范围是 . 三、解答题（共4小题，每小题15分，共60分.）
13. 如图所示，在平面直角坐标系中有点A （-1，0）、点B （4，0），以AB 为直径的半圆交
y 轴正半轴于点C 。
（1）求点C 的坐标；
（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一
点D ，使四边形BOCD 为直角梯形， 求直线BD 的解析式。
B
（第11题）
14. 如图，正方形BCEF 的中心为O ，△CBO 的外接
圆上有一点A （A 、O 在BC 同侧，A 、C 在BO
异侧），且4AB AO == （1）求CAO ∠的值； （2）求tan ACB ∠的值； （3）求正方形BCEF 的面积
15. 已知质数p 、q 使得代数式21p q +和23
q p
-都是自然数，试求p 2q 的值.
16. 已知抛物线2
y ax bx c =++ 经过点（1，2）。
（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且⊿ABC 为等边三角形，
求b 的值；
（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求 |a | ＋ |b | ＋ |c | 的最小值。
五校联考提前招生数学模拟试卷（二）
一．选择题：1.B 2.D 3.B 4.D 5.C 6.C 二．填空题：7. 13 8.
26 9. 222
1b a + 10. 65∕8 11. 40
12.
1253≤<-c
a
三．解答题：
13. 解：如图，连结AC ，CB 。
依相交弦定理的推论可得OC 2=OA ·OB ，解得OC =2。
∴C 点的坐标为（0，2）
（2）解法一：设抛物线解析式是y =ax 2+bx +c (a ≠0)。
把A （-1，0），B （4，0），C （0，2 016402
a b c a b c c -+=
⎧⎪
++=⎨⎪=⎩，解之得 1
2
322
a b c =-
==
∴抛物线解析式是213
222
y x x =-
++。
解法二：设抛物线解析式为(1)(4)y a x x =+-
把点C （0，2）的坐标代入上式得12a =-。
∴抛物线解析式是213
222
y x x =-++。
（3）解法一：如图，过点C 作CD ∥OB ，交抛物线于点D ，则四边形BOCD 为直角梯形。
设点D 的坐标是（x ，2）代入抛物线解析式整理得x 2-3x =0，解之得x 1=0，x 2=3。
∴点D 的坐标为（3，2） 设过点B 、点D 的解析式为y =kx +b 。
把点B （4，0），点D （3，2）的坐标代入上式得 40
32k b k b +=⎧⎨+=⎩
解之得28k b =-⎧⎨=⎩
∴直线BD 的解析式为y =-2x +8
解法二：如图，过点C 作CD ∥OB ，交抛物线于点D ，则四边形BOCD 为直角梯形。
由（2）知抛物线的对称轴是3
2
x =
， ∴过D 的坐标为（3，2）。
（下同解法一）
14.(1)45 (2)
3
1
(3)80 15. 先设p q ≥，则有2312q p -≤
<。
于是，只能23
1q p
-=，即23p q =-， 此时
214554p q q q q +-==-，要使
21
p q
+是自然数，只能有5q =，从而7p =； 再设p ＜q ,这时21
13p q
+≤
，可分为以下两种情况： （1）
211p q
+=，q =2p +1，此时，
2341
4q p p --=，得p =1（不合题意） （2）
21
2p q
+=，即2p +1=2q ，左边为奇数，而右边为偶数，矛盾。
故满足条件的7p =、5q =，于是2
495245p q =⨯=。
16. 解：⑴由题意，a ＋b ＋c ＝2， ∵a ＝1，∴b ＋c ＝1 抛物线顶点为A （－b 2，c －b 2
4）
设B （x 1，0），C （x 2，0），∵x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝c ，△＝b 2－4c ＞0 ∴|BC |＝| x 1－x 2|＝| x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝b 2－4c ∵△ABC 为等边三角形，∴b 24 －c ＝ 32b 2
－4c
即b 2－4c ＝23²b 2－4c ，∵b 2－4c ＞0，∴b 2－4c ＝2 3
∵c ＝1－b ， ∴b 2＋4b －16＝0， b ＝－2±2 5 所求b 值为－2±2 5 ⑵∵a ≥b ≥c ，若a ＜0，则b ＜0，c ＜0，a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝2矛盾.∴a ＞0． ∵b ＋c ＝2－a ，bc ＝4a ∴b 、c 是一元二次方程x 2－(2－a )x ＋4
a
＝0的两实根．
∴△＝（2－a ）2－4³4
a ≥0， ∴a 3－4a 2＋4a －16≥0, 即（a 2＋4）(a －4)≥0，故a ≥4.
∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．
①若a 、b 、c 均大于０，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0,
则|a |＋|b |＋|c |＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2，∵ a ≥4，故2a －2≥6 当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6．。