【精品】江苏省徐州市～高二下期中数学试题(理)及答案(苏科版)

徐州市2015～2016学年度第二学期期中考试高二年级数学（理）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1.已知复数i z -=2 (i 是虚数单位)，则=z ▲ ．2．的值为则若x C C x x ,1288-= ▲ ．3. 复数2,1z z i=-则的共轭复数为 ▲ ． 4. a b a b θ设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模 ||=||||sin ,(1,0),(1,1),||=a b a b a b a b θ⨯⋅⋅==⨯若则 ▲ ．5.用0，1，2，3这四个数字，可以组成没有重复数字的3位数，其中奇数的个数 为 ▲ ．6．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，根据以上式子可以猜想：<++++2222016131211 ▲ ． 7. 21,z z i i i z -=+已知复数满足()则的虚部为 ▲ ．8. 利用数学归纳法证明“)(2131211n p n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++”，从k n =推导1+=k n 时原等式的左边应增加的项的个数为 ▲ 个（用含有k 的代数式表示）．9.4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端， 有 ▲ 种不同的站法．（用数字作答） 10.已知ABC △的周长为l ，面积为S ，则ABC △的内切圆半径为2sr l=．将此结论类比到空间，已知四面体ABCD 的表面积为S ，体积为V ，则四面体ABCD 的内切球的半径 R = ▲ ．11.已知复数z 满足243=--i z ，则z 的最大值为 ▲ . 12.若多项式975311010991010,)1()1()1(a a a a a x a x a x a a x+++++++++++=则= ▲ ．（用数字作答）13.A 、B 、C 、D 、E 五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则B 不住2号房间，且B 、C 两人不住编号相邻房间的住法种数为 ▲ ． 14.已知函数1()3x f x x =+,(0)x >，对于*n N ∈，定义11()[()]n n fx f f x +=，则函数()n f x 的值域为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分14分）已知复数)()65()67(22R a i a a a a z ∈--++-=.（1）若复数z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）若复数z 在复平面内的对应点在第四象限，求实数a 的取值范围.16.（本题满分14分）（1）证明：当2a ><；（2）证明：532，， 不可能是同一个等差数列中的三项.17.（本题满分14分）从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，每场一人，分别按下列要求，各有多少种不同方法？（1）男、女同学各2名； （2）男、女同学分别至少有1名；（3）男、女同学分别至少有1名且男同学甲与女同学乙不能同时选出.18.（本题满分16分）已知nx m x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式的二项式系数之和为256.（1）求n ；（2）若展开式中常数项为835，求m 的值；（3）若展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的值.19.（本题满分16分）已知椭圆方程是22143x y +=，12,F F 是它的左、右焦点，A ，B 为它的左、右顶点, l 是椭圆的右准线，P 是椭圆上一点，PA 、PB 分别交准线l 于M ，N 两点.（1）若P ，求12MF NF ⋅的值；（2）若00(,)P x y 是椭圆上任意一点,求12MF NF ⋅的值;（3）能否将问题推广到一般情况,即给定椭圆方程是22221(0)x y a b a b+=>>，00(,)P x y 是椭圆上任意一点，问12MF NF ⋅是否为定值？证明你的结论.20.（本题满分16分）设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在公差不为0的无穷等差数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1nn f x a x a x a x =+++++．（1）求,1a 2a 的值（用,p q 表示）； （2）求{}n a 的通项公式；（3）当*N n ∈且2≥n 时，比较n an a )(1-与1)(-n a n a 的大小.高二数学理科试题参考答案1. 52. 1或33. i -14. 15.86.7. 18. 2k9. 504 10. S V3 11.7 12. -512 13. 60 14. 2(0,)31n -15. 解：（1）由题设知：⎩⎨⎧≠--=+-06506722a a a a ………………3分62013140（2）由题设知：⎩⎨⎧<-->+-06506722a a a a ………………10分解之得，⎩⎨⎧<<-><6161a a a 或 …………… 12分所以实数a 的取值范围是 -1<a <1 …………14分16. 证明： （1只要证22)2()22(a a a <-++， ---------------------2分只要证a a a 44222<-+， 只要证a a <-42，----------------4分由于2a >，只要证224a a <-， -----------------------------------------6分< ………7分（其它方法酌情给分） （2）（反证法）假设是同一个等差数列中的三项，分别设为,,m n p a a a ，----8分则2m n a a d m n m n -==--为无理数，------------------------------------10分 又253m p a a d m p m p m p---===---为有理数----------------------12分所以产生矛盾，假设不成立，即不可能是同一个等差数列中的三项. -------14分17. 解：1440)1(442425=A C C --------------------4分2880))(2(44444549=--A C C C --------------------8分504)3(4427=A C --------------------------11分23765042880=-----------------12分 答：略----------------------------------14分18. 解（1）二项式系数之和为2n=256，可得 8=n ； ---------4分 （2）设常数项为第r +1项，则rr r rrr r x m C x m xC T 288881--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=， -------5分 故8－2r ＝0，即r ＝4， ---------------------------6分 则835448=m C ，解得21±=m .---------------------9分 （3）易知m ＞0，设第r+1项系数最大. ----------------10分则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--.,11881188r r r r r r r r m C m C m C m C 化简可得19118+≤≤+-m m r m m . -------13分 由于只有第6项和第7项系数最大，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≤≤+-<.7196,51184m m m m ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤<.272,245m m ------15分所以m 只能等于2. ---------------16分(若由第6项和第7项系数相等得出m=2,则需要验证.不验证仅给3分. )19. 解: (1)22121,(2,0),(2,0),(1,0),(1,0):443x y A B F F l x +=--=椭圆方程为，P又2PA y x =+故所在直线方程为：),=4(4x M 与联立得N 同理可得----------------------2分12(5,33),(MF NF ∴=--=-121596MF NF ⋅=-=------------------------4分(2) 2222000000(,),1=3-434x y x P x y y +=则，即（1） 00022y PA y x x x =+≠+所在直线方程为：(),(-2)06=4(4,),2y x M x +与联立得-----------------------------------------------6分 002(4,).2y N x -同理可得-----------------------------------------------------8分 00120062(5,),(3,)22y y MF NF x x ∴=--=--+- 2020*********(1)1241515644x y MF NF x x ⨯-⋅=+=+=--------------------------10分 (3) 2122()MF NF b ⋅=定值，下证之--------------------------------------------11分22212221,(,0),(,0),(,0),(,0):x y a A a B a F c F c l x a b c +=--=证明：椭圆方程为，22222000000222(,),1=-x y x P x y y b a b a+=设则，即（1）00y PA y x a x a x a=+≠+所在直线方程为：(),(-)22200()=(,),a a y a a c x M c c x a ++与联立得2200()(,).a a y a c N c x a --同理可得--------------14分 2222001200()()(,),(,).a a a y a y a a c c MF c NF c c x a c x a+-∴=---=--+- 4224022122220()a a y ac MF NF c c x a -⋅=-+-2224222()2()a c b b b c c+=-=定值--------------------------------16分20.解:（1）由题意，得2212(1)(1)1n n px qx a x a x a x +++++++=，显然2,x x 的系数为0，所以121+0++0a p a a p q =⎧⎨=⎩，从而1a p =-，22a p q =-.………………………4分（2）考虑(3)nx n ≥的系数，则有120n n n a pa qa --++=，……………5分因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，……………7分若0n a =，则0p q ==，与220p q +≠矛盾，若数列{}n a 是等比数列，又据题意{}n a 是等差数列，则{}n a 是常数列，这与数列{}n a 的公差不为零矛盾， 所以210p q +=-=，即2,1p q =-=，……………9分 由（1）知12a =，23a =，所以1n a n =+.……………10分（其他方法：根据题意可以用p 、q 表示出1a ，2a ，3a ，4a ，由数列{}n a 为等差数列，利用2132a a a =+，3242a a a =+解方程组也可求得.其它解法酌情给分.）(3)111,(1).n n a an n n n a n a n -+-==+由（2）可知，（）（） 2121321212228,39,a a a a n a a a a =====∴<时，11-13(1).nn a a n nn n n nn a a -+≥>+>当时，,即（）（）下用数学归纳法证明.……………12分4333=81,4=64,8164,n =>1）当时，结论成立.13,(1)k k n k k k N k k +=≥∈>+2)设当时()时，结论成立，即有①. ……………13分1n k =+下面证明当时，结论也成立.由①得1211.(1)(2),,(1)21k kk k k k k k k k k ++>+>+>+++又因为即 221+1+11(1)(2)=()1,(2)2212(1)k k k k k kk k k k k k k k k k k k k +++++⋅>⋅=>++++++（）所以（）21+1+2,1k k k k n k ++>=+即（）（）所以结论在时也成立. 1-11)2)(3,).n n a a n n n n n N a a -≥∈>综合、，对任何结论成立，即（）（）……………16分。