考点强化测试(一天一题)平面向量(理文)
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
平面向量测试题_高考经典试题_附详细答案
平面向量高考经典试题海口一中高中部黄兴吉同学辅导内部资料、选择题1.〔全国1文理〕向量a ( 5,6) , br r (6,5),那么a 与bB ,不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反r解.向量a(5,6), (6,5), 30 30 Ao2、〔山东文5〕向量a(1 n), b n),假设2a b与b垂直,那么aA. 1 C.【答案】：C【分析】：2a b = (3, n), 2a b与b垂直可得:(3,n) ( 1,n) 2.3、〔广东文4理10〕假设向量a,b满足| a |r|b| 的夹角为答案：Ir 解析：a 4、〔天津理10〕11 1 —2r设两个向量a 〔2, 2cos/ m 一•一(m, sin2,其中,m,为r实数.假设ar2b,那么一的取值范围是mA. [ 6,1]B. [4,8]C.( ,1]D.[ 1,6]2, 2、cos )m(m,二2sinr),ar2b,可得2m 2cos 去m化简得2sink代入方程组可得km 2 2m2cos消2sin2k2 k2cos-2- 2sin2 k因而1积变换判断为正确.1 ——6、〔全国2理5〕在？ABC 中,D 是AB 边上一点,假设AD =2 DB , CD =-CA CB ,3解.设F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A 、B 、C 为该抛物线上三点, 假设FA FB FC =0, 那么F 为^ABC 的重心,, A 、B 、C 三点的横坐标的和为 F 点横坐标的3倍,即等于 3,• . |FA|+|FB|+|FC|=(X A 1) (X B 1) (X C2cos2sin0再令 —t 代入上式得 k 2(sin 21)2(16t 2 18t 2) 0可得 (16t 2- - 1 118t 2) [0,4]解不等式得t [ 1,」]88、〔全国2文6 〕在AABC 中,D 是AB 边上一点,假设5、〔山东理11〕在直角 ABC 中, CD 是斜边AB 上的高,那么以下等式不成立的是(A)uuu2ACuu ur AC uu u AB (B)uur 2 BCuuu uuur BA BC uuu2ABuur AC uui nCD(D)uum 2 CDunr unn uuu uum(AC AB) (BA BC)uuu 2 AB:C.【分析】：uuur2ACuu ur ACuur AB uu ur AC uuur (AC uu m AB)uuur uuur AC BC 0 , A 是正确的,同理B 也正确,对于D 答案可变形为uuir 2CDuuu2ABuu ur ACuuur 2BC ,通过等 那么=2(A) r3 (B)解.在？ABC 中,D 是AB 边上一点,假设 AD =2 DB ,2(D) -31 — ■_ - … ,CD =-CA CB,那么3uuur uuuCD CAuu ur ADuu u CA 2 uuu -AB 3 uu uu CA 2 uuu 一(CB 3uuu CA) 7、〔全国2 理12〕设 F 为抛物线y 2=4x 的焦点, 1 uuu CA 3 A 、 B 、 2 uuu -CB , 3 C 为该抛物线上三点,假设 FA FBFC =0,那么 |FA|+|FB|+|FC|二(A)9(B) 6(C) 4(D) 31) 6,选 Bouuuuuir uuir 1 uuu -CA uuuAD 2DB, CD CB ,那么()32 1 1A. —B.—C.—D.3 3 3解. 在?ABC 中, D 是AB 边上一点,假设 AD =2 DB , uuu r uuu uuur uuu 2 uuu uuu 2 uuu uuu 1 uuu CA) -CA CD CA AD CA — AB CA — (CB 3 3 3 9 (全国2文9)把函数 的图像按向量a (2, y xe 3_ ' 1 _ =_ ?CD =-CA CB,那么 3 2 uuu 2 —CB ? =— ) 选 A o3 3 0)平移,得到y f(x)的图像, 那么 f(x) A. e x 2 x 2 C. e D. 解.把函数y=e x 的图象按向量 ra =(2,3)平移,即向右平移 2个单位,向上平移3个单位,平移后得到y=f(x)的图象,f(x)= e x 2 3,选C . 10、(北京理4)O 是4ABC 所在平面内一点, BC 边中点,且uur uur uuur 2OA OB OC那么( uuur A. AO uiur OD uu ur AOuuur 2OD uuur C. AO uu ur 3OD D. uu ur2AO uu ur OD解析：O 是4ABC 所在平面内一点, D 为BC 边中点,, uur OB uur uuurOC 2OD ,且uur 2OA uur OB uur uu u OC 0, 2OA uuu 2OD r uuur uur 0,即 AO OD , 11、(上海理 14)在直角坐标系 xOy 中, r r i, j 分别是与x 轴, y 轴平行的单位向量,假设直角三角形 uur rABC 中,AB 2iuu ur ACr r3i kj , 那么k 的可能值有A 、1个 【答案】B B 、2个C 、3个D 、4个【解析】解法一: uui r BCuur uuur BA AC r 2i r 3i r kj(k r 1)j(1)假设A 为直角,那么uuu uur AB AC (2 ij)(3ir kj)k 6；(2)假设B为直角,那么uuur umn r r r rAB BC (2i j)[i (k 1)j] 1 k 0 k 1 ；(3)假设C为直角,那么uuur unr r r r r 2AC BC (3i kj)[i (k 1)j] k k 3 0 k .所以k的可能值个数是2,选B解法二：数形结合.如图,将A放在坐标原点,那么B点坐标为(2,1), C点坐标为(3,k),所以C点在直线x=3上,由图知,只可能A、B为直角,C不可能为直角.所以k的可能值个数是2,选B 12、(福建理4文8)对于向量,a、b、c和实数错误！未找到引用源.,以下命题中真命题是A假设错误！未找到引用源.,那么a= 0或b=0 B假设错误！未找到引用源.,那么入=0 或a= 0假设错误！未找到引用源.=错误!未找到引用源.,那么a=b或a= —b误!未找到引用源.,那么b = c解析：a± b时也有a - b= 0,故A不正确；同理C不正确；由a - b=a - c得不到b=c, 如a为零向量或a与b、c垂直时,选B13、(湖南理4)设a, b是非零向量,假设函数直线,那么必有( )A. a ±bB. a // bC. |a |【答案】A【解析】f (x) (xa b)g(a xb) a*x2的图象是一条直线,14、(湖南文2)假设O、E、uur uuuruurA. EF OF OEuuir uuur uurC. EF OF OE【答案】B【解析】由向量的减法知15、(湖北理2)将y 2co! 象的解析式为( )D假设错即其二次项系数为F是不共线的任意三点,uuir uur uurEF OF OE,-4的图象按向量3 6 a 工,2平移,那么平移后所得图4f (x) (xa b)g(a xb)的图象是一条|b| D. |a| |b|2 2(|a|2 |b|2)x a*,假设函数f(x) 0, agb = 0, a ± b.那么以下各式中成立的是uuur uur uurB. EF OF OEuuur uur uurD. EF OF OEA.y 2cosx 3兀 4 2 B . y 2cosx 3兀 4 2 C . y 2cos x兀 2D . y 2cos x兀 2312312答案：选A解析：法一 由向量平移的定义,在平移前、后的图像上任意取一对对应点P ' x ',y ',uuir''''一Px, y,那么 a —,2 P P x x, y y x x —, y y 2 ,44带入到解析式中可得选A个单位.5.2-工、/ »——,b 在x 轴上的投影为2为 A.(2,14) B.(2,- 1)答案：选B5 . 2解析：设a 在b 的夹角为0 ,那么有|a|cos .= -----------, 0 =45 ,由于b 在x 轴上的投影为 2,且|b|< 1,结合图形可知选B17、〔浙江理7〕假设非零向量a, b 满足a b b ,那么〔〕A. 2a a b B . 2a 2ab c. |2b | |abD . |2b |a 2b【答案】：C【分析】：Qa b a b+ b a+ b b 2 b,由于a, b 是非零向量,那么必有 a + b b,故上式中等号不成立.2b a 2b .应选 C.法二由a 上2平移的意义可知,先向左平移4一个单位,再向下平移 2416、〔湖北文9〕设a=〔4,3〕,a 在b 上的投影为 2,且 |b|<1,那么 b2 C.(-2,-)D.(2,8)18、〔浙江文9〕假设非零向量a, b满足a b b ,那么〔〕A. 2b a 2b B .2b a 2bc. 2a a b【答案】：A【分析】：假设两向量共线,那么由于a, b是非零向量,且a b b ,那么必有a=2b；代入可知只有A、C满足；假设两向量不共线, 注意到向量模的几何意义,故可以构造如图所示的三角形,使其满足OB=AB=BC uuu unn令OA a, OBuurb,那么BA a-b,uur•••CAa-2b 且b ；又BA+BC>AC a b a 2b2b 19、A. a 2b〔海、宁理4〕平面向量1〕,那么向量3b2(2, 1) 2,1) (1,0) D. 1,2)20 :D1:-a2( 重3-b2庆1,2).10 在四边形ABCD|AB| |BD| |DC | 4, AB BD BD DC 0,| AB | | BD | | BD | |DC | 4 ,那么(AB DC) AC 的值为〔A.2B. 2.2C.4D. 4 . 2【分析】：〔AB DC) AC (ABuurDC) (ABuuurBDuuurDC)iur(| AB|uuir |DC |)2.|AB| |BD| |DC | Q|BD |(|AB| |DC |)4,4, (AB DC) AC 4.21、〔重庆文9〕向量uuuOA (4,6),uurOBuur|AB|(3,5),uuur|DC |uuur且OCuuu〔A〕37 【答案】：D (B)421(C)uuu C(x, y) QOC 分uuuOA,uuuruuu4x 6y 0, AC // OB 5(x_ --3 联立解得C〔一,7 2 7)22、〔辽宁理3文4〕假设向量a与b不共线,ag〕c的夹角为A. 0)花B.一6解析：由于2(—)a ba b0, 所以向量23、〔辽宁理6〕假设函数图象,那么向量A. ( 1, 2)解析：函数y所以向量a =D2.uuuruuiT uuuOA,AC//OB,那么向量OC2(D)-4214) 3(y 6) 0,0,且c = a - agaago b,那么向量a与a与c垂直,选y f〔x〕的图象按向量a平移后,得到函数(1, 2) C. ( 1,2) D . (1,2)f(x 1) 2 的f(x 1) 2为y 2 f (x 1),令x(1, 2),选A24、〔辽宁文7〕假设函数y f〔x〕的图象按向量a平移后, 图象,那么向量a =〔〕x 1, y得到函数2得平移公式,f (x 1) 2 的所以向量a = (1, 2),选C假设OA 与OB 1在OC 方向上的投影相同,那么a 与b 满足的关系式为(平移后得到y=f(x)的图象,f(x)= e x 2 3 ,选C .二、填空题15)如图,在 ABC 中, BAC 120 , AB 2,AC 1, D 是边 BC 上一BC",ADuuir uur又AD,BC 夹角大小为2 2 2…c BD 2 AD 2 AB 2cos ADB ----------------------------2 BD ADA. (1 2)B. (1,2)C. (1, 2) D . ( 1,2)解析：函数y f (x 1) 2为y 2 f (x 1),令 x x 1, y y2得平移公式,(A) 4a 5b 3 (B) 5a 4b 3 (C) 4a 5b 14(D)5a 4b 解析：选 14 A .由OA 与OB'1在OC 方向上的投影相同,可得： OA OC uur OB uuurOC 即4a 26、 8 5b, 4a 5b 3. (全国2理9)把函数y=e x 的图象按向量a=(2,3)平移,得到y=f(x)的图象,那么f(x)=(A) e x-3+2解. (B) e x+3 - 2 r (C) e x-2+3 (D) e x+2 — 3 把函数y=e x的图象按向量a =(2,3)平移,即向右平移2个单位,向上平移3个单位,点,DCuuir uuur2BD,那么ADgBC【分析】法一:AB 2 AC 2 BC 2 由余弦定理得 cosB 生一AC一BC-2 AB AC222AB 2AD 2BD 2 s---------------- 可得2 AB BD25、(四川理7文8)设A(a,1),B(2,b), C(4,5)为坐标平面一上三点, O 为坐标原点,1、(天津文理 32 99 4.137uuu 中点,那么OE =OA 1 uuu 1 uuu = -OA -(OB2 4uur uuu 1 uur AE OA — AD 2uuur 1 r 1 rOC) -a -b2 4uuu 1 uuir uuur OA -(AO OD) 2 1r-c . 4是.r rr解析：向量a= 2,4,b= 1,1 .向量a2+叶4+入 =0,实数 =-3. r r ……… r 4、〔上海文6〕右向重a, b 的夹角为60 , a「1【答案】12r r r 【解析】ag a b5、〔江西理15〕如图,在△ ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直 uuu uuuu 线分别交直线 AB , AC 于不同的两点 M, N ,假设AB mAM ,uuur uuirAC nAN ,那么m n 的值为.解析：由MN 的任意性可用特殊位置法：当 MN 与BC 重合时知m=1 , n=1,故 m+n=2,填 26、〔江西文13〕在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的对角线OB 的urnr uum 所以ADgBC AD BC cos ADB uuur uuur unr 法二：根据向量的加减法法那么有 ：BC AC AB uuu uuu uuir AD AB BDuuu uuir 1 uuur AD BC (-AC 3uuu 1 uur uur AB -(AC AB) 2 uuir uur uuir -AB)(AC AB) 1 uuur 2 uuu -AC — AB ,此时 3 3 1 uuur 2 2 uuur uuu AC -AC AB 3 3rC,D 为BC 的中点,E 18 1 8 ■3 3 3 3 uuu r uuu r uuur2、(安徽文理13)在四面体 O-ABC 中,OA a,OB b,OC为AD 的中点,那么OE = (用a, b, uuu r uur r uuur 解析：在四面体O —ABC 中,OA a,OB b,OC c 表不〕rC, D 为BC 的中点,E 为AD 的 3、〔北京文11〕向量a = 2,4, b = 1,1 .假设向量b 〔a+ b 〕,那么实数的值r b (2r r r,4) , b (a + b),那么a b cos60两端点uur uuir分别为 0(0,0) , B(1,1),那么 ABgAC uuu uuu解析：ABgAC (0,1) ( 1,1) 0 ( 1) 1 1 1.三、解做题：1、〔宁夏,海南17〕〔本小题总分值12分〕如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点C 与D .现测得 BCD , BDC , CD s,并在点C 测得塔顶A 的仰角为 , 求塔高AB .解：在ZXBCD 中, CBD 冗 CD sin CBD ssin sin( )在 Rt △ ABC 中,AB BC tan ACB2、(福建17)(本小题总分值12分)13在△ ABC 中,tan A - , tan B 一. 4 5(I)求角C 的大小；〔n 〕假设△ ABC 最大边的边长为 而,求最小边的边长.本小题主要考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的根本知识以及推 理和运算水平,总分值 12分. 解：〔I 〕 QC 冗〔A B 〕,由正弦定理得 ------ ---sin BDC CD sin BDC所以BC -sin CBDsin A 1cosA 4 且 A 2cos A 1,/曰.“,AB BCsin A -信 sin A ------- .由 ------- ------ 得： BC ABg -------- v2 .17 sinC sin A sin C所以,最小边BC .2.3、(广东16)(本小题总分值12分)(1)假设c 5 ,求sin / A 的值；(2)假设/ A 是钝角,求c 的取值范围. uuurUULT UULT解：(1) AB ( 3, 4), AC (c 3, 4)当 c=5时,AC (2, 4)八 账现 6 16 1------------ 2.5cos A cos AC AB r~ 专sin A V icos A --------------------- 5 2d5 55进而 5(2)假设A 为钝角,那么 25AB . AC= -3( c-3)+( -4) 2<0解得 c> 325显然此时有AB 和AC 不共线,故当A 为钝角时,c 的取值范围为［々-,+ ) 4、(广东文16)(本小题总分值14分)AABCE 个顶点的直角坐标分别为 A(3, 4)、B(0 , 0)、C(c, 0).tanC tan(A1 3 8)%~5 1 —4九,(n) QC AB 边最大,又Q tan A tan B, A, B 0,—,角A 最小,BC 边为最小边.tan A由sin 2A ,冗0,1, 2△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(Q0)、C(c,0).假设ABgAC 0,求c 的值; / A 的值5、〔浙江18〕〔此题14分〕△ ABC 的周长为J2 1,且sin A sin B J2sinC.〔I 〕求边AB 的长；1〔II 〕假设△ ABC 的面积为一sinC,求角C 的度数. 6〔18〕解：〔I 〕由题意及正弦定理,得 AB BC AC J2 1 ,BC AC x/2AB,两式相减,得AB 1.1 1(II)由 z\ABC 的面积一BCgACgsinC -sin C ,得 BCgAC2 6解：〔1〕 uu u AB(3, 4) uuurAC(c 3, 4) (2) uu u AB cossin AuuuuuurABgAC 3, 4) uuu 3(c uuur ABgAC uuur -uuur ABcAC ,1 cos 2 A3) uuur AC16 25 3c 0 得 c (2, 16 5.20 4)25(2)由余弦定理,得cosC船的北偏西105的方向B1处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距10J2海里,问乙船每小时航行多少海里？解：如图,连结AB2, A2B2 10短,A1A2 20 30& 1042 ,60%人2 82是等边三角形, B1AB2 105 60 45 ,在AB2B1中,由余弦定理得 2 2 2B1B2 AB A1B2 2 ABi AB2 cos45202 〔10、. 2〕2 3 4 5 6 7 8 9 2 20 10x2 -2 2002B1B210.2.10,260 30、. 2.因此乙船的速度的大小为20答：乙船每小时航行302海里.7、〔山东文17〕〔本小题总分值12分〕在△ ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c, tanC 〔1〕求cosC ；uuu uuu 5⑵假设CBgCA 一,且a b 9,求c.2解：〔1〕QtanC 36,snC 377cosC2 2 1又Q sin C cos C 1 解得cosC 一.81Q tanC 0, C 是锐角. cosC -.8uuu uuu 5 5⑵ QCBgCA abcosC - , ab 20.2 2〔1〕求函数y f 〔x 〕的解析式和定义域;〔2〕求y 的最大值.又Qa b 9a 2 2ab b 2 81 . b 2 41.22.2cab 2abcosC 36. c 6.8、〔上海17〕〔此题总分值14分〕在△ ABC 中,a, b, c 分别是三个内角 A, B,的对边.假设a 2, Ccos 旦型5 ,求△ ABC 的面积S . 2 5解：由题意,得cosB33, B 为锐角,sin B 5sin A sin(九 BC)sin 世 B 47.2 10由正弦定理得 c10 一,71S -acgsin B10 79、〔全国I 文 17〕〔本小题总分值 10分) 设锐角三角形 ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,2bsin A.(H)假设B 的大小;a 3卮 c 5,求 b.解：〔i 〕由a 2bsin A,根据正弦定理得 sin A 2sinBsin A,所以 sin B12'由△ ABC 为锐角三角形得B〔n 〕根据余弦定理,得 b 2a 2 c 2 2ac cos B27 25 45 7 .所以,b •万.10、〔全国n 17〕〔本小题总分值 10分) 在△ ABC 中,内角A—,边BC 2J3.设内角解：(1) ZXABC 的内角和 ABC ,由 A —, B0, C 0得 0 B应用正弦定理,知43 sin23 -222AC 2 BC 2 AB 2 2ACgBC22(AC BC) 2ACgBC AB 12ACgBC2所以C 60°.6、〔山东20〕〔本小题总分值12分〕如图,甲船以每小时30衣海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行 ,当甲船位于 A 处时,乙船位于甲高一数学三角变换试题第12页〔共4页〕AC旦 sinB sin A2.3^ sin xsin —4sin x ,AB皮 sinCsin A4sin2由于 y ABBC所以 y 4sinx 4sin(2) 由于y 4 sin x cosx 1-一sinx 22.3所以,当x—,即x —时,y 取得最大值6J3 .。
平面向量的练习题及答案
平面向量的练习题及答案平面向量的练习题及答案典例精析题型一向量的有关概念下列命题：①向量AB的长度与BA的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.下列各式：①|a|＝a?a；② ?c＝a? ；③OA－OB＝BA；④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋＝2；⑤a＝，b＝，且a与b不共线，则⊥.其中正确的个数为A.1B.C.D.4选D.| a|＝a?a正确；?c≠a? ； OA－OB＝BA正确；如下图所示，MN=++且MN=++，两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b 为菱形的两条对角线，即得⊥.所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段DO上，且=，点N在线段OC上,且=,设=a, =b,试用a、b 表示，，1313.在?ABCD中，AC，BD交于点O， 111所以＝＝a－b)，22＝2＝2＝2.11又＝，＝，31所以＝AD＋＝b＋1115＝b＝a，266111＝＋＝＋4412＝＝a＋b). 323所以＝－1511＝－＋)＝a.6626向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP＝1OA＋λ，若λ＝2时，则PA?的值为 .由已知得－＝λ，11即AP＝λ，当λ＝时，得AP＝，2所以2AP＝AB＋AC，即AP －AB＝AC－AP，所以BP＝PC，所以PB＋PC＝PB ＋BP＝0，所以? ＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题设两个非零向量a与b不共线.若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，求证：A，B，D三点共线；试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，所以BD＝BC ＋CD＝2a＋8b＋3＝5＝5AB，所以AB， BD共线.又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线.因为ka＋b和a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ，所以a＝b.因为a与b是不共线的两个非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.已知O是正三角形BAC内部一点，+2+3=0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是如图，在三角形ABC中， OA＋2OB＋3OC＝0，整理可得OA＋OC＋2＝0.1令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，则点O 在点F与点E连线的处，即OE＝2OF.1hh1设三角形ABC中AB边上的高为h，则S△OAC＝S△OAE＋S△OEC?OE? 的情形，而向量平行则包括共线的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用如图?ABCD中,M,N分别是DC，BC中点.已知AM=a,=b,试用a，b表示，AD与AC易知AM＝AD＋DM 1＝＋，1AN＝AB＋BN＝AB2AD， 1a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b).32所以＝＋＝a＋b).运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0等于 1B.C.1 D.1A.由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB＋PC＝2PD，因此结合PA＋BP＋CP＝0即得PA＝2PD，因此易得P，A，D三点共线且D是PA＝1，即选C.题型二向量的坐标运算已知a＝，b＝，u＝a＋2b，v＝2a－b.若u＝3v，求x；若u∥v，求x.因为a＝，b＝，所以u＝＋2＝＋＝，v＝2－＝.u＝3v?＝3＝，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.u∥v ?＝λ2x?1??,－3＝0?x＝1.对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.nπnπ已知向量an＝sinn∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋ (77)＋|a141＋b|2的最大值为.π设b＝，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝2＋b2＋2＋…＋2＋b2＋2＝282＋2cos，所以y的最大7777 值为284.题型三平行向量的坐标运算已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝，n＝，p＝.若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；π若m⊥p，边长c＝2，角CABC的面积.证明：因为m∥n，所以asin A＝bsin B.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形.因为m⊥p，所以m·p＝0，即a＋b＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝2－3ab，所以2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1.113所以S△ABC＝absin C3.22设m＝，n＝，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m ＝，n＝.若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为A.10－3C.10－23B.10＋5D.10＋231由m⊥n得2cos2C－3cos C－2＝0，解得cos C＝－cos C＝2，所以c2＝a2＋b2－2abcos例题讲解1、下列命题中,正确的是A.若a?b,则a与b的方向相同或相反B.若a?b,b?c,则a?cC.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等D.若a=b,b=c,则a=c.122、已知平面内不共线的四点0,A,B,C满足OB?OA?OC,则33|AB|:|BC|?A.3:1B.1:C.2:1D.1:23、已知向量a= ,b= ,若2a–b与b共线,则实数n的值是 A.6B. C.3?23D3?234、向量AB?按向量a?平移后得向量A?B?,则A?B?的坐标为A. B.C. D.、如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是DC的中点,F是EC的中点,若AB?a,AC?b,则AF? A.14a?34b B.14a?34b C.18a?78bD.18a?78b6、若函数f?cos2x?1的图象按向量a平移后,得到的图象关于原点对称,则向量a可以是A. B. C.424二、填空题:共3小题7、设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka?2b与8a?kb的方向相反,则k?8、若a?b?c,化简3?2?2?、已知正△ABC的边长为 1 ,则BC?2CA?3AB等于检测题1、已知非零向量a,b满足a=?b,b=?a,则?= A.?1B.?1C.0D.02、设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是A.a?b??B.abC.a?b?a?bD.a?a?b、已知a=,b=,?,则实数k的值是A.53B.2511C.?12D.?174、已知平面向量a?,b?,则向量a?b. A.平行于第一、三象限的角平分线B.平行于y轴 C.平行于第二、四象限的角平分线D.平行于x轴5、将二次函数y?x2的图象按向量a平移后,得到的图象与一次函数y?2x?5的图象只有一个公共点,则向量a?A. B. C. D.6. 如图,在正六边形ABCDEF中,已知AC?c,AD?d,则AE? .巩固练习1. 若e1,e2是夹角为的单位向量，且a?2e1?e2,b??3e1?2e2，则a?b?377A.1B. ?4C. ?D.222. 设a?,b?,c?则?c? A. B.0C.?3D.?11 答案 C3. 在?ABC中,已知向量AB?,BC?,则?ABC的面积等于 A．22B．24C．32D．2答案A4. 在?ABC中,a?5,b?8,C?60?,则BC?CA的值为A．10 B．20C．－10D．205. 已知下列命题中：若k?R，且kb?0，则k?0或b?0，若a?b?0，则a?0或b?0若不平行的两个非零向量a,b，满足|a|?|b|，则??0 ??若a与b平行，则a?b?|a|?|b|p2?q2?2其中真命题的个数是A．0B．1C．2D．36. 已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA?OB?CO?0,则△ABC的内角A等于 A.30?B.60? C.90?D.120?. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE线与CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF?的延长bD．a?3123bA．14a?12b B．23a?13b C．12a?14答案 B8. 已知a?1,b?6,a??2，则向量a与向量b的夹角是 A．6B．4C．3D．2答案 C9. 在平行四边形ABCD中，若BC?BA?BC?AB，则必有A.ABCD是菱形B.ABCD是矩形C.ABCD是正方形D.以上皆错10.已知向量a?,向量b?则|2a?b|的最大值，最小值分别是A．42,0B．4,42C．16,0D．4,0 二.填空题11. 已知Rt△ABC的斜边BC=5，则AB?BC?BC?CA?CA?AB 的值等于 . 答案－2512. 设p = ，q = ，若p与q的夹角??[0,2)，则x的取值范围是13. 若平面向量a，b满足??1，a?b平行于x轴，b?，则a?答案-=解析 a?b?或，则a 或a.14. 在?ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA?的最小值是________。
平面向量知识点+例题+练习+答案
五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。
答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。
答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。
答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。
答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。
答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。
答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。
答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。
答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。
答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。
计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。
(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。
平面向量练习题
平面向量练习题(附答案)(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--平面向量练习题一．填空题。
1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________．6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与CD 共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。
1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角；（3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==，向量垂直于向量，向量 平行于，试求,时=+的坐标.5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案1.2.（－3，－4）°（21，321）．6.73．7.（－3，2）．8.－210.31-12. 90°13.2-14.51--或（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2AB ＋AC |＝227)1(+-＝50．（2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos ＝＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -=∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x B C OA B C 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y 241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y . 解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k b a b a 即 （2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。
2024届新高考数学高频考点专项练习：专题八 平面向量 综合练习
2024届新高考数学高频考点专项练习：专题八平面向量综合练习1.在ABC △中，M 是BC 的中点，则AB AC等于()A.12AMB.AMC.2AMD.MA2.在ABC △中，设,,AB AC D a b u u u r u u u r 为AC 边的中点，则BD u u u r()A.12a bB.12a bC.12a bD.12b a3.在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点.若AE AB AC u u u r u u u r u u u r，则 的值为()A.12B.12C.-1D.14.设,x y R ，向量(, 1) ,(2,)x y a b ，且2(5,3) a b ，则x y ()A.1B.2C.-1D.-25.已知向量(3,1) a ，(2,2) b ，则cos , a b a b ()A.117B.17C.5D.56.P 是ABC △所在平面内一点，满足|||2|0PB PC PB PC PA，则ABC △的形状是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.设向量(,1)x a ，(1, b ，且 a b ，则向量 a 与b 的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π68.已知ABC △是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF ，则AF BC的值为()A.58B.18C.12D.1189.（多选）已知向量(1,0) m ，11,22n ，则()A.||| m n B.()// m n nC.() m n nD.m 与n 的夹角为4510.（多选）如图，已知点O 为正六边形ABCDER 的中心，下列结论中正确的是()A.0OA OC OB B.()()0OA AF EF DC C.()()OA AF BC OA AF BC D.||||OF OD FA OD CB 11.已知向量(4,)m a ，(1,2) b ，且(2) a b b ，则m ___________.12.如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，AB BC CD DE______.13.设点M 是ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，满足OA OB OC OD OM，则 为________.14.如图，在ABC △中，2,3,60,AB BC ABC AH BC 于点H .若AH AB BC u u u r u u u r u u u r，则 ___________.15.最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，他用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.如图，某数学探究小组仿照“勾股圆方图”，利用6个全等的三角形和一个小的正六边形ABCDEF ，拼成一个大的正六边形GHMNPQ ，若1AB AG ，则BE GD__________.答案1.C2.D3.B4.C5.B6.B7.D8.C9.ACD10.BC11.-712.-113.414.4315.1。
平面向量复习题及答案
ABCDE F例题讲解1、(易 向量的概念)下列命题中,正确的是( )A.若a b ,则a 与b 的方向相同或相反B.若a b ,b c ,则a cC.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等D.若a =b ,b =c ,则a =c . 2、(易 线性表示)已知平面内不共线的四点0,A,B,C 满足12OB OA OC 33=+,则|AB |:|BC |=( )A.3:1B.1:3C.2:1D.1:23、(易 坐标运算)已知向量a = (1,3),b = (3,n ),若2a –b 与b 共线,则实数n 的值是( ) A.6B.9C.323+D 323-4、(易 向量的概念)向量(4,5)AB =-按向量(1,2)a =平移后得向量A B '',则A B ''的坐标为( )A.(4,5)-B.(5,3)-C.(1,2)D.(3,7)- 5、(中 线性表示)如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 是DC 的中点, F 是EC 的中点,若AB =a ,AC =b ,则AF =( )A.1344+a bB.1344-a bC.1788+a bD.1788-a b 6、(中 坐标运算)若函数()cos21f x x =+的图象按向量a 平移后,得到的图象关于原点对称,则向量a 可以是( )A.(,1)4π-B.(,1)2π-C.(,1)4π D.(0,1)二、填空题:共3小题7、(易 线性表示)设,a b 是两个不共线的非零向量,若向量2k +a b 与8k +a b 的方向相反,则k =8、(易 线性运算)若=+a b c ,化简3(2)2(3)2()+-+-+=a b b c a b9、(中 坐标运算)已知正△ABC 的边长为1 ,则23BC CA AB ++等于检测题1、(易 线性运算)已知非零向量,a b 满足a =λ,b b =λa (R λ∈),则λ= ( ) A.1- B.1± C.0 D.02、(易 向量不等式)设,a b 是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是 ( )A.+≤+a b a bB.-≤+a b a bC.-≤+a b a bD.≤+a a b 3、(中 坐标运算)已知a =(3,1)-,b =(1,2)-,(2)-+a b (+a k )b ,则实数k 的值是 ( )A.53B.2511 C.12- D.17- 4、(中 坐标运算)已知平面向量=a (,1)x ,=b 2(,)x x -,则向量+a b ( ). A.平行于第一、三象限的角平分线 B.平行于y 轴 C.平行于第二、四象限的角平分线 D.平行于x 轴5、(中 坐标运算)将二次函数2y x =的图象按向量a 平移后,得到的图象与一次函数25y x =-的图象只有一个公共点(3,1),则向量=a ( )A.(2,0)B.(2,1)C.(3,0)D.(3,1)6. 如图,在正六边形ABCDEF 中,已知AC =c ,AD =d ,则AE = (用c 与d 表示).巩固练习1. 若12,e e 是夹角为3π的单位向量，且122a e e =+,1232b e e =-+，则a b ⋅=（ C ） A .1 B . 4- C . 72- D .722. 设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （ ） A.(15,12)- B.0 C.3- D.11- 答案 C3. 在ABC ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于（ ）A ．22B ．42 C ．23 D ．2答案A4. 在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为 （ ）A ．10B ．20C ．－10D ．205. 已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a （4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅（5）222q )(p q p ⋅=⋅其中真命题的个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．36. 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA OB CO ++=0,则△ABC 的内角A 等于（ ） A.30 B.60 C.90 D.1207. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．1142+a bB ．2133+a b C ．1124+a bD ．1233+a b 答案 B8. 已知1,6,()2==-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π答案 C9. 在平行四边形ABCD 中，若BC BA BC AB +=+，则必有( ) A.ABCD 是菱形 B.ABCD 是矩形 C.ABCD 是正方形 D.以上皆错10.已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0 二.填空题11. 已知Rt △ABC 的斜边BC =5，则⋅+⋅+⋅的值等于 . 答案 －2512. 设p = (2,7)，q = (x ,-3)，若p 与q 的夹角)2,0[πθ∈，则x 的取值范围是13. 若平面向量a ，b 1=+，b a +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则=a .答案 (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)解析 )0,1(=+b a 或)0,1(-，则)1,1()1,2()0,1(-=--=a 或)1,3()1,2()0,1(-=---=a .14. 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值是________。
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(4)特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝O.单位向量 aO 为单位向量 ｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同：(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
x1
y1
x2 y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.
∴航向为北偏西 30 ． 8.过点 O 作向量 OA 、 OB 、 OC ，使之分别与力 F1 ， F2 ， F3 相等，由于 F1 ， F2 ，
F3 的合力为 0 ，则以 OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与 OA 的长度相等，又
由于力 F1 ， F2 ， F3 的大小相等，∴ OA OB OC ，则三角形 OCD 和三角形
6
6
（7）北偏西 300
（8） 1200
（9）略
m 6 m 3
（10） n 3
或
n
3 2
略解或提示：
1.由单位向量的定义即得 a b 1 ，故选（D）．
2.由于 AC AB AD ，∴ AC AB AD ，即 BC AD ，∴线段 BC 与线段 AD 平行且
相等，∴ ABCD 为平行四边形，选（A）．
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= PP aP bP c [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心. 如图：
向量 MN 用 a 、 b 表示为
（完整版）《平面向量》测试题及答案
（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。
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平面向量考点强化训练
1、已知平面向量→
a =(3，-1)，→
b = (2
3
,21)． （1）求b a ⋅；
（2）设b x a c )3(4-+=，b x a y d +-=（其中0≠x ），若d c ⊥，试求函数关系式)(x f y =并解不等式7)(>x f ．
解：（1）0=⋅b a ； （2）由d c ⊥得，0)3(4=-+-x x y ， 所以)3(4
1
-=
x x y ； 7)3(4
1
>-x x 变形得：02832>--x x ，解得47-<>x x 或．
2、已知a ＝（αc o s ，
αsin ），b ＝（βc o s ，βsin ），a 与b 之间有关系式|ka +b |=3|a -kb |，其中k ＞0．
（1）用k 表示a ·b ；
（2）求a ·b 的最小值，并求此时，a 与b 的夹角θ的大小． 解： 由已知1||||==b a ．
∵ ||3||b a b a k k -=+，∴ 22
2
||3||b a b a k k -=+．
∴ )1
(41k
k +=
⋅b a ． ∵ k ＞0， ∴ 2
11241
==
⋅⋅⋅k k b a ． 此时2
1
=
⋅b a ∴ 21||||2
1
cos ==
⋅b a θ． ∴ θ＝60°． 3. 已知5||=,8||=AB ,11
5=,0=⋅AB CD 。
（1）求||AC AB -；
（2）设∠BAC ＝θ，且已知cos(θ+x)＝4
5
，4x ππ-<<-，求sinx
解：（1）由已知11
16=+=-=
∴,2
11||,25||165|,16
5
115,
16
11===
==
=
∵0=⋅AB CD
∴CD ⊥AB ，在Rt △BCD 中BC 2
=BD 2
+CD 2
,
又CD 2
=AC 2
－AD 2
, 所以BC 2
=BD 2
+AC 2
－AD 2
=49，
所以7|||==-BC AC AB
（2）在△ABC 中，21cos =∠BAC ∴3π
θ= 54)3
cos(cos =
+=+x x π
θ）（ 5
33sin ±=+）（x π 而12
332,4
ππππ
π<
+<-
-<<-x x 如果1230π
π<+<x ， 则53216
sin
12
sin
)3
sin(
<<
<<+π
π
π
x ∴5
3
)3sin(-=+x π
10
3
43]3)3sin[(sin +-
=-+=π
πx x
4. 已知：向量1)a =- ，(sin 2,b x = cos2)x ，函数()f x a b =⋅
（1）若()0f x =且0x π<<，x 的值；
（2）求函数()f x 的单调增区间以及函数取得最大值时，向量a 与b
的夹角．
解：∵()f x a b =⋅
2cos 2x x -
（1）由()0f x =得2cos20x x -=即tan 2x =
∵0,x π<< 022x π∴<< ∴2,6
x π
=或72,6
x π=
∴12x π
=
或
712
π
（2
）∵1
()2cos 22cos 2)2f x x x x x =-=- ＝2(sin 2cos cos 2sin )66x x ππ
-
2sin(2)6
x π
=-
由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得,63
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈
∴()f x 的单调增区间[,],63
k k k Z ππ
ππ-+∈.
由上可得max ()2f x =，当()2f x =时，由||||cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=
得
cos ,1||||
a b
a b a b ⋅<>==⋅
，0,a b π≤<>≤ ∴,0a b <>=
5．已知向量)2
3
,(cos ),1,(sin x b x a =-=. （1）当x x 2sin 3cos ,//2-求的值。
（2）求b b a x f ⋅+=)()(的最小正周期和单调递增区间。
解：（1）,// ∴
0cos sin 23=+x x ∴3
2tan -=x x
x x x x x x x x 22222
tan 1tan 61cos sin cos sin 6cos 2sin 3cos +-=+-=-
13459
13594141)32(1)
32
(612==+
+=-+-⨯-=
（2）∵)23,(cos ),1,(sin x x =-=∴)2
1
,cos (sin x x +=+
4
3
cos )cos (sin )()(++=⋅+=x x x b b a x f
45)2cos 2(sin 21++=x x 4
5)42sin(22++=πx 最小正周期为π 由222222πππππ+≤+≤-k x k 得8
83π
πππ+≤≤-k x k
故)(x f 的单调递增区间为Z k k k ∈+-]8
,8
3[π
πππ。