2018昌平高三二模理科数学

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2018年北京市昌平区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，则∁U A＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]2．（5分）若复数z＝cosθ+i sinθ，当时，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知等比数列{a n}中，a1＝27，a4＝a3a5，则a7＝（）A．B．C．D．34．（5分）设，b＝log23，c＝2﹣0.3，则（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b 5．（5分）若满足条件的整点（x，y）恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．06．（5分）设x，y∈R，则“x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A．4B．C．2D．8．（5分）2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A．5000～6000元B．6000～8000元C．8000～9000元D．9000～16000元二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在二项式的展开式中，第四项的系数是．（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，，，AC＝1，则BC＝．11．（5分）已知双曲线C：的渐近线方程为，则双曲线C的离心率是．12．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x值满足﹣2＜x≤4，则输出y值的取值范围是．13．（5分）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是；向量，所张成的平行四边形的面积是．14．（5分）已知函数f（x）＝①当x＜1时，若函数f（x）有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是；②若函数f（x）的最大值为1，则a＝．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．16．（13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区．（只需写出结论）17．（14分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2．（I）求证：A1E⊥平面BCDE；（II）求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值；（III）在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP平面A1BP？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的经过点（0，1），且离心率为．（I）求椭圆E的标准方程；（II）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆交于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交y轴于点M（0，m），求实数m的取值范围．19．（13分）已知函数f（x）＝ax2+ax﹣xe x，a＞1．（I）若曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，求a的值；（II）证明：当x＜0时，函数f（x）存在唯一的极小值点为x0，且．20．（13分）已知正项数列{a n}中，若存在正实数p，使得对数列{a n}中的任意一项a k，也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“倒置数列”，p是它的“倒置系数”．（I）若数列：1，4，9，x（x＞9）是“倒置系数”为p的“倒置数列”，求x 和p的值；（II）若等比数列{a n}的项数是m，数列{a n}所有项之积是T，求证：数列{a n}是“倒置数列”，并用m和T表示它的“倒置系数”p；（III）是否存在各项均为整数的递增数列{a n}，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”，如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，则∁U A＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]【解答】解：∁U A＝[﹣1，1]．故选：D．2．（5分）若复数z＝cosθ+i sinθ，当时，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：当时，复数z＝cos+i sin＝﹣﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知等比数列{a n}中，a1＝27，a4＝a3a5，则a7＝（）A．B．C．D．3【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1＝27，a4＝a3a5，∴27q3＝27q2•27q4，解得q＝，∴a7＝27q6＝＝．故选：A．4．（5分）设，b＝log23，c＝2﹣0.3，则（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b【解答】解：∵，且2﹣0.2＜20＝1，而b＝log23＞log22＝1．∴b＞a＞c．故选：C．5．（5分）若满足条件的整点（x，y）恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：作出满足条件的平面区域，如图：要使整点（x，y）恰有12个，即为（0，0）、（1，0）、（﹣1，﹣1）、（0，﹣1），（1，﹣1）、（2，﹣1）、（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣2）、（0，﹣2），（1，﹣2）、（2，﹣2）、（3，﹣2）．故整数a的值为﹣2．故选：B．6．（5分）设x，y∈R，则“x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如x＝0，y＝．∴x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A．4B．C．2D．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，AB＝2，AD＝1，侧面P AB⊥底面ABCD，且∠P AB＝90°，P A＝2，＝2×1＝2，，，则S四边形ABCD，．∴该四棱锥的所有面中最大面的面积是．故选：B．8．（5分）2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A．5000～6000元B．6000～8000元C．8000～9000元D．9000～16000元【解答】解：设该人当月工资、薪金所得为x元，由题意得：1500×3%+3000×10%+（x﹣8000）×20%﹣（x﹣7000）×3%＝332，整理，得：0.17x＝1377，解得x＝8100．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在二项式的展开式中，第四项的系数是20．（用数字作答）【解答】解：的展开式的第四项为，∴第四项的系数是C63＝20．故答案为：20．10．（5分）在△ABC中，，，AC＝1，则BC＝1或．【解答】解：由题意可得：sin A＝，化为sin A＝，解得A＝或．∴BC2＝﹣2cos A，可得BC2＝1或7，解得BC＝1或．故答案为：1或．11．（5分）已知双曲线C：的渐近线方程为，则双曲线C的离心率是．【解答】解：根据题意，双曲线C：的渐近线方程为，则有＝，即a＝2，则双曲线的方程为﹣y2＝1，其中a＝2，b＝1，则c＝＝，则双曲线的离心率e＝＝；故答案为：．12．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x值满足﹣2＜x≤4，则输出y值的取值范围是[﹣3，2]．【解答】解：根据输入x值满足﹣2＜x≤4，故：利用函数的定义域，分成两部分：即：﹣2＜x＜2和2≤x≤4，当﹣2＜x＜2时，执行y＝x2﹣3的关系式，故：﹣3≤y＜1，当2≤x≤4时，执行y＝log2x的关系式，故：1≤y≤2．综上所述：y∈[﹣3，2]，故答案为：[﹣3，2]13．（5分）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是；向量，所张成的平行四边形的面积是3．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，不妨取＝（2，1），＝（1，2），则＝＝＝．向量，所张成的平行四边形的面积S＝••sin＝×＝5×＝3．故答案分别为：，3．14．（5分）已知函数f（x）＝①当x＜1时，若函数f（x）有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是a＜1；②若函数f（x）的最大值为1，则a＝±1．【解答】解：①x＜1时，f（x）＝﹣x2+2ax，f′（x）＝﹣2x+2a＝﹣2（x﹣a），由f′（x）＝0，解得x＝a．∵函数f（x）有且只有一个极值点，∴a＜1．则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．②a＝0时，f（x）＝，此时f（x）max＝0≠1，舍去．a＜0时，x≥1时，f（x）＝≤0．x＜1时，f（x）＝﹣（x﹣a）2+a2，x＝a 时，函数f（x）取得最大值，f（a）＝a2，令a2＝1，a＜0，解得a＝﹣1．a＞0时，x≥1时，f（x）＝，f′（x）＝，可得函数f（x）在[1，e）内单调递增，在（e，+∞）内单调递减．f（x）max＝f（e）＝．x＜1时，f（x）＝﹣（x﹣a）2+a2，x＝a时，函数f（x）取得最大值，f（x）max ＝f（a）＝a2，当，即a时，令a2＝1，解得a＝1．当a2，即0＜a＜时，令＝1，解得a＝e．舍去．综上可得：a＝±1．故答案为：±1．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．【解答】解：（Ⅰ）＝＝，∴f（x）的最小正周期是π；（Ⅱ）∵，∴0≤2x≤π，∴，当时，f（x）max＝2．当时，f（x）min＝﹣1．16．（13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区．（只需写出结论）【解答】（共13分）解：（Ⅰ）从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为1﹣＝0.75，估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）记A1表示事件：“A地区空气质量等级为优良”，A2表示事件：“A地区空气质量等级为轻中度污染”，B1表示事件：“B地区空气质量等级为轻中度污染”，B2表示事件：“B地区空气质量等级为重度污染”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C＝A1B1∪A1B2∪A2B2．所以P（C）＝P（A1B1∪A1B2∪A2B2）＝P（A1B1）+P（A1B2）+P（A2B2）＝P （A1）P（B1）+P（A1）P（B2）+P（A2）P（B2）．由所给数据得A1，A2，B1，B2发生的频率分别为，，，．故，，，，所以事件C的概率P（C）＝＝0.2925．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）从空气质量角度，建议选择A地区居住．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（14分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2．（I）求证：A1E⊥平面BCDE；（II）求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值；（III）在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP平面A1BP？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（共14分）证明：（I）因为DE⊥AB，所以BE⊥DE．又因为BE⊥A1D，DE∩A1D＝D，所以BE⊥平面A1DE．因为A1E⊂平面A1DE，所以A1E⊥BE．又因为A1E⊥DE，BE∩DE＝E，所以A1E⊥平面BCDE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解：（II）因为A1E⊥平面BCDE，BE⊥DE，所以以E为原点，分别以EB，ED，EA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，，0），A1（0，0，1）．所以＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，，0）．设平面A1BD的法向量＝（x，y，z），由，令y＝1，得＝（）．因为BE⊥平面A 1DE，所以平面A1DE的法向量，所以cos＜，＞＝＝＝．因为所求二面角为锐角，所以二面角E﹣A1D﹣B的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（III）假设在线段BD上存在一点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD．设P（x，y，z），＝（0≤λ≤1），则（x﹣1，y，z）＝λ（﹣1，，0）．所以P（1﹣λ，，0）．所以＝（0，0，1），＝（1﹣λ，，0）．设平面A1EP的法向量＝（x，y，z），由，得，令x＝，得＝（）．因为平面A1EP⊥平面A1BD，所以＝3λ+λ﹣1＝0，解得∈[0，1]，所以在线段BD上存在点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD，且＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的经过点（0，1），且离心率为．（I）求椭圆E的标准方程；（II）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆交于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交y轴于点M（0，m），求实数m的取值范围．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由题意，得b＝1，椭圆的离心率e＝＝＝，解得．所以椭圆E的标准方程：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）（1）当直线AB⊥x轴时，m＝0符合题意．（2）当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），由，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）＝0，由△＝（﹣4k2）2﹣8（1+2k2）（k2﹣1）＞0，得k∈R．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．所以，所以线段AB中点C的坐标为（，﹣）．由题意可知，k≠0，故直线MC的方程为y+＝﹣（x﹣），令x＝0，，即当k＞0时，得，当且仅当时“＝”成立．同理，当k＜0时，，当且仅当时“＝”成立．综上所述，实数m的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（13分）已知函数f（x）＝ax2+ax﹣xe x，a＞1．（I）若曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，求a的值；（II）证明：当x＜0时，函数f（x）存在唯一的极小值点为x0，且．【解答】解：（I）因为f（x）＝ax2+ax﹣xe x，得f′（x）＝2ax+a﹣e x﹣xe x，所以f′（0）＝a﹣1．因为曲线在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，所以f′（0）＝a﹣1＝1，即a＝2；（II）证明：设h（x）＝2ax+a﹣e x﹣xe x，则h′（x）＝2a﹣2e x﹣xe x＝2a﹣（x+2）e x．因为x＜0，所以x+2＜2，e x＜1．又因为a＞1，所以h′（x）＞0，故h（x）＝a（2x+1）﹣e x（1+x）在（﹣∞，0）上为增函数．又因h（0）＝a﹣1＞0，h（﹣）＝﹣e＜0，由零点存在性定理，存在唯一的，有h（x0）＝0．当x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＝f′（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，x0）上为减函数，当x∈（x0，0）时，h（x）＝f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，x0）上为增函数，所以x0为函数f（x）的极小值点．20．（13分）已知正项数列{a n}中，若存在正实数p，使得对数列{a n}中的任意一项a k，也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“倒置数列”，p是它的“倒置系数”．（I）若数列：1，4，9，x（x＞9）是“倒置系数”为p的“倒置数列”，求x 和p的值；（II）若等比数列{a n}的项数是m，数列{a n}所有项之积是T，求证：数列{a n}是“倒置数列”，并用m和T表示它的“倒置系数”p；（III）是否存在各项均为整数的递增数列{a n}，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”，如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（I）因为数列：1，4，9，x（x＞9）是“倒置系数”为p的“倒置数列”．所以也是该数列的项，且．故，即x＝p＝36．（II）因为数列{a n}是项数为m项的有穷正项等比数列，取p＝a1•a m＞0，对数列{a n}中的任意一项a i（1≤i≤m），也是数列{a n}中的一项，由“倒置数列”的定义可知，数列{a n}是“倒置数列”；又因为数列{a n}所有项之积是T，所以即．（III）假设存在这样的等差数列{a n}为“倒置数列”，设它的公差为d（d＞0），“倒置系数”为p．因为数列{a n}为递增数列，所以a1＜a2＜a3＜…＜a n＜…则又因为数列{a n}为“倒置数列”，则正整数也是数列{a n}中的一项（i＝1，2，…），故数列{a n}必为有穷数列，不妨设项数为n项，则p＝a i•a n+1（1≤i≤n﹣1）﹣i则a1a n＝a2a n﹣1，得a1a n＝（a1+d）（a n﹣d），即（n﹣2）d2＝0由n≥3，故d＝0，与d＞0矛盾．所以，不存在满足条件的数列{a n}，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”．。

2018年北京市昌平区高考数学二模试卷(文科)

2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x<−1或x>1}，则∁U A＝（）A.(−∞, −1)∪(1, +∞)B.(−∞, −1]∪[1, +∞)C.(−1, 1)D.[−1, 1]【答案】D【考点】补集及其运算【解析】进行补集的运算即可．【解答】∁U A＝[−1, 1]．2. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A.y=1xB.y=x3C.y=sinxD.y=lgx【答案】B【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y=1x为反比例函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于B，y=x3为幂函数，在其定义域上为奇函数，且是增函数，符合题意；对于C，y=sinx为正弦函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于D，y=lgx为对数函数，其定义域为(0, +∞)，不是奇函数，不符合题意；3. 在平面直角坐标系中，不等式组{x−y≥0x+y−1≤0y≥0，表示的平面区域的面积是（）A.1B.12C.14D.18【答案】C【考点】简单线性规划【解析】先作出不等式组对应的平面区域，然后根据区域确定面积即可．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：由{x =y x +y =1 得A(12, 12)，则三角形的面积S =12×1×12=14，4. 设a =(12)0.2，b ＝log 23，c ＝2−0.3，则（）A.b >c >aB.a >b >cC.b >a >cD.a >c >b 【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】把a ，c 化为同底数，再由指数函数与对数函数的单调性比较大小．【解答】∵ a =(12)0.2=2−0.2>2−0.3=c ，且2−0.2<20＝1，而b ＝log 23>log 22＝1．∴ b >a >c ．5. 执行如图所示的程序框图，若输入x 值满足−2<x ≤4，则输出y 值的取值范围是（）A.[−3, 2]B.[1, 2]C.[−4, 0)D.[−4, 0)∪[1, 2]【答案】A【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图和分段函数求出结果．【解答】解：当−2<x <2时，−3≤y <1,当2≤x ≤4时，1≤y ≤2，得：−3≤y ≤2，即：y ∈[−3, 2].故选A ．6. 设x ，y ∈R ，则“|x|≤1且|y|≤1“是“x 2+y 2≤2“的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=√2．即可判断出结论．【解答】“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=√2．∴ “|x|≤1且|y|≤1“是“x2+y2≤2“的充分不必要条件．7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A.4B.√5C.2D.√2【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积及底面面积，则答案可求．【解答】由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，AB=2，AD=1，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=90∘，PA=2，则S四边形ABCD=2×1=2，S△PAD=12×2×1=1，S△PAB=12×2×2=2，S△PBC=12×2√2×1=√2，S PDC=12×2×√5=√5．∴该四棱锥的所有面中最大面的面积是√5．8. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，希望将个税免征额从元上调至元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款（）A.45元B.350元C.400元D.445元【答案】C【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据列表即可分别求出个税免征额为3500元和7000元时，此人当月所缴纳的税款，进而即可得出此人当月少缴纳此项税款的值．【解答】根据表格，个税免征额为3500元时，此人当月所缴纳的税款为：1500×3100+3000×10100+500×20100=445（元）；当个税免征额为7000元时，此人当月的所缴纳的税款为：1500×3100=45(元)；∴此人当月少缴纳此项税款为445−45=400（元）．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．在复平面内，复数1+ii对应的点的坐标为________．【答案】(1, −1)【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴复数1+ii对应的点的坐标为(1, −1)．若抛物线x2＝12y，则焦点F的坐标是________．【答案】(0, 3)【考点】抛物线的性质【解析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得其焦点位置以及p的值，由焦点坐标公式计算可得答案．【解答】根据题意，抛物线x2＝12y，其焦点在y轴的正半轴上，且p＝6，则其焦点坐标为(0, 3)；在△ABC 中，a =2，b =2√63，A =π3，则C =________．【答案】5π12【考点】正弦定理【解析】根据正弦定理与三角形内角和定理求出B 的值，再求C 的大小．【解答】△ABC 中，a =2，b =2√63，A =π3， ∴a sinA =b sinB ， 2sin π3=2√63sinB ，∴ sinB =√22，又a >b ，∴ 0<B <π2，解得B =π4，∴ C =π−A −B =π−π3−π4=5π12．能够说明命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．【答案】−1，−2，−3【考点】命题的真假判断与应用【解析】令整数a ，b ，c 的值依次为−1，−2，−3，可得命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题．【解答】令整数a ，b ，c 的值依次为−1，−2，−3，此时a >b >c ，且2a +b <c ，即命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题，向量a →，b →在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量a →，b →所成角的余弦值是________；向量a →，b →所张成的平行四边形的面积是________．【答案】45,3【考点】向量的三角形法则【解析】如图所示，建立直角坐标系，不妨取a →=(2, 1)，b →=(1, 2)，利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．【解答】如图所示，建立直角坐标系，不妨取a →=(2, 1)，b →=(1, 2)，则cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|⋅|b →|=√5⋅√5=45．向量a →，b →所张成的平行四边形的面积S =|a →|⋅|b →|⋅sin <a →,b →>=√5×√5×√1−(45)2=5×35=(3)已知函数f(x)={−x 2+2ax,x <1alnxx ,x ≥1①当a =1时，函数f(x)极大值是________；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．【答案】1e ,a <1【考点】利用导数研究函数的极值【解析】①当a =1时，函数f(x)={−x 2+2x,x <1lnx x,x ≥1 ，f′(x)={−2x +2,x <11−lnx x 2,x ≥1 ，分析各个区间上导函数的符号，进而可得函数f(x)极大值；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则函数的对称轴在x =1的左侧，进而得到答案．【解答】①当a =1时，函数f(x)={−x 2+2x,x <1lnx x,x ≥1 ， f′(x)={−2x +2,x <11−lnx x 2,x ≥1 ，当x <1时，f′(x)>0，函数为增函数，当1≤x <e 时，f′(x)>0，函数为增函数，当x >e 时，f′(x)<0，函数为减函数，故当x =e 时，函数f(x)极大值是1e ；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则函数的对称轴在x =1的左侧，即x =a <1，三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知函数f(x)=2sin(π4−x)cos(π4−x)+√3sin2x ．(I)求函数f(x)的最小正周期；(II)求函数f(x)在区间[0,π2brack 上的最值及相应的x 值．【答案】(Ⅰ)f(x)=sin(π2−2x)+√3sin2x =cos2x +√3sin2x =2sin(2x +π6)，∴ f(x)的最小正周期是π；(Ⅱ)∵ 0≤x ≤π2，∴ 0≤2x ≤π，∴ π6≤2x +π6≤7π6，当x =π6时，f(x)max =(2)当x =π2时，f(x)min =−(1)【考点】正弦函数的周期性诱导公式三角函数的最值【解析】（I ）直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化积即可求函数f(x)的最小正周期；(II)结合已知条件求出π6≤2x +π6≤7π6，进而可求出函数f(x)在区间[0,π2brack 上的最值及相应的x 值．【解答】(Ⅰ)f(x)=sin(π2−2x)+√3sin2x =cos2x +√3sin2x =2sin(2x +π6)，∴ f(x)的最小正周期是π；(Ⅱ)∵ 0≤x ≤π2，∴ 0≤2x ≤π，∴ π6≤2x +π6≤7π6，当x =π6时，f(x)max =(2)当x =π2时，f(x)min =−(1)已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=12，数列{b n }是公差为2的等差数列，且b n a n+1+a n+1=na n ．(I)求数列{b n }的通项公式；(II)求数列{a n }前n 项的和S n ．【答案】(Ⅰ)因为 b n a n+1+a n+1=na n ，所以 b 1a 2+a 2=a 1．又因为a 1=1,a 2=12，所以b 1=(1)所以数列{b n }的通项公式是b n =2n −(1)(Ⅱ) 由(Ⅰ)知b n =2n −1，且b n a n+1+a n+1=na n ．所以(2n −1)a n+1+a n+1=na n ，得到 a n+1a n =12（常数）．所以数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．那么数列{a n }前n 项和：S n =1−(12)n 1−12=2−21−n ．【考点】数列的求和数列递推式【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的前n 项和．【解答】(Ⅰ)因为 b n a n+1+a n+1=na n ，所以 b 1a 2+a 2=a 1．又因为a 1=1,a 2=12，所以b 1=(1)所以数列{b n }的通项公式是b n =2n −(1)(Ⅱ) 由(Ⅰ)知b n =2n −1，且b n a n+1+a n+1=na n ．所以(2n −1)a n+1+a n+1=na n ，得到 a n+1a n =12（常数）．所以数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．那么数列{a n }前n 项和：S n =1−(12)n 1−12=2−21−n ．为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数(AQI)，绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：( II)若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率．【答案】(Ⅰ)从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.008+0.007)×50=0.75，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．——————–(Ⅱ)A 地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.003×50=3个，设为a 1，a 2，a 3，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.001×50=1个，设为a 4，B 地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.002×50=2个，设为b 1，b 2，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.003×50=3个，设为b 3，b 4，b 5，设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ，则基本事件空间：Ω={a 1b 1, a 1b 2, a 1b 3, a 1b 4, a 1b 5, a 2b 1, a 2b 2, a 2b 3, a 2b 4, a 2b 5, a 3b 1, a 3b 2, a 3b 3, a 3b 4, a 3b 5, a 1b 1,a 4b 2,a 4b 3,a 4b ，基本事件个数为n =20，C ={a 4b 3, a 4b 4, a 4b 5}，包含基本事件个数为m =3，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为P(C)=320．——————–【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】(Ⅰ)从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为0.75，由估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，从而能求出A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数．(Ⅱ)A地20天中空气质量指数在[150, 200)内为3个，设为a1，a2，a3，空气质量指数在[200, 250)内为1个，设为a4，B地20天中空气质量指数在[150, 200)内为2个，设为b1，b2，空气质量指数在[200, 250)内为3个，设为b3，b4，b5，设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C，利用列举法能求出A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率．【解答】(Ⅰ)从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.008+0.007)×50=0.75，估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．——————–(Ⅱ)A地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.003×50=3个，设为a1，a2，a3，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.001×50=1个，设为a4，B地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.002×50=2个，设为b1，b2，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.003×50=3个，设为b3，b4，b5，设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C，则基本事件空间：Ω={a1b1, a1b2, a1b3, a1b4, a1b5, a2b1, a2b2, a2b3, a2b4, a2b5, a3b1, a3b2, a3b3, a3b4, a3b5, a1b1,a4b2,a4b3,a4b ，基本事件个数为n=20，C={a4b3, a4b4, a4b5}，包含基本事件个数为m=3，．——————–所以A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为P(C)=320如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABE，AF // BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE；(Ⅱ)求证：AC // 平面DEF；(III)求三棱锥D−FEB的体积．【答案】(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AB⊥BE，BE⊂平面ABEF，∴BE⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD．∴BE⊥AC，又BE∩BD=B，∴AC⊥平面BDE；(Ⅱ)证明：取DE的中点G，连结OG，FG，∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD的中点．则OG // BE，且OG=12BE．由已知AF // BE，且AF=12BE，则AF // OG且AF=OG，∴四边形AOGF为平行四边形，则AO // FG，即AC // FG．∵AC平面DEF，FG⊂平面DEF，∴AC // 平面DEF；(Ⅲ)∵平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AD // BC，AD⊥AB．由(Ⅰ)知，BE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴BE⊥AD∴AD⊥平面BEF．∴V D−BEF=13×S△BEF×AD=13×12×BE×AB×AD=43．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】(Ⅰ)由四边形ABCD是正方形，可得AC⊥BD．再由已知结合面面垂直的性质可得BE⊥平面ABCD，则BE⊥AC，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BDE；(Ⅱ)取DE的中点G，连结OG，FG，可证明四边形AOGF为平行四边形，则AO // FG，再由线面平行的判定可得AC // 平面DEF；(Ⅲ)由平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，可得AD // BC，AD⊥AB．由(Ⅰ)知，BE⊥平面ABCD，则BE⊥AD，即有AD⊥平面BEF，然后利用棱锥体积公式求解．【解答】(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AB⊥BE，BE⊂平面ABEF，∴BE⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD．∴BE⊥AC，又BE∩BD=B，∴ AC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)证明：取DE 的中点G ，连结OG ，FG ，∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ O 为BD 的中点．则OG // BE ，且OG =12BE ．由已知AF // BE ，且AF =12BE ，则AF // OG 且AF =OG ， ∴ 四边形AOGF 为平行四边形，则AO // FG ，即AC // FG ．∵ AC 平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， ∴ AC // 平面DEF ；(Ⅲ)∵ 平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，平面ABEF ∩平面ABCD =AB ， ∴ AD // BC ，AD ⊥AB ．由(Ⅰ)知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴ BE ⊥AD∴ AD ⊥平面BEF ．∴ V D−BEF =13×S △BEF ×AD =13×12×BE ×AB ×AD =43．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的经过点(0, 1)，且离心率为√22．( I)求椭圆E 的标准方程；( II)过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点M(0, m)，求实数m 的取值范围．【答案】（1）由题意，得b =1，椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√22，解得 {a =√2b =1．所以椭圆E 的标准方程：x 22+y 2=1．——————-（2）（1）当直线AB ⊥x 轴时，m =0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =k(x −1)，由{y =k(x −1)x 2+2y 2−2=0 ，得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2(k 2−1)=0，由△=(−4k 2)2−8(1+2k 2)(k 2−1)>0，得k ∈R ．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1⋅x 2=2(k 2−1)1+2k 2．所以y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)=−2k1+2k 2，所以线段AB 中点C 的坐标为(2k 21+2k 2, −k1+2k 2)．由题意可知，k ≠0，故直线MC 的方程为y +k 1+2k 2=−1k(x −2k 21+2k 2)，令x =0，y =k 1+2k 2，即m =k1+2k 2 当k >0时，得0<m =k 1+2k 2=11k+2k ≤√24，当且仅当k =√22时“=”成立．同理，当 k <0时，0>m =k1+2k 2=11k+2k ≥−√24，当且仅当k=−√22时“=”成立．综上所述，实数m 的取值范围为[−√24,√24]．——————–【考点】椭圆的离心率【解析】(Ⅰ)由题意可知：b =1，根据椭圆的离心率公式，即可求得a 的值，即可求得椭圆方程；(II)分类讨论，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标求得AB 中点C 坐标，求得MC 的方程，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得实数m 的取值范围．【解答】（1）由题意，得b =1，椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√22，解得 {a =√2b =1．所以椭圆E 的标准方程：x 22+y 2=1．——————-（2）（1）当直线AB ⊥x 轴时，m =0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =k(x −1)，由{y =k(x −1)x 2+2y 2−2=0 ，得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2(k 2−1)=0，由△=(−4k 2)2−8(1+2k 2)(k 2−1)>0，得k ∈R ．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1⋅x 2=2(k 2−1)1+2k 2．所以y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)=−2k1+2k 2，所以线段AB 中点C 的坐标为(2k 21+2k2, −k 1+2k 2)．由题意可知，k ≠0，故直线MC 的方程为y +k1+2k 2=−1k (x −2k 21+2k 2)，令x =0，y =k 1+2k 2，即m =k1+2k 2 当k >0时，得0<m =k 1+2k 2=11k+2k ≤√24，当且仅当k =√22时“=”成立．同理，当 k <0时，0>m =k1+2k 2=11k+2k ≥−√24，当且仅当k=−√22时“=”成立．综上所述，实数m 的取值范围为[−√24,√24]．——————–设函数f(x)=x 3+c ，g(x)=8x 2−20x ，方程f(x)=g(x)有三个不同实根x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)．(I)求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程； (II)求c 的取值范围；(III)求证：x 1+x 2>4．【答案】（1）f ′(x)=3x 2，f′(1)=3，又f(1)=c +1，则曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为：y =3x +c −2；（2）设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，ℎ′(x)=3x 2−16x +20，令f′(x)=0，则x =2，或x =103，当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表：所以，当c +16>0，且c +40027<0时，因为ℎ(0)=c <0，ℎ(4)=16+c >0，故存在x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，x 3∈(103,4)，使得ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=ℎ(x 3)=0，由ℎ(x)的单调性知，当且仅当c ∈(−16,−40027)时，函数ℎ(x)有三个不同的零点，即当且仅当c ∈(−16,−40027)时，方程f(x)=g(x)有三个不同实根．（3）证明：由(Ⅱ)知x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，4−x 2∈(23,2)⊆(0,2)， ℎ(x)在(0, 2)上单调递增，则x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0 ⇔u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)>0，x 2∈(2,103)，由ℎ(4−x 2)=(4−x 2)3−8(4−x 2)2+20(4−x 2)+c =−x 23+4x 22−4x 2+c +16，u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)=(x 23−8x 22+20x 2+c)−(−x 23+4x 22−4x 2+c +16) =2(x 23−6x 22+12x 2−8)，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，则u ′(x)=6(x −2)2所以当x ∈(2,103)时，u ′(x)>0，即u(x)在(2,103)上单调递增，而u(2)=0 所以当x ∈(2,103)时，u(x)>u(2)=0，所以u(x 2)>0，x 2∈(2,103)，所以x 1+x 2>(4) 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；(Ⅱ)设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，求得导数和单调区间、极值，即可得到所求范围； (III)由ℎ(x)的单调性，x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，求得导数和单调性，即可得证．【解答】（1）f ′(x)=3x 2，f′(1)=3，又f(1)=c +1，则曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为：y =3x +c −2；（2）设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，ℎ′(x)=3x 2−16x +20，令f′(x)=0，则x =2，或x =103，当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表：所以，当c +16>0，且c +40027<0时，因为ℎ(0)=c <0，ℎ(4)=16+c >0，故存在x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，x 3∈(103,4)，使得ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=ℎ(x 3)=0，由ℎ(x)的单调性知，当且仅当c ∈(−16,−40027)时，函数ℎ(x)有三个不同的零点，即当且仅当c ∈(−16,−40027)时，方程f(x)=g(x)有三个不同实根．（3）证明：由(Ⅱ)知x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，4−x 2∈(23,2)⊆(0,2)， ℎ(x)在(0, 2)上单调递增，则x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0 ⇔u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)>0，x 2∈(2,103)，由ℎ(4−x 2)=(4−x 2)3−8(4−x 2)2+20(4−x 2)+c =−x 23+4x 22−4x 2+c +16，u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)=(x 23−8x 22+20x 2+c)−(−x 23+4x 22−4x 2+c +16) =2(x 23−6x 22+12x 2−8)，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，则u ′(x)=6(x −2)2所以当x ∈(2,103)时，u ′(x)>0，即u(x)在(2,103)上单调递增，而u(2)=0 所以当x ∈(2,103)时，u(x)>u(2)=0，所以u(x 2)>0，x 2∈(2,103)，所以x 1+x 2>(4)。

昌平高三二模理科数学

12．执行如图所示的程序框图，若输入x值满足，
则输出y值的取值范围是．
?
13．向量a，b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，
则向量a，b所成角的余弦值是_________;向量a，b所张成的平行四边形的面积是__________.
14．已知函数
①当时，若函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围是；
昌平高三二模理科数学精选文档
昌平区2018年高三年级第二次统一练习
数学试卷(理科)
本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集 R，集合A={x∣x< 或x> 1}，则
（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区.（只需写出结论）
17．（本小题14分）
如图1，在边长为2的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．
（I）求证：平面；
（II）求二面角的余弦值；
（III）在线段上是否存在点，使平面平面若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
A． B． C． D．
2．若复数，当时，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知等比数列中，，则 =
A． B． C． D．
4．设，，，则
A． B． C． D．
5．若满足条件的整点恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数的值为
20．(本小题13分)
已知正项数列中，若存在正实数，使得对数列中的任意一项，也是数列中的一项，称数列为“倒置数列”，是它的“倒置系数”．

【全国区级联考】北京市昌平区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

昌平区2017－2018学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若集合，，则A. B.C. D.【答案】D【解析】由条件知=则.故答案为：D。

2.A. B. C. D. 1【答案】B【解析】将式子化简为，故答案为：B。

3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为A. 43B. 55C. 61D. 81【答案】C【解析】结束循环输出,选C......................4. 设满足则的最大值为A. B. 2 C. 4 D. 16【答案】C【解析】可行域如图,则直线过点A(0,1)取最大值2,则的最大值为4,选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】几何体为S-ABCD,面积的最小为,值为,选B.6. 已知函数则函数A. 是偶函数，且在上是增函数B. 是奇函数，且在上是增函数C. 是偶函数，且在上是减函数D. 是奇函数，且在上是减函数【答案】C【解析】因为=f(x),，所以是偶函数，且在上是减函数，选C.7. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】作图，可得解集为，解集为，因为，因此选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．8. 四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分. 比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】四个队得分总和最多为，若没有平局，又没有全胜的队，则四个队的得分只可能在6,3,0三种选择，必有两队得分相同，与四队得分各不相同矛盾，所以最少平局场数是1，此时四队分数为7,6,3,1，选B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 的二项展开式中的系数为__________．【答案】21【解析】的系数为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10. 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线的直角坐标方程为__________.【答案】【解析】先化成直角坐标方程，则曲线C的参数方程为（为参数）.【考点定位】坐标系与参数方程视频11. 已知直线，点是圆上的点，那么点到直线的距离的最小值是__________.【答案】2【解析】点到直线的距离的最小值是12. 已知，,点E是AB边上的动点，则的值为__________；的最大值为__________.【答案】(1). -1(2). 2【解析】画出图像，根据向量的数量积的几何意义投影得到设AE=x,，代入得到故得到最大值为2.故答案为：-1，2.13. 某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有__________种.【答案】6 , 7 , 8 答对一个即可给满分【解析】如4块广告牌一排排列，则全选蓝色，有一种方案；选三块蓝色，有三种方案；选两种蓝色，有三种方案，此时共有7种方案点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.14. 若函数（且），函数.①若，函数无零点，则实数的取值范围是__________；②若有最小值，则实数的取值范围是__________．【答案】(1). (2).【解析】①a=时，画出函数f（x）的图象，如图所示：若函数g（x）无零点，则y=k和y=f（x）无交点，结合图象，﹣1≤k＜1；②若0＜a＜1，显然f（x）无最小值，故a＞1，结合log a3=1，解得：a=3，故a∈（1，3]；故答案为：[﹣1，1），（1，3]．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知等差数列的公差为1，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）根据题意得到，再由等差数列的定义得到，解得（2）由第一问得到，分组求和得到结果。

北京市昌平区5月高三第二次统一练习数学理试题含答案

昌平区高三年级第二次统一练习数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）.5考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) （1）复数i 1i=- A ．1i 22+ B ． 1i 22-+ C ．1i 22-- D ．1i 22-（2）已知双曲线22:1C mx ny -=的一个焦点为(5,0)F -，实轴长为6，则双曲线C 的渐近线方程为A ．43y x =±B. 34y x =±C. 53y x =±D. 35y x =± (3) 若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为A ．4 B. 1 C. 0 D. 12-（4）设,αβ是两个不同的平面，b 是直线且.b β⊂“b α⊥”是“αβ⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件E DCB AO（5）如图，过点A 和圆心O 的直线交O 于,B C 两点(AB AC <)，AD 与O 切于点D ，DE AC ⊥于.E 35,AD =3AB =，则BE 的长度为A. 1B.2C. 2D. 5（6）执行如图所示的程序框图，如果输出的S 值为3，则判断框内应填入的判断条件为A. 2i <B. 3i < C ．4i < D ．5i <（7）已知函数f (x ) 是定义在[3,0)(0,3]-上的奇函数，当(0,3]x ∈时，f (x ) 的图象如图所示，那么满足不等式()21x f x ≥- 的x 的取值范围是A.[3,2][2,3]--B. [3,2](0,1]-- C. [2,0)[1,3]- D. [1,0)(0,1]-否是0,1S i ==1i i =+开始2i S S =+2log (2)S S =+ 输出S结束俯视图11111DCBAe 2e 1BAO（8）将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示.设正八角星的中心为O ，并且12,.OA e OB e == 若将点O 到正八角星16个顶点的向量，都写成为12,,R e e λμλμ+∈的形式，则λμ+的最大值为A 2 B. 2C. 12D. 22第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知n S 是等比数列}{n a (n *∈N )的前n 项和，若314S =，公比 2q =，则数列}{n a 的通项公式n a = .（10）在极坐标系中，O 为极点，点A 为直线:sin cos 2l ρθρθ=+上一点，则||OA 的最小值为________.(11) 如图，点D 是ABC ∆的边BC 上一点，7,2,1,45.AB AD BD ACB ︒==∠=那么ADB ∠=___________;AC =____________.(12) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的棱长为_________.（13）3月12日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕.活动设置了“三馆两园一带一谷”七大板块.“三馆”即农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”即延寿生态观光谷.某校学生准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有______种. （用数字作答）（14）已知数列{}n a 中，1(01),a a a =<≤*11,1,().3,(1),2n n n n n a a a n a a +->⎧⎪=∈⎨-+≤⎪⎩N ①若31,6a =则a =_________； ②记12...,n n S a a a =+++则2016S =____________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示. （Ⅰ）写出函数()f x 的解析式及0x 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[, ]44-上的最大值与最小值.（16）（本小题满分13分）为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试. 现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（I ）比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）（II ）如果将数学基础采用A 、B 、C 等级制，各等级对应的测试成绩标准如下表：（满分10060测试成绩 [85,100] [70,85) (60,70)基础等级ABC甲校乙校5 1 9 1 1 24 3 3 8 4 77 4 3 2 7 7 88 6 5 7 8C 1B 1A 1F EDCBA假设每个新生的测试成绩互相.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. 从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率.（17）（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，BC 垂直于正方形11A ACC 所在平面，2,1AC BC ==，D 为AC 中点，E 为线段1BC 上的一点（端点除外），平面1AB E 与BD 交于点F .（I ）若E 不是1BC 的中点，求证：1//AB EF ;（II ）若E 是1BC 的中点，求AE 与平面D BC 1所成角的正弦值;（III ）在线段1BC 上是否存在点E ，使得1,A E CE ⊥若存在，求出1BEEC 的值，若不存在，请说明理由.（18）（本小题满分13分）已知函数()e axf x =，2()(,,)g x x bx c a b c =-++∈R ，且曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(0,)c 处具有公共切线. 设()()()=-h x f x g x . （I ）求c 的值，及,a b 的关系式；（II ）求函数()h x 的单调区间；（III ）设0a ≥，若对于任意12,[0,1]x x ∈，都有12()()e 1h x h x -≤-，求a 的取值范围．（19）（本小题满分13分）已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为2，点(0,3D 在椭圆M 上，过原点O 作直线交椭圆M 于A 、B 两点，且点A 不是椭圆M 的顶点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，点C 是线段AH 的中点，直线BC 交椭圆M 于点P ，连接AP ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB AP ⊥.（20）（本小题满分14分）定义{}123maxn x ,x ,x ,,x 表示123n x ,x ,x ,,x 中的最大值.已知数列1000=n a n，2000=n b m ，1500=n c p ，其中200++=n m p ，=m kn ，,,,∈n m p k *N .记{}max n n n n d a ,b ,c =.（I ）求{}maxn n a ,b ；（II ）当2=k 时，求n d 的最小值；（III ）∀∈k *N ，求n d 的最小值.昌平区高三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准（理科） .5一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADACBBC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）*2(N )n n ∈ （102（11） 120︒6 （12）5 （13）144 （14）1;15123三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）（本小题满分13分）解：（I ）023()2sin(2),.324f x x x ππ=+=…………………7分（II ）由ππππ5π[, ],2[,]44366x x ∈-+∈-， ……………………9分当π236x π+=-时，即4x π=-，min ()()1;4f x f π=-=-z yxC 1B 11F EDC BAG当232x ππ+=时，即12x π=，max ()() 2.12f x f π== ……………………13分（16）（本小题满分13分）解：（I ）两校新生的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新生的数学测试样本成绩的方差小于乙校新生的数学测试样本成绩的方差. ……………………6分（II ）设事件D =“从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级”.设事件1E =“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为A ”，11(),5P E = 设事件2E =“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B ”，27(),10P E =设事件1F =“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B ”，13(),10P F =设事件2F =“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为C ”，23(),10P F =根据题意，111222,D E F E F E F =⋃⋃所以111222111222()()()()()()()()()()P D P E F P E F P E F P E P F P E P F P E P F =++=++131373335105101010100=⨯+⨯+⨯=. 因此，从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率为33.100……………………13分（17）（本小题满分14分）（I ）证明：连接C B 1，交1BC 于点G ，连接GD . 在三棱柱111C B A ABC -中， G 为1B C 中点, 且D 为AC 中点，所以1//GD AB . 因为1GD BC D ⊂平面, DBC AB 11平面⊄所以11//AB BC D 平面. ………………2分由已知，平面1AB E 与BD 交于点F ，所以1F AB ∈平面，E 从而1EF AB EF ⊂平面，又1EF BC D ⊂平面，所以11BC DAB EF EF =平面平面,所以1//AB EF . ……………………4分(II) 建立空间直角坐标系 11C ACB -如图所示.11(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),1(0,2,1),(0,0,1),(0,1,),(1,2,0).2A A C CB B E D 1 111(2,1,),(0,2,1),(1,2,0)2AE C B C D =--==.设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =由110,0,n C B n C D ==得20,20.y z x y +=⎧⎨+=⎩,令1,y =,得(2,1,2)n =--. ……………………6分421cos ,63||||AE n AE n AE n <>== ……………………8分所以，AE 与平面1BC D 所成角的正弦值为2163. ……………………9分 (III) 在线段1BC 上存在点E ，使得1,A E CE ⊥且114BEEC =.理由如下：假设在线段1BC 上存在点E ，使得1,A E CE ⊥设11(0,,)E y z ,1(0)BEEC λλ=>.则1BE EC λ=⋅,1111(0,2,1)(0,,)y z y z λ--=--.112,11,1y z λλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩21(0,,)11E λλ++. ………………11分 121(2,,)11A E λλ=-++，21(0,,)11CE λλλ-=++. 22410(1)(1)λλλ-+=++,解得: 14λ=. ………………13分所以，在线段1BC 上存在点E ，使得1,A E CE ⊥且114BE EC =.………………14分（18）(本小题满分13分）解：（I ）因为函数()e axf x =，2()=-++g x x bx c ，所以函数'()e axf x a =，'()2=-+g x x b .又因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(0,)c 处具有公共切线，所以(0)(0),'(0)'(0)=⎧⎨=⎩f g f g ，即1,.c a b =⎧⎨=⎩………………4分（II ）由已知，2()()()e 1axh x f x g x x ax =-=+--. 所以'()e 2axh x a x a =+-.设()'()e 2axF x h x a x a ==+-，所以2'()e 2axF x a =+，∀∈a R ，'()0>F x ，所以'()h x 在(,)-∞+∞上为单调递增函数. ……………6分由（I ）得，'(0)'(0),f g =所以'(0)'(0)'(0)0h f g =-=，即0是'()h x 的零点. 所以，函数()h x 的导函数'()h x 有且只有一个零点0．…………………………7分所以'()h x 及()h x 符号变化如下，x(,0)-∞0 (0,)+∞'()h x - 0+ ()h x ↘ 极小值 ↗所以函数(0,)+∞.……………9分（III ）由（II ）知当[0,1]x ∈ 时，()h x 是增函数. 对于任意12,[0,1]x x ∈，都有12()()e 1h x h x -≤-等价于max min ()()(1)(0)e e 1a h x h x h h a -=-=-≤-，等价于当0a ≥时，()e (e 1)0aG a a =---≤，因为'()e 10aG a =-≥，所以()G a 在[0,)+∞上是增函数，又(1)0G =，所以[0,1]a ∈. ……………13分（19）（本小题满分13分）解：（I ）由题意知1,c =3b =2224a b c =+=，所以椭圆M 的方程为22143x y +=，椭圆M 的离心率为12. ……………5分（II ）设0011(,),(,)A x y P x y ，则0000(,),(,).2y B x y C x -- 由点,A P 在椭圆上，所以2200143x y +=① 2211143x y += ②点A 不是椭圆M 的顶点，②-①得 2210221034y y x x -=-- . 法一：又01001000332,,24PB BCy y y y k k x x x x +===+且点,,B C P 三点共线，所以10010034y y y x x x +=+, 即 0100104().3()y y y x x x +=+ 所以，2201010101022010*******()4()43()1,3()3()34AB PAy y y y y y y y y k k x x x x x x x x x -+--====⨯-=--+-- 即 AB AP ⊥. ……………13分法二：由已知AB 与AP 的斜率都存在，2210101022101010PA PB y y y y y y k k x x x x x x -+-==-+-221022103()344x x x x --==--又03,4PB BC y k k x ==得00,PA x k y =-则0000()1AB PA y x k k x y -==-，即 AB AP ⊥. ……………13分（20）（本小题满分14分）解：（I ）由题意，{}10002000max max n n a ,b ,nkn ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为1000200010002--=(k )n kn kn，所以，当1=k 时，10002000<n kn，则{}2000max n n n a ,b b n ==，当2=k 时，10002000=n kn，则{}1000max n n n a ,b a n ==，当3≥k 时，10002000>n kn，则{}1000max n n n a ,b a n ==. ……………4分（II ）当2=k 时，{}{}10001500max max max 2003n n n n n n d a ,b ,c a ,c ,n n ⎧⎫===⎨⎬-⎩⎭，因为数列{}n a 为单调递减数列，数列{}n c 为单调递增数列，所以当100015002003=-n n时，n d 取得最小值，此时4009=n . 又因为40044459<<，而{}44444444250max 11d a ,c a ===，454530013d c ==，有4445<d d . 所以n d 的最小值为25011. ……………8分（III ）由(II)可知，当2=k 时，n d 的最小值为25011. 当1=k 时，{}{}2000750max max max 100n n n n n n d a ,b ,c b ,c ,n n ⎧⎫===⎨⎬-⎩⎭. 因为数列{}n b 为单调递减数列，数列{}n c 为单调递增数列，所以当2000750100=-n n时，n d 取得最小值，此时80011=n . 又因为800727311<<，而72722509==d b ，73732509==d c . 此时n d 的最小值为2502502509911,>. ⑵当3≥k 时，15001500375200(1)200450≥=-+--k n n n，>n n a b ，所以{}{}1000375max max max 50n n n n n n d a ,b ,c a ,c ,n n ⎧⎫==≥⎨⎬-⎩⎭. 设1000375max 50n h ,n n ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，因为数列{}n a 为单调递减数列，数列375{}50-n为单调递增数列，所以当100037550=-n n 时，n h 取得最小值，此时40011=n .又因为400363711<<，而36362509h a ==，3737525037513913h ,=<. 此时n d 的最小值为2502502509911,>. 综上，n d 的最小值为4425011=d . ……………14分。

2018年北京市昌平区高考数学二模试卷(文科)(J)

2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）(J)副标题一、选择题（本大题共8小题，共8.0分）1.已知全集，集合或，则A. B.C. D.【答案】D【解析】解：．故选：D．进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的概念，以及补集的运算．2.下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，为反比例函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于B，为幂函数，在其定义域上为奇函数，且是增函数，符合题意；对于C，为正弦函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于D，为对数函数，其定义域为，不是奇函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．3.在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是A. 1B.C.D.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，则三角形的面积，故选：C．先作出不等式组对应的平面区域，然后根据区域确定面积即可．本题主要考查不等式组表示的平面区域，利用二元一次不等式组表示平面区域，作出不等式组对应的区域是解决本题的关键，然后根据相应的面积公式进行求解．4.设，，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，且，而．．故选：C．把a，c化为同底数，再由指数函数与对数函数的单调性比较大小．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，是基础题．5.执行如图所示的程序框图，若输入x值满足，则输出y值的取值范围是A. B. C. D. ，【答案】A【解析】解：当时，，当时，，由得：，即：，故选：A．直接利用程序框图和分段函数求出结果．本题考查的知识要点：程序框图的应用，分段函数的应用．6.设x，，则“且“是““的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“且“，反之不成立，例如取，．“且“是““的充分不必要条件．故选：A．“且“，反之不成立，例如取，即可判断出结论．本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是A. 4B.C. 2D.【答案】B【解析】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，，，侧面底面ABCD，且，，则四边形，，，，．该四棱锥的所有面中最大面的面积是．故选：B．几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积及底面面积，则答案可求．本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥的面积计算，关键是由三视图还原原几何体，属于中档题．8.2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额此项税某调研机构数据显示，希望将个税免征额从元上调至元若个税免征额上调至7000元其它不变，某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款A. 45元B. 350元C. 400元D. 445元【答案】C【解析】解：根据表格，个税免征额为3500元时，此人当月所缴纳的税款为：元；当个税免征额为7000元时，此人当月的所缴纳的税款为：元；此人当月少缴纳此项税款为元．故选：C．根据列表即可分别求出个税免征额为3500元和7000元时，此人当月所缴纳的税款，进而即可得出此人当月少缴纳此项税款的值．考查对应用题的读题能力，本题要弄清什么是全月应纳税所得额，看懂表格是本题的解题关键．二、填空题（本大题共6小题，共6.0分）9.在复平面内，复数对应的点的坐标为______．【答案】【解析】解：，复数对应的点的坐标为．故答案为：．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10.若抛物线，则焦点F的坐标是______．【答案】【解析】解：根据题意，抛物线，其焦点在y轴的正半轴上，且，则其焦点坐标为；故答案为：．根据题意，由抛物线的标准方程分析可得其焦点位置以及p的值，由焦点坐标公式计算可得答案．本题考查抛物线的标准方程，注意分析抛物线的焦点位置．11.在中，，，，则______．【答案】【解析】解：中，，，，，，，又，，解得，．故答案为：．根据正弦定理与三角形内角和定理求出B的值，再求C的大小．本题考查了三角形内角和定理与正弦定理的应用问题，是基础题．12.能够说明命题“设a，b，c是任意实数，若，则”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______．【答案】，，【解析】解：令整数a，b，c的值依次为，，，此时，且，即命题“设a，b，c是任意实数，若，则”是假命题，故答案为：，，答案不唯一令整数a，b，c的值依次为，，，可得命题“设a，b，c是任意实数，若，则”是假命题．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，举出一组不满足的数字即可，难度不大，属于基础题．13.向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是______；向量，所张成的平行四边形的面积是______．【答案】；3【解析】解：如图所示，建立直角坐标系，不妨取，，则．向量，所张成的平行四边形的面积．故答案分别为：，3．如图所示，建立直角坐标系，不妨取，，利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.已知函数当时，函数极大值是______；当时，若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是______．【答案】；【解析】解：当时，函数，，当时，，函数为增函数，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，故当时，函数极大值是；当时，若函数有且只有一个极值点，则函数的对称轴在的左侧，即，故答案为：，．当时，函数，，分析各个区间上导函数的符号，进而可得函数极大值；当时，若函数有且只有一个极值点，则函数的对称轴在的左侧，进而得到答案．本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，二次函数的图象和性质，难度中档．三、解答题（本大题共6小题，共6.0分）15.已知函数．求函数的最小正周期；求函数在区间上的最值及相应的x值．【答案】解：Ⅰ，的最小正周期是；Ⅱ，，，当时，．当时，．【解析】直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化积即可求函数的最小正周期；结合已知条件求出，进而可求出函数在区间上的最值及相应的x值．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查型函数的图象和性质，是基础题．16.已知数列满足，数列是公差为2的等差数列，且．求数列的通项公式；求数列前n项的和．【答案】解：Ⅰ因为，所以．又因为，所以．所以数列的通项公式是．Ⅱ由Ⅰ知，且．所以，得到常数．所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．那么数列前n项和：．【解析】Ⅰ直接利用递推关系式求出数列的通项公式．Ⅱ根据Ⅰ的结论，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的前n项和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用数列的前n项和的应用．17.为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数，绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：若分别在A、B两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率．【答案】共13分解：Ⅰ从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为，估计A地区当年天的空气质量状况“优良”的频率为，A地区当年天的空气质量状况“优良”的天数约为天--------------------分Ⅱ地20天中空气质量指数在内，为个，设为，，，空气质量指数在内，为个，设为，B地20天中空气质量指数在内，为个，设为，，空气质量指数在内，为个，设为，，，设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C，则基本事件空间：，基本事件个数为，，包含基本事件个数为，所以A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为--------------------分【解析】Ⅰ从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为，由估计A地区当年天的空气质量状况“优良”的频率为，从而能求出A地区当年天的空气质量状况“优良”的天数．Ⅱ地20天中空气质量指数在内为3个，设为，，，空气质量指数在内为1个，设为，B地20天中空气质量指数在内为2个，设为，，空气质量指数在内为3个，设为，，，设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C，利用列举法能求出A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查列举法、频率分布表等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.如图，四边形ABCD是正方形，平面平面ABE，，，，．Ⅰ求证：平面BDE；Ⅱ求证：平面DEF；求三棱锥的体积．【答案】Ⅰ证明：四边形ABCD是正方形，．又平面平面ABCD，平面平面，，平面ABEF，平面ABCD．又平面ABCD．，又，平面BDE；Ⅱ证明：取DE的中点G，连结OG，FG，四边形ABCD为正方形，为BD的中点．则，且．由已知，且，则且，四边形AOGF为平行四边形，则，即．平面DEF，平面DEF，平面DEF；Ⅲ解：平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，平面平面，，．由Ⅰ知，平面ABCD，平面ABCD，平面BEF．．【解析】Ⅰ由四边形ABCD是正方形，可得再由已知结合面面垂直的性质可得平面ABCD，则，由线面垂直的判定可得平面BDE；Ⅱ取DE的中点G，连结OG，FG，可证明四边形AOGF为平行四边形，则，再由线面平行的判定可得平面DEF；Ⅲ由平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，可得，由Ⅰ知，平面ABCD，则，即有平面BEF，然后利用棱锥体积公式求解．本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.已知椭圆E：的经过点，且离心率为．求椭圆E的标准方程；过右焦点F的直线与x轴不重合与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点，求实数m的取值范围．【答案】共14分解：Ⅰ由题意，得，椭圆的离心率，解得．所以椭圆E的标准方程：-------------------分当直线轴时，符合题意．当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，由，得，由，得．设，，则．所以，所以线段AB中点C的坐标为由题意可知，，故直线MC的方程为，令，，即当时，得，当且仅当时“”成立．同理，当时，，当且仅当时“”成立．综上所述，实数m的取值范围为--------------------分【解析】Ⅰ由题意可知：，根据椭圆的离心率公式，即可求得a的值，即可求得椭圆方程；分类讨论，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标求得AB中点C坐标，求得MC的方程，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得实数m的取值范围．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，考查基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．20.设函数，，方程有三个不同实根，，求曲线在点处的切线方程；求c的取值范围；求证：．【答案】解：Ⅰ，，又，则曲线在点处的切线方程为：；Ⅱ设，，令，则，或，当x变化时，与的变化情况如下表：所以，当，且时，因为，，故存在，，，使得，由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同的零点，即当且仅当时，方程有三个不同实根．证明：由Ⅱ知，，，在上单调递增，则，，由，，设，则所以当时，0'/>，即在上单调递增，而所以当时，，所以，，所以．【解析】Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；Ⅱ设，求得导数和单调区间、极值，即可得到所求范围；由的单调性，，设，求得导数和单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查函数和方程转化思想，以及分类讨论思想方法，考查运算和推理能力，属于难题．第11页，共11页。

昌平区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

昌平区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1．棱台的两底面面积为、，中截面（过各棱中点的面积）面积为，那么（）1S 2S 0S A ． B ． C ．D．=0S =0122S S S =+20122S S S =2．已知全集U=R ，集合A={1，2，3，4，5}，B={x ∈R|x ≥3}，图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{0，1，2}3．执行如图所示的一个程序框图，若f （x ）在[﹣1，a]上的值域为[0，2]，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，1]B ．[1，]C ．[1，2]D ．[，2]　4．已知命题p ：“∀∈[1，e]，a ＞lnx ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2﹣4x+a=0””若“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．（1，4]B ．（0，1]C ．[﹣1，1]D ．（4，+∞）5．如果过点M （﹣2，0）的直线l 与椭圆有公共点，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．6．设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 27．设是等差数列的前项和，若，则（）n S {}n a 5359a a =95SS =A ．1B ．2C ．3D ．48．定义在R 上的奇函数f （x ），满足，且在（0，+∞）上单调递减，则xf （x ）＞0的解集为（）A ．B ．C ．D ．班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9．设,,a b c R ∈，且a b >，则（）A ．ac bc >B ．11a b<C ．22a b > D ．33a b>10．已知集合（）{}{2|5,x |y ,A y y x B A B I ==-+===A ． B ． C ． D ．[)1,+∞[]1,3(]3,5[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．11．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A ．（，1，1）B ．（﹣1，﹣3，2）C ．（﹣，，﹣1）D ．（，﹣3，﹣2）12．以过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定二、填空题13．已知i 是虚数单位，且满足i 2=﹣1，a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）在复平面内对应的点为M ，则“a=1”是“点M 在第四象限”的条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）　14．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________．15．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围．　16．在中，已知，则此三角形的最大内角的度数等ABC ∆sin :sin :sin 3:5:7A B C =于__________.17．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x 1，x 2，…，x 90和y 1，y 2，…，y 90，在90组数对（x i ，y i ）（1≤i ≤90，i ∈N *）中，经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为．18．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X 的值为2，则输出的结果是．三、解答题19．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数．()1ln 1f x a x x=+-（1）当时，求函数在点处的切线方程；2a =()f x ()()11f ，（2）讨论函数的单调性；()f x （3）当时，求证：对任意，都有．102a <<1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，1e x aa x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥．（1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠=o ，求三棱锥1C AA B -的体积．21．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝|x－a|＋|x＋b|，（a≥0，b≥0）．（1）求f（x）的最小值，并求取最小值时x的范围；（2）若f（x）的最小值为2，求证：f（x）≥＋.a b22．如图，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起至△ACP位置，并使平面PAC⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）在菱形ABCD中，若∠ABC=60°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）求四面体PABC体积的最大值．23．已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e≈=2.71828）．（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e2]上有两解，求实数m的取值范围；（3）求证：n∈N*，ln（en）＞1+．24．（理）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若对所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．昌平区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A 【解析】试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：2h ，解得A ．220()2()a S a hS a S a hS '⎧=⎪+⎪⎨'⎪=+⎪⎩=考点：棱台的结构特征．2．【答案】B【解析】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A 中，但不在集合B 中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U B ）∩A ，又A={1，2，3，4，5}，B={x ∈R|x ≥3}，∵C U B={x|x ＜3}，∴（C U B ）∩A={1，2}．则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}．故选B ．【点评】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．3．【答案】B【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，当a ＜0时，y=log 2（1﹣x ）+1在[﹣1，a]上为减函数，f （﹣1）=2，f （a ）=0⇒1﹣a=，a=，不符合题意；当a ≥0时，f ′（x ）=3x 2﹣3＞⇒x ＞1或x ＜﹣1，∴函数在[0，1]上单调递减，又f （1）=0，∴a ≥1；又函数在[1，a]上单调递增，∴f （a ）=a 3﹣3a+2≤2⇒a ≤．故实数a 的取值范围是[1，]．故选：B ．【点评】本题考查了选择结构的程序框图，考查了导数的应用及分段函数值域的求法，综合性强，体现了分类讨论思想，解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值．　4．【答案】A【解析】解：若命题p ：“∀∈[1，e]，a ＞lnx ，为真命题，则a ＞lne=1，若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0”为真命题，则△=16﹣4a≥0，解得a≤4，若命题“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题，则，解得：1＜a≤4．故实数a的取值范围为（1，4]．故选：A．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．5．【答案】D【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，整理，得k2，解得﹣≤k≤．∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣，]．故选：D．【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．6．【答案】B【解析】解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，所以S球=4πR2=6πa2．故选B7．【答案】A【解析】1111]试题分析：．故选A ．111]199515539()9215()52a a S a a a S a +===+考点：等差数列的前项和．8．【答案】B【解析】解：∵函数f （x ）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （）=0，∴f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，∵当x ＜0，当﹣＜x ＜0时，f （x ）＜0，此时xf （x ）＞0当x ＞0，当0＜x ＜时，f （x ）＞0，此时xf （x ）＞0综上xf （x ）＞0的解集为故选B 9．【答案】D 【解析】考点：不等式的恒等变换.10．【答案】D【解析】，故选D.{}{{}|5,||3,A y y B x y x x Q =≤===≥[]3,5A B ∴=I 11．【答案】C【解析】解：对于C 中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．故选：C ．【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．　12．【答案】C【解析】解：设过右焦点F 的弦为AB ，右准线为l ，A 、B 在l 上的射影分别为C 、D 连接AC 、BD ，设AB 的中点为M ，作MN ⊥l 于N 根据圆锥曲线的统一定义，可得==e，可得∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，∵以AB为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|）∴圆M到l的距离|MN|＞r，可得直线l与以AB为直径的圆相离故选：C【点评】本题给出椭圆的右焦点F，求以经过F的弦AB为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．【答案】　充分不必要　【解析】解：∵复数z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i，∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2），若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，∴﹣2＜a＜2，∴“a=1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．14．【答案】【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1，∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①又a2，a3，a4－2成等差数列．∴2a3＝a2＋a4－2，即8k2＝2k2＋8k2－2.②由①②联立得k1＝－1，k2＝1，∴a n＝2n－1.答案：2n－115．【答案】　[，1]　．【解析】解：设两个向量的夹角为θ，因为|2﹣|=1，|﹣2|=1，所以，，所以，=所以5=1，所以，所以5a 2﹣1∈[]，[，1]，所以；故答案为：[，1]．【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．　16．【答案】120o【解析】考点：解三角形．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据，根据正弦定理，可设，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，sin :sin :sin 3:5:7A B C =3,5,7a b ===熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．17．【答案】．【解析】设A （1，1），B （﹣1，﹣1），则直线AB 过原点，且阴影面积等于直线AB 与圆弧所围成的弓形面积S 1，由图知，，又，所以【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．　18．【答案】　﹣3　．【解析】解：分析如图执行框图，可知：该程序的作用是计算分段函数f （x ）=的函数值．当x=2时，f （x ）=1﹣2×2=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．　三、解答题19．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.10x y --=【解析】试题分析：（1）当时，求出导数易得，即，利用点斜式可得其切线方程；（2）2a =()'11f =1k =求得可得，分为和两种情形判断其单调性；（3）当时，根据（2）可()21'ax f x x -=0a ≤0a >102a <<得函数在上单调递减，故，即，化简可得所证结论.()f x ()12，()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ln 1a a a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭试题解析：（1）当时，2a =，，，，所以函数在点()12ln 1f x x x =+-()112ln1101f =+-=()221'f x x x =-()221'1111f =-=()f x 处的切线方程为，即．()10，()011y x -=⨯-10x y --=（2），定义域为，．()1ln 1f x a x x =+-()0+∞，()2211'a ax f x x x x-=-=①当时，，故函数在上单调递减；0a ≤()'0f x <()f x ()0+∞，②当时，令，得0a >()'0f x =1x a=x10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1a1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，()'f x -+()f x ↘极小值↗综上所述，当时，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在0a ≤()f x ()0+∞，0a >()f x 10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增．1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，（3）当时，由（2）可知，函数在上单调递减，显然，，故，102a <<()f x 10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12a >()1120a ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，，所以函数在上单调递减，对任意，都有，所以．所以()f x ()12，1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，01a x <<112a x <+<，即，所以，即，所以()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭1ln 1101a a a x x⎛⎫++-< ⎪⎝⎭+ln 1a a a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭1ln 1a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，即，所以．()ln 11a x a x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭ln 11x a a x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭1e xaa x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭20．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）有线面垂直的性质可得，再由菱形的性质可得，进而有线面垂直的判1BC AB ⊥11AB A B ⊥定定理可得结论；（2）先证三角形为正三角形，再由于勾股定理求得的值，进而的三角形1A AB AB 1A AB 的面积，又知三棱锥的高为，利用棱锥的体积公式可得结果.3BC =考点：1、线面垂直的判定定理；2、勾股定理及棱锥的体积公式.21．【答案】【解析】解：（1）由|x －a |＋|x ＋b |≥|（x －a ）－（x ＋b ）|＝|a ＋b |得，当且仅当（x －a ）（x ＋b ）≤0，即－b ≤x ≤a 时，f （x ）取得最小值，∴当x ∈[－b ，a ]时，f （x ）min ＝|a ＋b |＝a ＋b . （2）证明：由（1）知a ＋b ＝2，（＋）2＝a ＋b ＋2≤2（a ＋b ）＝4，a b ab ∴＋≤2，a b ∴f （x ）≥a ＋b ＝2≥＋，a b 即f （x ）≥＋.a b 22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC 中点O ，连接PO ，BO ，由于四边形ABCD 为菱形，∴PA=PC ，BA=BC ，∴PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，又PO ∩BO=O ，∴AC ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，∴AC ⊥PB ．（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC，PO⊥AC，∴PO⊥面ABC，∴OB，OC，OP两两垂直，故以O为原点，以方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，菱形ABCD 的边长为2，∴，，设平面PBC的法向量，直线AB与平面PBC成角为θ，∴，取x=1，则，于是，∴，∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为．（Ⅲ）法一：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴，，又PO⊥平面ABC，∴=（），∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为．法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴，，又PO⊥平面ABC，∴=（），设，则，且0＜t＜1，∴，∴当时，V'PABC＞0，当时，V'PABC＜0，∴当时，V PABC取得最大值，∴四面体PABC体积的最大值为．法三：设PO=x，则BO=x，，（0＜x＜2）又PO⊥平面ABC，∴，∵，当且仅当x2=8﹣2x2，即时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．23．【答案】【解析】解：（1）．因为x=2是函数f（x）的极值点，所以a=2，则f（x）=，则f（1）=1，f'（1）=﹣1，所以切线方程为x+y﹣2=0；（2）当a=1时，，其中x∈[，e2]，当x∈[，1）时，f'（x）＜0；x∈（1，e2]时，f'（x）＞0，∴x=1是f（x）在[，e2]上唯一的极小值点，∴[f（x）]min=f（1）=0．又，，综上，所求实数m的取值范围为{m|0＜m≤e﹣2}；（3）等价于，若a=1时，由（2）知f（x）=在[1，+∞）上为增函数，当n＞1时，令x=，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，即，∴．故即，即．24．【答案】【解析】解：（1）由f'（x）=ln（x+1）+1≥0得，∴f（x）的增区间为，减区间为．（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax．“不等式f（x）≥ax在x≥0时恒成立”⇔“g（x）≥g（0）在x≥0时恒成立．”g'（x）=ln（x+1）+1﹣a=0⇒x=e a﹣1﹣1．当x∈（﹣1，e a﹣1﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数．当x∈（e a﹣1﹣1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．“g（x）≥0在x≥0时恒成立”⇔“e a﹣1﹣1≤0”，即e a﹣1≤e0，即a﹣1≤0，即a≤1．故a的取值范围是（﹣∞，1]．。